Правило сумм и правило произведений

Строгое измерение спектра поглощения воды, разрешив споры о положении перегибов на сложном voH-контуре, одновременно выдвинуло и новые вопросы. Так, измерения контура я (v) показали, что полосы валентных vqh- и voD-колебаний молекулы HDO точно совпадают с полосами симметричных колебаний соответственно молекул НгО и DjO (рис. 51). В результате этого, несмотря на постоянство изотопического смещения полос HjO и D2O, изотопические правила сумм и произведений выполняются хуже, чем это допускает ошибка измерения. Силовое поле, вычисленное исходя из этих частот, дает среднее отклонение 13 см [196], что в 13 раз хуже невязки частот, получаемой для паров воды [182]. [c.136]

Соотношение (1-19) позволяет среднюю квадратичную погрешность Од выразить приближенно через остаточные погрешности е . Для этого правые и левые части равенства (1-19) возводятся в квадрат и суммируются в пределах от 1 до п. При этом считается, что сумма удвоенных произведений погрешностей мала и ею можно пренебречь. При достаточно большом числе измерений п это не вносит в результат существенной ошибки, так как равные по абсолютной величине и противоположные по знаку погрешности встречаются одинаково часто, а, значит, произведения этих погрешностей составляют ряд чисел, среди которых равные по абсолютной величине и противоположные по знаку числа встретятся также одинаково часто и составят в сумме величину, близкую к нулю [c.41]

Это третье правило для независимых переменных характеристическая функция суммы является произведением их отдельных характеристических функций. [c.24]

Аналогичные величины находятся в строке 5 нижней таблицы — суммы произведений чисел ячеек численности одного столбца иа соответствующее значение условного аргумента а. Далее вычисляем произведения (последний столбец правой таблицы) н произведения 5 (последняя строка нижней таблицы). Равенство сумм Zta = sv= 1489 служит контролем правильности вычислений. [c.510]

Правила отбора для эффекта Штарка можно вывести подобно тому, как выводятся любые другие правила отбора. Тройное произведение Г/ХГ ХГ,- должно содержать полносимметричное неприводимое представление, или произведение Г/ХГ, должно содержать Г . В группе 0(3) представление Fji соответствует D . Из соотношения (8.13) видно, что в группе С<х,о это представление сводится к сумме S+ и П. Следовательно, еслн произведение Г/ХГ,- содержит S+ или П, то переход из состояния i в состояние / должен быть разрешен. Существует простое правило умножения представлений группы С<х, [c.183]

Другое следствие правила III состоит в том, что сумма знаменателей в случае дробных значений нижних индексов в названиях смесей изотопных форм (относящихся как к классу А, так и к классу Б) должна быть равна числу изотопных форм, образующих смесь. Из этого правила следует также, что сумма произведений числителей и знаменателей дробных нижних индексов в названии смеси изотопных форм, относящихся к классу А, должна быть равна числу меченых атомов во всех изотоп- [c.14]

Уравнение (4. 31) есть уравнение движеиия единицы объема вязкой жидкости (Навье-Стокса) [881 ого левая часть представляет произведение массы единицы объема (р) на ускорение, правая — сумму сил — давления, вязкости и тяжести,—действующих на ту же единицу объема. Из уравнения Навье-Стокса можно вывести ряд безразмерных определяющих соотношений (критериев). Из них одно, важнейшее, [c.96]

Для вычисления химического сродства и выхода продуктов реакций по равновесным парциальным давлениям паров особо удобной является формула (6.17). В этом случае приходится вычислять произведение парциальных давлений паров, а так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, то берут сумму правых частей (6.17) (с указанными знаками для исходных веществ и с противоположными — для продуктов реакции), причем алгебраическая сумма энтальпий под знаком интеграла дает температурный член теплового эффекта реакции при постоянном давлении Qp, а сумма числителей первого члена — величину теплового эффекта при абсолютном нуле Ср. [c.196]

Таким образом, в получаемой матрице — произведении С будет столько строк, сколько было в матрице А, и столько столбцов, сколько было в матрице В. Практически для вычисления произведения А В удобно записывать матрицы А ъ В таким образом, чтобы верхний правый угол матрицы А касался нижнего левого угла матрицы В. Тогда произведение А В будет такого размера, что оно заполнит прямоугольник, ограниченный продолжением последней строки матрицы А и последнего столбца матрицы В. Элемент произведения А В, стоящий на пересечении -й строки матрицы А и /с-го столбца матрицы В, будет равен сумме попарных произведений соответствующих элементов -й строки А и /с-го столбца В. [c.206]

ПРАВИЛО СУММ И ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЙ [c.93]

Отношение статистических сумм для сложных многоатомных, молекул, которые отличаются каким-нибудь одним изотопическим атомом, находимое с использованием правила произведений частот Редлиха — Теллера, имеет вид [c.571]

Правило произведений и правило сумм могут служить для проверки интерпретации частот, а также для вычисления недостающей частоты колебаний, если известны все остальные частоты. Например, применяя правило сумм к молекулам НгО, ОгО и НОО, найдем [c.179]

Использование вместо гармонических частот юг наблюдаемых частот V приводит и к нарушению таких теоретически строго обоснованных соотношений между частотами, как правило сумм и правило произведений. Для иллюстрации мы приводим в табл. 32 данные для хлороформа и дейтеро.хлороформа. Для этих молекул была найдена полная система коэффициентов ангармоничности [242], что дало возможность вычислить [c.291]

Структурная алгебра вырождается в элементарную структурную алгебру (которая соответствует матричной алгебре, но не наоборот) при условии, что в матрице каждая заполненная (безразлично чем, например полиномом) клетка на диагонали или вне ее соответствует вершине или соответственно связи, а действия — обычные матричные. Кратные связи тогда становятся простыми сумма и произведение п симплексов становится п-симплексом умножение справа на звезду, у которой связи направлены внутрь,, дает тождественную звезду, и, следовательно, она получает свойства (правого) нуля и т. д. [c.376]

Эти правила по существу определяют смысл суммы и произведения операторов. Если АВ действует на функцию так же, как ВА (т. е. порядок операторов несуществен ), то мы пишем АВ=ВА и говорим, что операторы коммутируют. Слова для всех > обозначают для всех функций некоторого специального класса (полностью определенного в гл. 2), и всегда, когда мы говорим об операторах, подразумевается, что они действуют на функции только этого класса. [c.334]

Правило произведения можно распространить п на случаи, когда замещаются атомы разной природы. Практическое применение правила произведения ограничено небольшими по размеру молекулами с высокой симметрией, для которых можно узнать величины переходных моментов. В полимерной спектроскопии оно малоприменимо. То же самое можно сказать о некоторых других правилах, например о правиле суммы, которое связывает сумму квадратов частот [348, 1653, 1654]. Правда, эти правила играют известную роль в контроле за отнесением полос при расчетах нормальных колебаний [1000]. [c.105]

СТИ от длины волны и определить Хтах и форму полосы поглощения. Коэффициент поглощения а равен произведению молярного коэффициента экстинкции на концентрацию а=еС. Следовательно, атах можпо найти, разделив оптическую плотность при Хтах на длину оптического пути. Следует также знать и силу осциллятора обычно она варьирует от 0,6 до 1. Для одиночного электрона действует правило сумм, которое дает максимальное значение силы осциллятора, равное 1. Таким образом, используя приближенное значение /, можно оценить концентрацию центров окраски в кристалле. [c.300]

В сложной молекуле характеристические частоты различных колебаний, как правило, не равны друг другу и колебательная сумма состояний молекулы, обладающей % колебаниями, которые в первом приближении можно считать независимыми гармоническими колебаниями, равна произведению сумм состояний для отдельных колебаний [c.185]

Передаточная функция схемы образуется как некоторая сумма произведений передаточных функций отдельных блоков, не входящих в комплексы, и передаточных функций комплексов. Поэтому полюсы передаточной функции схемы совпадают с полюсами передаточных функций комплексов и передаточных функций блоков, которые не входят в комплексы. В связи с тем, что передаточные функции отдельных блоков не имеют полюсов в правой полуплоскости, полюсы в ней у передаточной функции схемы могут появиться в том и только в том случае, если передаточные функции комплексов будут содержать полюсы в данной полуплоскости. Отсюда получим следующий важный результат необходимым и достаточным условием устойчивости схемы, состоящей из устойчивых блоков, является устойчивость всех ее комплексов [59]. Таким образом, задача исследования устойчивости всей схемы сводится к изучению устойчивости отдельных ее комплексов. Это в ряде случаев позволяет существенно снизить размерность задачи исследования устойчивости сложной схемы. [c.252]

Рассмотрим правую часть уравнения (7.1). Усилие пружины равно произведению жесткости пружины с р на сумму предварительного поджатия Уо и текущего значения хода [c.203]

Теперь можно сформулировать правило вычисления любого детерминанта. Для нахождения значения детерминанта следует умножить каждый элемент первой строки на соответствующий ему минор и полученные произведения алгебраически сложить, взяв их со знаком плюс, если элемент нечетный (первый, третий и т. д.), и со знаком минус, если он четный. Значения миноров, если это необходимо, можно вычислить с помощью того же правила. Таким образом любой детерминант в конечном итоге выражается алгебраической суммой произведений его элементов. В качестве примера можно привести вычисление детерминанта, используемого при рассмотрении молекулы бутадиена методом Хюккеля [c.300]

Сумма в правой части этого уравнения берется по областям. Как и величина области, она не определена. Однако произведение этой суммы на число ячеек в области g представляет собой сумму по ячейкам и, следовательно, некоторую определенную величину [c.161]

Входящая в правую часть формулы (IV, 136) сумма произведений может.быть легко вычислена [c.172]

Величину а можно интерпретировать как множитель, учитывающий вклад произведения У2 в сумме (Ю). Уравнение (10) дает возможность оценить значения а. Действительно, применив к правой части (10) неравенство Коши, имеем [c.134]

Как видно из рис. 4.8, в любом случае прохождения контура через узел / произведения в правой части (4.28) обязательно имеют разные знаки, так что их сумма равна нулю и потому всегда = 0. [c.60]

Для сложных реакций характерным является ход реакции через промежуточные простые этапы (цепной механизм), который в дальнейшем будет рассмотрен более подробно. Стехиометрическое соотношение для сложной реакции, например для тримолекулярной реакции 2На + О2 = 2Н2О, отражает только материальный баланс совокупности простых промежуточных реакций. Протекание простых реакций, например со столкновением двух молекул, реально. Однако вероятность тройного столкновения молекул невелика. Кроме того, сложные прямые реакции, как правило, требуют больших энергетических затрат на разрушение исходных молекул — энергии активации для них велики. Поэтому реакция протекает через промежуточные этапы, в которых часто принимают участие активные центры — отдельные атомы, радикалы, возбужденные молекулы. Для реакций с активными центрами значения энергии активации меньше. Для простых реакций, слагающих сложную, применимы приведенные зависимости для скорости реакции. Однако и для многих сложных реакций формально можно записать, что скорость реакции пропорциональна произведению концентраций в некоторых степенях, необязательно совпадающих со стехиометрическими коэффициентами. (Совпадение было бы, если бы протекание реакции строго соответствовало стехиометрическому уравнению и удовлетворяло теории соударений). Коэффициенты и степени подбираются так, чтобы удовлетворить опытным данным (если это возможно). Сумма показателей степени при концентрациях носит название порядка реакции. Константа скорости реакции для такого уравнения, которую можно назвать кажущейся или видимой, обычно все же с той или иной степенью точности удовлетворяет закону Аррениуса. [c.99]

Пользуясь определением ортогональной матрицы, с помощью правил произведения матриц можно легко показать, что сумма квадратов элементов любой строки или столбца такой матрицы равна единице, а сумма попгфных произведений элементов дпя любой пары строк или столбцов — равна нулю В таком случае говорят, что строки и столбцы матрицы ортонормированы [c.221]

В прямом произведении двух одинаковых представлений [формула (11.15)] представление S" является антисимметризо-ванной частью произведения, а сумма представлений S++ Г2ц — симметризованной. Следовательно, для пространственной функции любого вырожденного уровня двухатомной молекулы, занятого двумя электронами, функция всегда является антисимметричной по отношению к перестановке электронов, а функции S+ и —симметричными. Это правило выполняется не только для гомоядерных, но и для гетероядерных систем, поскольку представления групп D. /, и С x)u рЗЗЛИ чаются только наличием лли отсутствием свойств g и и), характеризующих поведение относительно инверсии. Указанное правило выполняется также и для линейных многоатомных молекул. [c.232]

Следует отметить, что в обозначениях типов симметрии прописные латинские буквы T g и т. п.) используются, как правило, для обозначений типов электронных или вибронных состояний, типов колебаний, а также непосредственно для обозначения неприводимых представлений точечных групп. Строчные буквы используются для обозначения типов симметрии орбиталей ( 1, е, и т. п.) и при указании электроннеш конфигурации состояния [например, (1а е ) и т. п.], причем в последнем случае символ орбитали берется в скобки и справа вверху указывается число заполнения этой орбитали. Прямые произведения и суммы представлений отображаются символами X и -Ь (или если не возникает путаницы) соответственно. В оригинале прописные и строчные буквы не всегда строго выдерживаются при обозначениях орбиталей, прямых сумм и произведений, например (i7l X Е- ) = = (А А 2 -1- Е ) и т. п. Как правило, это не ведет к каким-либо осложнениям, в связи с чем символика автора в подавляющем большинстве случаев сохранена. — Прим. ред. [c.52]

Чтобы найти интересующие нас значения, мы согласно (2.37) должны брать сочетания клеток левой и правой фигур. Так как интеркомбинировать могут только клетки с одинаковыми т и одинаковыми п, то приходится брать сочетания клеток, стоящих в одной и той же горизонтальной полосе (равные т) левой и правой частей одной и той же фигуры чертежа рис. 57 (равные п). Пользуясь совместно рис. 57 и формулой (2.47), мы легко находим и самые валентные вариации при закрепленных значениях атомов фц. Формула (2.47) представляет собой сумму произведений по два числа, из которых левое относится к левой части фигуры рис. 57, а правое — к правой. [c.214]

Рассмотрим еще раз структуру право части фундаме П ального уравнения (1.12.7). Каждый член многочлена, стоящего здесь, есть произведение некоторого параметра состояния (Т, р, ст, Е, 1 ,) на дифференциал другох о параметра состояния (8, и, а-, д, П ). Все параметры, входящие под знак дифференциала, характеризуются тем, что полное значение этого параметра для всей системы равно сумме его значений для частей системы. Так, полный объем системы есть сумма объемов ее частей энтропия системы есть сумма энтропий ее частей и т. д. Про такие параметры говорят, что они аддитивны. Они получили название факторы емкости . Вторая группа параметров характеризуется [c.50]

Средняя водонасыщенность х в зоне, проходимой х-характеристикой, находится пересечением касательной к баклеевской кривой в точке х с прямой Р = 1. Можно сформулировать общее правило для вьшода формулы расчета коэффициента вытеснения средняя водонасыщенность в пласте равна сумме произведений средних водонасыщенностей в зонах, проходимых X-характеристиками, на доли объемов этих зон в поровом объеме штаста. [c.214]

Упражнение. Докажите свойства (1.4.3) и покажите на примере, что условие некоррелированности переменных Л х, является необходимым. Упражнение. Обобщите эти утверждения на сложение более чем двух переменных. Упражнение. Сформулируйте правила для суммы двух или большего числа векторных переменных (дисперсию нужно заменить матрицей ковариаций). Упражнение. Для н е з а в и с и м ы. х переменных кумулянты суммы равны сумме кумулянтов. Соотношение (1.4.3) является частным случаем этого правила. Упражнение. Все три приведен1гые выше правила используют как само собой разумеющееся в кинетической теории газов. Приведите примеры. Упражнение. В пространстве стохастических переменных скалярное произведение можно определить как <А К>. Докажите, используя это определение, что проецирование на среднее является эрмитовым оператором. Упражнение. В пространстве действительных матриц X размером Л хЛ функция [c.24]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология