Связь с вариационным исчислением

Таким образом, несмотря на относительную простоту формального математического аппарата вариационного исчисления, использование его для решения практических задач связано с преодолением значительных вычислительных трудностей, обусловленных, в основном, необходимостью решения краевых задач для нелинейных диф -ференциальных уравнений. Попыткой избежать этих трудностей и являются прямые методы решения вариационных задач, некоторые из которых приведены ниже. [c.220]

Связь с вариационным исчислением [c.141]

Уравнения (IV,167) — (IV,169) являются уравнениями Лагранжа — Эйлера описываемой вариационной задачи, которые можно непосредственно получить при помош,и вариационного исчисления 107 Конечно, приведенный здесь вывод этих уравнений нельзя считать строгим и он иллюстрирует только связь изложенных здесь методов с методом вариационного исчисления. [c.142]

Поскольку решение вариационной задачи связано с получением и решением уравнения Эйлера, которое, в свою очередь, может существовать лишь в том случае, когда отыскиваемая экстремаль допускает свободное двустороннее варьирование, наличие ограничений (V, 260) и (V, 261) может привести к тому, что в некоторых случаях вообще невозможно написать данное уравнение. При этом ограничение типа (V, 260) еще позволяет иногда использовать аппарат вариационного исчисления поиском решения в виде функции, по-разному определенной в ряде интервалов, на которых x(t) = xi, x(t) = х2 или xi оптимального температурного профиля в реакторе. При ограничениях же типа (V, 261) вариационную задачу даже таким способом в общем случае, по-видимому, нельзя решить. Это объясняется тем, что при ограничениях типа (V, 261) экстремаль функционала может проходить не только внутри дозволенной области, но также частично или полностью по ее границе. [c.254]

Выведем теперь соотношения, определяющие оптимальное управление, которые могут быть получены при использовании математического аппарата классического вариационного исчисления. В этом случае векторное уравнение математического описания процесса может рассматриваться как система неголономных связей (V, 121) для задачи отыскания условного экстремума функционала (VII, 545). [c.402]

Будем считать сначала, что необходимо оптимизировать интеграл (216). Эта задача является типичной задачей вариационного исчисления. Однако прямое применение классических методов вариационного исчисления невозможно в связи с тем, что на область изменения переменных налагаются ограничения (4). Эти затруднения можно обойти следующим образом [20, 21]. [c.36]

Вариационное исчисление позволяет отыскивать экстремальные значения функционалов, зависящих от одной или нескольких функций (т. е, решать непрерывные задачи). При этом на функции могут быть наложены связи в виде системы дифференциальных уравнений (задача Лагранжа) [c.129]

Ниже будет рассмотрена задача, поставленная выше. Другие физические задачи приводят к таким же математическим формулировкам например, реактор, температура в котором должна изменяться как функция времени. Иногда при постановке задачи мы будем накладывать ограничения на и, тогда решение задачи будет связано с теми методами вариационного исчисления, которые были недавно получены Понтрягиным [23] и др. В 8 будет показано, как ряд связанных между собой задач, которые мы рассматриваем, может быть приведен к определенной математической форме. [c.295]

Мы рассмотрели несколько методов для решения одной и той же задачи—максимизации или минимизации функционала. В частности, были описаны методы динамического программирования и методы вариационного исчисления, связанные с принципом максимума Понтрягина. Как и следовало ожидать, между различными методами решения этой задачи существует тесная связь. [c.320]

Методы поиска экстремума могут быть использованы не только для целей оптимального выбора конструктивных параметров, но и наряду с другими методами их можно применять для решения системы алгебраических (трансцендентных) уравнений, В этом случае решение определяется путем минимизации соответствующей функции этих уравнений. Наоборот, в вариационном исчислении решение системы уравнений может быть сведено к непосредственной минимизации. В связи с этим интересно заметить, что, хотя решение любой вариационной задачи может быть сведено к решению системы уравнений, обратное не всегда справедливо, так как можно найти систему уравнений, которая не может быть получена путем приравнивания нулю частных производных некоторой функции [2, стр. 18]. [c.161]

Этот способ именуют линейной комбинацией атомных орбита-лей (ЛКАО). Значение зависит от переменных параметров l и Сг (коэффициенты перекрывания, вариационные параметры). Их следует выбирать так, чтобы общая энергия была минимальной, так как это является условием прочной связи. При часто используемом способе расчета (в вариационном исчислении) этого достигают путем частного дифференцирования функции (1.21) по j и е для нахождения минимума [c.27]

Динамическое программирование представляет собой не более как средство решения задач, которые могут быть решены и другими способами. Ценность динамического программирования состоит в другом подходе к решению задач. Однако возможности динамического программирования далеко не исчерпываются этим. Оно дает математический аппарат для решения задач, которые раньше не умели решать или игнорировали. Динамическое программирование может быть использовано для решения многих задач вариационного исчисления, которые не решаются с помощью классических методов. В частности, вариационные задачи с ограничениями типа неравенств, решение которых связано со значительными трудностями, очень легко решаются методом динамического про- [c.21]

В этой главе читатель в первый, но не в последний раз столкнется с вычислительной стороной метода динамического программирования. Крайне желательно при этом тщательно рассмотреть числовые примеры, что позволит уяснить смысл функциональных уравнений. В этой связи от читателя требуется хорошее понимание поэтапного характера решений методом динамического программирования, а также того, каким образом этот метод позволяет решать задачи, перед которыми пасуют обычные методы прямого расчета и вариационного исчисления. [c.26]

В этой главе рассмотрено вариационное исчисление и его связь с динамическим программированием. Чтобы продемонстрировать две различные точки зрения и возможность их соприкосновения, в некоторых случаях обоими методами решаются одни и те же задачи. [c.97]

Недостатки этого метода проб и ошибок присущи любому численному методу решения граничных задач, необязательно связанных с вариационным исчислением. Во-первых, возникает проблема выбора подходящего приближенного уравнения. В приведенном выше примере использована только одна из многих возможностей. Во-вторых, нужно правильно выбрать величину шага Д. Оба эти вопроса тесно связаны между собой, так как численное решение дифференциальных уравнений всегда требует исследования сходимости и устойчивости. Третья проблема состоит в отыскании такого способа получения исходного приближения для начального значения производной, которое существенно уменьшало бы число проб. Четвертая проблема связана с многомерными задачами, когда примеры, аналогичные приведенному выше, приходится решать для многих переменных. В этом случае нередко оказывается, что при некотором выборе начальных значений производных граничные условия удовлетворяются лишь для части переменных. Чтобы удовлетворить всем граничным условиям, могут потребоваться весьма трудоемкие вычисления. Кроме того, решение, даже удовлетворяющее граничным условиям, может быть не единственным. [c.110]

ГО ЧТО минимум функции г(з2 между ядрами становится менее резким, она понижается. Из равновесных значений Е, К и Г, соответствующих вириальному состоянию , Е имеет более низкое значение вследствие сжатия всей молекулы (с более значительным понижением V по сравнению с увеличением Т). Такое сжатие электронного облака согласуется с теорией, если уточнить расчет, сделанный в разд. 6.2.1 на основе вариационного исчисления путем введения второго вариационного параметра (наряду с линейной комбинацией коэффициентов с). Таким параметром служит коэффициент в показателе степени экспоненциальной волновой функции исходных атомов. Минимум энергии наблюдается при значении параметра, соответствующем сокращению электронного облака. Итак, природу химической связи можно представить себе следующим образом пр перекрывании исходных электронных оболочек атомов возникает выгодный в энергетическом отношении эффект интерференции , сущность которого может быть раскрыта тольксу методами квантовой механики. Такая интерференция вызывает увеличение заряда в пространстве между ядрами за счет заряда, находившегося вблизи них. Таким образом, провал плотности заряда между ядрами выравнивается , что приводит к сильному понижению кинетической энергии (при небольшом увеличении потенциальной). Это вполне соответствует балансу энергии, но противоречит вириальной теореме. Последняя удовлетворяется за счет того, что при образовании молекулы идет и другой энергетически выгодный процесс — сжатие электронного облака всей молекулы. Оба процесса протекают таким образом, что вириальная теорема выполняется устойчивое состояние молекулы достигается на более низком уровне энергии. [c.81]

Препятствием для использования, например, метода неопределенных множителей Лагранжа является наличие ограничений на управляющие воздействия или переменные состояния в форме неравенств. С этим же препятствием приходится сталкиваться при использовании вариационного исчисления, когда в случае ограничений типа неравенств невозможно записать уравнения Эйлера. Наконец, при выводе уравнения Беллмана в динамическом программировании (VI, 146) необходимо допущение о дифференцируе-мости функции /, для которой записывается это уравнение и которая связана с критерием оптимальности процесса, заданным в виде функционала (VII, 545) соотношением [c.404]

Решение может быть получено с помощью методов вариационного исчисления или на основе принципа максимума Л. С. Понтря-гина. В решении учитывается, что при управлении с обратной связью существует зависимос1ь вектора управления и (1) от вектора X (О состояния. )та зависимость устанавливается с помощью симметричной матрицы Р (/) изменяющихся во времени коэффициентов регулятора. [c.232]

Условия (124), не содержащие производных от Xi t), называются в вариационном исчислении голономными связями, а соотнощения (123) -. чеголоном-ными. При таких постановках вариационных задач обычно число связей п строго меньше числа искомых функций т. [c.53]

Имеется ли хоть какая-то связь между циклоидой Бернулли и катализом органических реакций Да, имеется, поскольку задача Бернулли заложила первый камень в фундамент вариационного исчисления в математике и вариационных принципов классической механики. В физике часто встречаются с задачами, в которых требуется найти минимальное или максимальное значение для некоторых величин, называемых функционалами (например, в задаче Бернулли таким функционалом явилось время спуска тела). Вариационное исчисление ставит своей целью разработку методов решения такого рода экстремальных вадач. Задачи классической механики и современной физики многообразны, но их объединяет так называемый принцип наименьшего действия. Упрощенная формулировка принципа выражается следующим образом из множества путей, по которым система может перейти из одного состояния в другое, в действительности реализуется тот путь, в каждой точке которого разность между кинетической и потенциальной энергией системы имеет минимальное значение. Руководствуясь этим принципом, мы можем найти этот оптимальный вариант движения, если [c.66]

До настоящего времени вопрос о целесообразности замены решался путем прямых расчетов, иногда при использовании методов вариационного исчисления. Однако при этом очень часто игнорировались существенные, правда довольно сложные, обстоятельства чисто практического характера. Обычно применяемая методика приводит к системам уравнений с очень большим числом неизвестных, которые иногда решаются легко, но иногда с большими трудностями, а во многих случаях информация, требуемая для решения вопроса замены, оказывается совершенно недостаточной. В задачах, относящихся к промышленному производству, часто фигурируют ограничения типа неравенств, появляющиеся в связи с ограничениями, налагаемыми на область изменения некоторых параметров процесса, или же в связи с наличием точек разрыва у кривых зависимости производительности от стоимости. Обычные методы часто оказываются непригодными при решении задач подобного рода. В частности, резкое увеличение размерности задачи и усложнение описывающих ее уравнений могут привести к невозлюжности их решения без привлечения новых методов. [c.25]

Физическая химия, объединяющая идеи и методы физики и химии, использующая во всех своих аспектах количественный подход, не может не опираться на достаточно хорошо развитый математический фундамент, включающий большинство разделов современной математики. В химии широко применяется классический аппарат дифференциального и интегрального исчисления, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления, многие разделы функционального анализа, теории функций комплексного переменного, математической статистики и т. д. Здесь же представлен и аппарат конечномерного линейного анализа, повышенный интерес к которому проявился за последние 10—15 лет в связи с открывшимися возможностями использования электронно-вычислительных. чашин. [c.5]

В предыдущем параграфе рассматривалась задача оптимального управления ректификационной колонной для упрощенных вариантов модели процесса. Исследуем более полные модели процесса, особенности которых заключаются в следующем 1) учитываются потоки в жидкой фазе, вводимые в колонну 2) рассматриваются более точные краевые условия 3) учитываются связи между параметрами, характеризующими потоки жидкости и пара в колонне, кубе и дефлегматоре. Для получения необходимых условий оптимальности (условий стационарности) используются методы классического вариационного исчисления [81]. Однако рассматриваемые в работе [81 ] задачи не включают модель процесса ректификацпи, а также отличаются видом оптимизируемого функционала и тем, что одни и те же управления являются как граничными, так [c.165]

Смотреть страницы где упоминается термин Связь с вариационным исчислением: [c.210] [c.222] [c.172] [c.172]

Смотреть главы в:

Методы оптимизации химических реакторов -> Связь с вариационным исчислением

ПОИСК

Справочник химика 21

Химия и химическая технология