Решения уравнения диффузии

Как показали опыты с использованием микроэлектродов [63], в этом последнем случае для описания экспериментальных данных можно получить точное решение уравнения диффузии. Если химическая реакция па электроде не достаточно быстрая по сравнению с диффузией к электроду, то для исследования механизма электродного процесса можно использовать уравнение (ХУП.8.13). [c.556]

ЭТО сферичность частиц адсорбента. Частицы определенных типов адсорбентов всегда имеют несферическую и неправильную форму, что влияет на вычисленную величину коэффициента внутренней диффузии. По-видимому, этим можно пренебречь, если рассматривать частицы хотя и неправильной формы, но одного типа. Это препятствует удовлетворительному сравнению систем с частицами различной формы. Если рассматриваются частицы определенной, например цилиндрической, формы, то следует пользоваться решением уравнения диффузии для частиц такой формы. [c.153]

Кинетическая функция ш ( , Т) в моделях обоих реакторов представлена уравнением Темкина с параметрами, соответствующими типу используемого катализатора. Фактор эффективности диффузии т] (Т) определяется по аналитическому решению уравнения диффузии для реакции первого порядка. Для описания скорости снижения активности GTK и НТК в условиях эксплуатации катализаторов на крупнотоннажных агрегатах принята модель независимой дезактивации, описываемой уравнением da/dx = [c.335]

В качестве базового процесса сравнения на начальном участке следует использовать массообмен без радиальной конвекции при расходе и профиле скорости, тождественных локальным значениям этих параметров в процессе с отсосом (вдувом). Первое условие соблюдается при переходе от продольной координаты X и преобразованной переменной Z [по уравнению (4.50)]. Тождественность профиля скорости в сравниваемых сечениях канала обеспечивается значением Sho(Z, Rey), которое является решением уравнения диффузии [c.135]

Меченые твердые частицы вводили вблизи свободной поверхности псевдоожиженного слоя и затем регистрировали появление радиоактивности на различных уровнях, расположенных ниже точки ввода. Для случая, когда меченые частицы составляли небольшую долю от общей загрузки твердых частиц в слое, Мэй использовал известное решение уравнения диффузии [c.264]

К о л е с н и к И. Я., Об одном из методов решения уравнения диффузии, [c.535]

Таким образом, распределение большого числа молекул, вышедших из начала координат, аналогично распределению молекул полимера по длинам. Такое распределение частиц задается решением уравнения диффузии. Для интересующего нас случая (в начальный момент диффундирующее вещество сосредоточено в начале координат) решение может быть записано так [c.254]

Способы решения уравнений диффузии аналогичны способам решений уравнений теплопроводности, и они хорошо, освещены в литературе (см., например, фундаментальную монографию [c.55]

Решение уравнения диффузии для описанных условий имеет [c.204]

Аналогичное решение уравнения диффузии получено и для плоского пламени [c.92]

Модели конечно-разностного типа основаны на аппроксимации воздушного бассейна трехмерными ячейками для получения численного решения. Основные проблемы при этом связаны с вопросами устойчивости и точности модели. Стабильность разностной схемы гарантирует большинство численных методов решения уравнения диффузии, однако ошибки вычислений зачастую бывают значительными. [c.62]

Решение уравнения диффузии для задачи размывания границы приводит к тому, что [c.243]

Повышение точности расчета поля потока отразилось и на точности решения уравнения диффузии. Установлено, что после некоторых алгебраических преобразований уравнение диффузии для противоточной центрифуги принимает тот же вид, что и уравнение для дистилляционной колонны (так же, как уравнение каскада в процессах разделения). [c.225]

Рассмотрим подробнее, что происходит на реагируемой поверхности, поскольку условие (6.8) по сути является граничным условием для решения уравнений диффузии. В процессе гетерогенной реакции молекулы реагирующего вещества адсорбируются на поверхности. Если поверхность однородная и на ней образуется мопослой адсорбируемого вещества, то процесс адсорбции описывается изотермой Ленгмюра, связывающей количество адсорбируемого на поверхности вещества с концентрацией С этого вещества в растворе возле поверхности [c.94]

Заметим, что в отличие от коагуляции в ламинарном потоке коагуляция в турбулентном потоке невозможна в отсутствие молекулярных сил, поскольку Вт 8 при 8 = г-а-Ь—>0. Поэтому соответствующий интеграл, входящий в решение уравнения диффузии, имеет неинтегрируемую особенность, которая может быть ликвидирована только введением силы молекулярного притяжения, возрастающей как 5 при 5 -) 0. [c.610]

Рис. 7.18. Графическое выражение решения уравнения диффузии в нить. (Объяснение см. в тексте.)

Известно точное решение уравнения диффузии, из которого можно определить через коэффициент турбулентной диффузии От плотность вероятности смещения частицы за время dt на расстояние [16] [c.164]

Уточним теперь решение уравнения диффузии (7.2) с учетом того, что коэффициент диффузии зависит от времени согласно выражению (7.24). [c.221]

Тогда общее решение уравнения диффузии (7.4) при рассмотренных выше начальных и граничных условиях записывается так [c.221]

Н (г, t) — решение уравнения диффузии для сферических частиц при постоянной концентрации на границе. Так как [c.306]

Если в потоке происходят химические реакции, то суммарные весовые концентрации (а = 1, 2,. ..) атомов данного вида, содержащиеся во всех химических соединениях, и полная энтальпия (включающая в себя энергию химических связей) с о описываются одинаковыми уравнениями без источников. Поскольку начальные и граничные условия обычно подобны, то величины Со и линейно выражаются через решение уравнения диффузии без источника. Тогда при диффузионном горении температуру, плотность и концентрации всех веществ можно связать с этим решением с помощью термодинамического расчета. Далее предполагается, что эта операция уже выполнена. [c.55]

В работе Вулиса можно найти точное решение уравнения диффузии для рассматриваемого случая и формулы для зависимости толщины пленки и скорости реакции от времени. В пределе, по прошествии достаточно длительного времени от начала процесса, эти формулы приводят к скорости реакции, обратно пропорциональной корню квадратному из времени, в согласии с результатом, который мы здесь получили совершенно элементарным путем. [c.106]

Таким образом, задача сводится к решению уравнения диффузии без источников с переменным граничным условием. Кишиневский принимает, что концентрация поглотителя у поверхности уменьшается со временем по экспоненциальному закону и использует решение вида (11,103). [c.139]

Совместное решение уравнений диффузии (с учетом химической реакции) и теплопроводности [6, 13] показывает, что температура жидкости на границе раздела фаз крайне незначительно (как правило, не более чем на 1—2°С) превышает температуру основной массы жидкости. Указанный результат относится к произвольной области протекания необратимой реакции и объясняется большей величиной коэффициента температуропроводности по сравнению с коэффициентом диффузии (примерно на два порядка). [c.21]

При изучении диффузионных процессов в каждом отдельном случае целесообразно выбирать условия опыта, позволяющие пользоваться простым математическим аппаратом. Математическая трактовка задач с граничными условиями почти всегда упрощается, если границы системы могут быть перенесены в бесконечность. Это связано с тем, что многие функции, используемые при решении уравнений диффузии, стремятся при д оо к простым определенным значениям, таким, как у л-, 2я 1,0. [c.13]

Свойства жидкости (вязкость и плотность) зависят от концентрации ее компонентов соответственно дифференциальные уравнения диффузии и движения являются взаимозависимыми, что затрудняет их решение. Поэтому всегда допускают, что свойства жидкости постоянны. Путем решения уравнения диффузии в ламинарном потоке при таком допущении удалось получить ценные зависимости для изучения массопереноса в движущейся капле. Некоторые из этих решений будут рассмотрены ниже. [c.189]

В некоторых работах приводятся решения уравнений диффузии совместно с уравнениями химической кинетики и движения жидкостей. Однако точность этих решений недостаточно подтверждена экспериментально. [c.206]

Решение уравнения диффузии совместно с уравнением неразрывности потока для случая, когда сопротивлением в сплошной фазе можно пренебречь, позволило вывести для коэффициента массоотдачи следующее выражение [c.212]

Примем, что дх = о,л во всей жидкости в начальный момент времени и что Цх = Цо,х, если х ос и г > 0. Скорость горения будем считать величиной постоянной. Решение уравнения диффузии, удовлетворяющее поставленным условиям, будет иметь следующий вид [c.80]

Здесь ае — концентрация А, которая была бы при равновесии с жидкостью данного локального состава (см. главы П и X). В предельном случае, когда концентрации всех компонентов, кроме А, постоянны в объеме, величину можно считать равной Ае,т. е. концентрации растворенного газа А при равновесии с основной массой жидкости (см. раздел П1-5-1). Решение уравнения диффузии, осложненной реакцией, в этом случае будет таким же, что и для необра- [c.67]

Физическая модель массопередачи, учитываюш,ая наличие циркуляции, была разработана Кронпгом и Бринком [42]. Для решения уравнения диффузии они использовали систему координат, изображенную на рис. 11.2. Одно семейство координатных линий выбирается так, чтобы оно с точностью до постоянного множителя совпадало с линиями тока -сопз1, а второе семейство координатных линий ортогонально первому [c.200]

Дальнейшее развитие идеи Буссенеска связано с работой Хигби [57], которая сыграла большую роль в развитии теории межфазного обмена. Хигби рассматривал молекулярную диффузию вещества, направленную перпендикулярно к слою жидкости, обтекающую каплю. Задача сводится к решению уравнения диффузии [c.207]

В 1979 г. И. С. Патток и И. Ц. Р. Хант [61] получили аналитическое решение уравнения диффузии для случая отрывного течения при следующих предпосылках [c.73]

Такая постановка задачи является приближенной, так как, помимо потока СОа и НзО от фронта горенпя в окружающий объем, существует небольшой поток продуктов сгорания (и азота) к иоверхностп каилп навстречу потоку продуктов горючего. В строгой постановке задачи, помимо решения уравнения диффузии (21), во внешней (по отношению к фронту горенпя) области следовало бы решать аналогичное уравнение для внутренней области (между фронтом горения и каплей) и учитывать наличие скачка плотности и скорости газа на фронте. Однако пз-за многочисленных упрощенпй, принятых с самого начала решения (p фf r) , О ф f (г) схематический состав продуктов сгорания, квазистационарность решения), такое усложнение задачи не является оправданным. [c.51]

Вышеизложенная теория была развита на основе предположе ния о квазистационарном состоянии однако более строгий подход заключающийся в решении уравнения диффузии с зависящими от времени граничными условиями, приводит к тем же окончатечьным уравнениям Выражения, аналогичные уравнению (3 31), полу чаются и из других теоретических соображений, например при подходе к испарению капельки со стохастической точки зрения Мончик и Райс получили формулу для скорости испарения, ис пользуя функцию немаксвелловского распределения скоростей При дальнейшем развитии теории Фукса следует учитывать 1) разность между концентрацией пара Со у поверхности капли и величиной Ссс, соответствующей плоской поверхности 2) увели чение плотности электрического заряда капли в процессе испаре ния и 3) ван дер ваальсово взаимодействие между диффундирую щими молекулами и молекулами жидкой капли Можно показать однако, что рассматриваемые поправки для капелек радиусом более 0 01 мк в большинстве случаев незначительны впрочем как мы увидим ниже, первая из них имеет большое значение атя современной теории роста капелек в облаках [c.101]

Решение уравнения диффузии (5.2.3.2), полученного на основе закона Фика (5.2.1.1), указывает на бесконечность скорости распространения концентрационных возмущений. Так, в решении задачи диффузии для по-луограниченного тела (5.2.3.3) функция ошибок erJ z) = О при г = О, а при 2 оо асимптотически 1фи-ближается к единице. Это означает, что при малых временах диффузии /, когда аргумент функции ошибок в формуле (5.2.3.3) стремится к бесконечности, концентрация с(х, t) всегда будет меньше Со даже на бесконечно большом расстоянии от границы х. В большинстве диффузионных задач пренебрежение этим фактом практически не сказывается на точности получаемых результатов. Однако существует ряд процессов диффузии, математические модели которых оказываются значительно точнее, если в них учитывается конечность скорости переноса. Прежде всего, это относится к процессам молекулярного массопереноса в твердых телах. К настоящему времени накоплено значительное коли- [c.296]

Приведенные уравнения (5.12), (5.16) и (5.20) получены на основе предположения о квазистационарном процессе роста и растворения (испарения) частиц, что, вообще говоря, неверно, так как и рост, и растворение (испарение) частиц происходят в нестационарных условиях. Однако более строгий подход, заключающийся в решении уравнения диффузии с зависящими от времени граничными условиями, приводит к тем же окончательным уравнениям [344]. Б. В. Дерягин, С. П. Баканов и Ю. С. Кургин показали, что при временах, удовлетворяющих неравенству / (л + А)7Лз (где О, — коэффициент диффузии пара в воздухе), скорость нестационарного [c.90]

При исследовании внутренней структуры зоны реакций статистическое описание процесса в известном смысле оказывается излишним. В самом деле, если зона реакций локально плоская, то в системе координат, связанной с какой-либо изотермой в этой зоне, все характеристики процесса описываются одномерными, квазистациопарными уравнениями диффузии и теплопроводности. В эти уравнения входит компонента скорости среды, нормальная зоне реакций, и, если рассматривается горение неперемешанных газов, восстановленная концентрация горючего. В связи с тем, что толщина зоны реакций мала, можно принять, что эти величины линейно зависят от координаты, нормальной зоне реакций. Поэтому решение уравнений диффузии и теплопроводности внутри зоны реакций можно получить с помощью достаточно простых методов. В решение, очевидно, войдут [c.14]

Следовательно, задача сводится к исследованию решения уравнения диффузии без источников для концентрации С/ какого-нибудь одного стабильного вещества (исходного топлива, продукта пиролиза, окиси углерода и т.д.), которое, далее, для краткости называется горючим. Граничные условия заданы на нестационарной, искривленной поверхности z = Zj = = onst в виде j = (iV). Зависимость p(N) может быть найдена при интегрировании системы (5.3.25). Существенно, что в отличие от зависимости [c.206]

Метод, который был использован нрп получении асимптотики больших времен (6.44), по существу представляет собой метод перевала. Выражение (6.44) представляет собой решение уравнения диффузии для бесконечной изотропной системы с точечным источником. Это находится в согласии с хорошо известным фактом, что асимптотика больших времен задачи о с.пучайных блужданиях представляет собой решение уравнения диффузии с точечным источником (см., например, [40]). [c.75]

Для определения потока. 7 молекулярной диффузии компонента при известном общем диффузионном потоке необходимо найти величину стефанова потока / , т. е. отыскать средневзвешенную скорость смеси д. Для этого, очевидно, достаточно принять определенное значение весового коэффициента в уравнении (2.65) или воспользоваться условием и = 0 ,. Совокупность условий для средневзвешенной скорости смеси и, следовательно, для соотношения диффузионных потоков по уравнению (2.67) определяет скорость системы отсчета диффузионных потоков 7,. В зависимости от принятого условия для средневзвешенной скорости смеси различают следующие системы отсчета среднемольную, среднемассовую, среднеобъемную и растворителя. Выбор системы отсчета определяется условиями диффузии и удобством расчета. Естественно, что при наличии растворителя следует принимать систему отсчета растворителя, для диффузии в газе обычно принимают среднемольную, а для диффузии в жидкости — среднеобъемную систему отсчета. При совместном решении уравнений диффузии и гидродинамики удобным оказывается использование среднемассовой системы отсчета. В дальнейшем изложении принята среднемольная система отсчета, наиболее удобная при рассмотрении массопередачи в гетерогенных системах. [c.47]

Сравнительная оценка методов определения коэффициентов диф-фуаии дается в книге Рейда и Шервуда [264]. Кранк [79] приводит решение уравнений диффузии для различных условий. [c.32]