О вычислении значений характеристических функций

О вычислении значений характеристических функций [c.231]

Итак, для вычисления значений характеристической функции 0(Р, Т) (как и любой другой характеристической функции) необходимо располагать сведениями об уравнении состояния системы и о зависимости величины Ср системы от температуры при одной какой-нибудь изобаре. Совершенно безразлично, какова именно эта изобара. При наличии уравнения состояния, используя термодинамическое уравнение (X, 77), можно осуществить переход от одной изобары к другой. [c.230]

Вычисление площадей под сплошной кривой рис. 2,14 прп различных д в соответствии с уравнением (2.98) дает связь между временем обработки частиц т и значением характеристической функции (сплошная линия на рис, 2,15), [c.131]

Нижний предел интегрирования (0, т)—это значение характеристической функции для лобового слоя частиц, взаимодействующих с растворителем исходной концентрации С/о выражение для (0, т) находится непосредственно из уравнения (2.93) (0, х) = С — fo)x. Вычисление интеграла в соотношении (2.103) как функции его верхнего предела дает зависимость характеристической функции от координаты внутри слоя и времени экстрагирования. Использование определенной таким образом зависимости -o(x, т) в уравнения (2.99) определит функцию f(x, т), а интегрирование по времени уравнения (2.100) с использованием f x, х) устанавливает искомую зависимость массосодержания частиц материала от координаты и времени т(х, т). [c.133]

Вычисляют, конечно, не абсолютные значения характеристических функций. Такие вычисления не имеют смысла и поэтому невозможны. Вычисляют разности значений характеристических функций в любых двух состояниях системы. Для рационализации вычислений одно из состояний системы фиксируют, принимают за стандартное. Этому стандартному состоянию приписывают [c.231]

Примечание. В практических вычислениях множитель i в (1.2.7) и (1.2.8) неудобен. Этого можно избежать, если положить ie = s и использовать характеристическую функцию <е > надо, однако, иметь в виду, что ее существование гарантировано только для чисто мнимых s. Когда X принимает только положительные значения, использование функции <е-- >, существующей в правой полуплоскости комплексной s-плоскости, имеет некоторые преимущества. Если X принимает только целые значения, удобно использовать производящую функцию вероятности F г) — <,г у, которая однозначно определена для всех г на единичной окружности z =I и будет использована в гл. 6. Когда X принимает только неотрицательные целые значения, F (г) также определена и аналитична внутри этого круга. [c.18]

Характеристические функции играют настолько большую роль в термодинамике, что сведения об их значениях при всех интересующих нас состояниях системы являются крайне важными и необходимыми. Читатели понимают, что дело идет-не о невозможном вычислении абсолютных значений этих функций методами термодинамики, а только о вычислении разности значе- [c.228]

Предельная теорема и метод характеристических функций распространяются и на зависящие друг от друга величины tpj, f,, 93,... в том случае, если их взаимосвязь (корреляция) выражена слабо. Критерием малости корреляции может служить близость, среднего значения произведения ср сру к произведению средних значений р/-<ру. Действительно, если случайные величины, о которых идет речь, вполне независимы друг от друга, порядок действий — умножение и вычисление средних значений — роли играть не может и, следовательно, ф/-сру = 9/ Фу. Отклонение разности <ру—<р/-(ру от нулевого значения характеризует степень связи переменных. Пока tp <ру — предельная теорема и метод характеристических функций остаются практически справедливыми. [c.147]

Несмотря на более строгий расчет используемых волновых функций, в работе Крамера, как отмечает сам автор, точность вычисления Д/ и Д/" была существенно ограничена использованием зависимости от со согласно (4.18). Автор приводит таблицы вычисленных им значений А/ и А/" для элементов с атомными номерами от 10 до 98 и пяти характеристических излучений Сг, Ре, Си, Мо, Ag Ка. [c.73]

Для предотвращения случайной ошибки в определении искомого параметра рекомендуется осуществлять 3—4 независимых определения I и в качестве истинного значения принимать среднее из этих величин. Например, при обработке данных, следующих из четырех серий независимых измерений, проведенных по кривой рис. 97, нами были получены цифры, приведенные в табл. 20. Среднее значение параметра Р-преобразования I было принято равным 2,4. Сего помощью была вычислена функция I (О—157), спрямляющая ход характеристической кривой в широкой области изменения интенсивности линий. Результаты соответствующих вычислений приведены в табл. 21. Как видно из рис. 99, найденная таким образом Р-преобразованная функция почернения в отличие от изображенной здесь же исходной характеристической кривой в широкой области изменения интенсивности линий действительно линейно зависит от lg I. [c.188]

Таким образом, теория объемного заполнения микропор в изложенном ее основном варианте позволяет по одной экспериментальной изотерме адсорбции избранного стандартного пара (Р=1) в достаточно широком интервале заполнений вычислять адсорбционные равновесия и термодинамические функции для паров различных веществ. Эти вычисления обычно могут быть проведены в широких интервалах изменения параметров адсорбционного равновесия давления, температуры и величины адсорбции. Интервалы их возможных изменений определяются критерием существования температурной инвариантности характеристической кривой — областью отрицательных значений дифференциальной мольной энтропии адсорбции. [c.17]

Для вычисления характеристических температур 0 из констант упругости, из частоты остаточных лучей, из молекулярного объема и коэе и-циента расширения было предложено разными авторами довольно л ного (около 16) формул, более или менее удачно обоснованных. Однако теоретические значения характеристических температур, полученные по этим формулам, всегда расходятся с теми значениями, которые приходится брать для удовлетворительного согласования теории с опытом. Это отчасти объясняется, во-первых, вероятно, тем, что твердое тело является анизотропным и поэтому нужно было бы учитывать анизотропность тех физических констант, из которых желают вычислить характеристическую температуру но учет анизотропности дело сложное и к тому же вряд ли он может дать благоприятные результаты, поскольку в действительности всякое твердое тело, с которым мы оперируем в лаборатории, представляет собой конгломерат мельчайших зерен неправильной формы и различной величины. Во-вторых, существенно, что характеристическая температура может быть выражена через модуль упругости она пропорциональна корню квадратному из модуля упругости на удельный объем в степени 1/6, в связи с этим 9, строго говоря, является не константой, но слабой функцией температуры, отражающей температурное изменение модуля упругости. [c.154]

Изменение функции (Ji ) некристаллической фазы иллюстрирует рис. II. 13, а. Эта величина рассчитана с использованием соотношения (II. 1) в предположении, что Ап и Ап равны нулю.С повышением произведение Anja быстро возрастает и приближается к постоянному значению, равному 7,5-10" . При более низкой температуре экструзии ориентация некристаллического материала заметно возрастает. Это согласуется с данными Накаямы и Канетсуны [51], которые установили, что ориентация аморфной фазы увеличивается по мере снижения температуры гидростатической экструзии от 100 до 20 °С. Для вычисления функции ориентации аморфной фазы необходимы значения характеристического двойного лучепреломления аморфного ПЭ. [c.77]

Для расчета термодинамических функций молекулярных газов при заданных значениях температуры по уравнениям (III.249) — (III.257) должны быть известны следующие данные молекулярная масса М, статистический вес основного электронного состояния молекулы go , момент инерции / или вращательная постоянная В для двухатомных и линейных многоатомных молекул и произведение главных моментов инерции IaIbI или вращательных постоянных ЛВС для нелинейных многоатомных молекул, число симметрии молекулы а, полный набор основных частот Vft молекулы и соответствующих им степеней вырождения dk. По известным значениям основных частот согласно (III.253) определяются соответствующие им значения характеристических колебательных температур 0ft. После этого по отнощениям вн/Т находятся соответствующие значения величин jJr.o (0й//), Фг.о(0а/7 ). Sr.o Qk/T) и r.o(QhlT) путем непосредственного вычисления по формулам (III.206) — (111.209) или с помощью таблицы численных значений этих величин, приведенной в приложении. Из этой таблицы видно, что термодинамические функции гармонического осциллятора являются монотонно убывающими функциями переменной 0/Г, при этом функции я г.о (б/Г) и Сг.оСб/Г) убывают от 1 до О, а функции фг,о(0/Г) и Sr.o (0/ ) — от +СХ) до о, когда переменная 0/Г изменяется от О до оо. Это значит, что вклад колебательных движений молекул в величины термодинамических функций состоящего из них газа тем больше, чем меньше частота и чем выше температура. При малых и при больших значениях отношения 0/7 (0/7 <1 и 0/7 >1) уравнения (III.206) —(III.209), определяющие термодинамические функции гармонического осциллятора, могут быть заменены более простыми [c.248]

В табл. 18.1 приведены предельные значения характеристических отношений ДЛЯ полиглицина, поли-Ь-аланина, поли-Ь-пролина (у которого угол поворота ф фиксирован из-за наличия пирролидинового кольца) и поли-(Ь-молочной кислоты). Последняя является полипептидоподобной цепью, в которой амидное звено заменено на эфирное. Вычисления, результаты которых приведены в табл. 18.1, были выполнены по описанной выше схеме [см. (18.44)—(18.46)]. Заметим, что при я — оо формула (18.46) значительно упрощается. В таблице приведены результаты расчетов, выполненных в предположении о свободном вращении в каждом из углов 0. и (в поли-L-npo-лине — только для угла ф ) и для случаев, когда в функцию E.(ф , ф.), используемую для нахождения <Т>, не входит или, напротив, включена энергия диполь-дипольного взаимодействия между диполями соседних амидных групп (см. гл. 5). В табл. 18.1 приведены также два экспериментально полученных значения С . [c.147]

Дебаевская теория объяснила температурный ход теплоемкости многих одноатомных тел — алюминия, серебра, меди, цинка, кальция и т. д. Из многоатомных тел только небольшая часть тел, кристаллизующихся в простейших решетках (КВг, КС , Na l и т. д.), приближенно удовлетворяет функциям Дебая. Теория Дебая в неболь иих интервалах температуры дает для теплоемкости и энтропии хорошее согласие с опытом (совпадение в пределах 1%). Однако если мы захотим проследить теплоемкость даже хотя бы одноатомного металла от самых низких до комнатных температур, то оказывается, что для пользования формулами Дебая приходится характеристическую температуру 0, фигурирующую в этих формулах и представляющую собой константу, считать величиной переменной. Характеристические температуры, будучи рассчитаны по закону кубов, имеют одно значение в области температур, близких к абсолютному нулю (10—40° К), а при температурах 150—250° К характеристическим температурам приходится приписывать несколько иные значения, которые для многих металлов отличаются от вычисленных по закону кубов на 5, 10 и даже 15%. Таким образом, для согласования теории с опытом приходится делать некоторую подгонку дебаевских формул. [c.154]

Во многих случаях для более или менее точного вычисления энтропии кристаллических тел по формуле (6.2) оказывается достаточным произвести язмеренйе теплоемкости всего лишь при одной какой-либо достаточно низкой температуре. Пользуясь таблицей дебаевской функции теплоемкости, устанавливают, какому значению приведенной температуры т = Т/0 соответ- ствует полученная из опыта величина теплоемкости (отнесенной к грамм-атому), и, разделив абсолютную температуру, при кото1 ой было произведено измерение, на найденное значение приведенной температуры, узнают, таким образом, характеристическую температуру тела 0 = Т/т, что позволяет воспользоваться таблицей дебаевской функции энтропии. Удобно иметь график дебаевской функции теплоемкости в форме [c.189]

К первому классу относятся вещества с низкой характеристической вязкостью (-<0,1 5л/г). Молекулы таких веществ не могут обладать большой асимметрией и, хотя форма молекул может быть неправильной, в ней трудно ожидать каких-либо особенностей, приводящих к существенному искажению функции р. Если принять для вещества значение р = 2,16 Ю , вычисление молекулярного веса не должно приводить к существенной ошибке. Истинная величина р должна быть между 2,12-10 и 2,35-10 . Последнее значение относится к вполне правильному непроницаемому телу, имеющему форму эллипсоида, что маловероятно для реальной молекулы. Кролте того, почти всегда можно использовать другие методы определения молекулярного веса этих веществ. Метод был применен для определения [c.63]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология