Нелинейные методы наименьших квадратов (методы нелинейных оценок)

Какой же алгоритм лучше всего использовать для вычисления констант устойчивости Ответить на этот вопрос не просто, поскольку проблема оценки параметров нелинейным методом наименьших квадратов в целом сложна. Традиционно в этой области (за двумя исключениями [35, 36]) используется либо метод Гаусса — Ньютона с процедурой оптимального сдвига Хартли [50] или без нее, либо метод Силлена [7], который в [c.92]

РуХу (рис. 24), Ф —Ха и Ф, —РуХу (рис. 23 и 24). Для количественной обработки опытов применяем уравнение (11-80), подбирая на ЭВМ нелинейным методом наименьших квадратов наилучшие оценки В результате находим 1/ 0=0,41 0,03. Исходя из этого значения к 1ко и формулы-(11-80) построены кривые рис. 23 и 24, из которых видно их хорошее соответствие эксперименту (точки). [c.125]

Метод наименьших квадратов для нелинейной функции представляет собой метод расчета с последовательными приближениями. При расчетах в счетно-вычислительную машину вместе с наблюдаемыми величинами (вращения, длины волн и веса) вводятся пробные значения параметров (At, А , Дг, В, С, Q). Эти пробные значения затем улучшаются программой при каждом цикле расчета таким образом, чтобы уменьшить величину СКО. Когда величина СКО при двух последовательных приближениях уменьшается не более чем на 1%, считается, что расчеты привели к решению задачи. Необходимо заметить, что сходимость при расчетах данного типа очень чувствительна к выбору исходных значений параметров. Плохая оценка одного или большего числа критических параметров (Xi, Д,) может помешать сходимости, даже если значения остальных параметров оценены хорошо [c.244]

Для статического метода с мембранным нуль-манометром измерения давления (Рд ) и температуры (Гэг) можно считать элементарными. Ввиду этого, рассматривая только случайную составляющую ошибки измерения, для экспериментальных величин разумно предположить нормальный закон распределения. Тогда очевидно, что распределение любой нелинейной функции от этих величин будет отличаться от нормального. По этой причине применение метода наименьших квадратов с произвольной целевой функцией не всегда приводит к оценкам искомых параметров, обладающим требуемыми статистически-АШ свойствами (см., например, [1 ]). При выборе целевой функции следует принять во внимание также и тот факт, что случайные ошибки, а следовательно, и дисперсии экспериментальных величин в общем случае различны для каждой экспериментальной точки. [c.99]

Основные процедуры регрессионной оценки коэффициентов простых градуировочных зависимостей рассмотрены ранее (см. гл. 2). Однако при учете матричных эффектов с помощью выражений типа (3.11) или (3.14) необходимо иметь в виду, что они являются нелинейными относительно искомых параметров. Поэтому использовать традиционный вариант метода наименьших квадратов, предназначенный для линейных градуировочных моделей, в данном случае не корректно. [c.90]

При формальном подходе к использованию схем оценивания, применяемых в математической статистике, нетрудно прийти к выводу, что они не соответствуют линейным моделям в основном из-за того, что ошибки измерений здесь содержатся не только в правых частях, но и в элементах матриц коэффициентов. В нелинейных же моделях ошибки измерений сосредоточены в правых частях, тем самым вьшолняются условия для оценивания по методу наименьших квадратов. Определение оценок параметров 8 и Х[ и их дисперсий а . и а ( ) (/= 1,..., и) можно осу- [c.157]

Заканчивая описание методических вопросов, связанных с оценкой ползучести полимерных материалов, необходимо кратко остановиться на общем подходе к определению численных значений параметров процесса. Во многих случаях ядра ползучести таковы, что они содержат несколько параметров, и при этом система уравнений, составленная для отыскания этих параметров по экспериментальным данным, является нелинейной. В этом случае применение метода наименьших квадратов для оценки параметров существенно усложняется и требует привлечения ЭВМ. Иллюстрацией этого является излагаемый ниже метод нахождения констант в уравнении (111.23). Для оценки параметров 8о = ао/оо, 6, т и т] необходимо найти минимум функционала [c.58]

Для распространения метода наименьших квадратов на тот случай, когда зависимые переменные являются нелинейными функциями независимых переменных, необходимо в уравнении (4.22) выразить зависимые переменные (наблюдаемые величины о,) как функции /1 от т неизвестных параметров х,-. Пусть х°1...х°т)—первоначальная оценка значений параметров. Представим функцию /о ее разложением в ряд Тейлора около точки (л °ь. ..., Х т) [c.85]

Важным этапом в решении задач обработки экспериментальных данных является выбор метода отыскания наилучших значений параметров искомой зависимости. По существу задача определения наилучших значений параметров зависимости, минимизирующих определенную оценку, является задачей минимизации функции многих переменных. В тех случаях, когда искомая зависимость ищется в форме нелинейной функции, решение этой задачи может представить определенные трудности, поскольку приходится применять общие методы решения задач отыскания минимума функции многих переменных — методы нелинейного программирования [1]. Лишь когда искомая зависимость Р (х , %,..., а ) является линейной функцией параметров (у = 1, 2,..., 5), например, при отыскании аппроксимирующего полинома, наилучшие значения параметров (/ = 1, 2,..., ), в особенности при использовании критерия оценки среднеквадратичного отклонения (11—8), могут быть найдены относительно просто, для чего используется метод, называемый методом наименьших квадратов (см. стр. 319). [c.299]

Константы А и Е обычно определяют из графика зависимости к от 1/Г, где соответствующие значения к определены экспериментально с использованием уравнения (7.3). Хотя это удовлетворительный метод для быстрых первоначальных оценок зависимости скорости реакции от температуры, больший объем информации можно получить путем непосредственного вычисления величин А и Е. Для этого применяется статистический метод нелинейной оценки по способу наименьших квадратов при этом определяется также степень достоверности. [c.225]

Большинство известных работ по определению кинетических констант для каталитических процессов относится именно к такого рода данным. Возникающая при этом задача связана с минимизацией некоторого функционала в классе нелинейных алгебраических уравнений и подобна той задаче, которую приходится решать при обработке экспериментальных данных непрерывного процесса (в установившемся состоянии). При этом с помощью специальных преобразований исходную задачу сводят к статистической, решаемой методом наименьших квадратов (для линейных задач) или нелинейных оценок (для нелинейных задач). При таком подходе возможно использование дисперсионного анализа для оценки значимости констант известны оценки адекватности моделей и т. д. Описанная методика позволяет в принципе решить задачу дискриминации механизма реакции. Число работ по дискриминации механизма различных реакций вычислитель-но-статистическим путем еще очень мало, а применительно к процессам полимеризации таких работ практически нет. [c.77]

Однако несмотря на эти недостатки, графические методы могут быть использованы для первоначальной оценки параметров, необходимой в программах, разработанных для расчета по нелинейному методу наименьших квадратов, в качестве отправной точки для последующего уточненйя. Кроме того, графические методы позволяют увидеть картину в целом и часто могут быть рекомендованы для обобщения результатов анализа по методу наименьших квадратов. Это особенно полезно в спектрофотометрическом анализе, когда рассчитанные спектры можно изобразить графически (вручную или с помощью ЭВМ). Опыт и знания химика служат тогда окончательным критерием достоверности вычисленных значений параметров. Если на график нанести две кривые — одну, рассчитанную на ЭВМ, а другую, построенную по измерениям зависимой переменной, то можно наглядно видеть характер отклонений — разности между рассчитанными и наблюдаемыми значениями зависимой переменной. Для анализа результатов всегда желательно напечатать отклонения. [c.85]

В данном примере исследования демонстрируется возможность объективного построения химической модели систем, изучаемых спектрофотометрическим методом. Основой для построения модели служит качественная информация, получаемая из спектрофотометрических данных и дополненная химическими наблюдениями двух систем, исследуемой и подобной ей. Затем альтернативные модели могут быть объективно и сравнительно легко проверены с помощью программы DALSFEK, применяемой для расчета по нелинейному методу наименьших квадратов. В качестве выходных данных на этой стадии анализа получают наилучшие оценки значений параметров и их стандартные отклонения. [c.245]

III. Программа DALSFEK для вычисления констант устойчивости по нелинейному методу наименьших квадратов с оценкой поправок [c.319]

Это позволяет, используя уравнение (6.46), где Яу заменено параметрическим соотношением (6.51), сформулировать новую модель, известную как модель Диллона—Риглера или Диллона— Риглера и Кирхнера [432]. Следует отметить, что Рекхау и Чэпра [435], применяя метод наименьших квадратов к нелинейному регрессионному соотношению, произвели независимую оценку постоянных коэффициентов в формуле (6.51). В результате эти авторы рекомендуют к использованию следующий вариант формулы для Яс [c.205]

Как известно, метод наименьших квадратов (МНК) позволяет получать оценки, обладающие важными оптимальными свойствами, или близкие к нши как в случае линейных, так и нелинейных по параметрам моделей [1]. Если случайная величина [у) и неслучайная (х) связаны соотнотениедх [c.94]

Проблема анализа данных существенно усложняется, если кинетическая модель не может быть выражена линейным соотношением. Математическое определение линейности звучит следующим образом функция / (а, х) линейна относительно а, если дЦда независима от а. Опубликованы компьютерные программы для трех основных методов обработки нелинейных кинетических выражений все эти методы используют процедуру итерации и по этой причине реализуются на сравнительно мощных ЭВМ. Эти методы имеют также другую общую черту — для оценки неизвестных параметров необходимо ввести их исходные приближенные значения. Процедура итерации включает минимизацию остаточной суммы квадратов, как и по методу наименьших квадратов применительно к уравнению линейной регрессии [41]. Бард [42, 43] дал детальный обзор этих методов, а Нэш [44] опубликовал аннотированный библиографический обзор. [c.170]

Нахождение параметров уравнений основано на принципе максимума правдоподобия, согласно которому наилучшими оценками параметров являются те, которые при подстановке в уравнения (вместе с параметрами процесса в каждой опытной точке) обеспечивают наибольшую сходимость расчетных значений с экспериментальными данными. Максимум функции правдоподобия при нормальном законе распределения ошибок достигается при минимуме взвешенной суммы квадратов отклонений между экспериментальными и вычисленными значениями концентраций или выходов, т. е. rainS( — i) /(Ti , где <Тг —дисперсия опытов в данной точке. Дисперсия большей частью неизвестна, поэтому ее считают постоянной, минимизируя простую сумму квадратов отклонений, т. е. 2(С,— i) . Следовательно, поиск констант уравнений сводится к методу наименьших квадратов (МНК), который имеет две разновидности ли-мейный и нелинейный МНК- [c.84]

Методом наименьших квадратов, с использованием данных температурной зависимости констант скоростей реакции, были вычислены предварительные значения предэкспоненциальных множителей и энергий активации рассматриваемых реакций, которые далее были уточнены методом нелинейных оценок на ЭВЦМ типа БЭСМ (см. табл. 28). [c.95]

Более корректный путь оценки нагрузки с водосборного бассейна требует прежде всего установить соответствие между концентрацией вещества и расходом воды в замыкающем створе [Уо11еп №е1(1ег, 1989]. Это может быть сделано с помощью построения зависимости концентрация расход и нахождения затем, например, уравнения регрессии по методу наименьших квадратов. В общем случае искомая зависимость заведомо будет нелинейной, и, как минимум, возможны следующие варианты. [c.24]

После того как будут выбраны центры и нелинейная функция, необходимо произвести обучение сети. Логично поиск весов ко,..., Хпг осуществить с применением метода наименьщих квадратов (МНК). При этом определение коэффициентов X сводится к решению системы уравнений, которую можно записать в следующей матричной форме Х Х = X, (4) где л, - оценки коэффициентов X,. Доказано, что данная система имеет решение, если ее определитель отличен от нуля. Также известно, что при увеличении числа оцениваемых параметров система (4) становится плохо обусловленной, что затрудняет оценк> параметров либо делает ее вообще невозможной. Однако при практической реализации МНК на ЭВМ может оказаться, что определитель системы (4) близок к нулю даже при небольшом числе оцениваемых параметров, особенно когда точки Х равномерно распределены на интервале [а,Ь]. Учитывая специфику нейронных сетей, а именно большое количество оцениваемых весов, применение МНК в традиционном виде оказалось непригодным, что было подтверждено практическими испытания.ми. В случае использования ортогонального метода наименьших квадратов удается получить точные оценки параметров модели независимо от их числа. Более того при данном подходе возможно произвести оценку влияния каждого параметра сети на точность аппроксимации, что при использовании обычного МНК невозможно из за наличия корреляции. [c.175]

Определенному максимуму некоторой целевой функции могут соответствовать различные пары параметров. Например, на рис. 4.9 любая пара величин внутри одного из эллипсов всегда будет включаться в эту определенную величину целевой функции. Выбор нужной пары, которую находят путем определенного расчета, зависит от алгоритма и начальных величин параметров. Среди многих методов, применяемых для оценки параметров в области фазового равновесия, наиболее предпочтительным являются метод нелинейных наименьших квадратов, метод градиентов и симплексный метод. Первым из них пользовались Хирата и др. [57], последним — Гмелинг и Онкен [309]. [c.196]