Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [c.178]

Возможность описания различных явлений и процессов ограниченным количеством типов уравнений позволяет строить более совершенные методо-ориентированные пакеты программ. Так, для описания большинства процессов химической технологии можно использовать конечные линейные и нелинейные уравнения, дифференциальные уравнения обыкновенные и в частных производных (см. рис. 7.1). Решение указанных типов уравнений возможно с единых позиций. [c.270]

Бесконечные ряды находят широкое применение в технических расчетах. Результаты анализа многих процессов часто выражаются в виде ряда разложение функции 8 ряд позволяет найти ее численное значение. Ряды имеют большое значение в решении обыкновенных дифференциальных уравнений, а также при решении уравнений с частными производными и а приближенных вычислениях. [c.264]

Как и при всяком численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, описанная выше схема решения должна быть рассмотрена как с точки зрения устойчивости, так и сходимости. Для каждой задачи необходимо тщательно изучить вопрос о размере шага сетки по 6 и Д и вопрос о выборе выражений, аппроксимирующих частные производные. [c.132]

Система уравнений (7.140) представляет собой смешанную систему обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Для решения этой системы удобно воспользоваться независимостью последнего уравнения от остальных уравнений системы. Решая это уравнение при дополнительных условиях, соответствующих закрытому аппарату [c.418]

Доказанное свойство передаточной функции очень часто используется при исследовании технологических объектов. Большинство таких объектов описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Как правило, получить точное аналитическое решение этих систем уравнений невозможно. Однако можно упростить дифференциальные уравнения, если применить к ним преобразование Лапласа по времени. При этом обыкновенные дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические уравнения для функций й р) и v p), а уравнения в частных производных — в обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие производные только по пространственной координате. Решая преобразованную систему уравнений можно получить выражение v p) через й р). Используя затем соотношение (2.2.77), найдем передаточную функцию W p), с помощью которой удобно описывать оператор объекта. После того как найдена функция W p), можно определить весовую функцию g t) и переходную функцию h(t). Для этого достаточно по таблицам преобразований Лапласа определить оригиналы функций [c.71]

Рассматриваемые в операционном исчислении методы дают возможность находить решения многих дифференциальных и интегральных уравнений, а также систем уравнений. Эти методы основаны на так называемом преобразовании Лапласа и часто значительна упрош ают решения задач и сокраш ают вычислительную работу. Операционные методы по суш еству сводят решение уравнения к отысканию функциональных преобразований в таблице. Однако в современном своем состоянии операционное исчисление применимо лишь к линейным дифференциальным уравнениям (обыкновенным и с частными производными). [c.306]

Система уравнений (6.352)-(6.355) представляет собой смешанную систему обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения с частными производными. Для решения этой системы удобно воспользоваться независимостью уравнения (6.355) от остальных уравнений. Решая это уравнение относительно искомой динамической удерживающей способности Я, (/, 2) для ступенчатого возмущения ДЯ, на входе в аппарат, получаем [c.295]

Решение рассмотренной системы уравнений является сложной математической проблемой и до сих пор еще не получено. В следующем параграфе представлен приближенный метод решения системы уравнений тепло- и массообмена при конденсации химически реагирующего газа, основанный на преобразовании исходных дифференциальных уравнений в частных производных в одномерные обыкновенные дифференциальные уравнения и замене распределенных параметров (температура, концентрации, скорости и т. д.) осредненными по радиусу трубы. [c.130]

В этом состоит сущность метода прямых, который мы фактически только что рассмотрели. Преимущество его заключается в том, что решать обыкновенные дифференциальные уравнения, в принципе, значительно проще, чем уравнения в частных производных. Эти преимущества особенно проявляются в том случае, когда область решения имеет прямоугольную форму, а уравнения являются линейными с постоянными коэффициентами. Если же форма области решения оказывается достаточно сложной, а уравнения имеют переменные коэффициенты или являются нелинейными, использование метода прямых вызывает серьезные затруднения. [c.385]

Обыкновенные дифференциальные уравнения представляют собой соотношение между несколькими переменными и их производными по одной из этих переменных. Дифференциальные уравнения в частных производных содержат производные по нескольким переменным. Порядком дифференциального уравнения называют порядок наивысшей производной. Степенью называется наивысшая степень, в которую возводится производная после рационализации уравнения и освобождения от дробей. Общее решение дифференциального уравнения п-го порядка содержит п. произвольных постоянных. Частное решение получается при фиксированных значениях этих произвольных постоянных. [c.386]

В результате совместных работ сотрудников Института катализа, Института математики и Вычислительного центра Сибирского отделения АН СССР успешно преодолены основные трудности, возникающие нри качественном и количественном исследовании моделей процессов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и дифференциальными уравнениями в частных производных. На основе разработанных здесь качественных методов значительно продвинулось вперед понимание поведения систем в целом. Методы теории устойчивости позволили изучать стационарные и нестационарные режимы. Разработанные численные схемы и алгоритмы для решения дифференциальных уравнений в частных производных расширили круг математических моделей, используемых для научно обоснованного проектирования промышленных аппаратов. [c.3]

Круг рассматриваемых вопросов ограничен рамками тех физико-химических процессов, которые описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. из рассмотрения исключены методы решения уравнений в частных производных при этом все изложение остается в рамках единого математического аппарата. [c.6]

Стандартное математическое обеспечение во многих случаях является достаточным для решения широкого класса технологических и инженерных задач и нет необходимости разрабатывать алгоритмическое и программное обеспечение для решения систем алгебраических уравнений, дифференциальных обыкновенных, во многих случаях и дифференциальных уравнений в частных производных. [c.16]

Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений не вызывает принципиальных осложнений. Нахождение решений уравнений с частными производными с помощью ЦВМ связано с рядом трудностей. Исходные уравнения обычно преобразуются в конечно-разностные соотношения, решение которых может оказаться неустойчивым при неудачном выборе интервала квантования по времени и пространственным координатам. Иногда уравнения в частных производных преобразуют в обыкновенные дифференциальные уравнения (метод характеристик). Сведения о численных методах интегрирования дифференциальных уравнений можно найти в литературе [14]. [c.65]

Согласно чисто эмпирическому правилу, хаотические режимы, порождаемые при модельном описании обыкновенными дифференциальными уравнениями (как, например, в химических реакторах с хорошим перемешиванием) , склонны к низкому порядку (самое большое п — 2, если п — число переменных), тогда как режимы, порождаемые дифференциальными уравнениями в частных производных (трубка тлеющего разряда, или неоновая трубка, соединенная с затемнителем, или химический осциллятор без перемешивания), стремятся к очень высокому порядку. Использование отображения последовательных амплитуд [4] может послужить простым средством для решения вопроса, является ли аттрактор сильно притягивающим. Экстремум последовательности амплитуд на некото- [c.407]

Существуюш ие в настоящее время методы численного анализа позволяют решать широкий круг задач математического моделирования. Тем не менее в некоторых случаях встречаются серьезные затруднения в применении общих методов численного анализа. К числу таких случаев прежде всего относятся следующие задачи математического моделирования 1) решение систем конечных нелинейных уравнений с большим числом переменных 2) интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями 3) интегрирование систем дифференциальных уравнений в частных производных. [c.129]

Для многих свободноконвективных течений, описанных в этой главе, методики получения определяющих уравнений в виде обыкновенных дифференциальных уравнений неприменимы. Тогда можно обратиться к численным методам решения уравнений в частных производных, например к конечно-разностным. Для очень сложных геометрических конфигураций можно применять также методы конечных элементов. Эти методы хорошо изложены во многих публикациях, поэтому здесь дадим лишь их краткое описание. [c.168]

Для изучения динамики разделим всю ректификационную установку на три части, как это было сделано на фиг. 13.1. К первой части относятся куб и отгонная колонна, ко второй части— 8 участок колонны без отгонной и верх-ней частей, к третьей — верхняя часть колонны с дефлегматором, конденсатором и сборником конденсата (фиг. 13.8). Изучением динамики первой и третьей частей ректификационной колонны мы не будем заниматься в этой главе, так как они по существу были рассмотрены в гл. 8. Хотя для этих частей ректификационной установки все сводится к динамике последней или первой тарелки колонны, описание их легко свести к описанию динамики обычной тарелки. Приведем обзор полученных к настоящему времени результатов нестационарных процессов изменения состава, расхода и давления в собственно ректификационных колоннах, Динамику тарельчатых колонн можно описать с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений, поскольку они представляют собой системы с сосредоточенными параметрами (тогда как колонны с большим числом тарелок можно рассматривать как непрерывные), а динамику насадочных колонн следует описывать дифференциальными уравнениями в частных производных, так как они представляют собой системы с распределенными параметрами. Решение уравнений динамики насадочных колонн гораздо сложнее, и этому вопросу посвящено гораздо меньше работ, чем тарельчатым колоннам. [c.458]

Аналитические методы, развитые Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768—1830), сыграли важную роль в развитии прикладной математики Особенно важны они для трех приложений а) для изучения периодических решений физических задач, описываемых дифференциальными уравнениями, особенно уравнениями в частных производных, например, для изучения волновых колебаний струн, возбужденных щипком, или для передачи электромагнитных волн по волноводам или кабелям, б) как операционный способ решения дифференциальных уравнений, например, обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами можно перевести с помощью преобразования Фурье в алгебраические уравнения, в) для приближения непериодических функций. [c.33]

Таким образом, большое число обыкновенных дифференциальных уравнений (4) можно заменить одним дифференциальным уравнением в частных производных (9). Аналогично система дифференциальных уравнений в частных производных (1) и (2) была получена путем записи обыкновенных дифференциальных уравнений для дискретной модели и последующего перехода к пределу ). Кроме того, при решении задачи на цифровых вычислительных машинах требуется перейти от дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.181]

Наряду с одним дифференциальным уравнением во многих теоретических и практических задачах используются также и системы дифференциальных уравнений. Система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет столько уравнений, сколько в нее входит неизвестных функций, причем все неизвестные функции являются функциями одной независимой переменной. Для систем уравнений в частных производных число независимых переменных больше единицы, но число уравнений также равно числу неизвестных функций. При решении дифференциальных уравнений системы имеют важное значение, поскольку любое уравнение порядка выше первого может быть путем замены переменных преобразовано в систему уравнений первого порядка. Действительно, если имеется уравнение [c.350]

СВОДЯТСЯ К обыкновенным дифференциальным уравнениям. Однако имеются другие важные приложения метода поиска симметричных решений, когда задача сводится к уравнениям в частных производных. Наиболее очевидный пример представляют собой конические течения без осевой симметрии, которые впервые ввел и исследовал А. Буземан ). Это — стационарные течения с полем скоростей (в сферических координатах) [c.176]

При учете уравнения (3.75) система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (3.73) и (3.74) становится системой связанных уравнений в частных производных второго порядка. Решение такой системы связано с большими трудностями, поэтому прибегают к приближенному способу описания испарения с помощью линейного члена кп и Р . Такое приближение дает достаточную точность при быстром испарении (большие В ) и быстром удалении вещества из паровой фазы. Переход к указанному приближению получают путем интегрирования уравнения (3.75) [c.133]

Тот факт, что движение является подобным, имеет очень важное значение для решения задачи. Независимость безразмерных распределений составляющих скорости от X (т. е. возможность представить эти распределения как функции одной только переменной) является, в сущности, подлинной причиной того, что в ходе решения удалось уменьшить число аргументов и свести задачу к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения (2.25). Переход от исходного уравнения в частных производных (2.20) к уравнению (2.25) —это радикальное упрощение, которое существенным образом меняет положение и открывает определенный путь к полному решению задачи. В этой связи полезно отметить, что построение подобных решений является эффективным методом аналитического исследования процессов различной физической природы. [c.113]

Отсюда следует, что решения, полученные в теории струй для рассеяния консервативной примеси [19], неприменимы для струи с испаряющейся примесью. Метод, используемый в теории струй для решения задач о рассеяния примеси (основанный на сведении уравнения диффузии в частных производных с переменными х и = к обыкновенному дифференциальному уравнению-с одной переменной что возможно благодаря подобию безразмерных профилей), неприменим для струй с испаряющейся примесью. [c.157]

Д. Введение. Ниже приведены решения обыкновенных дифференциальных уравнений для температур в идеализированных (одномерных) многоходовых теплообменниках с однонаправленным и противоточным движением теплоносителей. Приведены также решения дифференциальных уравнений в частных производньи для распределения температур в многоходовых теплообменниках с перекрестным током. [c.32]

В то время кгис общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений содержит произвольные постоянные, решение дифференциальных уравнений с частными производными включает в себя произвольные функции. [c.450]

Разнообразные теории, разработанные к настоящелгу времени, вытекают все более или мепее непосредственно из какого-либо метода решения уравнений в частных производных. Возможны два основных метода ренк -ния. В первом пытаются решить задачу непосредственно, причем, исходя из начальных и граничных условий и уравнений с неизвестными частными производными, мончно свести систему уравнений в частных производных к уравнениям в обыкновенных производных и рассчитать злтачепия параметров. Второй тип решения противоположен первому — это метод характеристик, к нему неприменим описанный выше метод. Этот метод позволяет переходить от уравнений в частных производных к дифференциальным уравнениям. [c.174]

Для решения дифференциальных уравнений в частных производных можно применить и другие методы, например метод замены переменных. Рассмотрим его кратко." Задача заключается в том, чтобы подобрать такую новую переменную, при помопци которой можно было бы уравнение в частных производных преобразовать в обыкновенное дифференциальное. Для рассматриваемой задачи новую переменную можно подобрать, исходя из следуюшцх физических предпосылок. [c.51]

Блазиус показал, что решение задачи (5.1.13), (5.1.14) может быть сведено к решению краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Если решение задачи для уравнений в частных производных может быть получено путем ее сведени.ч к решению соответ- [c.108]

Одним из наиболее эффективных и применяемых методов решения обыкновенных дифферешщальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными, содержащих дифференциальный оператор Лапласа, является метод коллокации. [c.114]

Аналитические решения задач, сводящихся к линейным диф-ференциальньш уравнениям с линейными граничными условиями, удобно получать с помощью операторного метода (преобразования Лапласа). Сущность метода заключается в том, что функции (оригиналу) приводится в соответствие другая функция (изображение), для которой операция дифференцирования заменяется умножением, а интегрирование — делением на независимую переменную. Таким образом, обыкновенным дифференциальным уравнениям для оригиналов отвечают алгебраические уравнения для изображений, а уравнениям в частных производных для оригиналов — обыкновенные дифференциальные уравнения для изображений. Оригиналы и их изображения связаны между собой формулами прямого и обратного преобразования Лапласа. Изображение функции F (t) по Лапласу определяется как [c.120]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология