Ньютона поиска

Корень полученного уравнения являемся степенью превращения в реакторах. Поиск корня а интервале 0...1 можно осуществить на ЭБМ методом итерации, используя формулу Ньютона. [c.51]

Другой важной проблемой машинной реализации линейной или нелинейной диаграммы связи является поиск констант элементов с линейными определяющими соотношениями. Обычно они неизвестны и определяются косвенно по экспериментальным данным. Здесь предлагается метод нахождения таких констант с помощью минимизации целевой функции. В качестве основного метода предлагается метод случайного поиска экстремума (71 как наиболее общий, но пользователь может заменить этот метод на свой, например метод локальных вариаций [7, 8], метод Ньютона [7] и т. д., не являющийся универсальным, т. е. не дающий оптимума наверняка даже в случае произвольно большого числа итераций. [c.201]

Решение задачи разделения методом Ньютона. В 1690 г. Раф-сон опубликовал итерационный метод для поиска корней полинома с одной переменной на основе начального приближения Хо, заключающийся в следующем [c.262]

Как показали исследования, применение дифференциальной гомотопии Ньютона к решению проблем моделирования каскада взаимосвязанных колонн очень часто приводит на промежуточных шагах к абсурдным с физической точки зрения решениям (отрицательным величинам потоков и т. п.), поскольку математическое описание системы разделения в значительной мере зависит от физико-химических свойств разделяемой смеси. Применение ограничений не всегда дает положительный эффект и иногда сильно затрудняет процесс поиска корней системы. [c.276]

В случае IV были выбраны завышенные значения начальных приближений для L и V. Впервые использование метода Ньютона с линейным поиском потерпел неудачу, хотя были предприняты попытки поиска с небольшим шагом в ньютоновском направлении, даже в тех случаях, когда целевая функция не уменьшалась (не выходили за границы реальных физикохимических величин). [c.280]

На рис. 5.16 показаны траектории сходимости для всех случаев, приведенных в табл. 5.3, как для метода Ньютона с линейным поиском, так и для алгоритма с использованием методов гомотопии. [c.281]

В методе Ньютона с разностной аппроксимацией матрицы Якоби можно выделить два этапа на каждом шаге это сбор информации для построения аппроксимации матрицы Якоби и собственно поиск. На первом этапе поочередно даются приращения всем аргументам функции / (х), причем функция / (х) вычисляется в (л + 1) точках, и вычисляются элементы матрицы Якоби с помощью уравнения (II, 21). Второй этап — это собственно поиск, при котором в начале определяется направление поиска с помощью выражения (II, 15), а затем делается шаг в этом направлении. Благодаря тому, что эти два этапа разделены, на каждом шаге приходится вычислять функции / (х) Б (л + 1)-й точке. В этом заключен большой недостаток метода, особенно существенный, когда размерность системы (II, 8) велика. [c.31]

Метод Ньютона, обеспечивающий минимизацию произвольных функций, описан в работе [11, с. 268]. Основным недостатком этого метода является необходимость на каждом шаге вычислять матрицу вторых производных (гессиан) функции / (х). Это обстоятельство явилось побудительной причиной развития квазиньютоновских методов, в которых на основе информации о значениях функции и ее производных в точках поиска строится некоторая аппроксимация либо самого гессиана Bi, либо обратного гессиана Hi i — номер точки). [c.86]

Эта формула, представляющая собой предельную (для 7 > 1) форму метода Ньютона для поиска максимума по К функции [c.120]

Расчет может быть осуществлен сочетанием метода поиска корня уравнения (11), например, методом Ньютона или хорд, к итерационного уточнения составов фаз. [c.8]

Рис. 1.45. Геометрическая интерпретация метода Ньютона (касательных) для поиска корня функции у=[ (х)

Метод сопряженных градиентов сходится для любых с -, скорость поиска — средняя по сравнению с методами градиентов и Ньютона. Объем вычислений здесь примерно такой же, как и в методе градиентов. Целесообразно применение его для поиска минимума плохо организованных функций. [c.232]

Надежность и быстрота вычислений достигается при использовании итеративного метода Ньютона для поиска температуры в областях, где система существует в однофазном состоянии, а в области парожидкостного равновесия — метод хорд. В этом случае алгоритм расчета процесса ОК—ИО при неизвестной температуре процесса будет следующим (рис. 1У.25). [c.301]

Необходимые условия экстремума для (11,15) сводятся к сложной системе нелинейных уравнений, решение которой требует преодоления многих вычислительных трудностей, увеличивающихся по мере роста ошибок измерений и степени несовместности системы. Поиск работоспособного метода решения данной задачи привел к следующей модификации метода Ньютона. [c.155]

Производные ф относительно мольных долей жидкой фазы совместно с уравнением (6.131) составляют систему уравнений, из которых X и состав могут быть найдены, например, по методике Ньютона — Рафсона либо подобной ей, или могут быть установлены прямым поиском при минимальном значении ф. [c.345]

И применить для поиска корня уравнения (Ш.1) метод Ньютона, то формула Ньютона для определения очередного приближения (т-го) значения примет вид [c.152]

Для поиска корня уравнения (III, 48) может быть применен метод итераций Ньютона. Обозначим слагаемое в левой части уравнения ОН. 48) через 2,-. Тогда формула Ньютона примет вид [c.95]

Итерационный метод поиска второго порядка, или метод минимизации Ньютона, использует следующее разложение функции S (0) в точке 0 [c.180]

Эти три недостатка заставляют авторов отказаться от предложения программы поиска корней по методу Ньютона . [c.216]

Равновесная модель щелочности может быть решена относительно концентрации иона водорода или pH, если все другие параметры вводимых переменных известны. Следовательно, требуются такие данные парциальное давление диоксида углерода в газовой фазе, концентрации летучих кислот, сульфидов,-фосфатов, аммония (в моль/л), щелочность (в моль Н+/л), значение рн в конечной точке титрования и температура. Рассчитанное с помощью ЭВМ значение [Н+] может быть получено, если сначала использовать грубую сетку поиска с интервалами-в единицу pH, а затем технику многократного поиска по Ньютону — Рафсону. Объединение этих двух приближенных методов приводит к быстрому решению. [c.321]

Несмотря на указанные выше неизбежные ошибки в определении констант, планирование эксперимента оказывается полезным и при исследовании кинетики сложных систем и в интегральном реакторе. Дело в том, что знание хороших начальных приближений очень суш ественно при использовании методов нелинейного программирования, которыми обычно пользуются для расчета констант скоростей из условия минимума среднеквадратичного отклонения расчетных значений концентраций реагентов от экспериментальных. Важность знания хорошего приближения обусловлена локальным характером поиска, в то же время близость начальной точки к области минимума отклонения расчетных данных от экспериментальных является необходимым условием сходимости ряда методов поиска, которые во многих случаях быстро приводят к цели (например, метод Ньютона [91]). [c.304]

Метод Ньютона в задачах поиска безусловного [c.80]

Иногда рекомендуют применять совместно методы градиента и Ньютона. Общие соображения здесь могут быть следующие. Вдали от минимума (в начале поиска) следует использовать градиентный метод, гарантирующий сходимость, а вблизи от минимума, где метод градиента, как и все методы первого порядка, становится малоэффективным, необходимо применять метод Ньютона, поскольку в окрестности минимума функция (И1,1) становится, вообще говоря, близкой к квадратичной (если, конечно, нет какого-либо аномального случая в точке минимума). [c.81]

Метод Ньютона в задачах поиска [c.81]

Интересно, что если вернуться к задаче поиска экстремума функции Г и подставить в систему (111,96) вместо /, их значения из равенства (111,93), то получим систему уравнений (111,82). Следовательно, метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений, примененный к задаче поиска минимума, совершенно идентичен методу Ньютона, описанному на стр. 80. Таким образом, в данном случае прямой метод второго порядка совпадает с непрямым методом. [c.84]

Как только мы допустим неоднородность действия структурной группы 30(3)1>Т(3), от нас потребуется чрезвычайная осторожность, так как мы начинаем игру с основами ньютоновой механики. Действительно, в механике Ньютона каждая частица имеет три поступательные и три вращательные степени свободы относительно соседних частиц, так что только одна частица в данный момент времени может быть отнесена к инерционной системе отсчета. Поэтому во избежание грубых ошибок нам потребуется пересмотреть все основные положения механики Ньютона. Поиск новой основы — нелегкая задача без верного ориентира в миллиардах возможных альтернатив. К счастью, вариационные принципы и теоремы Нётер обеспечивают самосогласованный формализм, оставляющий инвариантным функционал действия при действии на него группы законов сохранения, которым должны удовлетворять все решения полевых уравнений. Если действовать дальше в том же духе, то требование инвариантности функционала действия при действии на него яеоднородной группы 5 0(3)р>Т(3) будет гарантировать [c.16]

Шло время, и алхимия после многообещающего начала стала вырождаться в третий раз (в первый раз у греков, второй — у арабов). Поиск золота стал делом многих мошенников, хотя и великие ученые даже в просвещенном XVII в. (например, Бойль и Ньютон) не могли устоять от соблазна попытаться добиться успеха на этом поприще. [c.24]

Из методов этого класса наилучшим образом себя зарекомендовали некоторые модификации случайного поиска и метод Розенброка, хотя последний значительно уступает градиентным методам, например методу Ньютона или Дэвидона — Флетчера — Пауэлла [82, 95]. Самый большой недостаток прямых методов — их исключительная чувствительность к заданию начальных условий. Удачное задание начального приближения — это и есть такое задание, которое ведет к спуску именно в инфинум (3.157), а не к одному из локальных минимумов (3.156). В принципе это обстоятельство является отрицательным, затрудняя практическое решение, однако в методе случайного поиска именно оно используется для суждения о характере минимума. [c.221]

Наряду с рассмотренными имеются также и другие поисковые процедуры (так, например, метод Дэвидона — Флетчера — Пауэлла, метод Гаусса-Ньютона и др.). Методам численного поиска посвящена обширная литература [128—131], где детально освящены такие вопросы, как выбор направления движения, движение при наличии ограничений, сходимость процедуры и т. д. [c.325]

Поэтому мы использовали метод Ньютона с линейным поиском для решения математического описания всей взаимосвязанной системы разделения как первый из методов в семействе рекомендуемых для применения. Функции офаничений использовались при выходе неизвестных за фаницу реальных физикохимических величин. Если же метод Ньютона сходится медленно или не работает, нами использовались методы дифференциальной гомотопии. [c.263]

Ранее было показано, что метод Ньютона с линейным поиском эквивалентен методу дифференциальной гомотопии и задача решается интегрированием по методу Эйлера, но без шага коррекции. Таким образом, метод Ньютона с линейным поиском можно представить с помощью полиномиальной аппрокси- [c.280]

Ученые многих поколений отдали свои силы поиску законов природы. Открытие Кеплером закономерностей в движении планет и установление Ньютоном законов действия гравитационных сил являются вьщающимися примерами подобных исканий. Но успех в достижении этих целей давался нелегко. Первым исследователям недоставало надежных и подробных данных. Поистине достойно удивления, что поиск закономерностей в изменении свойств химических элементов смог успешно завершиться в то время, когда о них было известно еще очень немногое. В начале XIX в. химики располагали лишь весьма грубыми данными об атомных весах и начальными сведениями о свойствах примерно лишь половины из общего числа элементов, известных в наши дни. [c.88]

К самым первым примерам подлинно научного творчества, направленного на поиск истины, можно отнести работы Архимеда о центрах тяжести тел и рычагах, опыты по определению удельного веса, учение о плавании тел. Строго научной в течение более полутора тысяч лет оставалась эпициклическая система мира по Птолемею. "Должен был явиться Ньютон, - писал В.И. Вернадский, - чтобы окончательно решить с формальной точки зрения этот вопрос и сделать в науке невозможными все изменения и приспособления птолемеевской системы" [2. С. 50]. К научной следует отнести классификацию Гиппократа людей по темпераменту, в которой, по мнению И.П. Павлова, были уловлены в массе бесчисленных вариантов человеческого поведения наиболее капитальные черты. К научным разработкам чрезвычайно крупного масштаба принадлежат первые системы животных Аристотеля и растений Теофраста, принципиальные схемы которых смогли быть усовершенствованы лишь через две с лишним тысячи лет. Провидческой оказалась идея Аристотеля об иерархической организации живой природы. Его "Лестница Природы" явилась началом нити Ариадны в поиске структурного построения органического мира. До самого конца XVII в. научное мировоззрение, однако, отсутствовало. Наука развивалась кумулятивным образом в сравнительно немногочисленных и мало связанных между собой центрах. Приобретаемые знания не складывались в систему, имеющую определенную структурную организацию. Процесс научного познания оставался прерывистым и лишенным способности к саморазвитию. Из интеллектуальных сфер человеческой деятельности доминировали религия, искусство, философия. Состояние науки в первой докритической области отвечало пригожинской термодинамической ветви (режиму "лампы накаливания"). [c.28]

Найти минимум функции Q при оценке параметров уравнений локального состава труднее из-за сильной нелинейности расчетных зависимостей. Точка минимума на поверхности Q. .., 0 ) часто лежит на узкой, слегка изогнутой лощине, вдоль которой численное значение функции меняется очень незначительно, и резко возрастает в направлениях в сторону от лощины. При такой форме поверхности отклика далеко не все методы поиска экстремума эффективны. Для расчета параметров моделей жидкости успешно применяют методы Марквардта, Ньютона, Нелдера — Мида и некоторые другие [129, 237]. Применение к расчету параметров метода Ньютона — Гаусса, сочетающего простоту расчетного алгоритма с достаточно быстрой сходимостью, описано в Приложении III (стр. 235). [c.213]

Методы ДФП и МНО относятся к итерационным методам первого порядка со сходимостью, близкой к квадратичной. Методы минимизации Ньютона, МНО и ДФП минимизируют функцию Розенброка (VII,2) за 16—20 итераций при применении одинаковой процедуры поиска минимума па направлении. Это подтверждает, что в отношении упомянутой функции три указанных метода одинаково эффективны. Аналогичные результаты получены и для других тестовых функций. В отличие от метода второго порядка и МНО метод ДФП является многошаговым, поскольку при вычислении текущего направления используются сведения о предыдущих. Поэтому в матрице И накапливаются ошибки округления. Чтобы избежать этого и других отклонений от нормальной работы алгоритма ДФП, предложен ряд приемов, например вычисления с двойной точностью, масштабирование переменных, периодический возврат к единичной матрхще п др. [130]. [c.182]

Все методы, описанные до сих пор, за исключением метода последовательного изменения параметров, основываются на знании р расчетных производных дР1дХ . Метод Ньютона—Рэфсона использует, кроме того, р р+ )/2 различных вторых производных д Р дх1дх . Для многих задач непрактично вычислять частные производные из аналитических формул. Поэтому для любой универсальной программы поиска экстремума, в которой используются частные производные, необходимо получать их численно, как было предложено с помощью уравнения (5) и по соответствующим формулам для вторых производных. [c.105]

Метод Ньютона — Рэфсона (табл. 4.13) сразу же приводит к решению первого примера. Этот метод также дает хорошие результаты и для второго примера (табл. 4.14), хотя с точки зрения инженера он несущественно лучше. На первой стадии метод позволяет отыскать точку наверху локального гребня. Затем этот изогнутый гребень интерпретируется как прямой и решение приводится к точке, где Р очень велико (/ =1,412). В инженерных приложениях поведение Р в такой точке не дало бы в общем никакой информации об области, представляющей интерес. При простой математической записи величины Р, использованной в примере, поиск быстро возвращается в окрестность минимума. [c.129]

Подводя итог, мы видим, что метод последовательного изменения параметров подходит только для элементарных задач. Метод наискорейшего спуска ненамного лучше. Модификация Бута может значительно улучшить решение, но в равной мере может привести к неудаче (табл, 4.6 и 4.9). Метод Ньютона — Рэфсона дает исключительно хорошие результаты, когда удовлетворены допущения, но соответственно безрезультатен, когда они не удовлетворены. Метод, описанный в разд. 2.9, неудобен для простых задач, но обладает повышенной устойчивостью процесса поиска. [c.129]

Метод Бокса удобен на последней стадии поиска экстремума (результативный при использовании метода Ньютона — Рэфсона), позволяя получить информацию для доверительного интервала. Однако, чтобы использовать это, необходимо провести процедуру поиска экстремума вручную. [c.290]

Первое затруднение, которое возникло при расчетах, было связано с решением уравнений (23) и (24) относительно и Тп. Сначала был опробован метод Ньютона—Рэфсона, но он быстро завел в тупик, поскольку переменные г и нельзя легко ограничить. Вследствие этого по мере приближения к решению контактное время часто становилось отрицательным, существенно влияя на последующие вычисления. Этот метод был поэтому отброшен и заменен минимизацией суммы квадратов левых частей уравнений (23) и (24) с помощью метода поиска экстремума, описанного в разд. 2.9 гл. 4. Это позволило значительно проще решить вопрос о наложении ограничения на и [c.377]

Метод Ньютона в задачах поиска безусловного минимума фуик [c.6]

Метод Ньютона в задачах поиска условного минимума функцш [c.6]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология