Теплопроводность, тепло дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение теплопроводности. Процесс распространения тепла теплопроводностью может быть описан математически дифференциальным уравнением. Это уравнение выводят на основе закона сохранения энергии, при этом предполагают, что тепло распространяется в теле (среде), физические свойства которого — плотность р, теплоемкость с и теплопроводность к — не изменяются по направлениям и во времени. [c.122]

Если в уравнении теплопроводности (6.9) заменить локальное изменение температуры полным [согласно (6.41)], то в результате получим дифференциальное уравнение конвективного переноса тепла Фурье — Кирхгофа [c.134]

Параболическое уравнение теплопроводности в декартовых координатах. Нестационарное распределение температуры в анизотропном твердом теле с внутренними источниками тепла описывается дифференциальным уравнением параболического типа [c.28]

В зависимости от характера связей между параметрами процесса или его физической модели математическое описание может быть представлено в виде алгебраических, дифференциальных или интегрально-дифференциальных уравнений. Для иллюстрации напомним, что дифференциальное уравнение теплопроводности, полученное на основе закона сохранения и закономерности переноса тепла, является математическим описанием класса явлений теплопроводности. Если схематизировать какой-нибудь отдельный случай теплопроводности, сфор" мулировать краевые условия и решить полученную замкнутую систему уравнений, то в результате мы будем иметь математическую модель рассматриваемого конкретного случая теплопроводности. В тех случаях когда для решения системы уравнений применяются вычислительные машины, математическое описание по существу уже является и математической моделью. [c.16]

Ознакомление с этими процессами необходимо производить при однократном или периодическом нагревании или охлаждении какого-нибудь тела. Целью расчета может быть, например а) определение времени, необходимого для нагревания стального блока, поставленного в печь, или какого-либо аппарата, или стенок печи, обладающих большой теплоемкостью в период пуска б) определение условий, необходимых для того, чтобы в соответствующий промежуток времени довести материал до желаемой температуры, например в прессе с обогреваемыми плитами и т. п. Однако прежде всего процессы неустановившейся теплопроводности являются основой детального анализа работы так называемых регенераторов тепла, которые будут рассмотрены ниж -. Исходным началом рассуждений о неустановившейся теплопроводности является дифференциальное уравнение Фурье. [c.96]

Если пренебречь термодиффузией кт = О, О = 0), то из уравнения (16) получим дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье с источником тепла. Дифференциальное уравнение диффузии массы (15) аналогично дифференциальному уравнению теплопроводности Фурье. Поэтому все решения, полученные для нестационарных задач теплопроводности, можно применять к расчетам нестационарной диффузии массы. [c.24]

Передача тепла теплопроводностью в неподвижном слое жидкости описывается дифференциальным уравнением Фурье [c.126]

Дифференциальное уравнение конвективного нереноса тепла. При конвективном теплообмене тепло распространяется в жидкости одновременно теплопроводностью и конвекцией. Процесс распространения тепла за счет, теплопроводности математически описывается дифференциальным уравнением теплопроводности (6.13) [c.134]

Уравнение (VII,Ю) определяет температуру в любой точке тела, через которое тепло передается теплопроводностью, и называется дифференциальным уравнением теплопроводности в неподвижной среде, или уравнением Фурье. [c.267]

Задачи горения, следовательно, можно охарактеризовать как нестационарные задачи турбулентной массо- и теплопроводности при наличии динамических источников вещества и тепла. Но хотя такое представление и определяет пути анализа процессов горения, конкретное решение задач теории горения при этом затруднено. Исследование процессов горения должно развиваться по пути составления систем интегро-дифференциальных уравнений, соответствие которых истинному ходу процесса следует проверять сопоставлением результатов решений этих систем с данными эксперимента. Именно так и развивается ныне теория горения, причем наиболее подробно исследуются крайние случаи, когда в сложном комплексе вопросов можно абстрагироваться от некоторых из них. В частности, установилось деление процессов горения на области протекания. Так, при анализе явлений термического распада природных топлив для мелких частиц при низких температурах можно пренебречь временем прогрева и рассматривать процесс как чисто кинетический распад сложного вещества на более простые соединения. Наоборот, при прогреве крупных кусков топлива в среде высокой температуры основным является ход нагрева. Можно принять, что сам термический распад происходит мгновенно. Появляется деление процесса на крайние области — кинетическую и тепловую, в каждой процесс может быть описан более простыми уравнениями, чем в общем случае протекания процесса в промежуточной области. [c.5]

Дифференциальные уравнения (2—8) и (2—10) определяют передачу тепла теплопроводностью в самой общей форме, без учета форм тела, через которое проводится тепло, свойств тела и свойств окружающей среды, т. е. эти уравнения описывают только класс явлений теплопроводности. Конкретные условия тег Лопроводности для того или иного частного явления можно установить, если задать граничные условия, характеризующие данное явление. [c.286]

В работах [9—11] вопрос об обобщении опытных данных по тепло- и массообмену при испарении и конденсации из парогазовой смеси был рассмотрен для условий, когда возможно пренебрегать межфазным кинетическим сопротивлением переносу вещества на поверхности раздела и дополнительными молекулярными эффектами — термодиффузией и диффузионной теплопроводностью. Путем анализа методами теории подобия дифференциальных уравнений и граничных условий для бинарного пограничного слоя на полупроницаемой поверхности было установлено, что уравнения подобия для коэффициентов тепло- и массоотдачи при указанных условиях можно в общем случае [c.117]

Динамика передачи тепла стенкой описывается, во-первых, зависимостью теплоотдачи от площади ее поверхности и, во-вторых, дифференциальным уравнением в частных производных для теплопроводности самой стенки. Для теплоотдачи внутренней поверхности трубы справедливо уравнение [c.249]

Формулы (24,3) и (24,4) показывают, что коэффициент теплоотдачи и число Нуссельта являются весьма сложными физическими величинами. Для теоретического расчета их необходимо знание температурного поля в текущей среде, которое является одним из интегралов системы дифференциальных уравнений (10,1) или (21,1) для ламинарных и турбулентных потоков. Лишь в частном случае покоящейся среды проблема сведется к интеграции последнего уравнения системы (10,1). превращающегося в уравнение теплопроводности. В общем же случае необходимо разыскание интегралов всей системы уравнений (10,1) или (21,1). Следовательно, проблема конвективного теплообмена не может рассматриваться изолированно от гидродинамической проблемы. Та и другая должны решаться совместно. Эта совместность решения говорит о глубокой взаимосвязи явлений трения и распространения тепла в движущихся средах, выражением которой будет связь между коэффициентами гидродинамического сопротивления и теплоотдачи. В такой постановке задача определения этой связи крайне сложна. О попытках решения ее для течений в трубах и обтекания тел простейших форм будет сообщено далее. [c.100]

Ход физических процессов определяется дифференциальными уравнениями, содержащими производные разных порядков по координатам и времени тех или иных физических величин (температур, плотностей, потенциалов, силовых полей и т. д.), геометрическими размерами области пространства, в которой эти физические процессы происходят, начальными и граничными условиями. Сказанное можно пояснить на простом примере процесса распространения тепла в покоящихся средах, который определяется известным уравнением теплопроводности, являющимся частным случаем уравнения энергии системы (10,1) при равен-, дР [c.122]

Рассмотрим жидкость, движущуюся с постоянной скоростью -ш в направлении оси ОХ в пространстве, внутри которого имеется источник тепла. Составим дифференциальное уравнение теплопроводности для этого случая. [c.300]

Процесс переноса тепла в среде за счет теплопроводности и конвекции характеризуется дифференциальным уравнением [c.529]

Широко используемые дифференциальные уравнения с основными решениями, представленными в общей форме, приведены в табл. 2.7. В табл. 2.8 перечислены общепринятые граничные условия для случая передачи тепла теплопроводностью. [c.41]

Для вывода дифференциального уравнения теплопроводности выделим в теле элементарный параллелепипед с ребрами с1х, йу и йг (рис. 6.1). Если через этот элементарный параллелепипед тепло распространяется теплопроводностью, то через грани левую, заднюю и нижнюю за время ск в него входят количества тепла соответственно Qx, Оу и Ог, а через противоположные грани — правую, переднюю и верхнюю — выходят количества тепла соответственно Ох+йх, Оу+Лу и Ог+йг- [c.112]

Это уравнение дает возможность решать задачи, связанные с распространением тепла в теле (среде) теплопроводностью как при установившемся, так и при неустановившемся тепловом потоке. При решении конкретных задач дифференциальное уравнение дополняется начальными и граничными условиями, характеризующими каждую конкретную задачу. [c.113]

Для рещения задачи о распространении тепла внутри пластины, а также внутри любого твердого тела дифференциальное уравнение теплопроводности (6.9) должно быть дополнено уравнением, характеризующим условия на границе раздела фаз твердое тело — жидкость. Такое уравнение может быть получено в результате следующих рассуждений. [c.141]

Из дифференциального уравнения теплопроводности (IV.51) следует, что тепловой поток в стационарном режиме равен нулю. Следовательно, количество тепла, подведенного извне в единицу времени, должно быть равно количеству тепла, отводимого в единицу времени с расплавом [c.166]

Для многих целей существенно изучение различных физических свойств газовых эмульсий электрических (электропроводности, диэлектрической проницаемости, электрической прочности), магнитных, тепловых (теплоемкости, тепло- и температуропроводности), оптических (рассеяния и поглощения света) и других. Детально обсудить эти свойства в данной книге невозможно, и мы ограничимся рассмотрением лишь наиболее важных для газовых эмульсий электрических свойств. Отметим, однако, что дифференциальные уравнения, описывающие электрические, магнитные, тепловые поля и установившиеся потоки электрического тока, электрической и магнитной индукции, теплоты совпадают по форме [18, 19, 230—232], вследствие чего для гетерогенных систем Оделевский предложил [230] ввести термин обобщенная проводимость , под которой понимается их электропроводность, диэлектрическая и магнитная проницаемости, теплопроводность. Это позволяет описывать некоторые свойства гетерогенных систем, в том числе газовых эмульсий, однотипными зависимостями. [c.111]

Все многообразие существующих методов определения коэффициентов тепло- и температуропроводности, а отчасти также методов определения теплоемкости основано на решениях дифференциального уравнения теплопроводности [c.55]

Поскольку нестабильность материалов, склонных к самовозгоранию, обусловливается главным образом тепловым характером самоускоряющихся реакций разложения, предложено [36] рассчитывать безопасные условия хранения материалов исходя из теории теплового взрыва [25]. Для расчета принимают нулевой порядок реакции самонагревания в материале и считают, что она подчиняется закону Аррениуса кроме того, принимают, что материал изотропен и его физические и химические свойства не зависят от температуры. Дифференциальное уравнение теплового баланса для стационарного состояния между генерируемым в материале теплом и его потерей в результате теплопроводности через поверхность материала представляется в виде [37] [c.49]

При решении внутренней задачи общей основой расчетов распространения тепла в твердых телах является дифференциальное уравнение теплопроводности в той или иной специфической записи. При решении этого уравнения необходимо учитывать начальное тепловое состояние тел и характер теплообмена, происходящего между ними и окружающей средой. [c.623]

Теплспроводность при нестационарном режиме. В наиболее общем виде зависимость изменения температуры твердого тела и количества переданного тепла от времени может быть установлена путем решения дифференциального уравнения теплопроводности [уравнение (УП,10) . Однако аналитические решения, даже при упрощающих допущениях, оказываются громоздкими и сложными для практических целе й эти решения приводятся в специальной литературе . [c.306]

На основе указанной особенности в теории ламинарного горения разработаны методы, позволяющие существенно упростить описание явления. В самом деле, зону химических реакций можно рассматривать как некоторый пограничный слой. Тогда решение этой внутренней задачи (т.е. распределения концентраций и температуры в зоне реакций) находится с помощью сравнительно простых методов, поскольку в уравнениях диффузии и теплопроводности перенос тепла и вещества вдоль фронта пламени несуществен, и, следовательно, достаточно, проинтегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений. При решении внешней задачи химические реакции можно не учитывать, а сращивание внутреннего и внеишего решений позволяет определить положение фронта пламени. [c.8]

Так, например, Р. Вискантаи Р. Грош [46], решая задачу одновременного переноса тепла в поглощающей среде теплопроводностью и излучением в простейшей модели (две параллельных изотермических серых плоскости бесконечных размеров), пришли к (нелинейному интегро-дифференциальному уравнению, которое было приведено к нелинейному интегральному уравнению, лосле чего численные результаты получили методом последовательных приближений с использованием вычислительной машины. Для расчета теплообхме на рекомендованы два приближенных метода. [c.54]

Уравнение теплового потока, выведенное в предыдущем параграфе, дает возможность рассчитать теплообмен при вынужденной конвекции для различных случаев, если сделать соответствующие допущения относительно формы кривой распределения температуры. Прежде чем заняться таким расчетом, необходимо вывести дифференциальное уравнение, описывающее энергетические зависимости в движущейся среде. Это уравнение выводится из баланса энергии в стационарном элементе объема, расположенном в иоле потока. Тепло в элемент объема может быть передано теплопроводностью или перенесено движущейся жидкостью через границы элемента. Кроме того, тепло может быть выделено внутренними источниками. Такие источники тепла всегда присутствуют в движущемся потоке вязкой жидкости, поскольку напряжения сдвига вызывают внутреннее трение и превращают кинетическую энергию в тепло. При небольших скоростях изменения температуры, вызванные внутренним трением, малы и ими обычно можно пренебречь. При больших скоростях потока вопросы влияния трения важны. В деле развития высокоскоро-стнрй авиации оци привлекают к себе большое внимание [c.215]

Ураанение (7-3) вместе с уравнениями Навье — Стокса описывает температурное поле вязкого потока. Для обычных потоков числовые значения теплопроводности так малы, что кондуктивный перенос тепла становится заметным только в той области, где конвективный теплообмен мал из-за малых скоростей. Мы знаем, что такая область всегда существует около поверхности твердых тел, потому что там скорость потока уменьшается до нуля. Как следствие этого можно ожидать, что теплопроводность таких потоков следует рассматривать только вблизи твердых поверхностей. Другими словами, ожидается, что будет существовать тонкий слой, вдоль твердой поверхности, в котором теплопроводность равна по значению конвекции тепла, тогда как вне этого слоя перенос тепла теплопроводностью относительно так мал, что им можно пренебречь. Этот слой будет называться тепловым пограничным слоем. Теперь упростим дифференциальное уравнение, описывающее поток тепла в этом тепловом пограничном слое, путем учета порядка малости его членов. Рассуждения будут такими же, как и для гидродинамического пограничного слоя двухмерного потока. Соответственно этому членами в уравнениях (7-3) и (7-4), под которыми стоит нуль, пренебрегают. [c.217]

Как уже отмечалось, в полупрозрачных монокристаллах перенос тепла осуществляется фононной и радиационной составляюшдми теплопроводности, то есть имеет место радиационно-кондуктивный теплообмен. В этом случае задача сводится к решению интегро-дифференциальных уравнений. Точный учет радиационной составляющей трудно осуществить. В настоящее время имеются [c.56]

В заключение отметим, что в нашей постановке задачи о сушке топлива горячими газами расчетные уравнения отличаются от системы уравнений Иыкова (7.50) тем, что в них пренебрегается диффузией влаги и расход тепла на испарение влаги относится к границе испарения. При этом мы считаем, что при большой интенсивности сушки топлива горячими продуктами сгорания скорость сушки определяется подводом тепла к зоне испарения за счет теплопроводности куска топлива, а выход влаги в впде пара не лимитирует этот процесс. Лыков [445] указывает, что строгое аналитическое решение данной им системы дифференциальных уравнений (7.50) не всегда возможно. Он приводит следующую формулу для скоростп сушкп [c.451]

Анализ этого процесса в нензотормических условиях представляет почти непреодолимые математические трудиости. В этом случао целесообразно применять методы теории подобия. При этом к дифференциальным уравнениям, описывающим процесс газообразования и выгорания в слое (см. стр. 383), нужно добавить уравнения теплопроводности в твердой и газовой с]юдах с учетом тепла, поглощенного и выделенного химическими реакциями [c.456]

Если речь идет о переносе какого-либо вещества в т рдую частицу (или переносе какого-либо вещества из твердых частиц в поток газа), то говорят о внешней и внутренней диффузии. Поскольку перенос тепла или массы вне твердых частиц и внутри твердых частиц описывается при помощи дифференциальных уравнений с частными производными (уравнения теплопроводности или диффузии), возможность описания тепло- и массообмена между твердыми частицами и потоком газа при помощи обыкновенных дифференциальных уравнений удается обосновать далеко не всегда. Среди проблем, которые возникают при теоретическом анализе тепло- и массообмена твердых частиц с омывающим их потоком газа, можно отметить следующие. [c.254]

Как известно, квазистационарный режим может быть, реализован при постоянной плотности теплового потока на поверхности образца. Действительно, из сопоставления уравнения Фурье (II.1) и дифференциального уравнения теплопроводности (IV. 1) непосредственно вытекает, что в квазистационарном состоянии при постоянных теплофизических характеристиках условие dT/dx = b = onst вполне равнозначно условию dQIFd% = = <7 = onst. Это создает принципиальную возможность одновременного определения коэффициентов тепло- и температуропроводности, а также теплоемкости, если в ходе опыта наряду с температурным перепадом ЛГ и скоростью нагрева Ь измерять (и поддерживать постоянной) плотность теплового потока q. [c.76]

Этот тип ребра был проанализирован в работе Смита [4], причем анализ ограничивался случаем отсутствия конвективного теплообмена или теплообмена излучением с окружающей средой. На рис. 5.8 д 1 представляет собой тепловой поток, поступающий в ребро и отнесенный к единице площади -й поверхности с одной стороны ребра, на которой этот теплоподвод происходит. Поскольку к различным элементарным площадкам подводятся разные тепловые потоки, то в целом тепловая нагрузка ребра оказывается неравномерной. Дифференциальное уравнение для профиля температуры в пределах рассматриваемой г-й поверхности может быть получено из баланса энергии элемента йхг. Если принять тепловой поток стационарным и однонаправленным, то разность между потоками тепла, поступающими в элемент теплопроводностью и покидающими его тем же путем, запишется как [c.202]

При этом для турбулентного потока необходимо учитывать гурбулеатный перенос тепла. В уравнениях (5.3) и (5.12) используются члены, учитывающие изменение энтальпии движущегося потока (в продольном направлении), перенос теплоты теплопроводностью (в поперечном направлении) и перенос теплоты излучением. Считается, что поток на входе в канал гидродинамически стабилизирован. При этом пренебрегают изменениями давления и кинетической энергии потока. Такой подход применялся, например, в работах сотрудников ВНИИМТ под руководством В. Н. Тимофеева [5.28]. Как частный случай общего уравнения (5.3) приуказанных допущениях дифференциальное уравнение (для элементарного обьема (IV) потокового метода приводится к следующему виду (в безразмерных координатах) [c.388]