Матричное представление характер

Чтобы пояснить понятие характера матричного представления, рассмотрим трехмерную матрицу тождественного преоб- [c.70]

Между характерами матриц неприводимых представлений, как и между матричными элементами, существует целый ряд так называемых соотношений ортогональности. В частности [29, с. 41Г [c.60]

МАТРИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ. ХАРАКТЕРЫ. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [c.26]

З.А. Приложение. Матричные представления и характеры группы К(3) [c.70]

Характер. След матричного представления для какой-либо операции группы. [c.462]

Из изложенного следует, что все необходимые сведения о свойствах симметрии определенной группы симметрии содержатся в наборах матриц, образующих неприводимые представления этой группы. Однако эту информацию можно представить в еще более сжатой форме. Определим характер элемента Т рассматриваемой группы, которому соответствует матричное представление как след этой матрицы [см. (4.127)] [c.128]

Сведения о трансформационных свойствах атомных орбиталей, как правило, можно найти в виде дополнительной информации в таблицах характеров (например, в книге [4]). Если вместо функций ст подставить соответствующие атомные орбитали (разумеется, предварительно необходимо убедиться в том, что о. и эти атомные орбитали имеют одинаковые трансформационные свойства, или, другими словами, что им соответствуют идентичные, а не только эквивалентные матричные представления), [c.146]

В одномерных представлениях матричный элемент непосредственно равен характеру, что позволяет нам убедиться в справедливости общего соотнощения (6.44) строки (характеры неприводимых представлений) являются ортогональными векторами. [c.131]

Нетрудно убедиться и в том, что попарные произведения матриц (6.73) удовлетворяют свойствам матричного произведения (см. табл. 6.2) следовательно, эти матрицы образуют приводимое представление (как можно видеть из табл. 6.4, где даны таблицы характеров группы Дгл, отвечающей симметрии прямоугольника), а рассматриваемые атомные орбитали образуют базис с соответствующими этому представлению свойствами. [c.139]

Таким образом, для отыскания правил отбора операторов необходимо проделать довольно простую процедуру — перемножить представления, по которым преобразуются волновые функции ф] и гр2 и оператор / и затем по формуле (П1.31) определить, содержится ли в полученном произведении (вообще говоря — приводимом представлении) единичное представление. Так как для применения формулы (III. 31) нужны лишь характеры приводимого и единичного представлений, то нахождение упомянутого произведения представлений сводится к умножению их характеров. При этом, если функции и ф2 одинаковы (диагональный матричный элемент), то произведение их представлений будет симметричным произведением представления на самое себя с, характерами [c.63]

Однако существуют более простые способы определения искомой функции, основанные на простых соотношениях, определяемых непосредственно из соотношений неортогональности для характеров и матричных элементов представлений [аналогично тому, как была получена формула (IX.31)]. В частности, можно использо- [c.262]

Точка Ai = -2 ( 1-f 2)- Соответствующая звезда неприводимого представления т состоит только из одного вектора (/=1), так как все элементы группы F оставляют вектор kl инвариантным. Точечной группой вектора kl является поэтому группа Сгл. Легко проверить также, что выполняется соотношение k=—k (с точностью до эквивалентности). Таким образом, необходимо использовать общую формулу (21.45). Используя результаты работы [86], получаем, что группа С2Л имеет только одно нагруженное двумерное представление т в рассматриваемой точке. В табл. 49 указаны матричные элементы представлений т, и характеры представления необходимые для расчета по формуле (21.45). Из критерия вещественности при помощи табл. 42 получаем [c.464]

Таблица 49 Матричные элементы и характеры представлений группы

Приведенная классификация дает представление о многообразии неоднородных материалов, откуда следует, что эффективные модули упругости должны определяться не только модулями упругости компонентов и их взаимной концентрацией, но и параметрами структуры — формой областей и ориентировкой кристаллографических осей компонентов. При этом удается вычислить точно эффективные модули упругости лишь для некоторых простейших структур слоистой среды, смеси двух изотропных компонентов с совпадающими модулями сдвига и матричной смеси, сферические включения в которой имеют достаточно малую концентрацию. Вычисление эффективных модулей упругости произвольных структур наталкивается на большие трудности не только вычислительного, но и принципиального характера. Действительно, из условия жесткого сцепления между зернами следует, что деформирование одного зерна должно неизбежно сопровождаться деформированием соседей, причем взаимное влияние соседних зерен может быть существенным. Отсюда видно, что в общем случае вычисление эффективных модулей упругости сводится к известной проблеме многих тел. [c.317]

Представления о растворимой транспортной РНК и о ее комплементарном сочетании с матричной РНК носят еще весьма предварительный характер. Считают, что соответствующие транспортные РНК с разными аминокислотами занимают соответствующие места на матричной (информационной) молекуле РНК в результате аминокислоты располагаются в ряд в соответствующем порядке, образуя специфическую полипеп-тидную цепь белка. Так, образование пептидных связей, отличающееся высокой специфичностью и происходящее с большой скоростью, осуществляется под влиянием специфической информации, закодированной последовательностью расположения нуклеотидов в ДНК (и РНК). При помощи механизма попарного соединения оснований эта последовательность воспроизводится с образованием либо новых молекул ДНК для новых клеток, либо молекул матричной РНК, необходимых для синтеза белковых молекул, характерных для данного вида. При помощи белков, многие из которых являются ферментами, клетка синтезирует множество других молекул (в том числе пуринов, пиримидинов, аминокислот, углеводов, жиров, стеринов, пигментов и т. п.), часто необходимых для поддержания ее структуры и функции. [c.94]

В заключение сделаем некоторые замечания о приводимых представлениях. Здесь особый интерес представляет метод разложения приводимого представления по неприводимым представлениям. Соотношение между первоначальной и преобразованной физической величиной при применении операций симметрии группы можно представить, используя матричное обозначение (например, преобразование произвольной точки пространства). Если характер матрицы преобразования R обозначить х( ). то число и,-, показывающее, сколько раз в нем содержится неприводимое [c.75]

Более удачный вариант использования формулы (3.6.24) заключается в использовании в ней характеров Ха (Р) вместо матричных элементов Da iP)j в соответствии с формулой (23) приложения III характеры неприводимых представлений обычно всегда хорошо известны. Так, возьмем, например, функцию [c.99]

В эту таблицу записываются характеры только различных неприводимых представлений, и так как все члены одного класса операций имеют одинаковые характеры, то в таблицу записываются только характеры каждого класса операций, а не каждой операции в отдельности. Каждому неприводимому представлению соответствует свой ряд характеров. Поскольку при определении симметрии матричного элемента дипольного момента учитываются также трансформационные свойства координат х, у и z, они указаны в таблице характеров. [c.234]

Нет смысла более детально останавливаться на представленном выше обосновании как из-за его качественного характера, так и из-за того, что сами расчеты в рамках рассматриваемого метода претендуют лишь на качественный полуэмпирический результат. Отметим лишь, что аппроксимация недиагональных матричных элементов полусуммой соответствующих диагональных элементов, умноженной на интеграл перекрывания, носит название приближения Малликена. [c.343]

Вообще говоря, теория групп представляет собой раздел математики, начало развития которого было положено в 1832 г. Эваристом Галуа в его исследованиях, посвященных решениям алгебраических уравнений. Согласно общему определению, под группой понимается совокупность (набор) произвольных математических элементов, связанных между собой некоторым законом сочетания, который обеспечивает свойства ассоциативности комбинаций [т. е. условие, что А ВС) — АВ)С и т. д.] и замкнутость набора (т. е. условие, что все члены данного набора могут быть получены комбинированием других членов этого набора). Закон сочетания элементов условно называется умножением. Согласно такому закону, для элементов группы можно построить таблицу умножения. Набор матриц, которые подчиняются правилам той же таблицы умножения, что и элементы группы, называется матричным представлением (или просто представлением, хотя под этим всегда понимается матричное представление). Простейшие возможные наборы представлений называются неприводимьши представлениями группы. Характер элемента в некотором представлении — это след матрицы (или ее итур — сумма диагональных элементов), соответствующей данному элементу в рассматриваемом представ- [c.57]

Мы уже указывали, что характером представления называется след соответствующей ему матрицы (сумма ее диагональных элементов). Характеры одномерного, двумерного и трехмерного представлений для тождественного преобразования равны 1, 2 и 3, а для операции вращения — соответственно 1, 2со5ф и l- -2 os . Последние соответствуют характерам представлений вращения в одномерном, двумерном и трехмерном пространствах. В трехмерном пространстве наряду с вращениями вокруг оси Z имеются еще вращения вокруг осей х и у. Матричные представления для каждого индивидуального вращения можно факторизовать на одно- и двумерные матрицы. Однако матрицы всех трех вращений не поддаются одновременной факторизации на одномерную и двумерную матрицы. [c.72]

В ходе исследований парообразования сложных оксидных систем методом высокотемпературной масс-спектрометрии, нам удалось впервые определить стандартные энтальпии образования более 50-и газообразных солей кислородсодержащих кислот и систематизировать экспериментальные данные, опубликованные в мировой литературе. Это позволило нам выработать метод оценки энтальпий атомизации и расчета стандартных энтальпий образования не исследованных до сих пор газообразных солей. Согласно современным представлениям, базирующимся на экспериментальных данных, полученных методами газовой электронографии, ИК спектроскопии матрично-изолированных молекул, и на квантовохимических расчетах, структуры подавляющего большинства газообразных солей кислородсодержащих кислот представляют собой замкнутые циклы. При этом катион находится на перпендикуляре к стороне треугольника или ребру тетраэдра с бндентатной связью катион - анион. Модель предполагает неизменность структуры аниона в изоанионных рядах и сохранение характера связи катион - кислород в изокатионных. В рамках этой модели энтальпия атомизации анионной группы не зависит от природы катиона, а энергия разрыва связи катион - кислород не зависит от природы аниона. [c.101]

Вопрос о способе возникновения первичной структуры белковой цепи в процессе матричного синтеза, идущего с необходимым участием других информационных макромолекул (молекул нуклеиновых кислот), представляет собой сложную физическую гфоблему. В связи с этим возникает физическая проблема генетического кода. Представление о генетическом коде исходит из предположения о существовании специфического молекулярного механизма превращения генетической информации в структурную функциональность белковых молекул. Это предположение имеет физический характер. [c.178]

Согласно равенству (6.Б4), первый член суммы в (6.121) равен квадрату характера представления А< ), Т е С второй член предотавляет собой след матричного произведения двух матриц и, таким образом, отвечает характеру матрицы A< где Т — операция, соответствующая двукратному действию оператора Т, [c.156]

Однако существуют более простые способы определения искомой функции, основанные на простых соотношениях, определяемых непосредственно из соотношений неортогональности для характеров и матричных элементов представлений [аналогично тому, как была получена формула (111.31)]. В частности, можно использовать формулу волновой функции, преобразующейся по а-му неприводимому представлению [29, с. 415] [c.117]

Каждому вектору к звезды соответствует некоторая подгруппа группы О таких элементов, поворотная часть которых не изменяет вектора к. Совокупность этих элементов называется группой Си век гора к или малой группой. Неприводимые представления группы С мы будем обозначать т /г а . Оказывается, что знания этих неприводимых представлений достаточно для нахождения матричных элементов всего неприводидшго представления группы О. Более того, для приложений часто нужны характеры неприводимых представлений только группы Ок. [c.373]

Значение теории групп для квантовомеханического исследования молекул и кристаллов состоит в следующем во-первых, теория групп позволяет, исходя только из свойств симметрии системы, провести классификацию электронных и колебательных состояний молекулы и кристалла и указать кратность вырождения энергетических уровней системы во-вторых, на основе теории групп удается установить некоторые правила отбора для матричных элементов, существенные при расчете вероятностей переходов и других характеристик в-третьих, на основе теории групп можно провести качественное рассмотрение возможного расщепления вырожденного уровня энергии при изменении симметрии системы (например, появлении внешнего поля). Наконец теория групп позволяет существенно понизить порядок решаемых уравнений при использовании симметризованных (преобразующихся по неприводимым представлениям группы симметрии системы) функций благодаря тому, что матричные элементы операторов, вычисленные с такими функциями, удовлетворяют некоторым соотношениям общего характера. [c.6]