Некоторые вычислительные формулы

НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ [c.97]

Прежде всего, введем некоторые обозначения. В формуле (22) параметр [П ] изменяется в пределах от О до Ю" , что приводит к некоторым трудностям вычислительного характера. Обозначив рП за х, получим [c.11]

Неопределенность связей между параметрами модели может выражаться в том, что или неизвестен вид соответствующих зависимостей, или общие соображения о виде связи априори ясны, но само ее аналитическое описание затруднено. Здесь часто применяются приемы частичного устранения возникающей неопределенности. Первое — это принятие некоторой априорной гипотезы о классе функций (степенных, показательных, линейных и т.д.), которыми описывается исследуемая зависимость. После этого возникает традиционная задача определения параметров эмпирических формул по имеющимся данным наблюдений. Такой прием широко используется, например, в различных методах определения расчетных гидрологических характеристик [Международное руководство..., 1984]. Второе — это выявление характера связей между параметрами модели посредством постановки вычислительных экспериментов над самой моделью, что типично для имитационных моделей функционирования ВХС (см. часть III настоящей монографии). [c.68]

Для того чтобы рассчитать напряжения и деформации в конструкциях при высокой температуре, необходимо использовать кривые деформирования, полученные в результате испытаний в условиях одноосного напряженного состояния. Некоторые программы для электронно-вычислительных машин позволяют получить полные кривые ползучести. Однако для максимального упрощения расчетов более целесообразно описывать поведение материала при ползучести математическими формулами. [c.91]

Некоторые методы не учитывают начальную упругую деформацию и, следовательно, могут давать удовлетворительные результаты только в том случае, если накопленная в детали деформация ползучести во много раз превосходит упругую. В других методах, предполагающих, что свойства материала могут быть пригодными для конкретного типа математической формулы, зачастую пренебрегают зависимой от времени первичной ползучестью, и это может привести к серьезным ошибкам, если материал в конструкции работает в условиях неустановившейся ползучести. Некоторые методы ограничиваются расчетами по гипотезам старения и упрочнения при изменяющемся напряжении, что также может привести к неточностям определения накопленной деформации или накопленного повреждения. Поэтому наилучшим методом расчета является наиболее усовершенствованная программа для электронно-вычислительной машины, которая позволяет использовать с большой эффективностью имеющиеся данные по материалам и закономерности их поведения при ползучести. Однако обычно это весьма обширные программы по затрате машинного времени и по подготовке данных для машины, поэтому их использование не всегда оправдано. [c.99]

На каждом шаге интегрирования по формулам Рунге—Кутта четвертого порядка необходимо четыре раза вычислять правую часть дифференциального уравнения. Это приведет к увеличению времени счета, однако компенсируется более высокой точностью формулы, в силу чего интегрирование можно вести с большим шагом. При использовании вычислительных машин выбор величины шага интегрирования производится автоматически в процессе интегрирования. Изменение шага обычно производится по результатам сравнения решений, получаемых на некотором интервале интегрированием с це.лым и половинным шагом. Если результаты этих двух вычислений совпадают с заданной точностью, то шаг для дальнейшего интегрирования остается прежним или увеличивается, в противном случае уменьшается. [c.362]

При решении миогих задач вычислительны процесс имеет циклический характер. Это значит, что решение задачи состоит в многократном повторе-иип вычислений по одним и тем же формулам с подстановкой в них каждый раз новых числовых значений некоторых величин. [c.80]

В гл. 4 и 8 были получены некоторые соотношения, необходимые для анализа систем с одним или несколькими процессами на входе и выходе. В этой главе описаны итерационные методы, на основе которых можно построить эффективные вычислительные алгоритмы и осуществить моделирование многомерных систем. Здесь получены формулы для условных характеристик и оптимальных частотных характеристик, для разложения спектра выходного процесса на физически разумные составляющие и, наконец, для функций множественной и частной когерентности. Как и в гл. 8, прописными буквами обозначены преобразования Фурье, а все выводы даются через двусторонние спектральные плотности. [c.247]

Построение номограмм 1—16 сводится к определению интервала изменения и анализу влияния каждого параметра, входящего в расчетную формулу, на конечный результат расчета и упрощению математической зависимости, достигаемому заменой нескольких факторов одним обобщающим, полученным графическим построением. После этого определяются характерные граничные условия, наиболее часто встречающиеся в проектной практике (например, размеры зданий, расстояния от заветренной стены и т. п.). Для этих условий вычислены координаты ряда характерных точек, необходимых при построении соответствующих прямых или кривых линий. В ряде случаев переменные величины, входящие в расчетные формулы для конкретных условий построения, заменены постоянными значениями, соответствующими этим условиям. Для упрощения некоторых номограмм (ном. 1, 2, 3, 6 и 7) на шкале абсцисс отложены относительные величины или произведение двух параметров (ном. 4, 5). Если промежуточная точка отсчета окажется на поле номограммы между двумя прямыми или. кривыми линиями, то ее положение определяется интерполяцией. . Номограммы должны не только облегчать и ускорять расчет, но и обеспечивать необходимую точность конечного результата. Поэтому необходимо правильно выбрать масштаб и достаточное количество расчетных точек для построения кривых линий. Построению номограмм предшествует большая вычислительная и гра- [c.131]

При составлении программ отдельные команды обычно располагаются по порядковым номерам и выполняются в том же по рядке. Однако этот порядок выполнения команд может быть нарушен, если в программе используются команды передачи управления. Команды передачи управления бывают двух типов — условного и безусловного перехода. Команда условного перехода указывает конкретную команду, которая должна быть выполнена вместо следующей в последовательности команд только в гом случае, если выполнено некоторое условие, например число в данной ячейке больше числа, находящегося в регистре арифметического устройства. Команды безусловной передачи управления изменяют указанную последовательность вычислений независимо от каких-либо условий. Эти команды используются для организации циклических вычислений, когда некоторую последовательность команд необходимо повторить несколько раз в зависимости от результатов промежуточных вычислений, или для организации разветвляющихся вычислительных процессов, когда в зависимости от результатов промежуточных вычислений необходимо выполнять расчет, например, по различным формулам. [c.47]

Основные вычислительные трудности связаны с нахождением значений через свертки функции Р (х), но в некоторых случаях можно получить явные формулы. Если, например, [c.262]

Многофакторные эксперименты с большим числом уровней комбинируемых факторов могут служить предметом регрессионного анализа, причем весьма широкие горизонты открывает в этом случае использование вычислительных машин. Известно, например, что формула Маскелла для диффузионного сопротивления и некоторые вытекающие из нее уравнения, крайне сложные для решения с помощью настольных счетных машин, легко решаются с помощью электронных вычислительных машин. Если бы удалось упростить масс-спектрометрические измерения и одновременно довести их точность до таких пределов, которые сделали бы реальным измерение поглощения и выделения кислорода и СОг в действительно больших многофакторных опытах (типа тех, которые можно использовать для исследования эффекта Эмерсона с концентрацией кислорода в качестве одного из варьируемых факторов), то биохимики получили бы тем самым великолепный источник новой информации о взаимоотношениях фотосинтеза и дыхания. [c.287]

Некоторые вещества, дающие фрагменты с точно установленной массой и составом, часто добавляют к исследуемым неизвестным соединениям в качестве внутренних стандартов. При этом преследуются две цели во-первых, заполнить большие пробелы между пиками (которые могут возникать в спектре исследуемого неизвестного соединения), чтобы облегчить правильный отсчет масс во-вторых, сопоставить положения близких пиков в масс-спектрометрии высокого разрешения, что позволяет определять точные значения масс и молекулярные формулы, соответствующие отдельным пикам (полезным руководством по этой методике является монография 9]). Существуют специально разработанные вычислительные программы для расчета на ЭВМ теоретических интенсивностей изотопных пиков в масс-спектрах, соответствующих заданным формулам см. об этом 15]. [c.269]

Если порядок а , окажется хотя бы на порядок меньше а , то коэффициенты а. считаются значимыми. Однако нахождение уравнения поверхности регрессии в виде полной квадратичной формы часто занимает большой объем памяти вычислительной машины и неоправданно. Поэтому необходимо предварительно провести анализ парных коэффициентов корреляции и соответствующих дисперсионных отношений для каждой пары входных и внутренних переменных исследуемого процесса газопромысловой технологии. После такого анализа все параметры, связанные линейно с выходной переменной, включаются в уравнение поверхности регрессии в первой степени. Параметры, связанные с выходной переменной г/к нелинейно, включают во второй степени в уравнение регрессии, если же входные и внутренние параметры окажутся в результате анализа попарно нелинейными между собой, то в уравнение регрессии их следует включать в виде парных произведений Х Х,-, ад-. При таком выборе уравнения регрессии (220) пропадут некоторые члены из последней и предпоследней сумм. Коэффициенты регрессии должны находиться по описанной схеме. Чтобы пользоваться этим уравнением для управления необходимо перевести переменные из нормализованного масштаба в натуральный по формулам (208). [c.114]

Как уже было отмечено, развитие многих современных методов химического анализа в значительной степени обусловлено развитием электроники, физики, вычислительных наук и различных областей техники. Естественно, что, поскольку в современной аналитической аппаратуре используют достаточно сложные высокочувствительные электронные устройства, проводимые измерения связаны в известно " степени с неопределенностям , обусловленными квантовыми стохаст 1чес1 ими процессами в электронной аппаратуре. Конечные же аналитические результаты обычно получают при использовании для расчетов некоторых математических формул, связывающих функ ионально непосредственный отклик электронной аналит ческой системы с исследуемой характеристикой анализируемого объекта. Эго создает предпосылки для тесного контакта современной аналитической химии с прикладной математикой и статистикой. [c.71]

Некоторые методы построения многофакторных эмпирических зависимостей. Построение приближенной аналитической зависимости по результатам наблюдения за функцией в отдельных точках (табличное задание) является одним из важнейших воиросов моделирования. Следует подчеркнуть, что нахождение самого вида функции, описываюш ей предложенную таблицу, невозможно, и речь может идти только о том, чтобы, задавшись каким-то видом функции, вычислить затем неопределенные коэффициенты из условий наилучшего приближения. Удачный выбор вида эмпирической формулы представляет собой творческую задачу и в значительной мере зависит от опыта исследователя и понимания физического явления. Поручить эту работу вычислительной машине нельзя, так как она не может быть сведена к цепи формальных вычислений. Обычно исследователь выдвигает несколько гипотез по виду эмпирической зависимости и, сравнивая качество приближения по каждой из них, выбирает наилучший выриант. [c.278]

Иногда полезно получить грубую выборочную оценку формы спектра, не вычисляя сначала ковариационную функцию и затем сглаженную выборочную оценку по формуле (7 16). В частности, если нужно предварительно отфильтровать данные, как, например, в некоторых задачах из гл 9—И, то грубый пробный анализ может оказаться достаточным, чтобы приближенно синтезировать хорошую частотную характеристику фильтра Поскольку такой пробнтлй анализ легко выполнить и без вычислительных машин, он служит также полезным упражнением, показывающим, какого рода информация содержится в спектре [c.38]

Вся работа по созданию таблиц настоящего тома, включающая общий анализ вопроса, решение ряда теоретических задач, возникающих в термодинамике газов при высоких температурах, разработку методики расчета и расчетных формул, составление (программ для электронной счетной машины и проведение счета па машине, выполнена группой сотрудников лаборатории физики горения и кафедры молекулярной физики физического факультета в составе профессора Е. В. Стуно-чепко — руководитель группы, Е. В. Самуйлова, И. П. Стаханова, А. С. Плешакова, И. Б. Рождественского. Большая часть всех вычислений проведена на быстродействующей электронной счетной машине (БЭСМ) Вычислительного центра АН СССР. Контроль таблиц и подготовка к печати выполнены там же под руководством Л. С. Барк. Некоторые контрольные, промежуточные и вспомогательные расчеты были выполнены на Первой Московской фабрике механизированного счета. [c.3]

Жесткость дифференциальных уравнений химической кинетики приводит к необходимости использования специальных методов интегрирования. В этих методах наряду с вычислением правой части дифференциальной задачи обычно используют матрицу Якоби, что в случае достаточно сложной химической реакции требует от вычислителя больших (даже огромных) затрат времени на получение элементов этой матрицы и составление подпрограмм . ее вычисления. В то же время правая часть задачи и матрица Якоби имеют достаточно простую структуру относительно концентраций реагентов. Это определяет целесообразность создания генерирующей программы, которая использует в качестве входных данных описание кинетической схемы, близкое к естественному. В настоящее время существует много программ такого типа (см., например, [1—12]), но некоторые из них являются труднодоступными . Кроме того, часть этих программ ориентирована на конкретные методы интегрирования, что является их существенным недостатком. Широкий набор решаемых задач, требование к точности и времени вычисления решения предполагают использование различных методов, а также их комбинацию в процессе решения. В [12] приведены формулы, достаточно удобные для генерации подпрограмм вычисления правой части и матрицы Якоби дифференциальных уравнений химической кинетики в случаях изотермического и неизотермического реактора постоянного объема. В настоящее время на базе ИХКиГ СО АН СССР и Вычислительных центров СО АН СССР городов Новосибирска и Красноярска разработан комплекс программ, который позволяет автоматизировать процесс решения прямой кинетической задачи. Комплекс написан на языке ФОРТРАН IV и ориентирован на работу в операционных системах Рафос и К8Х-11М. [c.54]

Производная сигналов поглощения неоднородноуширенной линии К1(х) имеет максимальное значение при некоторых X = х ,, зависящих от параметров 5 и В работе [35] с помощью электронной вычислительной машины по формуле (4.43) для выбранных пар значений параметров ( , были найдены- значения Хм, вычислены максимальные значения сигналов [c.141]

Позднее были проведены многочисленные расчеты функции рассеяния для различных показателей преломления. Критический разбор этих работке включает выполненную Пендорфом о в форме графиков сводку данных о величинах фактора эффективности рассеяния для ряда значений т ц а и дополняет ее новыми (в том числе и неопубликованными) данными, охватывающими почти все размеры частиц вплоть до а = 400. Керкер с сотрудниками провели расчеты амплитудных функций рассеяния для /n = 1,6- -2,0 (через каждые 0,04) и для а = 0,1 -f- 10,0 (через каждую 0,1). Они убедились в том, что приближенные расчеты очень трудоемки и значительно уступают по точности расчетам по полным формулам Ми, выполняемым на вычислительной машине. Вследствие флуктуирующего характера функций рассеяния Ми необходимо рассчитывать большое число точек, которые могут быть найдены только путем точных вычислений. Впрочем для некоторых целей (см. стр. 125) могут оказаться полезными и приближенные методы расчета. [c.117]

Язык АЛГОЛ разработан группой ученых Западной Европы и США и предложен в качестве международного алго-рифмического языка для описания вычислительных процессов. АЛГОЛ, как и язык логических схем, базируется на операторном методе программирования. В настоящее время АЛГОЛ сильнее формализован, чем язык логических схем, что обус-ловлешэ его предназначением в качестве международного языка. В общих чертах АЛГОЛ напоминает конкретный уровень языка логических схем. Как и в языке логических схем, в АЛГОЛе основным понятием является формула, в левой части которой стоит величина, а в правой — некоторое выражение. Выражения делятся на логические, арифметические и именующие. Выражения могут иметь внутренние разветвления за счет того, что в качестве оперируемых величин в них могут участвовать условные выражения вида если В то иначе Wгде В — логическое выражение, а и — выражения того типа, к которому принадлежит основное выражение, включающее в себя описываемое условное выражение . В свою очередь и могут содержать условные выражения и т. д. Например, арифметическое выражение может иметь вид [c.234]

Динамика НЬ Е и НЬ р Т в популяциях. Если популяция не находится в состоянии равновесия, с какой скоростью и в каком направлении будут изменяться частоты генов Или-если взглянуть на этот вопрос с точки зрения истории популяции-каким образом было достигнуто наблюдаемое в настоящее время распределение генных частот В предыдущих разделах для некоторых частных случаев выведены формулы, описывающие изменения генных частот от поколения к поколению (Д q). Сходным образом можно получить выражения для изменения генных частот в поколениях в трехаллельной системе. Таким образом удается проанализировать скорость изменения генных частот при различных интенсивностях отбора. В прежнее время, когда еще не было вычислительной техники, эту задачу нельзя было решить из-за огромного объема числовых расчетов, теперь она решается легко. [c.322]

Действительно, ведь в выражение (15), откуда определяется Л, входит удельный объем а, изменения которого приходится тш ательно учитывать однако величина этих изменений обычно весьма невелика. Вот почему в западноевропейской практике установился обычай вычислять не самые динамические глубинь /), а так называемые аномалии динамических глубин, выражаемыа в динамических метрах, умноженных на 10 . За норму принимается динамическая глубина, которая соответствовала бы данной изобаре, если бы над ней располагался слой совершенно однородной воды с соленостью 35%о и температурой 0°. Разность между действительной динамической глубиной и такой нормальной носит название аномалии и определяется по специальным таблицам. У нас в СССР вместо аномалий удельного объема по предложению Н. Н. Зубова [4] пользуются аналогичной величиной, получившей название условного удельного объема (а — 0,9) 10 . Так как сверх того Зубовым было дано еш е и популярное изложение динамического метода, то в литературе иногда можно встретить не вполне точный термин динамический метод Зубова . Как показал В. Б. Штокман [5], популярный вывод формулы (39), применяемый Зубовым, может в некоторых конкретных случаях повлечь за собой совершенно ошибочные заключения о характере течений. Но сам вычислительный прием, предложенный им для работы с формулой (39), очень удобен для практики. [c.24]

Следует отметить, что если представить граничные частоты в виде СОг = m/s, р, = ш,/5, где т, т, и s - некоторые постоянные числа, например, s - расстояние между пунктами наблюдений, то при соответствующем наборе чисел ш и т, с использованием выражений (2.19)-(2.24) можно получить вычислительные схемы, не уступающие по точности ныне существующим и применяемым на практике. Например, при ти, = = 2,236 из. выражения (2.23) можно получить формулу, которую можно сравнить с вычислительной схемой А.К. Малович-ко. При (О, = л/Ах и Н = Ах выражение (2.25) определяет формулу Рейнбоу двухмерного случая. Его же вычислительная схема трехмерного случая получается при разложении функции ехр(рЯ) в ряд Фурье - Бесселя. [c.62]

Такие более простые формулы хорошо известны и давно применяются с успехом на практике, например, формулы Б.А. Андреева, М.У. Сагитова и др. В настоящее время, когда в практику вычисления широко внедрены ЭВМ, большое число членов не вызывает особых затруднений при расчетах и этот вопрос потерял свою остроту. Однако при практически одинаковой точности получаемых результатов простейшие вычислительные схемы с малым числом членов более удобны, незаменимы при оценках значений получаемых результатов и особенно при расчетах в полевых условиях. Многими исследователями было показано, что применение и простейших вычислительных схем, и многочленных дает практически идентичные результаты. Особенно это верно при массовых расчетах значений суммарных полей, осложненных влиянием различных тел локальной и региональной форм. В этих случаях при обнаружении влияния различных тел, при построении карт локальных и региональных аномалий важно иметь простой, но хорошо работающий механизм. Известно, что во многих случаях очень хорошие результаты можно получить именно с применением простых способов и несложных приемов. Учитывая это, приведем ниже некоторые из простых способов трансформации полей. [c.68]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология