Цепи Маркова

Для описания процесса перераспределения частиц смешиваемых компонентов по ячейкам воспользуемся математическим аппаратом цепей Маркова. Согласно теории цепей Маркова состояние любой системы, включающей ряд связанных между собой элементов, в + [c.240]

Здесь ди, ( 21, , — значения координат в узловых точках Л -мерного пространства, которые определяются функцией распределения (7.2). Для вычисления узловых точек используется реализация цепи Маркова [336]. Этот метод называется методом Монте-Карло и состоит из двух этапов. На первом, как правило более трудоемком, генерируется последовательность узловых точек. На втором этапе, используя полученные данные, вычисляют средние значения искомых величин. Значение <Л> соответствует каноническому ансамблю. В ряде задач более удобно использовать другие статистические ансамбли, при этом несколько изменяется процедура определения узловых точек в (7.3). Необходимо отметить, что узловые точки с физической точки зрения представляют собой мгновенные конфигурации равновесной многочастичной системы и поэтому дают информацию, которая недоступна в реальном эксперименте. [c.119]

Если при исследовании надежности ХТС рассматривать процесс ее функционирования как полумарковский, являющийся однородной цепью Маркова с [c.165]

Для аппаратов, описываемых циркуляционными моделями, имеющими один или несколько циркуляционных контуров с ячейками идеального смешения, функции распределения времени пребывания удобно находить с помощью математического аппарата цепей Маркова. При применении этого метода стохастическая матрица вероятности перехода полностью характеризует такую модель. [c.42]

Пусть изменения состояний потоков системы представляются цепями Маркова с ограниченным числом состояний ш. Обозначим произвольное состояние системы черва а, тогда в любой мо- [c.261]

Из принятого допущения марковского поведения потоков систему можно описать вектором 8 тп) вероятностей sJ(nl) — нахождения ее в каждом состоянии а через т переходов. Обозначив вероятность перехода за малый отрезок времени А из состояния а в состояние р как согласно основному свойству цепей Маркова, будем иметь [c.262]

Таким образом, вектор F (пг) с координатами т) есть вероятность заполнения i-й ячейки мечеными частицами при распределении потоков, описываемых вектором S (т). Из основного свойства цепей Маркова имеем [c.263]

Моделирование процесса смешения как решение задачи цепей Маркова случайного блуждания с непрерывным источником позволяет исследовать этот процесс при осложнении его химической реакцией произвольного порядка при взаимодействии молекул, соответствующем полному смешению. [c.264]

Процесс изменения УС в рассматриваемой системе будем характеризовать однородной цепью Маркова [c.268]

Вектор вероятностей начального состояния системы имеет порядок и для задачи цепей Маркова случайного блуждания с непрерывным источником при нулевых начальных условиях представляется в виде [24] (0) = (1, О, О,. . ., 0). [c.269]

Расчет функций РВП по обеим фазам производится на основе математического аппарата цепей Маркова для задачи случайного [c.269]

Пусть координаты импульсов с ,. . ., т априори образуют цепь Маркова. Это значит, что условное распределение для 14+1 зависит лишь от т . и не зависит от т ,, Многомерное распределение ( .. . ., т я), входящее в выражение (2), при этом можно написать в виде [c.448]

Согласно основному свойству цепей Маркова вероятность перехода кристалла размером ai в кристалл размером за время Ат имеет вид [109] [c.135]

Среди марковских цепей различают непрерывные, дискретные, неоднородные и однородные 182]. Однородными называются марковские процессы, зависящие только от периода времени с момента начала состояния. Их можно применять тогда, когда распределения, характеризующие поведение элементов, являются экспоненциальными. Математически цепи Маркова можно представить следующим образом А (t + At) = р (at) А (t). Элементы щ (t) матрицы А (t) указывают вероятность состояния или пребывания системы в состоянии i в момент времени t, а элементы рц матрицы Р (Ai) указывают вероятность перехода из состояния i в состояние / в момент времени t. [c.297]

Об успешном применении цепей Маркова для моделирования нестационарного поведения химико-технологических процессов сообщается в работах [183]. [c.297]

Основная идея применения цепей Маркова заключается в том, что, с одной стороны, вследствие ступенчатого процесса с достаточно высоким числом ступеней можно хорошо аппроксимировать реально протекающий непрерывный процесс и, с другой стороны, применение численных методов решения неизбежно ведет к дискретной пространственно-временной структуре. [c.297]

Для моделирования перескоков частицы был применен математический аппарат теории цепей Маркова [c.59]

Химическая машина , вообще говоря, характеризуется не непрерывным, но дискретным набором состояний. Применение аппарата дифференциальных уравнений к такой системе означает включение дискретных состояний в некоторое непрерывное множество. Такая процедура не препятствует трактовке поведения дискретной системы, напротив, при надлежащем выборе модели она позволяет его проанализировать. Вместе с тем аппарат детерминистических, континуальных дифференциальных уравнений может оказаться недостаточным для исследования процессов, протекающих с участием малого числа молекул или малого числа особей. Такие процессы являются стохастическими, вероятностными, их анализ требует применения теории вероятности, в ряде случаев — теории цепей Маркова. Вопрос о математическом аппарате должен решаться отдельно для каждого класса моделей. Само моделирование определяется изучаемым процессом и непосредственно зависит от шкалы времени, в которой он развивается. В любой биологической системе происходит множество нелинейных кинетических процессов, характеризуемых собственными временами. [c.486]

В действительности настоящий языковый текст содержит меньшее количество информации, так как в нем имеются добавочные ограничения. Вероятности последовательного появления букв взаимосвязаны — они образуют цепь Маркова, т. е. вероятность появления данной буквы зависит от того, какие буквы ей предшествовали. Так, в русском языке появление гласной вслед за гласной гораздо менее вероятно, чем после согласной. Любая корреляция событий уменьшает количество информации, содержащееся в сообщении о них. [c.31]

Математический аппарат теории цепей Маркова адекватен аппарату статистической теории кооперативной полимерной цепи. Полимерная цепь, в которой осуществляются сильные взаимодействия, определяющие ближний порядок, может моделироваться марковским процессом с памятью на конечное число ща-гов (см. [3], 10). Однако физика здесь различна. Конформация макромолекулы непрерывно меняется благодаря тепловому движению. Конформация каждого звена зависит от конформаций как предшествующих, так и последующих звеньев. В этом смысле кооперативность в пространстве отлична от кооперативности во времени (см. [5], 111,8). Теория цепей Маркова непосредственно применима к исследованию состава й последовательности звеньев сополимеров, возникающих в результате полимеризации двух или нескольких мономеров, если вероятность присоединения мономера А или В к концу растущей цепи зависит только от того, какой мономер на этом конце находится. Такие сополимеры называются марковскими ([5]). [c.142]

Расчет Лизб проводится численными методами с использованием аппарата цепей Маркова. Уравнения для коэффициента активности и осмотического коэффициента совпадают по форме с известными полу-эмпирическими корреляциями Робинсона и Стокса [19]. [c.25]

Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова/Пер. с англ. М. Наука 1967. 271 с. [c.261]

Чжун Кай-лай. Однородные цепи Маркова/Пер. с англ. М. Мир, 1964. 425 с. [c.262]

Цуканов И. Н. Цепи Маркова, управляемые сложными процессами восстановления и их приложения. Дис... канд. физ.-мат. наук. Киев, 1969. 272 с. [c.262]

Bepoятнo ти PfJ составляют матрицу вероятностей перехода , элементы которой P J обозначают вероятности заполнения -х ячеек каплями дисперсной фазы за счет потоков Q J из г-й ячейки за один переход, а элементы PJJ — вероятности того, что дисперсная фаза останется в -й ячейке за один переход. Для задачи цепей Маркова случайного блуждания с непрерывным источником элемент Роо=1> а элементы Р =0, так как дисперсная фаза из ячеек не может вернуться на вход системы. Элементы матрицы Р находятся на основе экспоненциального закона РВП капель в ячейках с учетом дополнительного изменения УС ячеек за счет всплывания (осаждения) капель, которое, как принято, происходит по уравнению первого порядка [c.268]

Изложенный подход к синтезу функционального оператора ФХС позволяет сравнительно просто учесть влияние важнейпшх гидродинамических факторов в системе на макроуровне и отразить в структуре функционального оператора двойственную де-терминированно-стохастическую природу процессов. Показано, что эффективным средством моделирования стохастических особенностей ФХС является аппарат цепей Маркова и уравнение баланса свойств ансамбля частиц. [c.279]

Для онисання процесса перераспределения частиц смешиваемых компонентов по ячейкам воспользуемся математическим аппаратом ценен Маркова. Согласно теории цепей Маркова состояние любой системы, включающей ряд связанных между собой элементов, в / + -[- А/-Й момент времени определяется состоянием системы в момент времени / и вероятностями перехода от-одного элемента к другому [c.240]

Каждое значение x t) случайного процесса, являясь случайной величиной, формально зависит от некоторого злементарного события (исхода). Рассматрипая случайный процесс при каждом элементарном исходе, мы имеем соответствующую функцию, которая называется реализацией или траекторией или выборочной функцией случайного процесса. Реально наблюдая случайный процесс, мы, фактически, наблюдаем одну из его возможных траекторий. Представим, что имеется некоторая совокупность X всех возможных траекторий и некоторый механизм случайности избирает одну из этих функций х ( ). Общая теория случайных процессов имеет несколько частных теорий стационарных случайных процессов, цепей Маркова, диффузионных процессов. Пользуясь методами теории случайных процессов, можно решать задачи прогнозирования и регулирования. [c.116]

Цепь конфигурации, отвечающую зависимости (XIII.91), получают путем задания определенных вероятностей перехода от одной конфигурации к другой. Вероятность pij перехода от i-й конфигурации к j-й считают зависящей от энергии этих конфигураций, точнее, от величины UJ — Ui)lkT pji = p j ехр [— (Uj—Ui) kT]. Вводят, таким образом, условные вероятности перехода вероятность данного события, состоящего в появлении конфигурации /, зависит от того, каким было предыдущее событие. Последовательность случайных событий, в которой вероятность определенного события зависит от исхода предыдущего испытания, называют цепью Марша (точнее, простой цепью Маркова в более сложных случаях марковских цепей на исход испытания влияют результаты нескольких предшествующих испытаний). С помощью теории марковских цепей Можно показать, что предельная зависимость (XIII.91) для частоты появления конфигураций с заданной энер- [c.390]

Итак, если вероятности переходов в цепи Маркова подчинены условиям (XIII.94) и (XIII.95), то частоты появления конфигураций отвечают зависимости (XIII.91). В этом случае простое усреднение величины М по цепи конфигураций дает в пределе (при Ь- оо) значение, совпадающее с каноническим средним. Действительно, среднее каноническое можем представить в виде [c.391]

Эффекты исключенного объема, проявляющиеся на коротких расстояниях, могут быть объяснены с помощью блужданий конечного порядка. Такое блуждание порядка т определяется как не имеющее периода из т последовательных шагов, проходящих через любую точку решетки дважды. Описаны модели второго порядка [6, 7] при использовании метода так называемой матрицы переноса (или в математической терминологии — метод цепей Маркова ), Соответствуюшие модели блужданий второго порядка приобрели очень большую популярность в химии полимеров, будучи известными как модель поворотной изомерии . В таких моделях при Л — 00 и любом фиксированном порядке т сохраняются [8, 9] те же экспоненты у = 1 и V = 1/2. Исследования с помощью метода Монте-Карло показывают [10], как изменяется предэкспоне-нциальный множитель А в уравнении (2) в зависимости от т, и переход к различным экспонентам рекомендуется, если т считается сравнимым с N в пределе при N — оо. [c.484]

Определение классов эквивалентности и порядка на них, аналогичное изложенному, является стандартным в теории цепей Маркова см., например, Чунг [I], I, 3. [c.99]

Сейчас начался процесс объединяния теории эволюции с физикой, с кибернетикой, с теорией информации. Эволюция трактуется с позиций синергетики как явления самоорганизации в открытой системе, реализуемые за счет оттока энтропии в окружающую среду. Эволюцию можно рассматривать феноменологически как совокупность взаимодействующих марковских процессов. Цепи Маркова характеризуются стохастическими матрицами, элементы которых Рц выражают вероятности появления признаков 7, если в предыдущем звене (поколении) эти признаки были г. В эволюции происходит изменение матриц во времени. Паправ-ленность, определяемая уже сложившимся организмом, состоит в обращении большинства недиагональных членов матриц в нули. [c.554]

Статистика одномерных кооперативных систем имеет черты сходства с теорией цепей Маркова [21, 43, 44]. Цепями Маркова называются последовательности зависимых случайных событий. Вероятность данного события в цепи зависит от того, какие события ему предшествовали. В простой цепи Маркова вероятность наступления данного события зависит от осуществления одного предыдущего, в сложной — от осуществления нескольких предыдущих событий. Вероятности, таким образом, взаимосвязаны, и цепь Маркова есть система, кооперативная во времени. По-видимому, мы встречаемся с такой кооперативностью при рассмотрении финалистических эволюционирующих систем. [c.141]