Тензор векторное на вектор

Понятия производного тензора и дивергенции можно представить наглядно. Рассмотрим в векторном поле v (г) скоростей потока жидкости элемент объема жидкости вокруг точки Рд, заданной локальным вектором Гд + Дг. Скорость находящейся здесь частицы с локальным вектором г - Аг в соответствии с определением производного вектора равна [c.366]

Необратимые процессы принято подразделять на скалярные, векторные и тензорные соответственно тому, какое поле прихо дится использовать для описания процесса скалярное, вектор ное или поле тензора второго ранга. К группе скалярных про цессов относятся, например, химические реакции (скорость ре акции в каждой точке характеризуется скалярной величиной) Векторными процессами являются, в частности, теплопровод ность, диффузия (с ними связаны поля вектора потока тепла и вектора диффузии). Наконец, к тензорным процессам можно отнести вязкие течения. Следует отметить, что классификация процессов по их тензорным свойствам не формальна, а физически связана с содержанием принципа Кюри (см. разд. П1.5). [c.129]

Можно заметить, что (III. 59) есть закон преобразования скаляра, (III.60) и (III.61) — векторов (III.62)—тензора второго ранга. Таким образом, в общем случае, объекты L44, Li р, Lai, Lap, где а, Р = 1, 2, 3, описывают соответственно влияние скалярной силы на скалярный поток, векторной силы на скалярный поток, скалярной силы на векторный поток и векторной силы на векторный поток. [c.143]

Получим теперь феноменологические уравнения вида (5.193) в соответствии с выражением (5.205). Ранее было сказано, что каждый поток является линейной функцией всех термодинамических сил. Однако потоки и термодинамические силы, входящие в выражение (5.205) для диссипативной функции, обладают различными тензорными свойствами. Некоторые являются скалярами, другие — векторами, а третьи представляют собой тензоры второго ранга. Это значит, что при преобразованиях системы координат их компоненты преобразуются различным образом. В результате оказывается, что при наличии симметрии материальной среды компоненты потоков будут зависеть не от всех компонент термодинамических сил. Это обстоятельство называют принципом симметрии Кюри. Самой распространенной и простой средой является изотропная среда, т. е. среда, свойства которой в равновесном состоянии одинаковы во всех направлениях. Для такой среды потоки и термодинамические силы различной тензорной размерности не могут быть связаны друг с другом. Поэтому векторные потоки должны линейно выражаться через векторные термодинамические силы, тензорные потоки — через тензорные термодинамические силы, а скалярные потоки — через скалярные термодинамические силы. Сказанное позволяет написать следующие линейные феноменологические уравнения [c.88]

Поскольку изменением силы в пределах бесконечно малой площади можно пренебречь, напряжение определяют как силу, отнесенную к бесконечно малому элементу площади, на которой находится данная точка. Однако через каждую точку можно провести бесконечное множество различно ориентированных сечений. Поэтому при данном способе нагружения компоненты напряжения будут зависеть от ориентации выбранного сечения. Поскольку сила и нормаль к элементарной площадке являются векторными величинами, напряжение в данной точке тела характеризуется векторной функцией от векторного аргумента. Каждому вектору-нормали к выбранному сечению соответствует определенное напряжение. При известных допущениях такая векторная функция однозначно характеризуется шестью скалярными коэффициентами. Она называется тензором напряжения [1, с. 519 3, с. 39 19—20). Изучение сложных напряженных состояний в терминах тензорного исчисления имеет большое значение при аналитическом описании этих состояний. [c.13]

Следует обратить внимание на то, что величины, входящие в (4.7.11)—(4.7.16), имеют иную тензорную размерность, чем их аналоги в (4.7.2), (4.7.4), (4.7.5), (4.7.7) и (4,7.8). Так, производные по времени, стоящие в левой части балансовых уравнений для скалярных свойств, представляют собой скаляры, тогда как соответствующие производныев (4.7.11)—(4.7.15) являются векторами. Поверхностные плотности потоков скалярных свойств суть векторы, а векторных свойств — тензоры второго ранга. [c.249]

Градиент Ф характеризует изменение электрического потенциала от точки к точке он равен электрическому полю с обратным знаком. Направление вектора совпадает с направлением наибыстрейшего изменения скаляра, а его величина дает скорость изменения скаляра в этом направлении. С другой стороны, градиент векторного поля образует тензор. Тензор имеет девять составляющих, поскольку необходимо описать скорость изменения каждой составляющей вектора в каждом из трех направ- [c.442]

В 39 было показано, что симметрия кристалла накладывает определенные ограничения на векторные свойства кристаллов в кристаллах, в которых нет полярных единичных направлений, не может быть свойств, описываемых вектором, т. е. тензором первого ранга. [c.217]

При пьезоэлектрическом эффекте возникшее в кристаллах электрическое поле можно охарактеризовать вектором электрической поляризации Р, вектором электростатической индукции D или вектором Е, а действующее на кристалл механическое усилие — тензором механических напряжений Т ц или тензором деформаций ец. Таким образом, тензорное воздействие вызывает векторное явление (или обратно) Pi Tju и, следовательно, связывающее их свойство кристалла должно быть тензором третьего ранга согласно схеме (4.1) реакция = свойство X воздействие или [c.251]

Значения векторных и тензорных величин обозначаются жирными символами. Например, я представляет собой вектор теплового потока и т — девиатор тензора напряжения. [c.429]

Правила отбора для антисимметричного тензора Ра можно получить, основываясь на том, что такой тензор эквивалентен аксиальному вектору и ведет себя при преобразованиях координат, как векторное произведение двух векторов. При поворотах тензор Ра ведет себя, как обычный полярный вектор, т. е. так же, как дипольный момент/, при отражениях — как симметричный тензор. [c.155]

При помощи тензора еш векторное произведение двух полярных векторов а н Ь приводит к аксиальному вектору с согласно соотношениям [c.308]

Вводный курс векторного исчисления можно найти в ряде учебников, например в работе [1]. В настоящей книге для обозначения скаляров применяется светлый латинский шрифт, векторов — жирный латинский шрифт, тензоров — жирный греческий шрифт. Кроме того, для обозначения скалярного произведения используют круглые скобки, а для векторного — квадратные. [c.75]

В качестве примера физической системы, в которой тензорная величина вызывает отклонение векторного поля, можно привести течение жидкостей через пористые среды. Согласно известному закону Дарси, движение жидкости в изотропной среде всюду происходит в направлении, противоположном направлению градиента давления, т. е. выполняется соотношение — р = Р , где коэффициент Р зависит от вязкости жидкости и проницаемости среды. Когда среда неизотропна, векторы — ур и о уже не направлены в одну и ту же сторону и закон Дарси должен быть заменен другим законом, имеющим вид — р = = [Р-о], где р — тензор второго ранга. [c.663]

Тензоры (111,4-7) могут быть представлены в виде векторного произведения обычных векторов (гл. II). Эти векторные произведения есть аксиальные векторы, и, таким образом, трансформационные [c.78]

Тензор первого ранга. Вектор является в математическом отношении тензором первого ранга. Векторная функция / (если оси координат выбраны) может быть, как широко известно из курса физики, разложена на 3 компоненты /1, /2, /3, параллельные осям координат Х1, Хг, хз (рис. У.19). [c.401]

Тензоры второго ранга и определяемые ими свойства. При рассмотрении таких векторных свойств, как, например, электропроводность, приходится, с учетом большой сложности явления (вызванной суперпозицией симметрии поля и симметрии строения вещества), пользоваться тензорами второго ранга. В самом деле, если электрическое поле, определяемое вектором Е, действует на изотропный проводник, то по последнему течет ток, величина которого характеризует- [c.401]

Дается векторное представление совокупности дифференциальных уравнений Ван-дер-Ваальса, описывающей моновариантные равновесия в многокомпонентных системах. Особенностью рассмотрения является введение метрического тензора, матрица которого в исходном базисе образована вторыми про-изводны.ми термодинамического потенциала Гиббса. Получены разложения вектора, характеризующего смещение состава общей фазы с температурой, в базисе, образованном нодами, и во взаимном ему базисе, образованном векторами, направленными по касательным к изотермо-изобарическим кривым многофазных равновесий. [c.195]

Здесь p обозначает тензор давления (см. 11.2), — тензорное произведение двух векторов (краткие определения и законы векторного и тензорного анализа даны в 11.3), g — ускорение свободного падения. [c.186]

Векторное произведение тензора на вектор. В результате згмножения тензора второго ранга т на вектор V получается вектор, компоненты которого образуются по следующему правилу [c.663]

Тензор рассеяния не единственный. В технике и физике применяют другие тензоры, такие, как тензоры деформации и напряжения, тензор моментов инерции, тензор g-факторов (в атомной физике). Тензоры деформации и напряжения встречаются при изучении деформации тел под действием внешних сил. Деформация не всегда параллельна направлению приложенной силы, поэтому возникающие при деформации тела силы сопротивления, вообще говоря, анизотропны. Тензоры или диады могут быть очень простыми наиболее простым тензором, тензором нулевого ранга, является скаляр. Векторы также служат примерами тензоров. Обычный вектор представляет собой тензор первого ранга. Тензор рассеяния и тензор напряжения — тензоры второго ранга. Такие тензоры также называют диадами. Полиады — тензоры высших рангов, например тензор гиперкомбинационного рассеяния света. При рассмотрении свойств тензоров используется аппарат векторной алгебры. [c.40]

Подобным же образом выражается и второе слагаемое четвертого уравнения системы (6-50), для которого сокращение Grad также начинается с большой буквы G, потому что оно обозначает не вектор градиента скалярного пространства, а тензор градиента векторного пространства (пространства скоростей). [c.71]

Если напряжения и токи отождествляются с инкрементами и с соответственно, то уравнение (6) ведет к уравнению (1) при условии, что сеть составлена из положительных сопротивлений. В таком случае сеть, обладающая активным сопротивлением, с положительными сопротивлениями и п независимыми звеньями гомологична л-мерному метрическому многообразию. Может быть показано, что преобразование между ковариантными к контравари-антными компонентами эквивалентно преобразованиям сети, осуществляемым путем сопоставления измерений разомкнутой и короткозамкнутой цепи [11]. [В обычных терминах тензорного исчисления для метрического векторного пространства силы представляют ковариантные векторы, тогда как токи — контравариантные векторы / и их скалярное произведение соответствует инварианту (тензору нулевого порядка) [c.435]

Неравновесные процессы принято подразделять на скалярные, векторные и тензорные, если потоки и силы являются соотв. кaляpa ш, векторами или тензорами. В зависимости от этого для описания процессов нужно использовать скалярное, векторное поле или поле тензора 2-го ранга. К группе скалярных процессов относят, в част1юсти, хим. р-цни (скорость р-ции в каждой точке внутри системы характеризуется скалярной величиной). К векторным процессам относят, напр., теплопроводность и диффузию (с [c.537]

Отметим, что тензор (6,1) в элементарном векторном исчислении удается представить в виде вектора, обозначаемого url А или rot Л, с условием, однако, выбора правовращающих или левовращающих систем координат, т. е. с отбрасыванием не сводящихся к вращениям преобразований зеркального отражения координатных осей х = — в соотношениях (1,9). Вектор rot Л является, таким образом, искалеченным тензором (6,1). Искусственный характер представления тензора (6,1) в виде вектора виден, в частности,из того, что это возможно сделать только в пространстве трех измерений, где вследствие антисимметрии тензор (6,1) имеет только три независимые компоненты, которые и можно отождествить с тремя компонентами вектора. В пространствах другого числа измерений это сделать уже нельзя, так как тензор (6,1) будет иметь число независимых компонент, не равное числу компонент вектора. Например, в пространстве четырех измерений (6,1) имеет шесть независимых компонент, а вектор — только четыре. Помимо rot Д, существуют и другие векторы, называемые аксиальными , которые по сути дела являются отображениями антисимметричных тензоров. Таковы, например, векторы площадки, момента силы, угловой скорости и т. д. [c.28]

Развитая выше асимптотическая теория плоских поверхностных слоев может быть обобщена естественным образом, если каждая иа граничащих фаз содержит произвольное число компонентов. Необходимые изменения, например, в формуле (4) (после предварительной подстановки РоХо = Зр/5(г) и в формулах (5), (6), сводятся к следующему 1) величины р( ), Ро, Г и производная д/дц заменяются векторами с составляющими соответственно р1 , ро4, Гд и д/дlls (нижние латинские индексы характеризуют компоненты системы) 2) величины р( ), ро Л, В заменяются тензорами с составляющими соответственно Рз Ро и -4к, 3) произведения векторов и тензоров понимаются в смысле внутренних (свернутых) произведений при этом равенство (4) становится векторным, равенство (5) — тензорным, а каждое из двух равенств (6) — скалярным. [c.48]

Следуя терминологии, принятой в Transport Phenomena , в данно11 книге тензоры обозначены светлыми греческими буквами (а. т, е и т. д.), векторы— полужирными латинскими буквами А, В, v и т. д.), скалярные величины—светлыми буквами Р, [J, Т и т. д.). Тензорно-векторные операции умножения обозначаются различными типами скобок, например (А-В)—это скаляр, [АхВ]—вектор, — тензор. [c.405]

Этот тензор (или диада) антисимметричный. При рассмотрении поля излучения осциллирующего магнитного диполя (см. гл. I) было показано, что магнитный дипольный момент может быть представлен в виде векторного произведения двух векторов. Поэтому рассеянное излучение, связанное с антисимметричным тензором, можно рассматривать точно так же, как и излучение осциллирующего магнитного диполя. Например, тензору [c.50]

Величины р и р" названы в [б5] тангенциальными давлениями в объемных частях обеих фаз на хранице с поверхностным слоем. Такое определение, однако, следует признать неудачным, так как и р" - в действительности не тангенциальные давления, а векторные плотности тангенциальных сил. В самом деле, двумерная дивергенция двумерного тензора б (правая часть соотношения (145)) является двумерным вектором. Но разность скал фных величин (в соответствии с определением понятия давление ) з левой части (145) цредставляет скаляр. Так что условие (145) в такс понимании явно неправильно. В действительности р и р надо понимать как вектора с компонентами р , р и р , соответственно (по осям йс ж у ось 2 совпадает с нормалью к поверхности). [c.196]

Напомним, что тензор нулевого paHia — это скаляр. Тенгюр первого ранга называется вектором. Векторная величина оп[)едс-ляется величиной и направлением. Чтобы чадать вектор в трёхмерном пространстве, необходимо использовать три числа, что [c.35]

К тензорам первого ранга относятся векторные величины. Векторами являются градиенты скаляров, в частности градиенты интенсиалов — температуры, давления, электрического и химического потенциалов и т. д. Следовательно, сила [c.154]

В общем случае можно говорить о появлении некоторой тензорной характеристики на каждом атоме, имея в виду, что скаляр и вектор также являются тензорами нулевого и первого ранга соответственно. Возникающая в результате фазового перехода диссимметричная фаза задается указанием соответствующей атомной характеристики на каждом атоме кристалла, сведения о которой получаются из эксперимента. В соответствии с идеей Ландау состояние диссимметричной фазы может быть охарактеризовано небольшим количеством величин, образующих в своей совокупности й-компонентный параметр порядка. Для выявления параметра порядка в данной диссимметричной фазе и установления неприводимого представления, по которому произошел переход из исходной фазы, необходимо, как следует из соотношения (1.23), вычислить базисные функции неприводимых представлений группы симметрии исходной фазы. Базисные функции следует, очевидно, строить из локализованных а томных функций скалярного, векторного, псевдовекторного и т.д. типов в соответствии с тем, какая физическая характеристика возникает в диссимметричной фазе на каждом отдельном атоме. Ниже излагается универсальный метод лострое- [c.21]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология