Матричное представление групп симметрия

Матричное представление групп симметрии [c.122]

Таким образом, любое матричное представление группы симметрии должно быть либо одним из неприводимых представлений группы, либо их линейной комбинацией. [c.51]

Таким образом, имеющиеся в нашем распоряжении функции принадлежат к базису приводимого представления. Попробуем теперь построить из них функции, которые образуют базисы неприводимых представлений группы симметрии гамильтониана. Пусть вГ— матричный элемент неприводимого представления г, удовлетворяющий равенству (6.44), а Ф — функция, которая входит в базис приводимого представления. Определим при произвольном, однако в дальнейшем фиксированном значении V функцию следующим образом [c.139]

Согласно общей теории (см. 10), матричный элемент (f .),7 некоторой физической величины fx отличен от нуля только при условии, что произведение представлений X X содержит единичное представление. Здесь Г — представление группы симметрии квантовой системы, по которому преобразуется волновая функция г ,- начального состояния. Г — представление, по которому преобразуется волновая функция т 5й конечного состояния (начальное и конечное состояния предполагаются различными), — представление, по котором преобразуется величина />,. В случае комбинационного рассеяния в кристаллах волновые функции i] , преобразуются по неприводимым представлениям пространственной группы кристалла, а величины в приближении теории поляризуемости являются компонентами симметричного тензора поляризуемости Ср,. [c.411]

Если столбцовые матрицы используются для описания векторов, то квадратные матрицы применяются для представления операций симметрии. Выполнение операций симметрии с вектором фактически является геометрическим преобразованием. Как же можно эти геометрические преобразования перевести на матричный язык Рассмотрим специальный случай и проанализируем, как операции симметрии, характерные для групп симметрии С могут быть применены к вектору, изображенному на рис. 4-4. В матричной форме мы сначала записываем (или обычно представляем себе это в уме) координаты первоначального вектора в верхней строке, а координаты вектора, получающегося в результате операций симметрии, в левом столбце [c.189]

Оба вектора можно использовать при описании валентных колебаний этой молекулы, имеющей симметрию Сг . Рис. 4-7 помогает наглядно проследить, как действуют операции симметрии данной группы в выбранном базисе. В точечной группе Сз имеются четыре операции симметрии Е, С , / и Операция Е оставляет базис неизменным, так что соответствующее матричное представление выражается единичной матрицей [c.195]

Чтобы выяснить вопрос об относительной важности членов в разложении второго порядка теории возмущений, следует учитывать два соображения. Наиболее очевидное из них основывается на рассмотрении знаменателя в членах суммы выражения (6.62). Если числители в членах этого выражения принимают сравнимые значения, то те из этих членов, которые отвечают более низким значениям , т. е. меньшим значениям знаменателя, должны давать больший вклад, чем члены, соответствующие более высоким значениям энергии Второе соображение основано на учете симметрии и теории групп. Возмущение в данном случае имеет сферическую симметрию и поэтому преобразуется по полносимметричному неприводимому представлению группы 0(3). Следовательно, только возбужденные состояния, обладающие такой же полной симметрией, как и волновая функция нулевого приближения, должны приводить к ненулевым значениям матричных элементов или Я ,. В общем виде волновые функции нулевого приближения можно записать так [c.117]

Каждый элемент вектор-строки оказывается линейной комбинацией базисных функций Ыд с коэффициентами, образующими столбцы матрицы С. Если подействовать на вектор оператором к, соответствующим некоторой операции Я группы симметрии рассматриваемой системы, то результат этого действия можно выразить как произведение вектора я и матричного представления К операции / [c.274]

Необходимо подчеркнуть, что эти функции должны быть нормированы (это указывается двойной вертикальной чертой при записи скалярного произведения). Допустим, что функция ф/ входит в базис неприводимого представления Г) группы С, которому соответствует матрица (ГеС), а функция ф/ входит в базис неприводимого представления Гз, которому соответствует матрица (7еС). Когда оба неприводимых представления совпадают, мы будем считать, что они полностью идентичны, а не только эквивалентны. В более широком смысле будем считать функции идентичными и тогда, когда они по-разному нормированы (поскольку в данный момент нас интересуют лишь их свойства симметрии). Выражение (6.59) представляет собой скалярное произведение (число), поэтому действие оператора преобразования симметрии Т на матричный элемент Му не изменяет его значения с использованием (6.49) можно записать [c.134]

Обоснование схем орбитальной корреляции с очевидностью следует из проведенного рассмотрения. Если имеется однозначное соответствие между функциями и ф , то матричный элемент Укр будет отличен от нуля при условии, что возмущение У преобразуется по полносимметричному неприводимому представлению рассматриваемой группы симметрии. При орбитальном описании в качестве такой точечной группы симметрии выбирается та, которая сохраняется при движении системы вдоль координаты реакции. В этой точечной группе координата реакции, а следовательно, и У преобразуются по полносимметричному представлению. Таким образом, для разрешенного пути реакции должно существовать однозначное соответствие между занятыми орбиталями реагентов и продуктов. В этом случае все матричные элементы, Уи ( 1 1 Я отличаются от [c.389]

Мы не обращаем сейчас внимания на то, каким способом вводится понятие представление , и ограничиваемся лишь констатацией того факта, что нам известно матричное представление конкретной группы операций симметрии , Тем самым мы хотим подчеркнуть, что введенным понятиям в настоящий момент не приписывается никакого физического смысла, как это было, например, сделано при описании вырожденных энергетических уровней при помощи определенных представлений. Предположим далее, что известен и набор функций [c.124]

Наше дальнейшее рассмотрение будет основываться на определенном соотношении между матричными элементами неприводимых представлений. В выражении (6.44) вР . , — матричный элемент -го неприводимого представления, который расположен на пересечении я-й строки и v-гo столбца матрицы отвечающей операции симметрии 3 группы симметрии С. [c.127]

Из изложенного следует, что все необходимые сведения о свойствах симметрии определенной группы симметрии содержатся в наборах матриц, образующих неприводимые представления этой группы. Однако эту информацию можно представить в еще более сжатой форме. Определим характер элемента Т рассматриваемой группы, которому соответствует матричное представление как след этой матрицы [см. (4.127)] [c.128]

Каждому элементу симметрии точечной группы можно сопоставить матрицу, выбранную таким образом, чтобы операции между отдельными матрицами удовлетворяли требованиям (6.3) — (6.6) и, следовательно, соответствовали операциям симметрии. Набор матриц для всех операций симметрии образует представление группы Г. Существует бесконечно большое число таких наборов, связанных друг с другом эквивалентными преобразованиями (приводимые представления). Особое значение имеют неприводимые представления, к которым относятся такие матричные представления, которые не приводятся эквивалентным преобразованием к блок-даагональ-ному виду. [c.189]

Возвратимся теперь к модели электрона в электростатическом поле четырех протонов. Прежде всего убедимся, что для описания свойств симметрии прямоугольника достаточно лишь операций симметрии группы D2, как это следует из табл. 6.4 учитывать полную симметрию D2h прямоугольника излишне, поскольку ввиду его плоскостности некоторые операции группы Dih оказываются идентичными. Чтобы доказать приводимость матричного представления, описываемого формулами (6.73а) — (6.73г), необходимо прежде всего выяснить, какие неприводимые представления в него входят. Это нетрудно сделать при помоши формулы (6.56), поскольку, чтобы найти вклады ki отдельных неприводимых представлений в рассматриваемое приводимое представление, достаточно провести суммирование произведений [c.141]

Указанное свойство матриц имеет очень важное значение для теории симметрии. Каждая точечная групна обладает характерным для нее набором элементов симметрии и своей таблицей умножения. Матрицы, отличаясь от операций симметрии своей математической природой, воспроизводят, имитируют самое важное в свойствах точечной группы — таблицу группового умножения, т. е. закон связи между элементами группы, они как бы описывают нам группу, но только на своем языке — языке матричного исчисления. Теперь становится понятным, почему математики, говоря о совокупности квадратных матриц, повторяющих основные свойства группы, употребляют термин представление данной группы симметрии . Каждая группа может иметь бесчисленное множество представлений, которые могут отличаться друг от друга как размерностью своих матриц, так и видом матричных элементов. Часто представление группы осуществляется и просто набором чисел, каждое из которых, впрочем, можно рассматривать как квадратную матрицу единичной размерности. [c.31]

Пусть — это число орбиталей в открытой оболочке, причем в это число включаются теперь все орбитали, принадлежащие некоторому многомерному представлению точечной группы симметрии, и пусть п — число электронов в открытой оболочке. Так, например, для атомной конфигурации имеем п —З, так как существуют три различные р-орбитали, а п=2. Используем теперь тот факт, что сумма всех энергий, полученных в результате решения секулярной проблемы для функций Ф данной орбитальной конфигурации, равна сумме диагональных матричных элементов Яхх. Если обозначить через п —2п2 число спин-орбиталей в нашей открытой оболочке, то для рассматриваемой конфигурации можно будет построить n 1/nl (п —л) различных детерминантных функций (которые мы обозначаем как Ф ). Отсюда легко получить 129] выражение для средней энергии открытой оболочки (после проведения интегрирования по спиновым переменным) [c.172]

Все сказанное выше можно резюмировать следующим образом. Данной молекуле с некоторой группой симметрии А,В, С,. .. можно сопоставить наборы симметричных функций фь фг,. .., ф , которые каждой операцией симметрии из этой группы переводятся в линейные комбинации этих же функций и которые осуществляют некоторое неприводимое представление, обозначаемое Ё) . Вместо того чтобы применять простое матричное обозначение Н для обозначения матриц, сопоставляемых элементам группы Н в представлении ) , и выписывать повернутые функции, определяемые матричным уравнением (17), в виде [c.353]

Теперь мы обладаем достаточными значениями, чтобы вычислить значения различных компонент -тензора радикала. Однако задача может быть существенно упрощена, если воспользоваться теорией групп. Если орбиталь у) преобразуется по неприводимому представлению (G) в группе симметрии G радикала, а оператор L, преобразуется по неприводимому представлению Гд (Q), не равны нулю только такие матричные элементы [c.267]

Нетрудно убедиться и в том, что попарные произведения матриц (6.73) удовлетворяют свойствам матричного произведения (см. табл. 6.2) следовательно, эти матрицы образуют приводимое представление (как можно видеть из табл. 6.4, где даны таблицы характеров группы Дгл, отвечающей симметрии прямоугольника), а рассматриваемые атомные орбитали образуют базис с соответствующими этому представлению свойствами. [c.139]

Пространственные группы были описаны в предыдущий разделах, где было показано, что порядок трехмернох конечной пространственной группы (при выполнении граничных условий Борна) равен NlN2NзH, где Н — порядок фактор-группы. Вообще говоря, любая операция симметрии пространственной группы представляет собой комбинацию элементов трансляционной и точечной симметрии. Поэтому представление пространственной группы состоит из матриц, которые являются произведениями матричных представлений группы трансляций и точечной группы (положение несколько усложняется, если пространственная группа содержит винтовые повороты и зеркальные отражения) [25, 26]. Представления пространственной группы могут быть одномерныАШ, а могут иметь более высокий порядок, вплоть до Я. Уинстон и Халфорд [37] показали, что след [c.111]

Значение теории групп для квантовомеханического исследования молекул и кристаллов состоит в следующем во-первых, теория групп позволяет, исходя только из свойств симметрии системы, провести классификацию электронных и колебательных состояний молекулы и кристалла и указать кратность вырождения энергетических уровней системы во-вторых, на основе теории групп удается установить некоторые правила отбора для матричных элементов, существенные при расчете вероятностей переходов и других характеристик в-третьих, на основе теории групп можно провести качественное рассмотрение возможного расщепления вырожденного уровня энергии при изменении симметрии системы (например, появлении внешнего поля). Наконец теория групп позволяет существенно понизить порядок решаемых уравнений при использовании симметризованных (преобразующихся по неприводимым представлениям группы симметрии системы) функций благодаря тому, что матричные элементы операторов, вычисленные с такими функциями, удовлетворяют некоторым соотношениям общего характера. [c.6]

Рассмотрев все четыре операции в точечной группе 2 , найдем, что полное представление в базисе координат смещения для молекулы НМЫН состоит из четырех матриц размера 12 х 12. Оперирование такими большими матрицами затруднено и требует много машинного времени. Эту задачу можно упростить. Мы здесь не будем подробно обсуждать, как это можно сделать в общем случае, поскольку в следующих главах используется самый легкий и быстрый способ, связанный с применением матричных представлений. Мы просто кратко поясним метод, который приводит малопривлекательные и громоздкие представления операций симметрии к более простой форме [1]. С помощью подходящего преобразования подобия обычную матрицу можно превратить в так называемую б.ючно-диагочальиую матрицу. В такой матрице ненулевые элементы сгруппированы только в квадратных блоках, расположенных вдоль диагонали, проходящей из левого верхнего в правый нижний угол. Например, типичная блочно-диагональная матрица имеет вид [c.199]

Наборы спиновых функций аир опять можно рассматривать порознь, поскольку оператор V не зависит от спина. Требование отличия от нуля матричного элемента (18.8) сводится к условию однозначного соответствия между неприводимыми представлениями всех функций фf и ф , кроме одной пары таких функций для каждого спинового набора. Для такой пары функций тройное произведение Г Г Г должно содержать полносимметричное неприводимое представление точечной группы симметрии системы (здесь Г , и обозначают неприводимые представления, соответствующие фf, V и фс)- Таким образом, общее правило отбора, определяющее, разрешена ли реакция по симметрии, состоит в том, что каждый из спиновых наборов может содержать не более чем по одной одноэлектронной спинорбитали, которые различаются между собой по классификации симметрии для реагентов и продуктов. (Для систем с заполненными электронными оболочками достаточно рассматривать лишь один спиновый набор, поскольку пространственные орбитали для обоих спиновых наборов одинаковы.) Более того, произведение для этих нескоррелированных по симметрии орбиталей определяет симметрию разрешенного движения ядер, так как произведение Г Г Г содержит полносимметричное неприводимое представление только в том случае, если Г содержится в Г Г - [c.387]

Можно сформулировать следующую теорему о подавлении пусть необходимо вычислить матричный элемент оператора физической величины Рщ(г), преобразующейся по строке у неприводимого представления Г точечной группы симметрии задачи, на функциях основного вибронного состояния Угу ( С), и пусть известны волновые функции исходного электронного терма тргуС/")-Теорема подавления утверждает, что [c.234]

К первой категории, очевидно, относится тривиальный случай, когда Ж (вообще говоря, onst). При этом соотнощение (6.62) обусловливает ортогональность некоторых функций только лищь на основании их свойств симметрии. Типичным примером может служить такая ситуация, когда Ж представляет собой гамильтониан (например, хартри-фоковский или одноэлектронный гамильтониан другого типа). Гамильтониан, инвариантен ко всем операциям симметрии данной группы и, следовательно, преобразуется по неприводимому представле нию Aig для этого (одномерного) представления характерно, что все его матричные элементы равны единице (см. табл. 6.4). Свойства симметрии функций <р в соответствии с (6.58) определяются свойствами прямого произведения представления A g (по которому преобразуется оператор Ж) и неприводимого представления Гг (по которому преобразуется базис функций ф, г = 1, 2,. ..), поэтому функции фь фг,. .., Ф/ обязательно должны образовывать базис неприводимого представления Гг. Тогда из соотношения [c.135]

Смотреть страницы где упоминается термин Матричное представление групп симметрия: [c.221] [c.34] [c.225] [c.140] [c.142] [c.62] [c.265] [c.225] [c.29] [c.84] [c.386] [c.386] [c.73] [c.124] [c.128] [c.137] [c.144] [c.204] [c.115] [c.386]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология