Диффузия дифференциальное уравнение

Состояние сплошной движущейся среды описывается системой дифференциальных уравнений (включающей уравнения неразрывности, движения, энергии и диффузии) при определенных начальных и граничных условиях. Для каналов мембранных элементов граничные условия, помимо геометрических факторов, характеризуют входные профили скорости, концентрации и температуры, а также условия массопереноса через мембрану и пористую подложку. Кроме перечисленных соотношений, используют термическое уравнение состояния газовой смеси, а также дополнительные соотношения, позволяющие рассчитать коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии как функции температуры, давления и состава смеси. [c.121]

Частные случаи общего дифференциального уравнения переноса (4.0), отражают линейные законы переноса импульса (Навье-Стокса для вязкой жидкости), массы (Фика для диффузии) и энергии (Фурье). Ко.эффициенты пропорциональности в этих уравнениях известны как динамический [c.150]

Нестационарный процесс молекулярной диффузии в пределах каждого элемента жидкости описывается обычным дифференциальным уравнением [c.17]

Диффузионная модель перемешивания описывает распределение вещества в потоке за счет молекулярной и турбулентной диффузии дифференциальным уравнением конвективной диффузии, в которое вводится эффективный коэффициент обратного перемешивания /)э [c.12]

Если дисперсная фаза представляет собой твердое вещество или пузырьки газа и капли жидкости, содержимое которых неподвижно, то единственным способом переноса вещества в этой фазе является молекулярная диффузия. Дифференциальные уравнения в частных производных для нестационарной диффузии можно [c.530]

Трактовка рассматриваемых явлений на основе прямого анализа системы дифференциальных уравнений, описывающих конвективную массоотдачу в системах твердая стенка—жидкость и газ—жидкость, дается теорией пограничного диффузионного слоя В этой теории учитывается сложность структуры турбулентности внутри вязкого подслоя, прилегающего непосредственно к поверхности раздела фаз. Весьма существенной является постепенность затухания турбулентных пульсаций в подслое. Вследствие этого, поскольку в жидкостях величина коэффициента молекулярной ди(М)узии Оа обычно во много раз меньше величины кинематической вязкости V (v/Dд > 1), турбулентные пульсации, несмотря на их затухание, играют существенную роль в переносе массы почти до самой границы фаз. Пренебречь их влиянием можно лишь в пределах подслоя, названного диффузионным , толщина которого в жидкостях значительно меньше толщины вязкого подслоя. В пределах этого диффузионного подслоя преобладающим является перенос молекулярной диффузией. [c.101]

Уравнение (6.39) представляет собой дифференциальное уравнение линейной молекулярной диффузии и часто называется вторым законом Фика. В случае объемной (в трех направлениях) диффузии второму закону Фика отвечает уравнение [c.147]

Исследовать внутреннюю диффузию нри конечной скорости адсорбции гораздо труднее, поскольку мы сразу же сталкиваемся с нелинейными дифференциальными уравнениями. Общий метод, описанный в конце предыдущего раздела, можно применить к решению уравнений с кинетическими зависимостями типа (VI.20). Получить какие-либо общие результаты здесь, однако, трудно, вследствие большого числа параметров, входящих в кинетическую зависимость, и необходимости численного интегрирования. [c.141]

Рис. У1-9 К выводу дифференциальных уравнений для необратимой реакции второго порядка, протекающей с очень высокой скоростью (скорость процесса определяется скоростью диффузии).

Дифференциальные уравнения, отражающие протекание одновременных процессов диффузии и химической реакции в жидкой фазе, могут быть записаны для каждого реагирующего компонента в форме [c.22]

Возможны случаи, когда скачкообразное, быстрое изменение какой-либо независимой переменной в непрерывном стационарном процессе нарушает установившийся режим процесс при этом становится нестационарным и остается таким до тех пор, пока не установится непрерывное стационарное состояние уже с другими параметрами. Такое переходное состояние можно представить как диффузию величины помехи (возмущения). Эта проблема особенно важна в технике регулирования (динамика процесса). Характерные переменные системы, таким образом, зависят от времени. В общем проблему можно сформулировать так стационарное состояние элемента процесса нарушается тем, что на входе изменяется значение переменной (мы считаем безразличным, нроизводится ли изменение намеренно с целью приближения к техническому или экономическому оптимуму или же оно происходит самопроизвольно) важно определить, какое значение примет эта переменная на выходе из единичного элемента процесса или из их совокупности. Этот переход в системе описывается дифференциальным уравнением, в котором присутствует (на выходе) производная упомянутой переменной. Появившаяся функция возмущения сама может быть любой функцией времени и содержать производные высших порядков. В общем виде она выражается следующим образом [c.305]

Формулируют дифференциальные уравнения, описывающие одновременно протекающие и влияющие друг на друга процессы химическую реакцию, диффузию, теплопередачу и потерю напора. Такие данные, как константы скорости реакции, коэффициенты диффузии, теплопередачи и трения, могут быть получены путем соответствующих корреляций или экспериментально. После подстановки этих данных в дифференциальные уравнения последние могут быть решены. Во многих случаях, особенно в процессах гетерогенного катализа, указанные уравнения решаются без помощи электронных вычислительных машин лишь с большим трудом. Отметим, что в настоящее время производство и применение математических машин непрерывно возрастает. В весьма недалеком будущем электронные вычислительные машины могут стать серьезным конкурентом опытных установок. [c.340]

Приведенное дифференциальное уравнение интегрировали при следующих граничных условиях с=0 при т=0 и />0 с=св при т>0 и 1=а (с — концентрация пара на расстоянии I от центра капли а —радиус капли I — линейный размер пространства, в котором происходит испарение О — коэффициент диффузии т — время полного испарения капли). [c.105]

Если экспериментальные данные интерпретировать с помощью диффузионной модели, то можно применить дифференциальное уравнение конвективной диффузии [c.271]

Вследствие отсутствия методов, позволяющих вычислить диффузию, коэффициент диффузии приходится определять экспериментальным путем. Решение дифференциальных уравнений, описывающих однофазные системы при различных граничных условиях, можно выразить через гауссовскую функцию ошибок или с помощью тригонометрического ряда. При решении (см., например, работу ) рассматривается главным образом лишь первый член бесконечного ряда функции ошибок Параметры дифференциальных уравнений материального баланса приведены в безразмерном виде. Такой приближенный метод дает хорошие [c.39]

Процесс диффузии описывается уравнениями Фика. Дифференциальные формы 1-го уравнения [c.402]

В дифференциальном уравнении эффективный коэффициент диффузии [c.167]

Дифференциальное уравнение материального баланса для диффузии в шаре имеет вид [c.318]

Основные виды переноса, учитываемые при расчете проницаемости пористых мембран (концентрационная и кнудсенов-ская диффузии в газовой фазе, поверхностное течение в адсорбированной пленке и фильтрационный перенос в газовой фазе) обычно считают в первом приближении независимыми и вычисляют по среднему значению градиента давления и при среднем значении давления и состава газовой смеси. Это вносит ошибку, однако интегрирование дифференциального уравнения конвективной диффузии в гетерофазной системе, при учете всех механизмов переноса практически невозможно. Таким образом, проницаемость пористой мембраны вычисляется по уравнению [c.64]

Заметим, что при изучении явления перемешивания твердой фазы в псевдоожЕ-женном слое (эффективные значения вязкости, коэффициента диффузии, теплопроводности, температуропроводности) многие исследователи базируются на дифференциальных уравнениях, принятых для капельных жидкостей. [c.479]

Исходная система уравнении включает одномерные дифференциальные уравнения расхода и диффузии, а также выражение для градиента давления в канале с отсосом [c.150]

Значение градиента концентрации компонента в мембране находят решением дифференциального уравнения диффузии, которое получено при различных граничных условиях на поверхности мембраны [6]. В частности, для плоской мембраны в стационарном процессе градиент концентрации постоянен в сечении мембраны, если коэффициент диффузии D [c.242]

Уравнение (7.77) получено из общего выражения для диссипативной функции (7.42) с учетом соотношений для сопряженных потоков и перекрестных коэффициентов (см. уравнения разд. 1.2). Первая сумма в уравнении (7.77) оценивает рассеяние свободной энергии в диффузионных процессах в матрице мембраны для всех компонентов, которые приняты взаимно независимыми. Интегральное значение потерь эксергии за счет диффузии каждого компонента может быть вычислено по уравнениям (7.46) или (7.47), следует учесть, что распределение компонента 1 находится решением дифференциального уравнения диффузии, сопряженного с реакцией (см. разд. 1.4.2). Третья сумма в уравнении (7.77) оценивает рассеяние свободной энергии в цепи химических превращений, вторая сумма характеризует изменение свободной энергии в процессах переноса и химических превращениях, обусловленное их взаимным влиянием. Все составляющие первой и третьей сумм положительны — это следует из условия Ьц>0 и Lrr>0. Составляющие второй суммы могут быть отрицательны, это зависит от знака сопряжения Ljr O и направленности градиента ii. [c.254]

Составлена система дифференциальных уравнений в частных производных применительно к балансу растворимого вещества в процессе его переноса молекулярной диффузией из застойной поры в проточную и перемещения с промывной жидкостью по проточной поре. С использованием граничных условий, когда застойные поры целиком заполнены фильтратом, получено решение этой системы уравнений, которое здесь приведено в несколько измененном виде [c.253]

Общая система уравнений, отнесенная к единице площади поперечного сечения реактора, для процесса в кипящем слое, тормозимого как межфазной, так и внешней диффузией к частицам катализатора, включает дифференциальные уравнения переноса вещества из газовых пузырей через поток газа в плотном слое к приповерхностному слою [c.312]

В вязком режиме кристалл растет от зародыша радиусом К о кристалла радиусом причем кристалл полностью увлекается колеблющимся раствором. Поэтому перенос вещества подчиняется законам молекулярной диффузии. С учетом сферической симметрии дифференциальное уравнение изменения массы кристалла будет иметь вид [12] [c.149]

Дифференциальное уравнение конвективной диффузии по В. Г. Левичу [12] в сферических координатах имеет вид [c.150]

В ряде случаев при моделировании сложных объектов химической технологии необходимо учитывать процессы как детерминированной, так и стохастической природы. При этом результирующее математическое описание объекта обычно представляется в форме интегро-дифференциальных уравнений. Например, такая форма уравнений характерна для уравнения баланса свойств ансамбля частиц дисперсной фазы в аппарате, где эффекты взаимодействия (дробления—коалесценции) задаются соответствующими интегралами взаимодействия в дифференциальном уравнении для многомерной функции распределения частиц по физико-химическим свойствам. Другим характерным примером интегро-диффе-ренциальной формы функционального оператора объекта может служить дифференциальное уравнение, описывающее процесс диффузии или теплопереноса, свернутое по временной координате с помощью функции распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате. [c.202]

Для реакции первого порядка решение уравнения (IX, 5) дано Уилером . Рис. 1Х-3 иллюстрирует доступность внутренней поверхности для различных реакций первого порядка, в зависимости от скорости диффузии и общей скорости реакции —время диффузии в порах средней длины —время контакта, требующееся для достижения степени конверсии 63% ф—степень использования внутренней поверхности). Значения абсциссы находят из решений дифференциального уравнения. Ординату часто называют коэффициентом использования поверхности, который представляет собой отношение работающей поверхности катализатора к поверхности, которая была бы доступна, при отсутствии диффузионного сопротивления. В качестве другого примера отметим изучение алюмосиликатного катализатора крекинга с размерами частиц от 4 до 5 мм. Исследование показало, что коэффициент использовация поверхности изменяется в пределах от 0,55 до [c.310]

Нестационарное распространение трассера в непроточной колонне можно формально описать на основе дифференциального уравнения конвективной диффузии (11.12). Применив это уравнение для условий одномерной диффузии при отсутствии протока через аппарат (и = 0) и заменив коэффициент молекулярной диффузии D коэффициентом продольного перемешивания Еп, который для рассматриваемых условий мало отличается от коэффикиента продольной турбулентной диффузии Eat., имеем [c.62]

Бриан и др. составили и численно решили дифференциальные уравнения в частных производных для абсорбции в неустановившихся условиях, сопровождающейся реакцией, которая подчиняется кинетически уравнению (Х,50). В результате они получили выражения для определения количества хлора, абсорбированного чистой водой, в зависимости от времени экспозиции (при расчетах отношение коэффициентов диффузии НС1, Н0С1 и lg взято равным 2,1 1,05 1 соответственно). Зная значения коэффициентов диффузии, растворимости хлора и константы равновесия К при данной температуре, можно найти значение k , которое обеспечивает наиболее точное согласие между вычисленными и экспериментальными результатами. [c.251]

Ond а К., Sad а E., Kobayash i Т., Fuj ine М., hem. Eng. S i., 25, 753, 761, 1023 (1970). Абсорбция, сопровождаемая сложными (обратимыми, последовательными и параллельными) химическими реакциями (уравнения для расчета коэффициента ускорения, полученные путем точного и приближенного решения дифференциальных уравнений диффузии на основе пленочной модели). [c.286]

В реакционно-диффузионных мембранах, где возникают, мигрируют и распадаются промежуточные химические соединения, массоперенос описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, решение которых неоднозначно и сильно зависит от степени неравновесностн системы при этом в результате сопряжения диффузии и химической реакции возможно возникновение новых потоков массы, усиливающих или ослабляющих проницаемость и селективность мембраны по целевому компоненту. При определенных пороговых значениях неравно-весности, в так называемых точках бифуркации, возможна потеря устойчивости системы, развитие диссипативных структур, обладающих элементами самоорганизации. Это характерно для биологических природных мембран, а также для синтезированных полимерных мембранных систем, моделирующих процессы метаболизма [1—4]. [c.16]

Из анализа дифференциальных уравнений движения, энергии и диффузии (1—5] следует, что при идентичных граничных условиях, отсутствии внешных силовых полей и соблюдения равенства чисел Шмидта, Прандтля и Льюиса [c.124]

Расчет процесса разделения смеси в мембранном модуле представляет сопряженную задачу, включающую решение системы уравнений, неразрывности, движения и диффузии (4.1ч-4.4) в напорном и дренажном каналах, которые взаимосвязаны граничными условиями в форме уравнений проницания (4.5- -4.8). Следует учесть, что скорость отсоса (вдува) и селективность мембраны являются функцией термодинамических и гидродинамических параметров газовых потоков, меняющихся вдоль канала и зависящих от выбранной схемы движения в мембранном модуле. Кроме того, в определенных условиях возможно возникновение свободной конвекции вследствие концентрационной неустойчивости диффузионного погранслоя. Численное решение системы дифференциальных уравнений весьма громоздко и в ряде случаев основано на существенных упрощениях реальной физической картины, например, не учитывается продольная диффузия и свободная конвекция. Процедуру вычислений можно упростить, если использовать одномерные уравнения расхода, импульса и диффузии (4.18), (4.21) и (4.29) и обобщенные законы массообмена, изложенные выше. [c.150]

Для расчета коэффициента массоотдачп, учитывающего влияние концснтрациоппой поляризации на перенос растворенного вещества к поверхности мембраны, предложен ряд уравнений (табл. IV. 1). Эти расчетные уравнения основываются на решениях дифференциальных уравнений Навье—Стокса (для ламинарного [149] и турбулентного [150] потоков в каналах с отсосом ) и конвективной диффузии [144, 151]. [c.175]

Рассмотрены дифференциальное уравнение диффузии и соответствующие граничные условия [249] применительно к движению промывной жидкости в пучке капилляров, расположенных в осадке. Построены теоретические кривые в координатах Уп.ж Уо— См Со для различных значений безразмерного коэффициента диффузии Д=Д//госйУ, где В — коэффициент диффузии, гю — скорость промывной жидкости в капиллярах. [c.225]

Наконец, в инерционном режиме радиус кристалла увеличивается 01 1 Д0Д3 в результате конвективной диффузии. Поскольку толщина диффузионного пограничного слоя мала для больших Л, этот слой можно считать плоским. Тогда дифференциальное уравнение роста запишется в виде [c.150]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология