Вероятность случайных блужданий

Если предположить, что каждая частная ошибка может равновероятно быть как положительной, так и отрицательной, и что все ошибки взаимно независимы, то задача нахождения распределения возможных ошибок превращается в задачу о случайном блуждании с переменным шагом. Таким образом, вероятность сделать ошибку х равна [c.121]

Вектор вероятностей начального состояния системы имеет порядок и для задачи цепей Маркова случайного блуждания с непрерывным источником при нулевых начальных условиях представляется в виде [24] (0) = (1, О, О,. . ., 0). [c.269]

Молекула вещества Я, образовавшаяся на поверхности, переходит в основной поток также путем диффузии через газовую пленку. Однако, если в течение этого случайного блуждания молекулы продукта несколько раз сталкиваются с поверхностью, то существует вероятность, что они подвергнутся дальнейшим превращениям в вещество 5. [c.438]

Стохастический анализ движения частиц. Описанная выше схема циркуляции частиц и случайного перехода из одного потока в другой приводит к марковскому процессу случайного блуждания. Вероятность обнаружить частицу в момент t в области 2 2 + Дг в восходящем потоке (или нисходящем Ра) описывается уравнениями [24] [c.54]

Поскольку с ростом с снижается высота энергетического барьера можно объяснить наблюдаемую закономерность таким образом макроскопический процесс диффузии слагается из случайных блужданий отдельных частиц, обладающих неопределенной энергией, статистически близкой к кТ. Для некоторых частиц (наиболее горячих ) случайные сближения, в результате перекрывания полей, приведут к соединению, если их кинетическая энергия окажется большей, чем высота барьера, снижающаяся по мере роста концентрации. Вероятность эффективных актов увеличивается с ростом с и при с>ск. б барьер снижается настолько, что все частицы его преодолевают вероятность эффективных взаимодействий становится равной единице и с дальнейшим ростом с более не изменяется. Число соударений в этой области зависит только от концентрации частиц V и их скорости. [c.237]

Упражнение. При асимметричных случайных блужданиях на каждом шаге вероятность шага влево есть с/ и вероятность шага вправо 1—q. Найдите р (г) для этого случая. [c.26]

Модель случайных блужданий можно обобщить путем включения статистической корреляции между двумя последовательными шагами таким образом, что вероятность а-шага в том же направлении, что и предыдущий шаг, отличается от вероятности р-шага в обратную сторону ( случайные блуждания с памятью ). В этом случае пространственная переменная V уже не является марковским процессом, потому что ее распределение вероятности в момент времени г + 1 зависит не только от ее значения в момент времени г, но также и от значения в момент г—1. Однако марковский характер процесса может быть восстановлен путем введения этого предшествующего значения явно в качестве добавочной переменной. Двухкомпонентный процесс (К,, К ), в котором Kj — координата в любой момент времени г, а — предшествующая координата в момент г—I, снова является марковским процессом. Если обозначить пит соответственно значения Y и Y , то матрица перехода имеет вид [c.97]

Упражнение. Случайное блуждание с непрерывным временем определено следующим образом. Состояниями являются все целые числа ( — оо < п < оо). Частица может совершать скачки между соседними состояния.ми. За короткое время (1 она с равной вероятностью /27 <1( может совершить скачок вправо или влево. Постройте основное кинетическое уравнение для РпЮ (ср. 6.2), [c.104]

Пусть —вероятность того, что в момент времени / блуждающая частица находится на участке п, не побывав на участке N. Это д (/) можно представить как плотность ансамбля частиц, совершающих случайные блуждания, которые все стартуют из т при / = 0 и движутся независимо, и каждый раз, когда одна из них попадает в N, она выходит из игры, т. е. не дает больше вклада в плотность /у. Понятно, это означает, что<7( ) удовлетворяет основному кинетическому уравнению для случайного блуждания с поглощающей ямой на участке N. Чтобы закрепить эту мысль, возьмем т < N и запишем [c.165]

Упражнение. Решите проблему первого прохождения для симметричного случайного блуждания. Покажите, что любая граница достигается с вероятностью лдт, 1, но среднее время первого прохождения бесконечно. Заметьте, что это также отвечает иа вопрос, как долго азартный игрок с начальным капиталом т может подбрасывать монету, пока не разорится. Упражнение. Решите проблему первого прохождения для асимметричного случайного блуждания. [c.166]

Существуют два подхода к определению коэффициента диффузии. Рассмотрим их последовательно. Для простоты начнем с анализа одномерного движения, т. е. с проблемы одномерного случайного блуждания частицы. Вероятность того, что смещение частицы лежит в интервале (л , х + dx) после п случайных перемещений с шагом I, дается гауссовым распределением [c.170]

Случайное блуждание с отражением. Рассмотрим ту же схему, что и в предыдущем примере, но теперь примем, что в точках х = 1 и х = Ж стоят отражающие экраны, то есть вероятность остаться в крайних состояниях равна нулю. Все частицы, попавшие в эти состояния, на следующем шаге их покинут с вероятностью, равной единице. [c.655]

Функция =/(/ , г) может быть получена как отношение вероятностей пребывания макромолекул в порах и в каналах между зернами сорбента. Величина этого отношения определяется числом конформаций макромолекул, реализуемых в порах сорбента. Благодаря статистическим свойствам макромолекул каждую конформацию можно рассматривать как возможный путь и-шагового случайного блуждания точки с длиной шага [c.229]

Один из простейших способов идеализированного описания гибкой полимерной цепи - представить ее в виде траектории случайного блуждания на периодической решетке, как показано на рис. 1.1. Траектория имеет вид последовательности N шагов, начинающейся в точке а и достигающей произвольной конечной точки со. На каждом шаге следующий прыжок может происходить с одинаковой вероятностью в направлении любого из ближайших соседних узлов решетки. Длину каждого шага обозначим через а. [c.28]

Имеются три различных подхода к объяснению хроматографического процесса 1) стохастический метод, в котором для описания поведения молекул вещества во время их элюирования используются вероятности этот подход лучше всего иллюстрируется моделью случайного блуждания (см. гл. 4) 2) использование уравнений баланса масс — классический метод химической технологии (см. гл. 5) 3) аналогия с машиной Крейга, которая является каскадом жидкостно-жидкостных экстракторов. [c.16]

Аналитическое решение задачи цепей Маркова случайного блуждания о поглощающим экраном для одной ячейки с прямотоком, когда матрица вероятностей перехода составлена из элементов (8), (11), дает выражение для расчета динамики концентрации дисперсной фазы на выходе ячейки при ступенчатом возмущении на входе [c.148]

В основе метода случайных блужданий лежат анализ закономерностей случайных блужданий частиц и вычисление вероятностей тех или иных событий. С точки зрения решаемой нами задачи наибольший интерес представляют условные вероятности перехода частиц из одной точки пространства в другую в течение отрезка времени т — то. Как было показано выше, эти вероятности пропорциональны объемному содержанию дисперсных частиц (1.134). Вычисление их можно произвести путем статистической обработки конечных координат большого количества просчитанных реализаций траекторий блуждающих частиц. Более подробно данный метод будет рассмотрен нил<е при решении ряда практических задач. [c.76]

Другой кинетический процесс, протекающий в очень разбавленных растворах полипептидов и нуклеиновых кислот, связан с регенерацией упорядоченной спиральной структуры из статистических клубков. Можно допустить, что превращение клубка в спираль (или обратный процесс) протекает через последовательность ступеней, каждая из которых включает одно звено на границе между спиральными и неупорядоченными участками цепей. Ввиду принципиальной обратимости этих процессов элементарные акты прямого и обратного переходов конкурируют между собой. Поэтому валовой процесс аналогичен одномерной диффузии или одномерной последовательности случайных блужданий, причем направление элементарного шага ( выбор ) зависит от относительной вероятности каждой из конкурирующих [c.275]

Наиболее ранняя модель — гипотетическая свободно-сочлененная цепь (цепь случайных блужданий), состоящая из N звеньев фиксированной длины I, образующих линейную последовательность. Цепь рассматривают как бестелесную , т. е. пренебрегают объемом атомов. Каждое звено из-за теплового движения может свободно вращаться относительно другого, углы между звеньями могут принимать с равной вероятностью любые значения, т. е. все направления для данного звена одинаково вероятны (некоррелированы) независимо от положения его соседей. Рассматриваемая цепь непрерывно флуктуирует и точную форму макромолекулы определить нельзя, но можно попытаться найти лишь некоторые из ее статистических характеристик, в частности, наиболее важную геометрическую характеристику клубка — среднеквадратичное расстояние между его концами (Л ) или связанную с ним величину — среднеквадратичный радиус инерции (s ). Расчеты приводят к следующим соотношениям [c.13]

Таблица 1.2. Расчетные значения вероятности в проблеме случайных блужданий для случая ге = 10

Итак, в основе классической диффузии лежит атомный процесс, при котором дефект совершает более или менее случайные блуждания, перескакивая из одного положения в соседнее эквивалентное. Чем же определяется вероятность отдельного скачка [c.196]

С ПОМОЩЬЮ математической статистики можно получить некоторые усредненные характеристики цепной молекулы. Например, можно оценить вероятность нахождения двух концов цепи на любом расстоянии г друг от друга можно найти также наиболее вероятное расстояние между концами цепи и т. д. Проблема фактически очень близка к классической задаче случайных блужданий, теорию которой впервые разработал Эйнштейн. В этой задаче рассматривается человек, выходящий из исходного пункта, который делает ряд шагов в произвольном направлении, причем направление каждого последующего шага не зависит от направления предыдущих. Вопрос состоит в том, где окажется человек после того, как сделает п таких шагов Определенно ответить на этот вопрос нельзя. Однако можно легко себе представить, что вероятность того, что все п шагов будут сделаны в одном направлении, т. е. что пройденный путь есть прямая, чрезвычайно мала. Можно также сказать, что вероятность возвращения через п шагов в исходный пункт также чрезвычайно мала. Эти результаты очевидны. Менее очевидно, что расстояние от конца его пути до начала в среднем пропорционально корню квадратному из числа шагов, т. е. У п. [c.56]

Как и в задаче случайных блужданий на плоскости, величина с-к. р. пропорциональна корню квадратному из числа связей в цепи. Наиболее вероятная величина Гн. в., которую определяют по положению максимума на кривой рис. 3.10, связана с с.-к. р. соотношением [c.57]

Диффузия адсорбированных атомов на поверхности твердого тела или жидкости носит название поверхностной диффузии. А. Эйнштейн показал, что общим для диффузионных процессов является наличие случайных блужданий. Моделью таких блужданий может служить движение абсолютно пьяного человека . Такой человек с одинаковой вероятностью может совершить шаг в любую сторону. Характеристикой случайных блужданий является средняя длина шага А и среднее время блуждания X. Через эти характеристики может быть выражен коэффициент диффузии для диффузионного процесса. Оказывается, что [c.156]

Однако в теории случайных блужданий прыжок —б/,- имеет ту же вероятность, что и обратный ему 61]. В последней сумме выражения (7.93) появятся члены вида 6/4 (—Ы,) и 8 81], равные по величине и противоположные по знаку. Поэтому последняя сумма равна нулю и [c.322]

В общем случае число поглощающих состояний может быть любым. В нащем примере они соответствуют всякой остановке игры (нарушение правил, вылет шайбы за пределы площадки и т. д.). Поскольку при попадании в поглощающее состояние процесс случайного блуждания прекращается, то, очевидно, вероятность перехода из него в любое другое состояние будет равна нулю. А так как согласно определению и выход из поглощающего состояния невозможен, то вероятность пребывания системы в нем (то есть перехода из него в него ) будет равна единице. Математически это условие для поглощающих состояний записывается так [c.47]

Допустим, что мы хотим иметь более точную модель, учитывающую как мастерство нападающих, так и умение вратарей. Тогда в модель надо ввести вероятность еще двух событий отражение шайбы и гол (или накрытие шайбы вратарем). Иными словами, мы будем полагать, что шайба с некоторой одинаковой вероятностью г попадает к вратарям, т. е. ловится ими или пропускается в ворота, а с вероятностью 1 — г = 5 вратари отбивают ее на соседние с граничными точками и 5 -1. Поскольку в этом случае вероятности переходов из крайних точек в смежные с ними не равны единице, то процесс может быть назван случайным блужданием с частичным отражением. Описывающая его матрица, конечно, видоизменится. Теперь угловыми ее элементами будут вероятности г и соответственно Р 2 = Рк-. к = 5, так как г + х=1. [c.48]

Посмотрим в заключение все-таки более внимательно на полученные нами результаты. Ведь в конце концов выяснилось, что вероятность окончания процесса случайных блужданий в том или ином поглощающем состоянии зависит, по существу, от двух причин начальных условий и соотнощения вероятностей движения из той или иной точки влево или вправо. Для такого случая употребляется понятие вероятностного уклона. Действительно, это как бы наклон поверхности, на которой происходит процесс случайных блужданий. Кроме того, как уже говорилось, на итог процесса оказывает влияние и начальное удаление точки старта от правого или левого конца. Можно строго доказать, что степень этого влияния ослабевает с ростом превыщения вероятности р над д. Оказывается, что при р = 2д расположение стартовой точки практически не сказывается на вероятности поглощения в том или ином состоянии. Эту интересную закономерность марковской модели случайного блуждания с поглощением часто иллюстрируют задачей о разорении игрока. [c.59]

Bepoятнo ти PfJ составляют матрицу вероятностей перехода , элементы которой P J обозначают вероятности заполнения -х ячеек каплями дисперсной фазы за счет потоков Q J из г-й ячейки за один переход, а элементы PJJ — вероятности того, что дисперсная фаза останется в -й ячейке за один переход. Для задачи цепей Маркова случайного блуждания с непрерывным источником элемент Роо=1> а элементы Р =0, так как дисперсная фаза из ячеек не может вернуться на вход системы. Элементы матрицы Р находятся на основе экспоненциального закона РВП капель в ячейках с учетом дополнительного изменения УС ячеек за счет всплывания (осаждения) капель, которое, как принято, происходит по уравнению первого порядка [c.268]

Это случайное блуждание отличается от случаев, рассмотренных в 1.4 и 4.5, тем, что время изменяется непрерывно. Теперь вероятности перехода берут за единичное время. Этот простой пример зачастую оказывается достаточным для иллюстрации более сложных процессов, в частности он содержит су1цесгвенные черты физического процесса диффузии. [c.137]

Из-за симметрии ре.чультирующий поток вероятности между —I и О должен обратиться в нуль. Следовательно, p (t) ограничена знячениями п-0 и является случайным блужданием на полубесконечион области с отражающей границей с уравнением на границе [c.139]

Читателя, шокированного еретическим утверждением, что распределение вероятности не нормировано на единицу, можно успокоить двумя способами. Во-первых, можно интерпретировать как плотность ансамбля независимых частиц, каждая из которых совершает случайное блуждание, пока не свалится в яму навсегда. Тогда не-сохракекие (6.7.2) просто означает, что полное число оставшихся частиц уменьшается. Другой способ состоит в том, что всегда можно свести дополнительное состояние, которое мы будем называть потусторонним (или лимбо-состоянием) и помечать звездочкой. Вероятность р, находиться в этом состоянии по определению составляет [c.153]

Макромолекулы в растворе обычно принимают наиболее статистически вероятную конформацию, которая приближается к состоянию с максимально возможной энтропией. Согласно расчетам Куна [37] на моделях неразветвленных парафиновых углеводородов эта наиболее вероятная конформация не является ни плотной шарообразной, ни вытянутой, а представляет собой рыхлый статистический клубок. Конформация идеального статистического клубка возможна для линейных неразветвленных макромолекул, но и то только тогда, когда их движение не ограничено никакими внешними силами. Такие идеальные условия создаются в очень разбавленном растворе полимера в инертном растворителе, когда дишерюионное взаимодействие между индивидуальными макромолекулами незначительно и взаимодействие между сегментами, с одной стороны, и между сегментами и растворителем, с другой, одинаксиво. В этом случае размеры статистического клубка могут быть определены с помощью так называемой статистики случайных блужданий. [c.32]

Случайное блуждание с поглощением. Пусть частица может передвигаться вдоль прямой лшгаи под действием случайных толчков. В точках х = VI х = N стоят поглощающие экраны. Пусть при каждом случайном толчке частица передвигается на единицу длины вправо с вероятностью р или влево с вероятностью д (т. е. р + д== ), однако, попав в точки х = 1 к х = Н, частица остается в этих точках. [c.655]

Для отыскания вероятности попадания макромолекулы в пору сорбента в рамках этой модели следует задаться геометрической структурой пористой среды, используемой в качестве сорбента в данном ГПХ-экснерименте, и рассмотреть случайные блуждания сегментов макромолекул в одной из пор сорбента при условии, что сегменты не соприкасаются с граничной поверхностью S. При этом каждый возможный путь случайного блуждания можно рассматривать как одну из возможных конформаций макромолекулы. Тогда множество всех таких путей будет однозначно соответствтвовать множеству макромолекулярных кон- [c.108]

Рассмотрим ячейку нашей метастабильной системы, в объеме которой содеря-гится п -f 1 атомов кристаллизуемого вещества. Символом Ео обозначим состояние этой ячейки, когда в ней содержится п -Ь 1 неассоциированных атомов, символом El — состояние ячейки, когда в ней образуется один кластер из двух атомов, — один кластер из трех атомов. Наконец, iE n i — критический зародыш, Еп —устойчивый зародыш. Вероятностью образования в нашей элементарной ячейке одновременно двух и более кластеров, содержащих менее тг/2 ато MOB, мы пренебрегаем так же, как возможностью кооперативных процессов типа слияния нескольких зародышей и распада их на части. Это считается слабым местом схемы последовательных, одиночных переходов (схема случайных блужданий), однако учет кооперативных явлений в теории нуклеации не разработан [22]. В принципе влияние кооперативных процессов можно проанализировать, используя схемы более общих ветвящихся марковских процессов 1145], но это значительно затрудняет сложный математический анализ процесса. С дру- [c.30]

Двумерное случайное блуждание характеризуется рядом фундаментальных особенностей, отличающих его от блуждания в объеме. Так, если в трехмерном случае существует отличная от нуля вероятность того, что блуждание не вернется в начало координат (в частности, на кубическое решетке она равна 0,35 [201]), то в двумерном случае блуждание вернется в исходную точку (при достаточно большом N) с вероятностью, равной 1. Из этого следует также тот весьма важный факт, что траектория блуждания с достоверностью займет один и тот же узел решетки бесконечное число раз при N -юо. Это свойство иногда называют самовозвратностью двумерного блуждания. Оно указывает на существенно более важную роль самопересечений цепи в двумерном случае по сравнению с трехмерным. Возрастание роли самопересечений траектории становится еще более очевидным при переходе к одномерному случаю, где самопересечение возникает на каждом шаге блуждания с вероятностью 0,5. [c.134]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология