Сферические тензоры

Сферические тензоры. При вычислении матричных элементов различных операторов целесообразно классифицировать эти операторы по их поведению при повороте системы координат. С этой точки зрения обычное определение тензора в декартовой системе координат неудобно по той причине, что из компонент тензора рангах 2 можно составить ряд линейных комбинаций, которые ведут себя различным образом при враш.ении системы координат. Естественно возникает необходимость такого определения тензора, при котором все его компоненты и любые линейные комбинации из этих компонент преобразовывались бы при повороте системы координат единым образом. Такому условию удовлетворяет совокупность (2х Ч-1) сферических функций Уу,д X—1,. .., —X. Определим поэтому тензор ранга х как такую совокупность (2х+1) величин, которые при враш.ении системы координат преобразуются так же, как сферические функции Кх<7. Определенные таким образом тензоры называются сферическими тензорами или неприводимыми тензорами. В соответствии с этим определением неприводимый тензорный оператор Гх ранга X представляет собой совокупность (2х+1) операторов Тщ [c.107]

Поскольку тензор симметричен и имеет равный нулю след, из компонент можно построить сферический тензор второго ранга (см. (14.11) —(14.13)). Компоненты этого тензора пропорциональны сферическим функциям С (Оф). Сферические компоненты 8)п вектора 5 образуют тензор первого ранга В соответствии со сказанным выше тензорное произведение [c.114]

Здесь гамильтониан каждого взаимодействия разложен на компоненты неприводимых сферических тензоров с рангом L и номером компоненты т. Величина зависит от всех пространственных [c.80]

Выражение для элемента (ахц) п приводимого сферического тензора [см. уравнение (III, 5-4а)] имеет вид [c.135]

После подстановки уравнений (IV, 7-16) и (IV, 7-17) в (IV, 7-15) выражение для приводимого сферического тензора будет иметь вид [c.137]

Подстановка компонент неприводимого тензора в выражение для приводимого сферического тензора приводит к соотношению [c.138]

Уравнения движения для неньютоновских течений могут быть получены из уравнений Навье - Стокса, записанных в компонентах тензора напряжений зависимостями (1.101), (1.102). В случае осесимметричного обтекания уравнения Навье - Стокса в сферических координатах можно записать в виде [c.32]

Покажите, что производные любой скалярной функции (в том числе компонент тензора или вектора) в прямоугольных координатах можно вычислить из ее производных в сферических координатах по следующим формулам [c.129]

До сих пор говорилось о -факторе как о скалярной величине, но это можно делать только при рассмотрении спектров ЭПР изотропных образцов, например растворов. В общем случае -фактор— величина тензорная, и условия резонанса зависят от ориентации парамагнитного объекта относительно поля. При свободном движении парамагнитных частиц в газе или растворе все ориентации равновероятны и происходит усреднение, так что тензор становится сферически симметричным, т. е. характеризуется единственным параметром . То же относится к другим изотропным системам. На практике, однако, часто исследуют спектры ЭПР анизотропных систем, таких, как замороженные растворы, парамагнитные центры в монокристаллах, объекты в матрицах, различные твердые образцы и др. Во всех этих случаях -фактор должен рассматриваться как симметричный (имеющий осевую симметрию) или асимметричный (неаксиальный) тензор. Его при соответствующем выборе системы координат всегда можно диагонализовать и получить три главных значения -фактора gyy и дгг. Если при [c.58]

Существует также прямое взаимодействие векторов моментов магнитных диполей электрона и ядра, которое зависит от величины момента ядра и от угла, образуемого вектором ядро — электрон, с направлением магнитного поля. В изотропных системах при хаотическом движении частиц это взаимодействие усредняется. В общем случае, как и -фактор, константа СТВ а —величина тензорная. Только для изотропных систем этот тензор характеризуется одним параметром (сферическая симметрия), а для анизотропных систем имеет два (симметричный волчок — эллипсоид вращения) или три (асимметричный волчок) независимых параметра. Удобно разделить тензор СТВ на изотропную и анизотропную части. Анизотропная составляющая связана как раз с прямым дипольным взаимодействием и обратно пропорциональна кубу расстояния между ядром и электроном, усредненного по волновой функции электрона. При значительной анизотропии тензора СТВ спектры ЭПР сильно усложняются и для их анализа требуется компьютерная обработка с соответствующими программами, составленными по алгоритмам решения задач с разной записью гамильтонианов взаимодействия сложных систем с полем. [c.62]

Электронное окружение квадрупольного ядра в молекуле, не обладающее сферической симметрией, создает неоднородное электрическое поле, которое характеризуется градиентом напряженности электрического поля на ядре (рис. IУ.2). Имеет место взаимодействие ядра, обладающего электрическим квадрупольный моментом eQ с градиентом поля ед. Энергия этого взаимодействия зависит от ориентации эллипсоидального квадрупольного ядра относительно системы главных осей тензора градиента электрического поля, а ее мерой является константа квадрупольного взаимодействия Аналогично тому как квантуется энергия вращающегося электрона в поле положительного ядра, квантуется и энергия квадрупольного взаимодействия. Иными словами, возможны различные квантованные ориентации ядерного квадрупольного момента и соответствующие квадруполь-ные уровни энергии. Эти уровни присущи данной молекулярной системе, т. е. являются ее свойством, в отличие от зеемановских уровней ядер и электронов в спектроскопии ЯМР и ЭПР, которые появляются при воздействии внешнего магнитного поля. Разности энергий, как и сами энергии квадрупольного взаимодействия, зависящие от электрического квадрупольного момента ядра eQ и градиента неоднородного электрического поля е , невелики, и переходы соответствуют радиочастотному диапазону 1(И, 10 Гц, Прямые [c.90]

Градиент неоднородного электрического поля, создаваемого на ядре окружающими зарядами, также представляет собой симметричный тензор, след которого Ьхх+ иуу+ и, а в системе главных осей тензор диагонален. Введем новые обозначения элементов этого тензора хх=ихх, Яуу=иуу, дгг=Игг. При сферической симметрии поля д ,.—дуу = д , т. е. д==0. При осевой симметрии поля, что часто встречается на практике, т. е. для характе- [c.93]

Если учесть возможное отклонение распределения заряда ядра от сферической симметрии (квадрупольный момент ядра), то тензор ар вследствие вращательной симметрии ядра можно представить в виде [c.198]

В том случае, когда ядро не является сферически-симметричным, но обладает вращательной симметрией относительно оси, по которой направлен полный момент ядра, и если электроны обладают распределением с вращательной симметрией относительно оси J (полный момент оболочки атома), в (XI.4а) и (XI.46) исчезают недиагональные члены и тогда тензоры момента и градиента могут быть приведены к главным осям. Выражение (XI. 16) принимает вид [c.205]

Если тензор квадрупольного момента ядра не сферический и не аксиально симметричный, то для учета асимметрии вводят величину, называемую параметром асимметрии. Эта величина обычно обозначается т] и равна [c.206]

Далее, тензор градиентов скорости (в размерной форме) можно представить р виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров, причем последний характеризует вращение жидкости как твердого тела с угловой скоростью, равной половине вектора вихря. Свободно взвешенная в жидкости сферическая частица будет стремиться прийти во вращение с такой же угловой скоростью. Благодаря инерции частицы скорость ее вращения будет подстраиваться к скорости вращения жидкости с временем релаксации, равным произведению отношения плотностей частицы и среды на характерное время Однако, как было отмечено выше, при малых числах Рейнольдса, рассчитанных по радиусу частицы и скорости ее относительного движения, величина aVv мала по сравнению с временным масштабом мелких вихрей, а для взвесей частиц в капельных жидкостях отношение плотностей частиц и среды будет порядка единицы.Отсюда следует,, что время релаксации много меньше временного масштаба мелких вихрей, т. е. скорость вращения частицы можно считать всегда совпадающей с локальной скоростью вращения жидкости. [c.105]

Декартову систему координат, связанную с главными осями тензора сдвига, обозначаем Хз, Хд. Без ограничения общности будем считать, что 2 О, Е О (г. е. 7 з I = шах j 1). В сферической системе координат, [c.145]

Из соотношения (3,4) следуе.т, что на поверхности сферической капли или твердой частицы имеются шесть изолированных особых критических- точек, располол енных па главных осях тензора сдвига 1) 0 = 0 2) 0 = я 3) 0 = я/2, ф - 0 4) 0 = я/2, ф = я 5) 0 = я/2, ф — л /2 [c.146]

Простой аппарат аффинных ортогональных тензоров находит широчайшее применение в современной физике, как-то механика систем точек и сплошных сред, классическая и квантовая электродинамика и т. д. Лишь в тех случаях, когда необходимо учитывать требования общей теории относительности или использовать криволинейные системы координат (сферические, цилиндрические и т. д.). приходится пользоваться тензорами более общего характера, определенными по отношению в достаточной мере произвольных преобразований (1,3) и (1,3а). [c.17]

Тензор натяжений определяется соотношениями (57,1) в сферической системе координат. В этой системе согласно [c.257]

Значительно сложнее, чем в плоском случае, проводится проверка формул (44)—(46) для тензора давлений на согласование с условием механического равновесия. Обращаясь к этому важному вопросу, рассмотрим предварительно два частных случая цилиндрическую и сферическую граничные поверхности. [c.193]

Формула (57) позволяет найти любую локальную величину в окрестности центра сферической капиллярной системы. Приведем лишь выражение для локального тензора давлений. В случае сферически симметричной задачи тензор давлений в окрестности центра симметрии будет [как в этом легко убедиться, например, с помощью условия механического равновесия (49)] пропорционален единичному тензору. Последнее означает, что тензор давлений сводится к одной составляющей— [c.198]

Форма многих частиц отличается от сферической. Иногда их форму можно аппроксимировать эллипсоидом. Пусть u,, й,, з полуоси эллипсоида, а i ,, i 2, R3 компоненты трансляционного тензора в направлении этих полуосей. В частном случае а = а, ат = а = b эти компоненты равны [c.160]

Компоненты тензора ц зависят от формы и ориентации частицы. Если частица имеет сферическую форму, то ц не зависит от ориентации частицы и (8.133) можно переписать в виде [c.184]

Чтобы выразить компоненты магнитных тензоров в диффузионной системе координат, можно воспользоваться соотношениями между сферическими компонентами тензоров в различных системах отсчета (формула А45 в [4]). В явном виде зти соотношения выглядят так [c.227]

Ориентация оси г" в молекулярной системе координат описывается лишь одним эйлеровым углом 0 угол (f может принимать одно из двух значений О или п /2, поэтому сферические компоненты магнитных тензоров становятся вещественными. Формула для вычисления матричных элементов оператора I полностью совпадает с выражением для элементов типа Ь К Му, Ь д в первом случае. [c.231]

Для удобства вычислений целесообразно церейти от декарто-вого к сферическому тензору квадрупольного момента. Компоненты сферического тензора преобразуются при произвольном повороте а системы координат по закону [c.4]

Дро — перепад давления в псевдоожиженном слое высотой Н г — радиальная координата с началом в центре пузыря гь — радиус сферической или цилиндрической полости радиус кривизны верхней сферической поверхности пузыря Гс — радиус облака вокруг пузыря Real — действительная часть функции Rik — тензор, описывающий напряжение Рейнольдса для текучей среды (ожижающего агента) [c.118]

Энергия квадрупольного взаимодействия д отлична от нуля только в том случае, когда не равен нулю интеграл (1У.6), т. е. распределение заряда ядра не имеет сферической симметрии. Наличие спина ядра / 1 придает распределению заряда ядра эффективно цилиндрическую симметрию. Если принять за главную ось эллипсоида вращения, представляющего тензор квадрупольного момента, ось = 2, то, учитывая, что ++ = ИМвбМ Qxx—Qvv = — Qzг 2. Таким образом, для определения квадрупольного момента ядра нужен, как уже говорилось, всего один параметр Q Qгz, а выражение энергии квадрупольного взаимодействия (1У.7) в координатах 1=х, у, г можно переписать в виде [c.93]

Допустив, что растворитель приближенно можно рассматривать как гомогенную 1И изотропную диэлектрическую среду, в которой молекулы растворенного вещества располагаются в сферических яолостях (тогда тензор упрощается до скалярного параметра /е), и что дипольный момент молекул растворенного вещества можно представить как точечный днполь, локалязо- [c.428]

О величине расщепления в кристаллическом поле можно судить на основании качественных соображений или на основе расчетов. Здесь мы обсудим только качественные соображения. Взаимодействие каждого электрона на -уровне металла с совокупностью отрицательных ионов, окружающих металл, можно представить в виде суммы двух вкладов. Один из них соответствует однородному сдвигу в сторону повышения энергии, поскольку электрон отталкивается отрицательными ионами, а другой— расщеплению вырожденного уровня энергии. (С математической точки зрения потенциал кристаллического поля содержит вклад со сферической симметрией и вклад, обладающий свойствами тензора четвертого ранга.) Если -орбитали рассматриваются в действительной форме, то можно судить об относительной величине расщепления по расстоянию между ионными Лигандами и пучностями орбиталей. Чем дальше расположены Ионы от этих пучностей, тем меньше отталкивание электронов Металла от лигандов. Действительные формы -орбиталей обозначаются как (эта орбиталь сосредоточена главным обра- [c.317]

Обычно изучаются системы только с одним неспарепным электроном. Один электрон порождает дублетное состояние. Для изолированного электрона в магнитном поле возможен только один переход. Однако в молекуле, имеющей парамагнитные ядра, энергетические уровни неспаренного электрона рас щепляются в результате взаимодействия с этими ядрами. Кон-станты взаимодействия (которые называются константами сверхтонкой структуры и обычно обозначаются символом а) пропорциональны вероятности нахождения электрона вблизи соответствующего ядра. Поэтому метод ЭПР позволяет экспе-риментально определять распределение электронной плотности по орбитали, на которой находится неспаренный электрон. Зна-чение -фактора Ланде для электрона может оказаться анизотропным (зависеть от угловой ориентации), если он находится не в сферическом окружении. В жидкой фазе анизотропия усредняется вследствие молекулярного движения, однако она может наблюдаться в твердой фазе. Анализ обусловленного наличием анизотропии -тензора дает сведения о симметрии [c.361]