Матричное представление неприводимое

Для многих задач теории строения молекул важно знать, каковы свойства симметрии произведения двух функций /а, /в, если известны свойства симметрии каждой из них. В теоретико-групповых терминах это означает, что необходимо найти матричное представление Го данного произведения функций исходя из неприводимых [c.199]

МАТРИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ. ХАРАКТЕРЫ. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [c.26]

Матричное представление называется приводимым или неприводимым в зависимости от того, существует пли нет инвариантное относительно действия этого представления собственное подпространство [c.96]

Неприводимое представление. Неразложимое на более простые матричное представление группы. [c.460]

Существует только конечное число неприводимых представлений конечной группы. Сумма квадратов размерностей неприводимых матричных представлений равна числу элементов группы. Обычным путем табулирования неприводимых пред- [c.72]

Матричное представление, для которого существует такое преобразование подобия [т. е. преобразование типа (6.35)], которым оно приводится к блок-диагональному виду [см. (6.38)], называют приводимым, а матричное представление, которое не удается привести к блок-диагональному ШАУ, —неприводимым. Как мы убедимся позднее, понятие приводимости представления [c.126]

Наше дальнейшее рассмотрение будет основываться на определенном соотношении между матричными элементами неприводимых представлений. В выражении (6.44) вР . , — матричный элемент -го неприводимого представления, который расположен на пересечении я-й строки и v-гo столбца матрицы отвечающей операции симметрии 3 группы симметрии С. [c.127]

Из изложенного следует, что все необходимые сведения о свойствах симметрии определенной группы симметрии содержатся в наборах матриц, образующих неприводимые представления этой группы. Однако эту информацию можно представить в еще более сжатой форме. Определим характер элемента Т рассматриваемой группы, которому соответствует матричное представление как след этой матрицы [см. (4.127)] [c.128]

Пока что мы ознакомились только с одним способом построения матричных представлений группы из других представлений (например, неприводимых) —путем прямого суммирования. Существует еще один способ, называемый образованием прямого произведения двух (или большего числа) представлений, который символически обозначается следующим образом Г = = Г, (2) Гз. [c.131]

Таким образом, имеющиеся в нашем распоряжении функции принадлежат к базису приводимого представления. Попробуем теперь построить из них функции, которые образуют базисы неприводимых представлений группы симметрии гамильтониана. Пусть вГ— матричный элемент неприводимого представления г, удовлетворяющий равенству (6.44), а Ф — функция, которая входит в базис приводимого представления. Определим при произвольном, однако в дальнейшем фиксированном значении V функцию следующим образом [c.139]

Возвратимся теперь к модели электрона в электростатическом поле четырех протонов. Прежде всего убедимся, что для описания свойств симметрии прямоугольника достаточно лишь операций симметрии группы D2, как это следует из табл. 6.4 учитывать полную симметрию D2h прямоугольника излишне, поскольку ввиду его плоскостности некоторые операции группы Dih оказываются идентичными. Чтобы доказать приводимость матричного представления, описываемого формулами (6.73а) — (6.73г), необходимо прежде всего выяснить, какие неприводимые представления в него входят. Это нетрудно сделать при помоши формулы (6.56), поскольку, чтобы найти вклады ki отдельных неприводимых представлений в рассматриваемое приводимое представление, достаточно провести суммирование произведений [c.141]

Из предыдущих соотношений можно получить дальнейшие интересные результаты. Любое матричное представление группы должно быть одним из неприводимых предста- [c.243]

Самой важной теоремой в теории групп является теорема, дающая соотношение ортогональности между неприводимыми матричными "представлениями группы. Как указано в гл. X, эта теорема в математической записи гласит [c.493]

Таким образом, любое матричное представление группы симметрии должно быть либо одним из неприводимых представлений группы, либо их линейной комбинацией. [c.51]

Величина [Гг(7 )]тп — матричный элемент тп для операции симметрии Я в -м неприводимом представлении. Например, из (2.5) можно видеть, что [c.26]

На основе теории групп удается сделать заключение о правилах отбора для матричных элементов переходов для различных операторов. Это можно сделать следующим образом. Оказывается, если одна из базисных функций неприводимого представления, отличного от полносимметричного представления, то [c.32]

Чтобы выяснить вопрос об относительной важности членов в разложении второго порядка теории возмущений, следует учитывать два соображения. Наиболее очевидное из них основывается на рассмотрении знаменателя в членах суммы выражения (6.62). Если числители в членах этого выражения принимают сравнимые значения, то те из этих членов, которые отвечают более низким значениям , т. е. меньшим значениям знаменателя, должны давать больший вклад, чем члены, соответствующие более высоким значениям энергии Второе соображение основано на учете симметрии и теории групп. Возмущение в данном случае имеет сферическую симметрию и поэтому преобразуется по полносимметричному неприводимому представлению группы 0(3). Следовательно, только возбужденные состояния, обладающие такой же полной симметрией, как и волновая функция нулевого приближения, должны приводить к ненулевым значениям матричных элементов или Я ,. В общем виде волновые функции нулевого приближения можно записать так [c.117]

Обоснование схем орбитальной корреляции с очевидностью следует из проведенного рассмотрения. Если имеется однозначное соответствие между функциями и ф , то матричный элемент Укр будет отличен от нуля при условии, что возмущение У преобразуется по полносимметричному неприводимому представлению рассматриваемой группы симметрии. При орбитальном описании в качестве такой точечной группы симметрии выбирается та, которая сохраняется при движении системы вдоль координаты реакции. В этой точечной группе координата реакции, а следовательно, и У преобразуются по полносимметричному представлению. Таким образом, для разрешенного пути реакции должно существовать однозначное соответствие между занятыми орбиталями реагентов и продуктов. В этом случае все матричные элементы, Уи ( 1 1 Я отличаются от [c.389]

Матричные элементы оператора (45,2), образованные с помощью функций, относящихся к разным неприводимым представлениям группы равны нулю. Поэтому система уравнений типа (46,2) распадается на систему независимых уравнений, относящихся в отдельности к каждому из неприводимых представлений группы 1>2- [c.208]

Для определения правил отбора нет нужды в явном вычислении матричных элементов (136,6), достаточно знать неприводимые представления, к которым относятся соответствующие колебательные состояния, [c.663]

В одномерных представлениях матричный элемент непосредственно равен характеру, что позволяет нам убедиться в справедливости общего соотнощения (6.44) строки (характеры неприводимых представлений) являются ортогональными векторами. [c.131]

Необходимо подчеркнуть, что эти функции должны быть нормированы (это указывается двойной вертикальной чертой при записи скалярного произведения). Допустим, что функция ф/ входит в базис неприводимого представления Г) группы С, которому соответствует матрица (ГеС), а функция ф/ входит в базис неприводимого представления Гз, которому соответствует матрица (7еС). Когда оба неприводимых представления совпадают, мы будем считать, что они полностью идентичны, а не только эквивалентны. В более широком смысле будем считать функции идентичными и тогда, когда они по-разному нормированы (поскольку в данный момент нас интересуют лишь их свойства симметрии). Выражение (6.59) представляет собой скалярное произведение (число), поэтому действие оператора преобразования симметрии Т на матричный элемент Му не изменяет его значения с использованием (6.49) можно записать [c.134]

Каждому элементу симметрии точечной группы можно сопоставить матрицу, выбранную таким образом, чтобы операции между отдельными матрицами удовлетворяли требованиям (6.3) — (6.6) и, следовательно, соответствовали операциям симметрии. Набор матриц для всех операций симметрии образует представление группы Г. Существует бесконечно большое число таких наборов, связанных друг с другом эквивалентными преобразованиями (приводимые представления). Особое значение имеют неприводимые представления, к которым относятся такие матричные представления, которые не приводятся эквивалентным преобразованием к блок-даагональ-ному виду. [c.189]

Матрица 0(Я) является матричным представлением R. Кроме того, представление 0(Я) неприводимо, так что каждому энергетическому состоянию можно приписать неприводимое представление группы О. [c.72]

В качестве входной информации для небольшого числа электронов могут быть заданы численно матричные элементы неприводимых представлений, отвечащие всем перестановкам данной группы. При большом числе электронов целесообразно численно задавать лишь матричные элементы транспозиций вида так как любая перестановка может быть представлена как произведение таких транспозиций. Это существенно сокращает объем необходимой численной информации, так как число всех перестановок группы равно N1, а число транспозиций указанного вида (Н -1). Информация о матрицах неприводимых представлений группы перестановок может быть задана полностью алгоритмически, так как элементы матриц для транспозиций с последовательными индексами могут быть вычислены по простым правилам Шга и Яманути [ 12 ]. [c.185]

Отсюда следует, что интеграл в выражении (2.17) не равен нулю тогда, когда функция 11) относится к полносимметричному неприводимому представлению либо относится к такому приводимому представлению, в разложении которого на неприводимые содержится полносимметричное представление [1, 2, 3]. Рассмотрим матричный элемент перехода квадрат которого определяет вероятность перехода между состояниями I и / для электрического дипольного излучения [1]. Пусть функции, стоящие под зйаком интеграла, являются базисными функциями представлений Г и Г/ соответственно. [c.33]

Если имеется два неприводимых представления Гь и Гь то для их матричных элементор применима теорема ортогональности [c.78]

В целом же функция Лц) будет преобразовываться по прямому произведению представлений Гд и Г , тогда как все подынтегральное выражение матричного элемента преобразуется по прямому произведению трех представлений Г , Г и Г . Представление Гф совпадает с Г , если его матрицы вещественны (т.е. ортогональны). В противном случае Г и Г различны. Кроме того, если функции ф и гр суть базисные функции одного и того же пространства, на котором действует неприводимое представление Г, , то в Г 0Г,(, должен быть взят лишь симметри-зованный квадрат Г . [c.224]

Итак, пусть ф , и Фз - базисные функции неприводимого трехкратно вырожденного представления Г. Для полносимметричного оператора А подынтегральные выражения матричных элементов на этих функциях <ф А ф > ( , к = 1, 2, 3) будут преобразовываться по представлению Г Г = Г . .., т.е. это представление будет приводимо и будет содержать лишь один раз полносимметричное представление Г . Нетрудно заметить, что функцией, преобразующейся по Г , будет следующая [c.226]

Для двухатомных молекул, где имеется лишь один геометрический параметр - межъядерное расстояние R, в общем случае система уравнений (3) будет несовместна, откуда следует утверждение о том, что потенциальные кривые двухатомных молекул не пересекаются. Пересечение оказывается возможным, лишь если хотя бы одно из условий (3) выполняется автоматически, например, если функции Ф1 и Ф2 относятся к разным типам симметрии (преобразуются по разным неприводимым представлениям) и тогда - в силу теоремы Вигнера-Эккарта - недиагональный матричный элемент обращается в нуль Я 2 = 0. Поэтому более точная формулировка правила непересечения такова потенциальные кривые двух состояний одного и того же типа симметрии, как правило, не пересекаются, тогда как кривые состояний различных типов симметрии пересекаться могут. Наличие пересечения потенциальных кривых соответствует ситуации, изображенной на рис. 9.1.1а, однаю, как правило, они должны вести себя так, как показано на рис. 9.1.16. Точки Rq, где кривые I и [c.417]

Наборы спиновых функций аир опять можно рассматривать порознь, поскольку оператор V не зависит от спина. Требование отличия от нуля матричного элемента (18.8) сводится к условию однозначного соответствия между неприводимыми представлениями всех функций фf и ф , кроме одной пары таких функций для каждого спинового набора. Для такой пары функций тройное произведение Г Г Г должно содержать полносимметричное неприводимое представление точечной группы симметрии системы (здесь Г , и обозначают неприводимые представления, соответствующие фf, V и фс)- Таким образом, общее правило отбора, определяющее, разрешена ли реакция по симметрии, состоит в том, что каждый из спиновых наборов может содержать не более чем по одной одноэлектронной спинорбитали, которые различаются между собой по классификации симметрии для реагентов и продуктов. (Для систем с заполненными электронными оболочками достаточно рассматривать лишь один спиновый набор, поскольку пространственные орбитали для обоих спиновых наборов одинаковы.) Более того, произведение для этих нескоррелированных по симметрии орбиталей определяет симметрию разрешенного движения ядер, так как произведение Г Г Г содержит полносимметричное неприводимое представление только в том случае, если Г содержится в Г Г - [c.387]

К первой категории, очевидно, относится тривиальный случай, когда Ж (вообще говоря, onst). При этом соотнощение (6.62) обусловливает ортогональность некоторых функций только лищь на основании их свойств симметрии. Типичным примером может служить такая ситуация, когда Ж представляет собой гамильтониан (например, хартри-фоковский или одноэлектронный гамильтониан другого типа). Гамильтониан, инвариантен ко всем операциям симметрии данной группы и, следовательно, преобразуется по неприводимому представле нию Aig для этого (одномерного) представления характерно, что все его матричные элементы равны единице (см. табл. 6.4). Свойства симметрии функций <р в соответствии с (6.58) определяются свойствами прямого произведения представления A g (по которому преобразуется оператор Ж) и неприводимого представления Гг (по которому преобразуется базис функций ф, г = 1, 2,. ..), поэтому функции фь фг,. .., Ф/ обязательно должны образовывать базис неприводимого представления Гг. Тогда из соотношения [c.135]