Определение единственности стационарного состояния

Определение единственности стационарного состояния [c.159]

В вычислительных задачах квантовой химии вариационный метод почти всегда используется для получения энергии и волновых функций основного состояния, с его помощью часто удается непосредственно получить энергии и волновые функции определенных возбужденных состояний, если предварительно заданы мультиплетность и симметрия. Теорию возмущений обычно проще использовать в задачах, требующих только качественных ответов. Кроме того, для задач, к которым неприменим вариационный подход, теория возмущений может служить единственным средством решения. В дальнейшем мы столкнемся с проблемами, которые подпадают под все эти категории. Одним из очень важных применений теории возмущений являются зависящие от времени задачи, поскольку вариационный метод, в том виде, как мы его изложили выше, может быть применен только к стационарным состояниям. [c.119]

Кривые стационарного состояния, полученные для трубчатого реактора с поперечным перемешиванием и рециклом, в общем уже знакомы из изучения моделей других реакторов. Как и прежде, наблюдается либо единственное состояние, либо три состояния. Для случая трех состояний при низкой и высокой степени превращения система устойчива в малом, а промежуточное состояние неустойчиво. То, что единственное стационарное состояние может быть неустойчивым не вызывает удивления, так как аналогичное поведение уже наблюдалось для проточного реактора с перемешиванием, трубчатого реактора идеального вытеснения с рециклом и трубчатого реактора с продольным перемешиванием. Типичные результаты для трубчатого реактора с поперечным перемешиванием и рециклом приведены на рис. 1Х-9. Точки, отмеченные цифрами, показывают последовательные состояния элемента потока каждый раз, когда он находится на входе в реактор. Состояния элемента потока сходятся к предельному циклу после приблизительно 40 проходов по контуру рецикла. Отклики в промежуточных состояниях были получены с помощью интегрирования уравнений (IX, 48). При этом вычислялась средняя по сечению концентрация и температура на выходе из реактора, а для определения видоизмененных условий на входе использовались граничные условия рецикла (IX, 1). [c.237]

Представляет интерес определение классов систем, для которых такая усложненная динамика не наблюдается. Для этого часто желательно иметь точность воспроизведения частоты при преобразовании сигнала. Системы, описанные в предыдущем разделе, имеют единственное стационарное состояние, которое глобально устойчиво, и, по-видимому, не удивительно, что можно доказать следующую теорему. [c.346]

Существует много примеров случайных переменных, причем у них всегда обнаруживаются колебания, а не единственное значение. Многие переменные в стационарном состоянии обнаруживают колебания вокруг определенного значения. Приведенные выше уравнения (6-50) надо понимать в том смысле, что в этом случае производная плотности по времени равна нулю или технологический процесс в элементе процесса только тогда является установившимся, когда характеризуется случайными переменными. [c.247]

В первом разделе этой главы со ссылкой на рис. -1 отмечалось, что установление единственности и устойчивости в малом стационарного состояния еще не обеспечивает необходимой формы траектории. То же можно сказать об области асимптотической устойчивости, поскольку установление ее существования еще не обеспечивает возможности численного расчета. Действительно, система с областью асимптотической устойчивости может быть практически бесполезной, если ее траектории выходят за допустимые пределы, в то время как неустойчивая в малом система может удовлетворять инженерным требованиям, если ее траектории остаются внутри допустимой области. С этой точки зрения требуется новое определение устойчивости, которое полностью отвечало бы практическим целям расчета. [c.102]

По сравнению с данным значением Ul(q p) = 1,6, при котором возможны множественные решения, определение (а) очень грубое, а определение (б) вполне приемлемое. Переход от единственности к множественности стационарного состояния происходит, вероятно, при U/(q p) 2. Большая точность расчетного определения (б) обусловлена тем, что температура реактора в стационарном состоянии близка к значению, которое соответствует максимуму dR/dT. Подтвердить это можно путем вычисления Т из уравнения (II. 86) [c.46]

Второй класс автоколебательных систем характеризуется тем, что автоколебания в них существенно зависят от скорости подачи исходных реагирующих веществ в реактор. В этом случае колебательное поведение системы обусловливается соотношением скоростей транспорта реагирующих веществ в реактор и собственно химической реакцией. Для описания динамического поведения реактора идеального смешения наряду с системой уравнений типа (7.18), описывающей протекание процессов на элементе поверхности, необходимо рассматривать уравнения, описывающие изменения концентраций реагирующих веществ в газовой фазе [116, 131]. Взаимодействие реакции, скорость которой нелинейна, с процессами подачи реагирующих веществ в реактор идеального смешения обусловливает при определенных значениях параметров возникновение нескольких стационарных состояний в режимах работы реактора. При наличии обратимой адсорбции инертного вещества (буфера) в системе возможны автоколебания скорости реакции. При этом на поверхности сохраняется единственное стационарное состояние, и автоколебания обусловлены взаимодействием нелинейной реакции и процессов подвода реагирующих веществ в реактор. [c.319]

В шаровом слое толщины йг) на расстоянии г от центра атома (ядра атома). Из рисунка видно, что в каждом стационарном состоянии электрон может двигаться не только по одной единственной орбите с определенным радиусом, как это было постулировано Бором. Он не движется и по определенной шаровой поверхности, а может находиться на различных расстояниях от ядра. Но некоторый определенный шаровой слой отличается тем, что вероятность нахождения электрона внутри этого шарового слоя имеет наибольшее значение. В направлении от этого слоя к периферии атома вероятность пребывания электрона быстро падает. В направлении внутрь [c.124]

Пусть среда является ждущей, т. е. стационарная точка Р единственна и лежит на устойчивой (для определенности — левой) ветви -образной изоклины (см. рис.5.21). Для одиночного импульса переключение на фронте происходит при значении v == Uq, отвечающем стационарному состоянию элементов среды. Поскольку точка Р лежит выше А, фронт может быть лишь триггерной волной. Чтобы переключение было вообще возможным, необходимо, чтобы Q (vq) было положительным, т. е. [c.168]

ЧТО В каждом стационарном состоянии электрон может двигаться не только по одной-единственной орбите с определенным радиусом, как это было постулировано Бором. Он не движется и но определенной шаровой поверхности, а может находиться на различных расстояниях от ядра. Но некоторый определенный шаровой слой отличается тем, что вероятность нахождения электрона внутри этого шарового слоя имеет наибольшее значение. Б направлении от этого слоя к периферии атома вероятность пребывания электрона быстро падает. В направлении внутрь атома вероятность пребывания электрона может пройти через другой (однако значительной меньший) максимум. Между этими максимумами лежат шаровые слои, вероятность пребывания электрона в которых равна нулю. Это так называемые узловые поверхности стоячих [c.111]

В заключение отметим, что традиционным способом получения в моделях устойчивых диссипативных структур является доказательство неустойчивости всех однородных стационарных состояний. В нашем случае диффузия не может изменить характер устойчивости таких состояний. Единственное и неустойчивое однородное стационарное состояние существует в определенной области параметров для рассмотренного механизма окисления СО (2.6.1), дополненного буферной стадией [437] [c.228]

Вложенными точками удовлетворяющими условию (28.29), будут моменты вхождения системы в состояния 1 и 2. Очевидно, что случайные величины Z (Тп + 0) образуют цепь Маркова с переходными вероятностями рц = р 2 = = О, == Р21 = 1 и стационарными вероятностями р = р1 = 1/2, определенными единственным образом. Следовательно, случайная длина цикла для синхронного ПВТ [c.489]

Мы отметили, что установление любых двух параметров, иными словами, использование двух ограничений полностью определяет стационарное состояние. Обычно одно ограничение накладывается со стороны выхода, т. е. нагрузкой, а другое — на входе, т. е. природой питающего процесса. Два обычных класса машин — это такие, в которых вход ограничен путем фиксирования или постоянного значения движущей силы ( источник постоянного напряжения ), или постоянного значения движущего потока /г ( источник постоянного тока ). Типичные траектории, соответствующие таким машинам, даются линиями а и 6 соответственно на рис. 12.6 и 12.7. Любое стационарное состояние в траектории, обозначенной этим способом, определяется единственным ограничением на выходе. Это ограничение можно наложить, фиксируя значения Х,, или Яь- Каждую из этих возможностей можно представить прямой линией на диаграмме входа — выхода, которая пересекает траекторию, определенную ограничением на входе, в точке, соответствующей стационарному состоянию. Видно, что ни одно из ограничений на выходе, отмеченных выше, не может определить траекторию через область внешней работы. [c.299]

Окончательное формирование градиента pH и фокусирование белков в этом градиенте требуют много времени, так как при подходе к равновесному положению амфолиты и белки утрачивают заряд и движутся очень медленно. Между тем, сортировка амфолитов по значениям р1 и образование градиента pH в основном (как бы вчерне ) происходит быстро. Если вносить белки в гель с одного его конца, например анодного, то уже в самом начале образования градиента pH этот конец закисляет-ся в достаточной степени, чтобы все белки смеси приобрели положительный заряд и начали мигрировать вдоль поля. Заряды белков зависят от их собственных значений р1, поэтому начальные скорости миграции разных белков смеси могут существенно отличаться друг от друга. По мере продвижения вдоль формирующегося градиента pH белки постепенно утрачивают заряд и замедляются, но тоже не одинаково. Раньше всего это произойдет с менее заряженными белками, в данном случае кислыми. Щелочные белки, для которых положение равновесия находится где-то на другом конце градиента pH, будут двигаться быстро почти вдоль всего геля. Происходит разделение белков не в стационарном состоянии фокусирования, а еще до него —в динамическом режиме электрофореза в формирующемся градиенте pH. Фракционирование идет по заряду, но с расширенными возможностями, обусловленными изменением pH вдоль геля. Процесс этот требует не больше времени, чем обычный электрофорез при неизменном pH. Момент его окончания выбирается экспериментатором от равновесного состояния он может быть еще очень далек. Собственно говоря, дело сводится к тому, что явление фокусирования белков используют не до конца, но в такой мере, что уже реализуется его преимущество в разрешающей способности по сравнению с электрофорезом. Единственное, чем приходится пожертвовать по сравнению с истинным ИЭФ — это возможностью определения р1 белков. [c.53]

Разумеется, было бы очень удобно, если бы стохастическая эволюция системы в будущем была предсказуема на основе только той информации, которой мы располагаем в настоящий момент времени I относительно состояния х системы и условий в среде (вся эта информация содержится в вероятности значений <). На более строгом математическом языке вероятность того, что система будет находиться в некоторый будущий момент времени / -Ь Л в состоянии у, должна зависеть только от состояния х системы в настоящее время и от стационарной вероятности (плотности вероятности) Р г), описывающей среду, но не от предыстории. Такая ситуация является самым непосредственным стохастическим аналогом детерминированной ситуации, когда решение Х( ) уравнения (3.1) полностью определено, если задано начальное условие Х(0). Указанное свойство является словесным описанием отличительной особенности марковского процесса. Прежде чем переходить к строгому определению этого важного класса случайных процессов, заметим, что система может обладать указанным выше свойством только при условии, если среда полностью характеризуется одномерной плотностью вероятности ps(г), а не бесконечной иерархией п-мерных плотностей вероятности, как в общем случае. Единственным классом [c.91]

Состояние систем, описываемых уравнением (1.2.1), в каждый момент времени характеризуется единственной величиной — значением переменной х в момент времени t. В первую очередь рассмотрим состояния равновесия системы, обозначив их X (стационарная, или особая, точка). По определению, в этих точках dx/dt = О и, следовательно, /(ж) = 0. Если вывести систему из состояния равновесия, то она будет себя вести в соответствии с уравнением (1.2.1), описывающим ее поведение в области, где уже в отличие от состояния равновесия /(ж) ф 0. [c.21]

Менее заниженными определениями величины 11) для двух рассматриваемых случаев будут 1[) 15,1 по уравнениям (II, 67) и (II, 70) и гр 23 по уравнению (И, 62). Можно сделать вывод, что для данных Ариса и Амундсона ранее сделанный расчет теплопередачи, обеспечивающей единственность стационарного состояния, не может быть улучшен с помощью альтернативного метода. Несколько более точное значение может быть, однако, получено, если применить альтернативный метод к параметрам, приводимым Бергером и Перлмуттером. При 11з 15,1 уравнени е (II, 546) дает [c.43]

Пример 11-6. Используя приводимые ниже данные Ласса и Амундсона (1968 г.). рассчитать минимальную теплоотдачу, которая будет гарантировать единственность стационарного состояния согласно неравенствам (II, 83) и (II, 88). Как занижены эти определения, если принять во внимание, что система имеет три стационарных сзстояния лри и/ дСр) = 1,60 [c.45]

Один из аспектов динамики химических реакций связан с предсказанием качественной динамики реакционной смеси на основе информации о топологии реакционной сети и зависимости скоростей от концентраций различных соединений. Для этой проблемы естественным оказывается теоретико-графовый подход, поскольку структура реакционной сети может быть закодирована в направленном графе, ребра которого взвешены в соответствии с внутренними скоростями реакций. Это в свою очередь приводит к факторизации управляющих уравнений, в результате которой эффекты стехиометрии, структуры сети и феноменология скорости реакции могут быть изучены раздельно. На этой основе легко получить некоторые результаты, связанные с динамикой нестационарных и стационарных состояний, при использовании известных или легко доказываемых результатов теории графов. В частности, возможно классифицировать стационарные состояния и разработать алгоритм для определения того, какие из различных типов стационарных состояний, если они вообще возможны, могут существовать в данной системе. Этот подход ведет также к полному описанию глобальной динамики подмножества того, что называется вершинноуправляемыми сетями. Может быть показано, что уравнения для таких систем всегда имеют единственное стационарное состояние, являющееся глобально асимптотически устойчивым. Кроме того, когда такой тип системы периодически возмущается внешним источником, отклик всегда асимптотически периодичен с периодом, равным периоду возмущающей функции. Следовательно, система этого типа может служить в качестве совершенного преобразователя частоты — свойство, необходимое при решении многих биологических задач. [c.322]

Каждой точке адиабаты II соответствует свое значение Вши. Между том опыт показывает, что данному составу и начальному состоянию горючей смеси соответствует вполне определенное, единственное значение скорости детонацпонной волны, печависимое от прочих условий опыта, как это было отмечено ранее. Поэтому основной задачей теории детонационной волны является нахождение критерия для выбора на кривой Я точки, определяющей единственное значение скорости стационарной дето-Егационной волны. [c.305]

Поставим задачу об определении точек Я, соответствующих экстремуму плотности вероятности (вероятностному потенциалу). Обычно такая точка единственная, например гауссовское распределение имеет единственный максимум, однако существуют системы, в которых возможны по крайней мере два устойчивых состояния. Такие системы широко применяют на практике, в частности упомянутым свойством обладают переключающие и накопительные устройства в компьютерах. В последнее время открыт класс радиоэлектронных, физических, химических и биологических систем. В соответствии с [Хорстхемке, Лефевр, 1987] в качестве индикаторов, сигнализирующих о переходах в стохастических системах, будем рассматривать экстремумы вероятностного потенциала. Во-первых, это прямое обобщение детерминированных понятий, которое оптимально по сравнению с другими вариантами (моментами распределения, так как моменты не всегда однозначно определяют распределение вероятности), а во-вторых, при осреднении теряется информация. Если плотность вероятности имеет два или более максимума, то водоем при одних и тех же условиях может иметь несколько равновесных уровней. Здесь и далее под равновесными состояниями будем понимать уровни, связанные с экстремумом стационарной плотности вероятности, а под уровнем [c.117]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология