Больцмана распределение формула

Для описания процессов, происходящих в плазме, мы обычно используем термодинамические или статистические методы. В первом случае нас интересует уравнение состояния плазмы, поскольку, если оно известно, становится возможным определить все интересующие нас макроскопические характеристики плазмы. Во втором случае наиболее интересным представляется получение уравнений, описывающих процесс приблин ения системы к равновесному состоянию. Напомним известные определения. Если температура и плотность числа частиц постоянны по объему, занимаемому системой, а соответствующие функции распределения (см. ния е) даются формулой Гиббса, то говорят, что система находится в состоянии полного термодинамического равновесия. Это означает, что распределение частиц по скоростям является максвелловским, а плотности чисел частиц на различных уровнях системы связаны между собой формулой Больцмана (или формулой Саха, которая является обобщением формулы Больцмана, учитывающим существование непрерывного спектра значений энергии). Если же температура и плотность числа частиц зависят от координат и в каждой точке (вернее, в физически бесконечно малом объеме вблизи нее) функция распределения дается формулой Гиббса, причем параметрами распределения являются именно значения температуры и плотности в данной точке, то говорят, что система находится в состоянии локального термодинамического равновесия (ЛТР) 1. [c.113]

По условию электронейтральности можно написать, что 7м = —< ь. Для того чтобы найти величину <71, как функцию потенциала, необходимо сделать определенные предположения о законе ее изменения с расстоянием от электрода. Гуи и Чапман считают, что ионы можно рассматривать как материальные точки, не имеющие собственного объема, но обладающие определенным зарядом, и что их распределение в поле заряда, равномерно размазанного по поверхности электрода, подчиняется формуле Больцмана (рис. 12.2). Величина /ь определяется при этом суммированием всех избыточных зарядов ионов (положительных при отрицательно заряженной поверхности металла и отрицательных при ее положительном заряде), находящихся в столбе жидкости, перпендикулярном поверхности электрода и имеющем сечение 1 см . [c.264]

Формулы (91.14) или (91.16) и являются ответом на поставленный вопрос (см. с. 293) и называются формулами канонического распределения Гиббса для дискретных квантовых состояний. Это достаточно общие формулы. Из них следует и квантовый закон распределения Больцмана и закон распределения скоростей Максвелла. Каноническое распределение в форме (91.14) или (91.16) определяет вероятность одного квантового состояния I. Возникает вопрос, какова вероятность рп п) реализации одного энергетического состояния с энергией Еп- Эта вероятность будет больше в раз вероятности реализации [c.294]

Из распределения Больцмана вытекает и закон распределения молекул по скорости (закон Максвелла). Энергия поступательного движения молекул строго отделяется от энергии остальных ее движений, а поэтому можно из общей формулы распределения Больцмана выделить множитель, соответствующий энергии поступательного движения [c.306]

Из распределения (96.16) получают формулы для средней арифметической, среднеквадратичной и среднеарифметической скоростей. Вычисление средней арифметической скорости проще всего разобрать на примере одномерного движения. Для одномерного движения, аналогично (96.12), на основании закона Больцмана можно написать [c.307]

На основании распределения Больцмана можно получить и другую, важную для химической кинетики формулу, определяющую, какая часть молекул а двухмерного газа имеет энергию, больше некоторой заданной величины е. Для двухмерного газа распределение молекул по компонентам скоростей, аналогично распределению (96.12), примет вид [c.308]

В термодинамически равновесной системе распределение электронов по энергетическим уровням (населенность уровней) следует формуле Больцмана [c.23]

Возбуждение частиц в пламени, распределение Больцмана. Как показано в уравнении (3), интенсивность излучения атомов или молекул зависит от числа свободных атомов или молекул Мт- Так как методом эмиссионной фотометрии пламени определяют элементы в зоне пламени, где достигается равномерное распределение энергии по отдельным степеням свободы, т. е. имеет место локальное термическое равновесие (ЛТР), то количество атомов (молекул), находящихся в состоянии с энергией Е, может быть рассчитано в этом случае по формуле Больцмана [c.13]

На основе теории вероятностей можно вывести законы распределения молекул по энергиям (закон Больцмана) и скоростям (закон Максвелла). В соответствии с законом Больцмана для любой системы, находящейся в равновесии и подчиняющейся законам классической механики, число Л г молекул, обладающих энергией е/, определяется формулой [c.12]

Следует различать понятия адсорбции Г, (поверхностного избытка) и поверхностной концентрации Лг, т. е. количества данного компонента i, непосредственно связанного с единицей поверхности электрода. Обе величины Гг и Ai имеют одинаковую размерность (моль/м=), однако поверхностная концентрация— величина всегда положительная, тогда как поверхностный избыток может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Чтобы из опытного значения поверхностного избытка рассчитать поверхностную концентрацию, необходимо выбрать модель, описывающую распределение концентрации этого компонента в зависимости от расстояния до электрода. Обычно предполагается, что распределение ионов подчиняется формуле Больцмана [c.165]

Эта формула и есть выражение закона распределения Больцмана, который формулируется так для молекулярной системы, находящейся в равновесии, число молекул, обладаюш,их энергией е<, пропорционально множителю Больцмана [c.199]

Заметим попутно, что есть потенциальная энергия молекул с массой т в поле земного тяготения и следовательно, (18.20), как и (18.21), является прямым следствием распределения Больцмана (1.30). При выводе (18.20) была использована формула [c.337]

Выведенные выше формулы получили название распределения Больцмана. Согласно этому распределению при температуре абсолютного нуля все частицы данной химической природы становятся неразличимыми и располагаются на низшем энергетическом уровне. Существуют, однако, системы, в которых общая концентрация частиц может быть много больше, чем максимально допустимая [c.39]

Итак, распределение частиц по энергиям происходит таким образом, чтобы термодинамическая концентрация неразличимых частиц не могла превосходить единицы. К этому вопросу мы еще вернемся в гл. И, а пока заметим, что поскольку все рассуждения в этой книге относятся к температурам большим, чем 200 К, и концентрации интересующих нас частиц обычно невелики [см. формулу (33) ], то в дальнейшем мы будем пользоваться распределением Больцмана. [c.41]

Вместе с тем нечувствительность формулы Больцмана указывает и на очень малый энергетический эквивалент порядка . Допустим, что одно из распределений по ячейкам в силу тех или иных причин считается упорядоченным (например, это может быть расположение биологически активных молекул в клетке) — его энтропия будет отличаться от беспорядочного распределения на ничтожно малую величину. Если такое расположение все же оказывается предпочтительным, то, очевидно, в силу не термодинамических, а иных законов, отражающих влияние пространственных факторов и свойств симметрии, т. е. кодовых особенностей взаимодействия частиц. [c.303]

Формула (11.47) дает распределение Больцмана для идеального газа во внешнем поле. [c.98]

Распределение (IV. 10) для молекул идеального газа называют распределением Больцмана. Позднее, в 8 этой главы, мы рассмотрим метод вывода формулы (IV. Ю), который был предложен Больцманом (метод ячеек). [c.90]

Формула (IV.93) есть распределение Больцмана для молекул идеального газа, находящегося во внешнем силовом поле. [c.108]

В 1 настоящей главы был дан вывод распределения Больцмана (IV. 10) для молекул идеального газа на основании общей формулы ка- ионического распределения для макроскопической системы (газа в целом) в эту формулу было введено условие квазинезависимости ча- [c.109]

Рассмотренный вывод распределения Больцмана вызывает, однако, возражения следующего характера. Одно из них принципиальное и состоит в том, что квантовомеханический принцип неразличимости частиц отрицает основу рассмотрения Больцмана — возмо) ность нумерации частиц. Обмен тождественных, но по предположению, с разными номерами частиц между ячейками в действительности не может дать нового микросостояния [безусловно, данное возражение относится к любому классическому рассмотрению, в частности к выводу распределения (IV. 10) в 1]. Второе возражение возникает в связи с формальной стороной вывода и касается возможности применения формулы Стирлинга для факториалов больших чисел к выражению 1п N1, что предполагает выполнение условия N1 > 1 при всех /. Данное требование, однако, не выполняется, если объем ячеек очень мал и, следовательно, число их очень велико (напомним, что число частиц N — конечная заданная величина). Тем не менее при выводе объем Ауо устремляется к бесконечно малой величине. [c.113]

При высоких температурах обе формулы должны перейти в формулу, описывающую распределение Больцмана [c.314]

Зд сь ( ,-г работа внешнего источника, необходимая для совершения флуктуации. Формула (XIV.27) отвечает закону распределения Больцмана, так как отдельные молекулы газа могут рассматриваться как системы, находящиеся в термостате. [c.376]

Состояние квантовой системы, имеющей избыток частиц, находящихся в верхнем энергетическом состоянии, по отношению к числу частиц в низших состояниях, или, как говорят, с инверсной населенностью уровней, принято характеризовать особым понятием — так называемой отрицательной температурой. Для уяснения этого рассмотрим формулу Больцмана, определяющую распределение частиц на двух уровнях квантовой системы при температуре Т [c.435]

Однако, если в термодинамике формула Больцмана была получена в результате развития интерпретации процессов, происходящих в физических системах, то в теории информации, где была получена совершенно аналогичная формула, соответствующая именно распределению частиц в физической системе по статистике Максвелла-Больцмана и служащая для измерения количества информации, отправной точкой служила разработанная Шенноном система постулатов. [c.100]

Формула распределения Больцмана. Важная формула распределения Больцмана, которую мы уже неоднократно при-пеняли в этом курсе, была выше дана без доказательства [формула (27а) в 99, т. I] она вытекает из применения второго начала соотношению (195) между энтропией системы и ее вероятностью. Вывод ее в строгой форме несколько сложен он дается в сле-цующем параграфе. Здесь мы рассмотрим менее строгий, упро-ценный вывод. [c.138]

Если в уравнениях (IV. 59) и (IV. 60) вместо частичной концентрации V дисперсной фазы записать давление газа, то получается известная в молекулярно-кинетической теории барометрическая формула Лапласа, характеризуюш,ая распределение давления газа по высоте. Вывод формулы (IV. 60) дан, исходя из чисто методических соображен1И1, хотя теиерь, когда уже известно, что коллоидные системы (золи) подчиняются законам молекулярно-кинетической теории, можно было написать ее сразу ио аналогии с формулой для давления газа. Вывод уравнения Лапласа можно сделать и исходя из распределения Больцмана прн равновесном состоянии системы число частиц, обладающих энергией Е, пропорционально фактору Больцмана [c.214]

Распределение Больцмана с дополнительным условием Zieo(p< kT также справедливо только в разбавленных растворах. Используя формулу (III.42) при г=1/х и выражение (III.33), приходим к выводу, что в водных растворах 1,1-валентного электролита при 25 С это не- [c.39]

Формулу (111.47) можно получить также двумя другими способами. В первом из них, описанном в оригинальной работе Дебая и Гюккеля, Аи рассчитывали на основе мысленного процесса заряжения центрального иона и всех ионов, входящих в ионную атмосферу. При этом в процессе заряжения учитывалось перераспределение ионов, возникающее благодаря нх электростатическому взаимодействию. Работа заряжения, рассчитанная этим способом (процесс заряжения по Дебаю), относилась ко всем ионам системы, а потому для нахождения величины Аи ее нужно было продифференцировать по числу ионов данного вида I. Во втором способе, который получил название процесса заряжения по Гюн-тельбергу. предполагалось, что процесс мысленного заряжения ионов не сопровождается их перераспределением (предполагалось, что они уже до заряжения приобрели окончательное распределение, характерное для заряженной ионной атмосферы). Этот способ эквивалентен процессу заряжения конденсатора, состоящего из центрального иона и окружающей его сферической оболочки с постоянным радиусом 1/х. Работа заряжения по методу Гюн-тельберга сразу дает величину АО. Следует подчеркнуть, что различные способы расчета изменения энергии центрального иона вследствие его взаимодействия с ионной атмосферой дают совпадающие результаты лишь при выполнении соотношения (111.31). В условиях нелинейной зависимости р от ф различные способы расчета АЬ приводят к разным результатам. До сих пор не установлено, какой способ является более точным, так как уравнение Пуассона — Больцмана, получающееся при подстановке (111.30) в (111.27), не имеет строгого обоснования в статистической механике. [c.43]

Таким образом, мы пришли к основному выводу статистической термодинамики энтропия системы пропорциональна логарифму вероятности ее состояния. Формула Больцмана раскрывает статистический смысл энтропии связанной с вероятностью состояния системы. Следовательно, условие возрастания энтропии при течении в изолированных системах самопроизвольных процессов, вытекающее из второго закона термодинамики, не обязательно, а отражает лишь наиболее вероятные пути развития процессов. Возможны случаи самопроизвольных процессов, сопряженных с уменьшением энтропии (так называемые флуктуации). Например, для малых объемов газа с содержанием в них небольшого числа молекул наблюдается нарушение равномерного распределения плотности воздуха в атмосфере (флуктуация плотности). Другим примером возникновения в системах процессов, протекающих с нарушением второго закона термодинамики, можно назвать броуновское движение. В микрообъемах коллоидных растворов могут наблюдаться во времени изменения числа частиц (флуктуации частиц), связанные с неравномерностью молекулярного давления на коллоидную частицу. Однако в макрообъемах эти нарушения утрачивают значение. [c.107]

Если величина термодинамической концентрации, вычисленная по формуле (33), меньше единицы, то система описывается распределением Больцмана. Когда значение С превосходит единицу, мы имеем дело с распределением Ферми. Необходимо только иметь в виду, что на самом деле термодинамическая концентрация С на юбом энергетическом уровне никогда не превосходит единицы, а формулу (33) следует рассматривать только как критерий вырождения. [c.41]

Возможен случай, когда при выполнении неравенства (VIII. 19) дискретность состояний учитывать необходимо. Этот случай описывается статистикой Больцмана для дискретного ряда состояний [формулы (VIII.20) и (VIII.21)]. Напротив, имеются системы, для которых существенна специфика распределения, обусловленная типом частицы ( фермион или бозон), но энергетический спектр можно считать квазинепрерывным. В этом случае следует исходить из распределения [c.174]