Ошибки определений средняя арифметическая

Грубые ошибки из ранжированного ряда исключают, оставшиеся значения используют для определения среднего арифметического случайной величины, дисперсии выборки и нахождения доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения. [c.15]

Стандартное отклонение среднего результата, выборочную дисперсию среднего значения, доверительный интервал и точность определения используют для различных статистических расчетов. При оценке точности полученных результатов вычисляют стандартное отклонение среднего результата (среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического) [c.195]

Средняя квадратичная погрешность не всегда достаточна для сценки точности результата или сравнения точности различных определений. Следует иногда вычислить относительную ошибку О. Относительная ошибка выражается отношением средней квадратичной ошибки к среднему арифметическому результату. Для нахождения ее следует среднюю квадратичную погрешность разделить на среднюю арифметическую. В приведенном примере 0,16 нужно разделить на 18,34, в результате получим относительную ошибку 0,0088, или в процентах 0,88%. [c.14]

Случайные ошибки могут быть абсолютными и относительными. Случайную ошибку, имеющую размерность измеряемой величины, называют абсолютной ошибкой определения. Среднее арифметическое значение абсолютных ошибок всех отдельных измерений называют абсолютной ошибкой метода анализа. [c.6]

В большей части химических методов анализа воспроизводимость конечного измерения не может быть единственным решающим критерием точности анализа хорошая сходимость результатов ни в коем случае не гарантирует правильности, т. е. не говорит о соответствии между средним арифметическим и истинным содержанием. Математическая обработка результатов может исправить влияние случайных ошибок. Однако никакая математическая обработка результатов серии параллельных определений в более или менее сложном химическом анализе не может обнаружить систематической ошибки. Поэтому экспериментатор не должен полагаться на то, что аккуратное выполнение операций, с последующей математической обработкой результатов многих параллельных анализов, может исправить возможные ошибки. [c.34]

Выразим ошибку определения среднего арифметического значения = ц—х в единицах 5-. Пусть = zJs , где t — отношение двух случайных величин и само является случайной величиной. Отличие от I [последнее определено соотношением (1.2)1 в том, что с характеризует ошибку средней величины, а — единичного измерения. [c.16]

При данном п, т. е. при числе образцов, равном 20, предельная ошибка определения средней арифметической для партии [c.91]

Абсолютная ошибка определения среднего арифметического размера частиц [c.63]

Но этим приемом определения среднего арифметического следует пользоваться с чрезвычайно большой осторожностью, так как он может внести заметную субъективную ошибку. [c.612]

Статистическая обработка результатов экспериментов заключалась в определении среднего арифметического серии измерений, нахождения средней квадратичной ошибки отдельного измерения и вычисления наибольшей возможной ошибки отдельного измерения. Воспроизведение режима работы АХМ подтвердило удовлетворительное совпадение фактических и расчетных показателей. [c.216]

Далее, используя табл. 48-Х1 по числу экспериментов п и вероятности р находят квантиль распределения Уд. Для механических испытаний можно принять Р = 0,05. Если V > Ко, то атах следует отбросить как замер, содержащий грубую ошибку. Чем меньше выбранное значение Р, тем состоятельнее вывод V > Уо, что Ятах следует исключить при определении среднего арифметического значения как замер, содержащий грубую ошибку. [c.253]

Установить число (л) параллельных проб подземной воды для анализа содержания в ней общего железа, чтобы случайная ошибка аналитического определения среднего арифметического значения по выборке из п проб с вероятностью 95% находилась в пределах АРе бщ, = 0,025 мг/дм . Результаты анализов подземной воды на содержание в ней общего железа, выполненных в течение одних суток, приведены в табл. 1.11. [c.52]

Результат эксперимента, для которого неизвестна величина ошибки, является неполным и практическое значение его сильно снижено. Для определения ошибки необходимо получить не менее 4—5 результатов параллельных измерений. Средняя арифметическая величина этих измерений является наилучшим приближением к истинному значению величины. При обработке экспериментальных данных вычисляют [c.18]

Из данных трех параллельных определений находят среднее арифметическое. Ошибка определения не должна превышать 5%. [c.189]

Ошибки (погрешности) классифицируют на систематические и случайные. Их наложение, обычно наблюдаемое на практике, дает суммарную ошибку определения. Взаимосвязь ошибок подтверждена надежными статистическими данными как правило, большое число малых систематических ошибок приводит к увеличению случайной ошибки. Систематической ошибкой называют направленное отклонение полученных значений от теоретического. Таким образом, систематическая ошибка всегда имеет знак и на результаты измерений она оказывает одинаковое влияние получаемые результаты или постоянно занижены, или постоянно завышены. Систематическая ошибка характеризует правильность результата. Случайные ошибки определяют его точность и воспроизводимость. На гауссовой кривой нормального распределения случайные ошибки располагаются около наиболее часто встречающегося (наиболее вероятного) значения, которое обычно является средним арифметическим. [c.434]

Генеральная совокупность и выборка в известном смысле соотносятся между собой так же, как исследуемый объект и анализируемая проба. Так же как проба должна представительно отражать состав материала, выборка должна представительно отражать генеральную совокупность результатов измерений. Это достигается оптимальной величиной выборки (числом опытов п). Значения стандартного отклонения 5 и среднего арифметического, например, у, рассчитанные для ограниченного числа определений, называют оценочными величинами для (7 и л генеральной совокупности. Проще можно рассчитать более грубые оценочные величины для стандартного отклонения — это так называемый диапазон значений Я = ут х — —г/тш, представляющий собой разность между наибольшим и наименьшим результатом выборки, а для среднего арифметического — так называемое серединное значение или медиану у. Если результаты измерений расположить в порядке возрастания, то при нечетном числе измерений медиану определяют как центральный результат, при четном числе измерений — как среднее арифметическое двух средних результатов выборки. При небольшом числе измерений на медиану не оказывают влияния отдельные случайные ошибки результатов больше или меньше среднего, так как она определяется только средним (или двумя средними) результатами. Но по этой же причине при большом числе измерений (п>10) медиана непригодна, нужно рассчитывать среднее арифметическое. [c.438]

Средняя квадратичная ошибка отдельного определения рассчитывается из разницы между отдельными наблюдениями х/ и средним арифметическим х [c.37]

Для а = 0,95 и п=10 табличное значение = 0,42. Qi>0,42, поэтому значение Х1 = 14,25 считаем недостоверным и исключаем из числа статистически обрабатываемых величин. В измерении ю = = 14,58 грубая ошибка отсутствует, так как Qlo<0,42. По формуле (1) вычисляем среднее арифметическое значение из 9 определений [c.198]

Оценка доверительного интервала. Чаще всего результаты анализа приводят в виде среднего арифметического. Для усреднения должны выбираться только сопоставимые измерения. Усреднение недопустимо, если результаты измерения обнаруживают определенную тенденцию к увеличению или уменьщению дрейф). Случайную ошибку среднего арифметического характеризуют доверительным интервалом. [c.25]

В табл. 14 приведены результаты определения кремния в чугуне. Определите средний результат анализа, ошибку каждого измерения, а также среднюю арифметическую, стандартную и вероятную ошибки методики. [c.233]

Общая ошибка анализа складывается из систематической и случайной ошибок определения. Систематическая ошибка зависит от постоянных причин и повторяется при повторных измерениях она связана с постоян ными методическими ошибками анализа, например, с загрязнениями применяемых реактивов, с потерями осадка вследствие его некоторой растворимости и т. п. Все это может быть учтено при анализе. Величина систематической ошибки характеризует правильность метода. Случайные ошибки анализа вызваны неопределенными причинами и изменяются при повторных измерениях (или при повторных анализах) в ту или другую сторону. Если повторить измерение несколько раз, и вгл-числить среднее арифметическое значение из полученных данных, то средний результат будет точнее, чем отдельные измерения. Отклонение отдельных результатов измерений от среднего значения измеряемой величины характеризует воспроизводимость ( точность ) метода. [c.15]

Средняя арифметическая ошибка /, возникающая при измерениях частично успокоенного пульсирующего потока, графически показана на фиг. 372 при различных величинах и и Но на фиг. 382 приведена, зависимость между величиной ошибки / и величинами Но и Qq Qk , на фиг. 392 требуемая величина Но в зависимости от и для некоторых допустимых величин ошибок /. Диаграмма фиг. 402 может быть полезна при определении величины. Но в зависимости от Qq Qh при допустимых значениях ошибки /. [c.70]

Статистические параметры N — число определений, М — средняя арифметическая, т — стандартная ошибка средней арифметической, Р — показатель точности (в биологическом исследовании допускается Р до 10%). [c.209]

Б котором. 2 " от значения С не зависит. Поэтому общая ошибка определения Хср снижается еще вдвое по сравнению с указанной для ж . В тех случаях, когда среднее арифметическое из л и оказывается большим, чем или меньше, чем ж , [c.23]

Чувствительность, определения гафния в цирконии, достигаемая по спектрометрическому и радиохимическому вариантам метода, по оценке Макинтоша и Джервиса [607], одинакова и составляет около 1 10 %, хотя в действительности из-за отсутствия циркония с низким содержанием гафния авторы не определяли гафний при содержании его ниже 7-10 %. Средняя арифметическая ошибка определений равна 10%. [c.165]

Для введения измельченных до 200 меш проб в дуговой промежуток использован несколько видоизмененный аппарат АВР-2. Просыпка проб осуществляется со скоростью 10 мг мин. Спектры возбуждают в дуговом разряде (10 а) от генератора ДГ-1, а регистрируют на спектрографе ИСП-28 с трехлинзовым освещением щели. Продолжительность экспозиции фотопластинок спектральные, тип I составляет 15—30 сек. Для определения 0,5—2,5% 2г использованы аналитические линии 2г 2837,2 — ЫЬ 2897,7. Средняя арифметическая ошибка метода составляет 6,5%. [c.176]

Образец для анализа готовили смешиванием 25 мг прокаленной при 900° С двуокиси циркония с 20 мг буферной смеси фторида бария и графитового порошка (1 1). Смесь набивали в кратер графитового электрода диаметром 6,3 мм и делали иглой отверстие в центре пробы, чтобы предотвратить вызываемое быстрым испарением буфера выбрасывание материала при включении дуги. Верхним электродом служил графитовый стержень диаметром 3,2 мм. Спектры возбуждали в дуге постоянного тока (230 в, 35 а). Для регистрации спектров служил спектрограф с дифракционной решеткой, имеющей 600 штрихов на 1 мм (дисперсия 1,6 А/мм-в спектре третьего порядка). Экспозиция составляла 30 сек., предварительное холостое горение дуги продолжалось 20 сек. Использовали следующие аналитические пары линий при концентрации гафния 0,003—0,1% — Hf 2820,2 — Zr 2820,6 при концентрации 0,03—0,4% — Hf 2820,2 — Zr 2823,0. Средняя арифметическая ошибка при определении 0,006 и 0,38% Hf составляла соответственно 13 и 4%. [c.184]

Средняя арифметическая ошибка единичного определения оценивается в 15%. Преимущество метода — его высокая производительность. Поэтому метод с успехом может использоваться, например, при контроле разделения циркония и гафния в производственных условиях. [c.187]

Для получения среднего арифметического содержания клиноптилолита с заданной средней ошибкой можно использовать формулу по определению необходимого и достаточного числа проб Л/ = где а — среднее квадратическое отклонение — допустимая ошибка вывода среднего содержания. Согласно В.М. Крейтеру, в случае равномерных руд допускается отбор 20 проб для определения средних арифметических содержаний в контрольных пробах. Всего на каждом из месторождений (Дзегви, Ай-Даг, Ноемберян и Сокирница) отобрано соответственно 48, 56, 54 и 52 штуфа. Две соседние пробы объединялись, измельчались до размера частиц 0,25—0,5 мм и после сокращения квартованием подвергались анализу. Содержание клиноптилолита определялось ионообменным и рентгеновским методами. За основу для последующей обработки принят последний метод. Полученные значения округлялись в пределах точности этого метода с учетом результатов ионообменных определений. Так, анализ пробы Д-10 первым методом даст значения 91 %, вторым — 86 %, пробы С-11) — соответственно 73 и 80 %. Округленными значениями для этих проб будут соответственно 90 и 75 %. [c.26]

В математической теории ошибок доказывается, что ошибка среднего арифметического из п определений в Уп раз меньше ошибки единичного определения. Однако это справедливо только при условии, если ошибки являются случайными, и поэтому значения их колеблются в обе стороны от значения измеряемой велй-чинь , т. е. они меньше или больше ее. [c.51]

По этим данным Стендингом была построена диаграмма для определения объемного коэффициента. По мнению автора, средняя арифметическая ошибка метода равна 1,17%. [c.48]

Выше уже отмечалось, что набор из п параллельных результатов химического анализа следует рассматривать как выборочную со вокупнрсть неравномерно распределенной случайной величины Однако неравномерность распределения результатов обнаружи вается лишь при достаточно большом числе параллельных анали зов и проявляется в том, что для отдельных групп значений, за ключенных внутри промежутков равной ширины, частота их появ дения оказывается разной. В предельном случае, когда выбранная ширина промежутков равна естественному пределу точности метода анализа, а объем выборки хотя и конечен, но достаточно велик,, все результаты разбиваются на группы дискретных значений, и неравномерность распределения результатов анализа ста-ловится очевидной. Выборочную совокупность результатов такого анализа можно представить двояким образом 1) в виде набора отдельных, отличных друг от друга значений случайной величины, характеризующихся неравномерным распределением в силу своей разнократности 2) как выборочную равномерно распределенную совокупность отдельных результатов, часть.из которых совпадает друг с другом. Очевидно, что математическое ожидание такой выборочной совокупности совпадает со средним арифметическим всех результатов. Следовательно, среднее арифметическое ряда параллельных анализов наилучшим образом характеризует центр рассеяния полученных результатов и отягощено минимальной случайной ошибкой. Естественно, что конечный результат химического анализа, по данным ряда параллельных определений, должен в качестве оптимальной оценки содержать именно среднее арифметическое. Вполне очевидно также, что единицы измерения этой величины совпадают с единицами измерения результатов отдельных анализов. [c.75]

Метод простого арифметического усреднения не имеет теоретического обоснования и является условным. По этому методу определения средних значений показателей качества учитываются лишь те погрешности, которые допускаются при лабораторных и промысловых измерениях. Они обычно незначительны. Главные ошибки в определении среднего состава газа в залежи обусловлены изменением содержания отдельных ковлпонентов. [c.24]

ПРИМЕРЫ РЕШЕН11Я ЗАДАЧ Пример 1. Найти среднее квадратичное отклонение отдельного определения (3), среднее квадратичное отклонение среднего арифметического (.5-), относительную среднюю квадратичную ошибку среднего арифметической ) в %, доверительный интервал для четырех [c.6]

Случайные ошибки обусловливаются различного рода случайными причинами, как, например, резким повышением температуры в сушильном шкафу или в муфельной печи, попаданием в раствор или в тигель посторонних веществ. Заранее предвидеть и учесть такие ошибки невозможно. Чтобы исключить влияние случайных ошибок на результат анализа, выполняют несколько параллельных определений (обычно два). Если при этом получаются близкие результаты, то берут среднее арифметическое. С увеличением числа повторных определений точность среднего арифметического повышается (до известного предела) и, таким образом, уменьшается величи1[а отклонения от действительного содержания компонента в анализируемом веществе. [c.164]

Отклонения результатов отдельных определений от среднего арифметического характеризуют ооспроиэоодимость того или иного метода. Однако хорошую воспроизводимость определений (т.е. получение близких результатов) еще нельзя считать доказательством точности метода. В самом деле, метод, будучи весьма неточным, может давать хорошую воспроизводимость определений. Последняя указывает только на отсутствие случайных ошибок, но ничего не говорит об ошибках методических, повторяющихся при всех параллельных определениях. В учебных лабораториях чаще всего ограничиваются двухкратными определениями. [c.165]

На результат анализа могут оказывать влияние и случайные ошибки. Чтобы устранить их, титриметрические определение повторяют несколько раз и берут среднее. Однако, вычисляя средний результат, допускают отклонения не более 0,3%. Результаты определений, отличающиеся на большую величину, отбрасывают при вычислении среднего арифметического. Например, если в четырех определениях нор-м81ЛЬНОЙ концентрации раствора NaOH были получены значения 0,1134, 0,1135, 0,1142 и 0,1136, то число 0,1142 отбрасывают, оно отличается от наименьшего числа 0,1134 на 0,8%. Из остальных величин берут среднее арифметическое. [c.166]

При оценке экспериментального материала ужно принять во внимание, что точность, с которой определены ступенчатые константы, существенно различается для разных систем аммиачных комплексов. В случае комплексов меди (II), для которых по различным причинам ступенчатые константы определены с самой высокой точностью, вычисленные значения остаточного эффекта непрерывно увеличиваются с числом присоединенных молекул аммиака. Это, вероятно, следует рассматривать как экспериментально установленный факт. Однако ступенчатые константы для систем комплексо кадмия, кобальта (II), никеля и цинка едва ли известны с достаточной точностью, чтобы сделать надежное заключение относительно изменения величины остаточного эффекта. [Это особенно справедливо для системы комплексов цинка, где остаточный эффект отрицательный и поэтому определен довольно неточно (см, стр. 165).] Очень интересно сравнить два средних значения остаточного эффекта и А д, которые, как видно, находятся в хорошем соответствии во всех случаях, когда такое сравнение возможно. Это тем более важно потому, что среднее арифметическое, зависит только от первой и последней ступенчатых констант системы, и, тогда как Н д определяется главным образом отношением средних констант системы комплексов. Поэтому весьма вероятно, что незакономерное изменение вычисленных значений отдельных остаточных эффектов в большой степени обусловлено экспериментальными ошибками. [c.59]

Примерно Юмл анализируемой соляной,фтористоводородной, азотной или уксусной кислоты упаривают, предварительно добавив несколько миллилитров 0,1 N Н2504 и 1 жг Си в виде раствора сульфата (внутренний стандарт). Сухой остаток растворяют в 0,1 мл дважды перегнанной воды. Весь полученный раствор наносят на торец угольного электрода и выпаривают. Работу по подготовке проб проводят в кварцевой посуде. Возбувдают спектр в дуге постоянного тока (12 а), причем электрод с сухим остатком служит катодом. Дуга горит в атмосфере смеси (1 1) аргона и кислорода, что способствует снижению фона на спектрограммах. Спектры фотографируют на кварцевом спектрографе Хильгера средней дисперсии. Продолжительность экспозиции составляет 15 сек. Для опреде. ения 0,05—1,0 мкг 2г служит аналитическая пара линий 2г 3391,98 — Си 3375,7 и для 0,2—5,0 мкг Ъх — пара Тл 3391,98 —Си 3319,7. Средняя арифметическая ошибка метода при определении примерно 0,2 мкг 2г составляет 15% [c.178]

Источником высокого напряжения служилЬ установка УРС-70. Для возбуждения спектра флуоресценции циркония использовали излучение серебряного анода. Рентгеновская трубка работала при напряжении до 55 ке и токе 10 ма. В качестве аналитической линии использовали /Гд -линию циркония в первом порядке отражения (X = 784,3 Х ). Интенсивность этой линии измеряли счетчиком и пересчетной схемой. Анализ проводили по методу, внешнего стандарта. Поступившие на анализ пробы разбавляли в 4—5 раз буфером (веществом, не содержащим циркония). На основе буфера были приготовлены эталоны с содержанием 0,2—20% двуокиси циркония. Точность определения циркония характеризуется средней арифметической ошибкой 6%. [c.191]

Метод позволяет определять 0,5—99,5% Н1. Средняя арифметическая. ошибка при определении 1% НГ составляет 3,3%, при определении 40% НГ — 0,5%. На проведени,е анализа одной пробы затрачивается 5—10 мин. [c.194]