Формула Максвелла-Больцмана

На основе теории вероятностей можно вывести законы распределения молекул по энергиям (закон Больцмана) и скоростям (закон Максвелла). В соответствии с законом Больцмана для любой системы, находящейся в равновесии и подчиняющейся законам классической механики, число Л г молекул, обладающих энергией е/, определяется формулой [c.12]

Э. Закон распределения энергии Больцмана. Формулу (43) Максвелла можно представить в несколько ином виде, заменив [c.132]

Из распределения Больцмана вытекает и закон распределения молекул по скорости (закон Максвелла). Энергия поступательного движения молекул строго отделяется от энергии остальных ее движений, а поэтому можно из общей формулы распределения Больцмана выделить множитель, соответствующий энергии поступательного движения [c.306]

Однако, если в термодинамике формула Больцмана была получена в результате развития интерпретации процессов, происходящих в физических системах, то в теории информации, где была получена совершенно аналогичная формула, соответствующая именно распределению частиц в физической системе по статистике Максвелла-Больцмана и служащая для измерения количества информации, отправной точкой служила разработанная Шенноном система постулатов. [c.100]

При рабочих давлениях в масс-спектрометре исчезновение ионов может происходить только за счет рекомбинации, которой при имеющихся в масс-спектрометре концентрациях ионов можно пренебречь, или за счет ударов о поверхность электродов. При рабочих потенциалах па электродах 1 и 3, выбор которых определяется влиянием потенциала сетки 4, а также при несколько положительном потенциале на ближайшей электронной сетке и коллекторе электронов ионы могут попадать только на сетку 2. Предполагая, что имеет место распределение ионов по энергиям Максвелла— Больцмана, и пренебрегая действием объемного заряда, легко показать, что за время t число оставшихся ионов в некоторой области длиной I выражается формулой [c.279]

Согласно формуле (21) во внешнем электрическом поле энергия растворенной молекулы зависит от ее ориентации по отношению к полю и, следовательно, статистическое распределение ориентаций растворенных молекул во внешнем электрическом поле должно быть, вообще говоря, анизотропным, хотя имеется единственное исключение — в случае, когда растворенная молекула вообще не имеет постоянного дипольного момента и если ее поляризуемость изотропна. Статистическое распределение ориентаций можно получить по статистике Максвелла — Больцмана согласно этой статистике для усредненной по статистическому ансамблю вероятности перехода П-х растворенной молекулы имеем [c.283]

Пользуясь законом Максвелла—Больцмана (4.4) и законом Планка (4.5) [(последнюю формулу надо разделить на 8тс, для того чтобы получить р (о, 1)] и замечая. [c.103]

Статистический подход позволяет более глубоко и полно исследовать состояние равновесия, поскольку макросистема при таком подходе описывается с помощью функции распределения /, в то время как в феноменологической термодинамике оперируют лишь наблюдаемыми величинами. Проиллюстрируем это преимущество статистического подхода на примере вывода так называемого распределения Максвелла — Больцмана из явного выражения (1.4.34) для функции распределения /с- Рассмотрим гамильтонову макросистему, потенциальной энергией взаимодействия между элементами которой можно пренебречь. В этом случае гамильтониан Я имеет вид [ср. с формулой (В.2.6)] [c.88]

Соотношение (1.4.66) принято называть распределением Максвелла — Больцмана. С помощью этого распределения можно найти любые статистические характеристики рассматриваемой макросистемы, например среднюю энергию отдельного элемента, стационарное распределение элементов макросистемы в пространстве, устанавливающееся под влиянием внешнего поля, и т. д. (подробно см. [20, 21]). Формула (1.4.66) оказывается весьма полезной и при решении ряда других задач. В частности, ее можно использовать в качестве известного приближения при изучении макросистем гораздо более сложных, чем те, для которых распределение Максвелла — Больцмана было выведено строго. [c.89]

Распределение молекул по скоростям дается формулой Максвелла (1860), которую мы сейчас рассмотрим, а распределение по энергиям—формулой Больцмана, рассматриваемой в следующем параграфе. [c.129]

Формула распределения Больцмана. Если в формулы распределения Максвелла, выведенные в предыдущем параграфе, ввести кинетическую энергию молекулы E = ms , то мы. получим для распределения по энергии зависимости вида [c.155]

Поскольку с ростом числа столкновений пропорционально возрастают скорости активации и дезактивации, распределение Максвелла — Больцмана не только не искажается, а наоборот должно быстрее устанавливаться. Так как не существует достаточно разработанной теории жидкого состояния, расчет числа столкновений между реагирующими молекулами в растворе целесообразнее вести по формуле (1) гл. III, выведенной для газа. Число же столкновений с молекулами растворителя может быть приближенно подсчитано по ряду полуэмпирических формул, из которых укажем на наиболее часто применяемое выражение, предложенное Мелвин-Хьюзом [c.201]

Формула эта вытекает из закона Максвелла-Больцмана. Она выражает тот факт, что в реакцию вступают молекулы, энергия которых больше [c.173]

Для процесса адсорбции применима следующая формула, выведенная на основании потенциальной теории сорбции и принципа Максвелла — Больцмана [2] [c.237]

Формулы (91.14) или (91.16) и являются ответом на поставленный вопрос (см. с. 293) и называются формулами канонического распределения Гиббса для дискретных квантовых состояний. Это достаточно общие формулы. Из них следует и квантовый закон распределения Больцмана и закон распределения скоростей Максвелла. Каноническое распределение в форме (91.14) или (91.16) определяет вероятность одного квантового состояния I. Возникает вопрос, какова вероятность рп п) реализации одного энергетического состояния с энергией Еп- Эта вероятность будет больше в раз вероятности реализации [c.294]

Б своих работах по электрической теории растворов Г. И. Микулин учел изменение диэлектрической проницаемости вблизи иона. В основу теории положено уравнение, вытекающее из уравнения Максвелла и формулы Больцмана [c.86]

Различные процессы, происходящие в светящемся облаке источника, приводят к установлению определенной концентрации возбужденных атомов и ионов. При большой плотности паров в источнике все компоненты — электроны, атомы, ионы (плазма) — характеризуются близкой температурой Т в такой плазме устанавливается термодинамическое равновесие частицы всех сортов движутся со скоростями, распределенными по закону Максвелла с одним и тем же значением температуры Т, а сами частицы распределены по энергетическим уровням по закону Больцмана с той же температурой Т. В этом случае концентрация возбужденных атомов задается формулой Больцмана [c.26]

Больцман доказал, что формула распределения (27а) остается в силе и в том случае, если Е представляет не только кинетическую энергию поступательного движения, но и любую кинетическую или потенциальную энергию, зависящую от поступательного движения, вращения, колебаний молекул или от сил взаимодействия молекул между собой или с внешним полем. Это важное обобщение закона распределения Максвелла обычно известно под названием закона распределения Больцмана. [c.155]

Улиг получил это выражение, используя формулу Максвелла-Больцмана Кр — ехр (—AGplRT), где AGp — работа растворения, равная, согласно Зискинду и Казарновскому [17] AGp = AG — —4яг%оЖ. Произведение Улиг считал работой перехода моле- [c.27]

Это — распределение Максвелла — Больцмана здесь Иц представляет собой плотность числа частиц в той точке, где потенциал сил обращается в пуль. Отметим, что, в отличие от формулы (4.7), в формуле (4.12) отсутствует средняя скорость движения газа. Очевидно, что наличие такой постоянной скорости связано с выбором системы координат. В то же время при наличии потегщи-ального поля сил выбор системы отсчета приводит к временной зависимости равновесной функции распределения, соответствующей иеремещению как целого пространственно неоднородного равновесного распределения. Действительно, в системе координат, движущейся со скоростью распределение (4.12) выглядит [c.30]

Прежде чем перейти к дальнейшему иАаожению закона Максвелла—Больцмана, необходимо указать на прпближенн я и допущения, сделанные при его выводе. Во-первых, было принято, что молекулы отличимы одна от другой,—это обстоятельство более подробно будет рассмотрено ниже при изложении квантовой статистики. Во-вторых, применение формулы Стирлинга для разложения в ряд предполагает, что все очень велики. Наконец, было сделано молчаливое допущение, что как п , так и являются непрерывными функциями. Такое допущение вполне приемлемо, если /г,- всегда велико, а кванты энергии малы, что, в частности, справедливо в случае поступательной энергии. Общая справедливость закона распределения, по крайней мере в рамках классической механики, установлена тем обстоятельством, что вполне возможно вывести точно такое же уравнение другими методами, не прибегая к сделанным здесь приближениям. Разумеется, следует помнить, что отождествление величины з,. с величиной действительной энергии молекулы в г-той ячейке .-пространства в каждом отдельном случае предполагает отсутствие сил, действующих между молекулами. Таким образом, предполагается, что системы состоят из идеальных газов, так как только в таких газах полностью отсутствуют межмолекулярные силы. Однако закон распределения Максвелла—Больцмана может применяться и к системам, несколько отклоняющимся от идеального состояния, причем ошибка не будет особенно серьезной. [c.366]

Так как молекулы в газовой фазе имеют вращательные степени свободы, то в случае дипольных молекул мы имеем дело с вращающимися диполями. Если бы диполи вращались одинаково во всех направлениях, то результирующая сила была бы равна нулю, потолму что сила меняла бы знак, когда диполь оказывался бы перевернутым. Однако вращение не является одинаковым, потому что вращательные моменты стремятся удержать диполи в параллельных положениях. Каждое положение двух диполей соответствует некоторой взаимной потенциальной энергии. Благодаря закону распределения Максвелла — Больцмана ориентации, имеющие более низкие потенциальные энергии, будут статистически благоприятными, и диполи будут ориентированы в пол )жении, соответствующем минимальной потенциальной энергии, более часто, чем в каком-либо другом положении. Таким образом, в среднем притяжение будет преобладать над отталкиванием. Усредняя по всем полон ениям, Кизом нашел для энергии взаимодействия формулу [c.252]

Простое истолкование уравнения (9) в случае газовых бимолекулярных реакциц достигается с помощью следующей модели. Будем считать реагирующие молекулы шарами, отталкивающимися друг от друга до тех пор, пока не произойдет соприкосновение их поверхностей, приводящее к реакции. Пусть потенциальная энергия в момент соприкосновения равна Ё. Число столкновений с преодолением отталкивания будет, согласно адкону распределения Максвелла — Больцмана, в раз меньше числа столкновений таких же, но не взаимодействующих молекул. Последнее известно из кинетич. теории газов нри концентрациях, равных единице (1 молекула в единичном объеме), оно дается формулой [c.282]

Квантовая статистика Бозе-Эйнштейна 1. Рассмотренная выше классическая статистика Максвелла-Больцмана с ее разнообразными применениями строится на допущении о различимости частиц и, следовательно, о возможности их снабдить индивидуальными номерами. Частица № 1 не одно и то же, что тождественная ей частица № 2, и перемена их местами между двумя энергетическими ячейками (но не в пределах одной ячейки) да-ет но-вое микросостояние. Возникающие при таких обменах местами новые микросостояния охватываются формулой (257) и учитывались в 311 при подсчетах термодинамических вероятностей [c.415]

Тепловым излучением называется излучение, происходящее в системе, в которой различные участвующие в процессе испускания квантовые состояния находятся в термодинамическом )авновесии, т. е. распределены по закону Максвелла-Больцмана уравнение (3.2)]. Тепловое излучение следует отличать от хемилюминесценции — излучения активных молекул, образуемых в ходе элементарных химических реакций и присутствующих в концентрациях, превышающих равновесные. Тепловое излучение следует также отличать и от излучения, вызываемого электрическими разрядами в газах и другими внешними способами возбуждения. Согласно статистической механике, температура тела определяется количеством поступательной энергии, прихоа,ящейся на моль в идеальном газе, находящемся в энергетическом равновесии с телом. [Соотношение между поступательной энергией и уравнением состояния идеального газа выражено формулами (3. 8) и (3.23).] Излучение от пламени горящего газа будет тепловым, если между поступательными степенями свободы и квантовыми состояниями, обусловливающими излучение, имеется энергетическое равновесие. Это означает, что как те, так и другие распределены согласно закону Максвелла-Больцмана, но при этом нет необходимости, чтобы все квантовые состояния системы находились в статистическом равновесии. Так, можло представить себе газ, в котором, наряду с тепловым излуче ием, наблюдаются явления задержки возбуждения или другие изменения (например, охлаждение), однако, настолько медленные, что они не нарушают названного равновесия. Можно также представить себе, чго для одной части спектра излучение газа является тепловым, в то время как для другой части спектра имеет место хемилюминес-денция. [c.353]

Соответствующее уравнение для InG в статистике Максвелла— Больцмана можно получить, логарифмируя уравнение (50.25) иьрименяя формулу Стирлинга. Тогда с учетом уравнения (50.27) [c.434]

Эти работы явились логическим продолжением работ английского физика Дж. Максвелла, самого Больцмана и ряда других ученых по различным вопросам кинетической теории газов. В частности, Максвелл в ЬЫ) г. нашел формулу, отвечающую на вопрос, как распределены молекулы идеального газа по скоростям в состоянии равновесия. Формула Максвелла позволяет рассч тать, какая доля от общего числа частиц газа обладает ско- [c.15]

Необходимо отметить некоторые недоразумения, которые встречались по поводу этого случая возбуждения в более старых литературных источниках, а именно иногда считалось, что термический характер возбуждения специфически связан с возбуждением при столкновениях нейтральных атомов и молекул, совершающих тепловое движение. Наличие в светящемся объеме свободных электронов или других заряженных частиц, как предполагалось, нарушает тепловой характер возбуждения. В действительности он обусловливается лишь наличием термодинамического равновесия независимо от того, при столкновении с какими частицами происходит возбуждение атомов. При этом обычно рассматриваются случаи неполного равновесия, в том смысле, что в источнике света отсутствует равновесие с излучением. Равновесие считается выполненным лишь по отношению к движению частиц всех сортов и их распределению по энергетическим уровням. Другими словами, считается, что частицы всех сортов движутся со скоростями, распределенными по закону Максвелла с одним и тем же значением температуры Г, и что они распределены по энергетическим уровням по закону Больцмана с той же температурой Т. Тогда, при одновременном отсутствии равновесия с излучением, интенсивность линий, для которых самопоглощение не играет заметной роли, выражается формулой (2). Излучатель, удовлетворяющий формуле (2), называется больцмановским излучателем. При возрастании оптической плотности, когда сказывается самопоглощение света, больцманов-ский излучатель начинает переходить в планковский излучатель. ) [c.428]

Задачу подлинной разработки формализма, позволяющего найти решение уравнения Больцмана, независимо решили Чепмен и Энског вскоре после опубликования результатов Гильберта. Работа Чепмена, в которой используется метод Максвелла, основана на применении уравнений переноса, в то время как подход Энскога основан на построении решения уравнения Больцмана для функции распределения по скоростям. Оба метода приводят к одинаковым выражениям для кинетических коэффициентов. В двух статьях 1916 и 1917 гг. Чепмен [28, 29] вьшел формулы для коэффициентов вязкости и теплопроводности простого газа и газовой смеси, приняв (как и Максвелл), что для слабо неоднородного газа функцию распределения по скоростям можно записать в виде /=/ (1 + ф) при этом предполагается, что в однородном газе функция ф должна обращаться в нуль. Теория Энскога, опубликованная в его докторской диссертации [64] в 1917 г., основана на решении уравнения Больцмана с помощью разложения в ряд. Такой подход был впервые применен Гильбертом, который пытался разработать (к сожалению, безуспешно) аналогичный формализм, основанный на последовательных приближениях. [c.19]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология