Формула энергии гармонического

Точная формула для энергии гармонического осциллятора оказывается несколько отличной от уравнения (ХП.4), а именно [c.220]

Колебательная сумма по состояниям. Согласно законам квантовой механики энергия гармонического колебания дискретна и выражается формулой [c.121]

Согласно классической теории, колебательная энергия молекулы может принимать любые значения. Квантовая теория позволяет точно решить уравнение Шредингера для гармонического осциллятора, используя уравнение потенциальной энергии в форме (5.93). Энергия гармонического осциллятора квантована и определяется простой формулой [c.88]

Из сказанного ранее следует, что полученная формула применима к гармонически колеблющейся двухатомной молекуле, т. е. к идеальной модели. На самом деле потенциальная энергия с увеличением д (или г) стремится не к бесконечности, как это следует из (VI. 126), а к пределу Ое, называемому спектроскопической энергией диссоциации. Энергия, практически затрачиваемая на диссоциацию молекулы, находящейся на нулевом колебательном уровне, равна О (химическая энергия диссоциации). Реальная зависимость 1/ (д) = (д) довольно хорошо описывается уже упоминавшейся эмпирической функцией Морса, содержащей д = г — в показателе степени. Тем не менее результаты вычисления суммы (VI. 133) мало отличаются (особенно для не слишком высоких температур) от получаемых по более точному методу непосредственно по сближающимся уровням ангармонических осцилляторов. [c.226]

Согласно классической теории колебательная энергия молекулы может принимать любые значения, т. е. молекула может находиться в любой точке кривой (2.23). Квантовая теория приводит к принципиально иному выводу. Как вытекает из результатов решения уравнения Шредингера с использованием потенциальной функции в форме (2.23), энергия гармонического осциллятора квантована и определяется следующей простой формулой [c.47]

В гармоническом приближении, как следует из общей механической теории колебаний, колебательное движение системы, имеющей Ркол степеней свободы, может быть представлено как наложение нормальных колебаний (см. гл. IX, 11). Совокупность ЗЫ связанных осцилляторов можно формально описать как совокупность ЗЛ/ независимых одномерных гармонических осцилляторов, так что для энергии будут справедливы выражения (IX. 168) в классическом приближении и выражение (IX. 169) в квантовом случае (число степеней свободы следует приравнять ЗК). В формулы входят ЗЫ величин V I = = 1,. .., ЗМ), собственных частот (частоты абстрактных линейных осцилляторов, с помощью которых мы описываем действительное движение атомов в системе). Формулы для статистической суммы и средней энергии одномерного гармонического осциллятора были получены ранее [формулы (IX. 107) и (IX. 110)]. Колебательная статистическая сумма кристалла, если включить в нее сомножитель, связанный с нулевой энергией колебаний, запишется в виде [c.320]

Вычислим сумму по состояниям и термодинамические свойства для одноатомного твердого тела. Атомы (ядра) кристаллической решетки твердого тела образуют локализованную систему, и можно вычислить сумму по состояниям Z с помощью суммы по состояниям Q частицы без учета требований симметрии. Каждый атом данной решетки имеет три степени свободы, причем колебания в каждом из трех направлений можно считать равноправными. Поэтому естественно рассмотреть сначала систему из N одномерных гармонических осцилляторов. Такая система представляет интерес не только для вычисления термодинамических свойств одноатомного твердого тела, но также и для вычисления вклада, обусловленного колебаниями ядер в молекулах, в термодинамические свойства газа. Уровни энергии гармонического осциллятора определяются формулой (см. табл. 1) [c.302]

Задание. Рассчитайте для двухатомной молекулы колебательную сумму по состояниям. Учтите, что по законам квантовой механики энергия гармонического колебания дискретна и выражается формулой [c.107]

Двухатомная молекула имеет три степени свободы поступательного движения, две вращательные и одну колебательную степени свободы. Вращательное и колебательное движения, строго говоря, связаны при колебании ядер момент инерции молекулы / == изменяется. В первом приближении, однако, оба движения можно считать независимыми. Описывая вращение как движение жесткого ротатора и считая колебания гармоническими, получаем модель жесткий ротатор — гармонический осциллятор. Эта модель удовлетворительно описывает двухатомные молекулы при сравнительно невысоких температурах, если колебания ядер происходят с небольшими амплитудами. В рассматриваемом приближении уровни энергии двухатомной молекулы передаются следующим выражением [см. формулы (11.5)- П.7)] [c.109]

Упражнение. Физик разложил бы у (х) по нормальным модам и зная, что средняя потенциальная энергия гармонического осциллятора равна применил формулу (3.5.6). Выведите таким путем формулу (3.5.5). Упражнение. В выражении (3.5.6) замените множитель 1/Р на распределение Планка и найдите таким способом квантово-механический аналог формулы (3.5.5). [c.73]

Первый интеграл равен единице. Применяя рекуррентные формулы для гармонического осциллятора [формула (4.99)], находим, что второй интеграл равен нулю, а третий равен — Ч энергия возмущения в первом [c.361]

Для вычисления слагаемых энергии Гельмгольца, как это следует из формул (99.5)—(99.7), нужно знать только соответствующую сумму по состояниям молекулы. Такие суммы по состояниям легко вычисляются, если использовать модель жесткой (не деформирующейся при вращении) молекулы и допустить, что колебания являются гармоническими. Например, для расчета Ql,oл двухатомной молекулы в предположении гармонических колебаний можно исполь- [c.314]

Предположим теперь, что в активированном комплексе связь между атомами галогена и инертного газа является ван-дер-ваальсо-вой и энергия этой связи аппроксимируется потенциалом Ленарда-Джонса (11.5). Для оценки и Оц атомов галогенов брали значения, полученные из данных о вязкости ближайшего к галогену в таблице Менделеева инертного газа (например, а, ) = а параметры взаимодействия вычисляли по (11.6). Вычисление расстояний /-ДМ в активированном комплексе производили в предположении, что АМ возникает вблизи состояний, соответствующих в этом случае Лдм можно найти из условия де(г)/дг = О, откуда Лдм = 2 /вОо. Исходя из модели жесткого активированного комплекса, примем Лдв всего на 5% большим, чем равновесное в молекуле Аз- Отношение электронных статистических весов переходного и исходного состояний во всех реакциях взято равным 1/6, = 2. Частоты деформационных колебаний активированного комплекса принимали одинаковыми и были вычислены в гармоническом приближении по формуле [c.121]

Внутреннее состояние двухатомной молекулы определено, если задано состояние ее электронной оболочки, а также характеристики вращательного движения молекулы как целого и колебательного движения ядер. Вращение и колебания в первом приближении считают не зависящими от электронного состояния молекулы. Простейшей моделью при описании вращательного и колебательного движений двухатомной молекулы является модель жесткий ротатор — гармонический осциллятор, согласно которой независимо рассматриваются вращение молекулы как жесткого ротатора и колебания ядер по гармоническому закону. Классическое описание этой модели см. гл. IV., 5. Запишем в том же приближении выражение для энергии двухатомной молекулы, используя квантовомеханические формулы (VII. 19), (VII.20) и (УП.22) [c.215]

Метод состоит в допущении существования в многоатомной молекуле нескольких (иногда многих) видов гармонических колебаний с различными частотами, причем энергия каждого из них выражается формулой вида (VI.129). Нелинейная молекула из т атомов имеет Зт — 6 видов колебаний. Для линейной молекулы вследствие уменьшения на единицу числа вращательных степеней свободы число видов колебаний составляет Зт—5. Если в молекуле имеется степень свободы внутреннего вращения (например, метильных групп вокруг линии связи в этане), число колебаний уменьшается до Зт — 7. В общем случае, когда число видов колебаний составляет Зт — х, сумму по состояниям приближенно записывают следующим образом [c.227]

Для квантового гармонического осциллятора справедливы формулы (11.84). Колебательная энергия кристалла в целом представится в виде суммы средних энергий ЗМ нормальных осцилляторов [c.184]

Формула (IX. 166) определяет зависимость смещения от времени для линейного гармонического осциллятора выражения и Ек = (6/с/2) к — соответственно потенциальная и кинетическая энергии линейного осциллятора. Таким образом, колебания системы согласно (IX. 166)—(IX. 168) описываются как движение совокупности г независимых линейных осцилляторов. Следует помнить однако, что каждое нормальное колебание в многоатомной молекуле, описывает сложное движение, в котором участвуют несколько атомов. [c.242]

Здесь величина — энергия статической решетки, когда все атомы находятся в равновесных положениях [см. формулу (XII. 1)]. В гармоническом приближении эта величина есть минимальное значение потенциальной энергии системы при заданном внешнем давлении. Очевидно, величина /о и соответствующее равновесное значение па- [c.320]

Модель Дебая. Согласно теории Дебая (1912 г.), твердое тело представляется как совокупность ЗЫ нормальных ( гармонически связанных) осцилляторов с разными частотами (о, причем средняя энергия каждого такого осциллятора по-прежнему определяется по формуле (197). Таким образом, средняя энергия твердого тела, состоящего из N атомов, запишется как [c.141]

Из полученной формулы видно, что при установившихся гармонических колебаниях средний за период ноток ру равен сумме двух потоков энергии. Поток р и, никак не связан с колебаниями, в то время как второе слагаемое правой части формулы (И-З) зависит только от колебательных составляющих риг). Это слагаемое естественно назвать потоком акустической энергии А [c.84]

Одиако колеблющаяся гармонически молекула не может диссоциировать. Таким образом, вне области малых смещений следует исиользовать такие формулы для потенциальной энергии, которые дают прогрессивное уменьшение возвращающей силы с ростом межатомного расстояния. Кроме того, разность [c.360]

В новой записи исчезают смешанные произведения второй степени, что в гармоническом приближении позволяет ввести понятие нормальных колебаний. Однако остальная часть формулы остается неизменной. Сохранение смешанных членов третьей, четвертой н более высоких степеней говорит о том, что полная энергия Н = = Т - - и (Т — кинетическая энергия) не может быть точно разделена на части, каждая из которых зависит только от одной координаты. Иными словами, при наличии неквадратичных членов в разложении энергии последняя не может быть представлена как сумма энергий несвязанных осцилляторов, даже ангармонических. [c.20]

Нелинейная же зависимость энергии активации от температуры [если Ь о зависит от температуры линейно, формула (XVI. 1) продолжает выполняться, но изменяется эффективное-значение то], является естественной, так как сам элементарный процесс разрыва химической связи не обязан в точности описываться формулой (XVI. 2), учет того, что потенциал взаимодействия валентно связанных атомов не является гармоническим, обязательно приведет к появлению нелинейных членов в зависимости 7о как от Т, так и от а. Насколько эти члены скажутся на макроскопической зависимости т от 7 и ст, обусловлено конкретной ситуацией. [c.373]

Квантово-химический расчет колебательной составляющей теплоемкости основан на модели гармонического осциллятора, колеблющегося с частотой v и для энергии которого А. Эйнштейн предложил формулу [c.333]

Формула (VII.8) дает значение потенциальной энергии гармонического осциллято ра. Эта вел ичина максимальна в тючках, поворота колеблющихся ядер и равна нулю в положении равновесия г —Го). Полная энергия молекулы, которая складывается из суммы потенциальной и кинетической энергии, остается постоянной и равной [c.197]

На рис. 104 показана зависимость потенциальной энергии гармонического осциллятора от расстояния и уровни его полной энергии, вытекающие из формулы (VII.10). Отметим, что гармонический осциллятор не может име1 ь энергии, равной нулю. Самое низкое значение, равное /гv/2, получается при у = 0. [c.198]

Воспользуемся известной квантовостатистической формулой для энергии гармонического осциллятора [c.97]

Рассмотрим в рамках этих предположений колебате.тьную релаксацию смеси двухатомных газов (молекулы А и В) в тепловом резервуаре инертного одноатомного гааа М. Релаксационные кинетические уравнения строятся по общим формулам (8.28) с учетом VI- и резонансных и квазирезопапспых межмолекулярных УУ-процессов. Если предположить, что молекулы можно моделировать гармоническими осцилляторами, то обмен колебательной энергии нри столкновениях А + А и В + В носит чисто резонансный характер. Поэтому, вообще говоря, в системе имеется три различных процесса — резонансный У7-обмен (столкновения Ас А и В с В), квазирезонансный обмен (столкновепия А с В) и УТ -релаксация (столкновения А с А, В, М и В с А, В, М). Соответственно этому имеется три характеристических времени [c.96]

Квантовомеханическое состояние одномерного гармонического ос циллятора определяется заданием одного квантового числа у. Уровни энергии определены формулой [c.153]

Будем использовать строго гармоническое приближение, т. е. основываться на формуле (XII.35) для средней энергии кристалла, где Ug — величина, не зависящая от температурьГ(минимальное значе- [c.321]

Колебательные спектры свойственны только двух- и многоатомным частицам. Частица, состоящая из п атомов, имеет Зп—б колебательных степеней свободы (Зп—5 для двухатомных и линейных многоатомных частиц, т. е. частиц, у которых все атомы расположены на одной прямой). Колебания разделяются иа валентные, которые искажают длины связей, и деформационные, которые искажают углы между связями. Валентные колебания характеризуются большими частотами ио сравнению с деформационными. Каждому колебанию соответствует набор колебательных состояний, энергия которых в первом приближении (ирибЛижение гармонического осциллятора) описывается формулой [c.37]

Формула (134) справедлива только для значений О <[ 0,05. Точной ( рмулы для больших значений О не существует, однако Лонге-Хиггинс, Эпик, Прайс и Зак [86] провели численные расчетЁ уровней энергии для ряда значений О. На рис. 81 приведены их результаты для О = 2,5. Можно видеть, что электронно-колебатель-ная структура довольно сложная. Группы уровней, связанных с различными колебательными квантовыми числами V (соединенные наклонными пунктирными линиями), накладываются друг на друга. В отсутствие электронно-колебательного взаимодействия и в гармоническом приближении такие группы сливаются в одиночные уровни. Заметим, однако, что вырожденные электронно-колебательные уровни и, в частности, уровень у = О не расщеплены. При этом не имеет значения, велико или мало электронно-колебательное взаимодействие. [c.140]

Из формулы (9.7С) видно, что средняя за период колебания мощность Nt равна сумме мощности Ng потока, на который накладываются колебания, и мощности, затрачиваемой на поддержание колебаний среды. № г.начение второго слагаемого влияет корректив Хд, который увй личивается с увеличением ч 1Стоты колебаний. Если бы мощность Nj подсчитывалась в предположении квазистационарного закона распределения местных скоростей, соответствующего течению Пуазейля, то значение х, было бы равно единице и мощность Nt имела бы меньшие значения. Следовательно, нестационарное распределение скоростей, вызванное гармоническим изменением расхода среды в трубе, приводит к увеличению диссипации энергии, т. е. другими словами, гидравлическое сопротивление трения трубы при колебании среды возрастает, что подтверждают графики на рве. 9.2. [c.254]

Нестрогость приведенного здесь качественного рассуждения заключается в тод1, что при колебания перестают быть гармоническими, приведенные выше формулы для потоков акустической энергии становятся [c.153]

Часто удобно использовать математическое выражение для кривой потенциальной энергии молекулы. Функция Морзе уже была приведена в разд. 14.4. Она имеет правильную общую форму и может быть использована для получения гораздо лучшего выражения для уровней колебательной энергии молекулы, чем простое приближение гармонического осциллятора. Если формулу Морзе [уравнение (14.37)] подставить в уравнение Шредингера, то получится следующее выражение для нескольких первых колебательных зфовней энергии [c.465]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология