Среднее арифметическое случайной величины

Математическое ожидание характеризует некоторое среднее значение случайной величины, вокруг которого группируются все возможные значения случайной величины. Оценкой математического ожидания является среднее арифметическое значений случайной величины [c.40]

Грубые ошибки из ранжированного ряда исключают, оставшиеся значения используют для определения среднего арифметического случайной величины, дисперсии выборки и нахождения доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения. [c.15]

Сопоставим погрешности разной природы с основными метрологическими характеристиками воспроизводимостью и правильностью результатов анализа. Отсутствие в Химическом анализе систематических погрешностей обеспечивает его правильность. Кучность отдельных результатов, степень их. близости к среднему значению характеризует воспроизводимость анализа. Воспроизводимость-характеристика случайных погрешностей химического анализа. Ее численной мерой является абсолютное 3 или относительное Зг стандартное отклонение, вычисляемое из результатов нескольких параллельных определений. Количественной оценкой систематической погрешности анализа или правильности служит разность между средним арифметическим результата многократных анализов и истинным значением определяемой величины [c.31]

Абсолютная погрешность АХ среднего арифметического, вычисленная по результатам п независимых (параллельных) определений с использованием коэффициента Стьюдента в предположении, что распределение случайной величины нормальное [c.6]

Среднее арифметическое отклонение, или иначе, средняя арифметическая ошибка, является абсолютным центральным моментом (см. [9], [14]) первого порядка, в отличие от начального момента первого порядка — среднего значения случайной величины и от центрального момента второго порядка — дисперсии случайной величины. [c.74]

Первая важнейшая числовая характеристика определяет среднее значение случайной величины. Ее называют математическим ожиданием, или иногда просто средним значением. Математическое ожидание М(и), как нетрудно показать, является обобщением понятия среднее арифметическое. Оно получается сложением всех возможных значений случайной величины (от —оо до +оо), причем каждое значение умножается на соответствующую ему вероятность. Для дискретной величины [c.52]

Статистическая обработка опытных данных. При экспериментальных измерениях некоторой физической величины, истинное значение а которой неизвестно, результаты отдельных измерений представляют собой случайные величины. Истинное значение оценивают методами математической статистики. Первичная обработка экспериментальных данных заключается в получении ранжированного ряда, т. е. экспериментальные данные располагают в порядке увеличения исследуемого параметра и с помощью специальных критериев выявляют грубо ошибочные значения. Для этого рассчитывают среднее арифметическое всей выборки из п опытов х = [c.14]

Среднее значение случайной величины (среднее арифметическое). Пусть ... , х ,.. . , х [c.226]

Случайную ошибку находят по отклонению единичных измерений от среднего арифметического случайных величин. Среднее арифметическое х случайных величин при многократных измерениях вычисляют по формуле [c.233]

Если положить — =. .. = а = 1/п, то 2 становится средним арифметическим случайной величины [c.53]

X, х — среднее арифметическое случайной величины х для выборки из п значений х, [c.5]

Первый член равенства (П,25) представляет собой среднее арифметическое случайной величины Х . Тогда [c.303]

Точечная оценка среднего арифметического случайной величины дает нам первое ориентировочное представление о ней. Однако гораздо чаще встречаются случаи, в которых наиболее важные для практических целей свойства случайной величины требуют более детального рассмотрения. [c.86]

Строго говоря, среднее арифметическое представляет собой лишь оценку математического ожидания результата измерения и может стать оценкой истинного значения измеряемой величины лишь после исключения систематических погрешностей. Будучи вычисленным на основе ограниченного числа опытов, среднее арифметическое само является случайной величиной. Математическое ожидание среднего арифметического совпадает с математическим ожиданием результатов ряда измерений, то есть оно является несмещенной оценкой. Кроме того, среднее арифметическое имеет наименьшую дисперсию, то есть оно является эффективной оценкой. Дисперсия среднего арифметического равна [c.81]

Наибольшее отклонение случайной величины от среднего арифметического значения ts.x = х — х, где х — первый или последний член ранжированного ряда. [c.14]

Как отмечалось, чем больше случайное отклонение, тем реже оно встречается. Так, маловероятным является появление случайных отклонений, превышающих Зсг, и весьма маловероятным — отклонений, больших 4а. Это обстоятельство используется для оценки значительных отклонений с помощью так называемого критерия грубых ошибок (критерия Райта, называемого иногда правилом трех сигм ). Согласно этому правилу, можно принять, что если в ряду параллельных определений есть результат, отклоняющийся от среднего арифметического на величину, превышающую по абсолютно-му значению За, то есть основание считать, что подобный результат получен в нестандартных условиях и может рассматриваться как промах. Его можно отбросить или обсудить опытные данные, относящиеся к ходу анализа при выполнении данного определения, чтобы выявить обстоятельства, способствовавшие появлению грубой ошибки. Если же рассматриваемый результат отклоняется на величину, большую по абсолютному значению, чем 4а, то соответствующее определение, несомненно, содержит промах. [c.34]

Случайные ошибки обнаруживаются повторными измерениями. Увеличивая число измерений и вычисляя их среднее арифметическое, получают величину, которая будет все ближе и ближе к истинному значению (при обязательном отсутствии систематических ошибок). [c.51]

Однако если эти вычисления не все одинаковой точности, то в простом среднем арифметическом менее достоверные точки будут иметь слишком большой вес. Если можно оценить относительную точность для каждой пары точек, то вклад вычисленных величин к (в случае совершенно случайных ошибок) должен соответствовать ожидаемым ошибкам при их вычислении. Например, величина, обладающая точностью 2%, должна быть взята с относительным весом (или меньше) по сравнению с величиной, обладающей точностью 1%. [c.85]

Выразим ошибку определения среднего арифметического значения = ц—х в единицах 5-. Пусть = zJs , где t — отношение двух случайных величин и само является случайной величиной. Отличие от I [последнее определено соотношением (1.2)1 в том, что с характеризует ошибку средней величины, а — единичного измерения. [c.16]

Получаемая в результате многократных наблюдений информация об истинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов наблюдений состоит из ряда результатов отдельных наблюдений (ряда наблюдений) х, Х2,. .., х , где п - число наблюдений. Их можно рассматривать как п независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение. Поэтому М[х,] = М[х] = О [х] г = 1,2,. .., п, где М(х) - математическое ожидание величины х. В этих условиях в качестве оценки истинного значения измеряемой величины естественно принять среднее арифметическое полученных результатов наблюдений [c.81]

Генеральная совокупность и выборка в известном смысле соотносятся между собой так же, как исследуемый объект и анализируемая проба. Так же как проба должна представительно отражать состав материала, выборка должна представительно отражать генеральную совокупность результатов измерений. Это достигается оптимальной величиной выборки (числом опытов п). Значения стандартного отклонения 5 и среднего арифметического, например, у, рассчитанные для ограниченного числа определений, называют оценочными величинами для (7 и л генеральной совокупности. Проще можно рассчитать более грубые оценочные величины для стандартного отклонения — это так называемый диапазон значений Я = ут х — —г/тш, представляющий собой разность между наибольшим и наименьшим результатом выборки, а для среднего арифметического — так называемое серединное значение или медиану у. Если результаты измерений расположить в порядке возрастания, то при нечетном числе измерений медиану определяют как центральный результат, при четном числе измерений — как среднее арифметическое двух средних результатов выборки. При небольшом числе измерений на медиану не оказывают влияния отдельные случайные ошибки результатов больше или меньше среднего, так как она определяется только средним (или двумя средними) результатами. Но по этой же причине при большом числе измерений (п>10) медиана непригодна, нужно рассчитывать среднее арифметическое. [c.438]

Среднее арифметическое значение случайной величины X. Пусть Х2, Х обозначают п результатов измерений величины, истинное значение которой Предполагается, что все измерения проведены одним методом и с одинаковой тщательностью. Такие измерения называют равноточными. [c.5]

В частном случае равномерно распределенной дискретной случайной величины, принимающей п значений с вероятностями р, =Р2=. .. =рп— п, математическое ожидание совпадает с обыденным понятием среднего арифметического значения [c.816]

Выше уже было отмечено, что средний результат измерений— лучшая оценка измеряемой величины. Однако для ряда выборок из одной генеральной совокупности, отличающихся объемом, среднее арифметическое является не постоянной, а случайной величиной, поскольку оно колеблется при изменении объема выборки, приближаясь к генеральному параметру с ростом п lim Хп = М Х). [c.819]

Тело взвешивается на аналитических весах, не имеющих систематической ошибки. Вследствие наличия несистематических ошибок результат каждого взвешивания — случайная величина с нормальным законом распределения и параметрами а и ст. В качестве приближенного значения веса берут среднее арифметическое результатов п взвешиваний [c.140]

Общая ошибка анализа складывается из систематической и случайной ошибок определения. Систематическая ошибка зависит от постоянных причин и повторяется при повторных измерениях она связана с постоян ными методическими ошибками анализа, например, с загрязнениями применяемых реактивов, с потерями осадка вследствие его некоторой растворимости и т. п. Все это может быть учтено при анализе. Величина систематической ошибки характеризует правильность метода. Случайные ошибки анализа вызваны неопределенными причинами и изменяются при повторных измерениях (или при повторных анализах) в ту или другую сторону. Если повторить измерение несколько раз, и вгл-числить среднее арифметическое значение из полученных данных, то средний результат будет точнее, чем отдельные измерения. Отклонение отдельных результатов измерений от среднего значения измеряемой величины характеризует воспроизводимость ( точность ) метода. [c.15]

Выше было отмечено, что среднее арифметическое многократного анализа лучше характеризует результат химического анализа,, чем отдельные значения. Однако для ряда конечнозначных выборок из одной генеральной совокупности среднее арифметическое является не постоянной, а случайной величиной, поскольку оно-колеблется при изменении числа параллельных анализов п, как это показано ниже [c.76]

Средним значением, или математическим ожиданием, случайной величины называется среднее арифметическое тех значений, которые она принимает в п опытах, если число этих опытов очень велико. Если в /П1 опытах дискретная случайная величина приняла [c.117]

Уменьшение влияния случайных погрешностей на результат измерений достигается путем многократных измерений величины в одинаковых условиях. Если принять, что систематические погрешности близки к нулю, то наиболее достоверное значение, которое можно приписать измеряемой величине на основании ряда измерений, есть среднее арифметическое из полученных значений. [c.131]

Следовательно, математическое ожидание среднего арифметического равно математическому ожиданию отдельной случайной величины [c.96]

Еще раз напомним, что величины е , вычисляемые описанным выше способом, характеризуют только влияние случайных, но не систематических ошибок анализа. Анализ может оказаться совершенно неправильным, несмотря на хорошую точность, т, е, на малую величину е , если при анализе были какие-либо систе матические ошибки. Отсутствие систематических ошибок может быть установлено сопоставлением разницы между полученным при анализе средним арифметическим ( ) и истинным содержанием (а) определяемого элемента, т, е. ошибки А=х — а с е . Если Д < ё , то систематические ошибки отсутсгвуют. Наоборот, если Д е , то имеют место систематические ошибки. [c.57]

Средаим значением, или математическим ожиданием, случайной величины называется среднее арифметическое тех значений, которые она принимает в П опытах, если число этих опытов [c.23]

Практикой установлено, что при выполнении лабораторной модели в малых масштабах возрастают требования к точности измерений, затрудняется реализация геометрического подобия. Рациональные геометрические масштабы 1 2 — 1 10. -етатистическая обработка опытных данных. При эксперимен-I тальных измерениях некоторой физической величины, истинное зна- чение а которой неизвестно, результаты отдельных измерений нред-/ ставляют собой случайные величины. Истинное значение оцени- вают методами математической статистики. Первичная обработка экспериментальных данных заключается в иолучении ранжированного ряда, т. е. экспериментальные данные располагают в порядке увеличения исследуемого параметра и с помощью специальных критериев выявляют грубо ошибочные значения. Для этого рассчитывают среднее арифметическое всей выборки из п опытов х --= [c.14]

Заметим, что способы оценки случайных пофешностей весьма разнообразны 19, 39-42], хотя в основе большинства из них используются методы математической статистики За норматив статистического кон-фоля обычно принимают предельное значение конфолируемого показателя для выборки контрольных измерений. Определяют численное значение данного показателя на основе всех результатов рассмафиваемой выборки и в зависимости от полученной величины принимают решение о качестве химического анализа. При этом оценку среднего арифметического, стандартного отклонения генеральной совокупности и выборочного [c.163]

В теории погрешностей доказывается, что если погрешности следуют закону распределения Гаусса, то наиболее вероятным и надежным значением измеряемой величины является математическое ожидание или среднее арифметическое полученных равноточных результатов измерений. Строго это положение относится к гипотетической генеральной совокупности, т. е. совокупности всех наблюдений, мыслимых при данных условиях. Арифметическое среднее этих наблюдений называют генеральным средним ц. В аналитической химии число параллельных определений обычно невелико и совокупность полученных результатов называют выборочной совокупностью или случайной выборкой. Сред-нее значение результатов случайной выборки называют в ы-борочным средним. Методами статистического анализа можно по результатам случайной выборки оценить параметры генеральной совокупности и таким образом найти наиболее вероятное значение содержания компонента в пробе. [c.126]

Доверительной вероятности 2а = 1 — р = 0,997 отвечает размах колебаний случайной величины около среднего 3а (для случая нормального распределения). Полуширина доверительного интервала единичного измерения в нашем примере равна Д = За = 0,009 В. Отклонение результата Е от среднего составляет АЕ = Е — = 0,693 — 0,674 = 0,019 > За . Следовательно, результат Е можно считать промахом и не принимать в расчет при вычислении среднего арифметического и стандартного отклонения серии измерений. [c.832]

Выше уже отмечалось, что набор из п параллельных результатов химического анализа следует рассматривать как выборочную со вокупнрсть неравномерно распределенной случайной величины Однако неравномерность распределения результатов обнаружи вается лишь при достаточно большом числе параллельных анали зов и проявляется в том, что для отдельных групп значений, за ключенных внутри промежутков равной ширины, частота их появ дения оказывается разной. В предельном случае, когда выбранная ширина промежутков равна естественному пределу точности метода анализа, а объем выборки хотя и конечен, но достаточно велик,, все результаты разбиваются на группы дискретных значений, и неравномерность распределения результатов анализа ста-ловится очевидной. Выборочную совокупность результатов такого анализа можно представить двояким образом 1) в виде набора отдельных, отличных друг от друга значений случайной величины, характеризующихся неравномерным распределением в силу своей разнократности 2) как выборочную равномерно распределенную совокупность отдельных результатов, часть.из которых совпадает друг с другом. Очевидно, что математическое ожидание такой выборочной совокупности совпадает со средним арифметическим всех результатов. Следовательно, среднее арифметическое ряда параллельных анализов наилучшим образом характеризует центр рассеяния полученных результатов и отягощено минимальной случайной ошибкой. Естественно, что конечный результат химического анализа, по данным ряда параллельных определений, должен в качестве оптимальной оценки содержать именно среднее арифметическое. Вполне очевидно также, что единицы измерения этой величины совпадают с единицами измерения результатов отдельных анализов. [c.75]

НИЯ. Такое определение величины 5 основано на анализе кривой распределения ошибок, показанной выше, и, следовательно, на более реалистическом подходе к установлению меры точыссти результатов измерений. Можно показать, что при случайном распределении ошибок (или, правильнее сказать, отклонений) одно стзидартиое отклонение s указывает границы выше и ниже среднего арифметического значения, в которых заключено 68,26% вероятности обнаружить результат любого измерения. Стандартное отклопепне вычисляется по формулам [c.515]