Дифференциальное уравнение с условиями

Так как процессы в образце и модели должны описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями, условием подобия являются равенства [c.79]

Рассмотрим вначале условие равнопрочности. В этом случае дополнительная функция / (г) равна нулю. Окружное напряжение выражается только через радиальные напряжения. Если подставить это выражение в дифференциальное уравнение условия совместности деформаций, то образуется дифференциальное уравнение с разделенными переменными [c.204]

Граничные и начальные условия, которые в совокупности образуют условия единственности решения для рассматриваемой задачи, объединяют в понятие краевых условий, имея в виду края той пространственно-временной области, в пределах которой происходит исследуемый процесс. Поэтому задачи рассматриваемого типа принято называть краевыми. Таким образом, краевые задачи ставятся в следующей специфической форме по заданным условиям на границах пространственно-временной области определить с помощью основных дифференциальных уравнений условия во всем объеме этой области. Заметим еще, что для краевой задачи важное значение имеют величины, которыми характеризуются геометрические и физические свойства системы (размеры области и физические константы среды). Эти величины существенны для процесса, так как ими определяется [c.58]

Зависимости с. п Т от и Г могут быть очень сложны. Если с и Т изменяются в масштабах, меньших размера частицы, то необходимо проводить усреднение. Пусть Р — некоторая точка внутри частицы и йКр — окружаюш,ий эту точку элемент объема, содержащий активную поверхность площадью 8 = Значения с и Г в данной точке будут функциями ее положения с . Р), Т [Р). Эти функции определяются как решение некоторой системы дифференциальных уравнений в частных производных, граничными условиями для которых являются величины с ., Т. Тогда функция г из формулы (VI. 1) определяется соотношением [c.122]

При стационарном режиме начальные условия не учитываются и, так как и перестают зависеть от времени, дифференциальные уравнения заменяются алгебраическими [c.153]

Таким образом, условия (VII.76) являются как необходимыми, так и достаточными. В теории нелинейных дифференциальных уравнений существует теорема, утверждающая, что если уравнения, линеаризованные в окрестности стационарного состояния, имеют устойчивые решения, то нелинейные уравнения имеют решения, возвращающиеся к стационарному состоянию, если возму- [c.174]

Мы получаем, таким образом, систему двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с граничными условиями, заданными на разных концах реактора. Решать такие уравнения — сложная задача, так как нри этом возникают явления численной неустойчивости и ошибки расчета начинают накапливаться и угрожающе возрастать. Так, можно было бы попытаться решать уравнение (IX. 104) при постоянной Т, задавшись пробным значением прп а = О, вычислив = - Ра интегрируя уравненпе от [c.295]

Приближенное решение можно получить на основе модели пленочной теории. Дифференциальное уравнение и граничные условия в этом случае имеют вид [c.54]

Дифференциальные уравнения (1.28), (1.29) и (1.31), а также граничные условия (1.7), (1.9) и (1.10) подробно обсуждены в главе 1. Из уравнения (1.31) при с = О, 6 = 0 следует, что на фронтальной плоскости реакции дс = Я и диффузионные потоки двух реагентов удовлетворяют стехиометрии реакции ( молей жидкого ре-агента на 1 моль абсорбирующегося компонента). [c.59]

Дифференциальные уравнения и граничные условия для рассматриваемой задачи имеют вид [c.70]

Дифференциальное уравнение второго порядка (10.30) принципиально может быть проинтегрировано, давая осевое распределение концентраций (Сг) при условии подбора соответствующего выражения для г (с) (которое может включать температурную зависимость скорости реакции г, если реактор аксиально не изотермичен), а также при выполнении двух физически значащих граничных условий. Удивительно, что выбор граничных условий — далеко непростая задача.-Примем следующие условия [c.120]

Составление уравнений динамики объекта. Как отмечалось ранее, в математическое описание динамики объекта входят дифференциальные уравнения отдельных звеньев, алгебраические уравнения связей между звеньями, начальные условия, граничные условия и ограничения на диапазоны входных и выходных параметров. [c.17]

Коэффициенты дисперсии Di удобно определять экспериментально по форме кривой распределения концентраций во времени на выходе из аппарата с зернистым слоем при изменении концентрации примеси на входе в аппарат. Используют три формы входного возмущения импульсное, ступенчатое и синусоидальное (рис. III. 6). Коэффициент Di находят в соответствии с решениями дифференциального уравнения (III. 5) при различных начальных условиях. Эти решения приведены в ряде работ, например в [32, стр. 257]. [c.98]

Задачи неустановившегося движения жидкости и газа в пласте решаются методами математической физики. Для этого составляются и затем интегрируются дифференциальные уравнения. Чтобы вывести дифференциальные уравнения фильтрации в пористой среде, заключающей в себе движущийся флюид (жидкость, газ), выделяется бесконечно малый элемент пласта и рассматриваются изменения массы, импульса и энергии, происходящие в этом элементе за бесконечно малый промежуток времени. При этом используются законы сохранения массы, импульса и энергии, а также результаты лабораторного или промыслового экспериментального изучения свойств и поведения флюидов и свойств пористой среды с изменением термобарических условий. [c.36]

Граничные (краевые) условия задаются на границах пласта. Число граничных условий должно быть равно порядку дифференциального уравнения по координатам. [c.56]

Поскольку дифференциальное уравнение упругого режима (5.14) является линейным, то к его решению приложим метод суперпозиции позволяющий исследовать интерференцию скважин и в условиях упругого режима. [c.151]

Для решения конкретных задач, связанных с неустановившейся фильтрацией газа, дифференциальное уравнение в форме (6.6) или (6.8) должно быть проинтегрировано по всей области газовой залежи при заданных начальных и граничных условиях. Простейшие виды этих условий были рассмотрены в 7, гл. 2. [c.183]

Итак, условием образования разрыва является пересечение характеристик (9.32). В этот момент х , касательная к кривой л( ), становится вертикальной, т.е. производная ds/d обращается в бесконечность, и дифференциальное уравнение (9.30) больше не имеет смысла. [c.268]

Для определения характеристик неустановившегося фильтрационного потока в трещиновато-пористой среде нужно проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (12.17) и (12.18) при заданных начальных и граничных условиях. [c.362]

Рассмотрим отдельный малопроницаемый блок, у которого только один торец открыт и соприкасается с водой, а остальная поверхность непроницаема для жидкости. Вода под действием капиллярных сил начнет впитываться в блок, а нефть будет двигаться в противоположном направлении. Этот процесс носит название противоточной капиллярной пропитки. Дифференциальное уравнение одномерной противоточной капиллярной пропитки можно получить из общего уравнения (9.52) при Др = О и при условии, что суммарная скорость фильтрации н> = н, + + и = 0. Из рещения этого уравнения следует, что при начальной водонасыщенности блока ( - насыщенность связанной водой) [c.368]

Исходная задача для уравнения в частных производных, заданного в непрерывной области О с начальными и граничными условиями, заменяется задачей для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, определенных на прямых г =. г,, где / = 1,2,..., М — 1 с начальными условиями. [c.385]

При нормальных условиях этот ряд сходится и определяет единственное решение уравнения в соответствии с начальными данными. Это справедливо для всех начальных кривых Гд, исключая некоторые особые кривые, на которых первую и высшую производные нельзя рассчитать по данному дифференциальному уравнению. [c.411]

Уравнения, описывающие химический процесс в реакторе, учитывают только наиболее принципиальные особенности, присущие множеству родственных, но отличающихся одно от другого явлений. При этом независимо от вида дифференциального уравнения его решение (при условии, если оно существует) в общем случае должно удовлетворять всем явлениям данного класса. Другими словами, уравнение имеет бесчисленное множество различных решений. Но лишь одно из них отражает именно ту связь между переменными, которая отвечает данному конкретному явлению. Это решение и будет представлять собой не только решение данного уравнения, но и решение данной задачи, связанной с конкретным процессом. Математически отыскание указанного однозначного решения сводится к нахождению решения уравнения, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, которые в большинстве случаев определяются физико-химической сущностью задачи. Дополнительные условия обычно принято называть граничными (краевыми) и начальными условиями. [c.8]

Метод проб и ошибок наиболее распространен при решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако во многих случаях этот метод поиска начальных условий приводит к задаче с неустойчивым решением. Тогда единственно возможным методом решения краевых задач на АВМ становится метод конечных разностей, приводящий к алгебраическим уравнениям. Моделирование же последних связано с большими трудностями и значительными погрешностями. Поэтому, несмотря на ряд очевидных достоинств, применение аналоговых машин для целей математического моделирования химических процессов из-за указанных причин является весьма незначительным по сравнению с цифровыми вычислительными машинами. [c.12]

Аналитические решения рассмотренных выше дифференциальных уравнений первого и второго порядка известны лишь для частных случаев с единичными простыми реакциями в изотермических условиях. Поэтому для интегрирования их в настоящее время используются в основном численные методы и решение производится на ЭЦВМ [6, 7, 68]. [c.43]

Выбор граничных условий, которые определяют единственность решения дифференциальных уравнений, описывающих диффузионную модель, рассмотрим на примере химического процесса с единичной реакцией, протекающей в изотермическом проточном реакторе с продольным переносом (рис. 14). [c.43]

Предположим, что на процесс в зоне 2 влияют процессы па входе и выходе реактора (зоны 1 и 3). Поэтому для выявления граничных условий реакционной зоны целесообразно решить дифференциальные уравнения для всех зон. Применительно к процессу с единичной реакцией эти уравнения в соответствии с (И 1.8) и (П1.9) запишутся так [c.44]

В качестве условий, определяющих единственность решения дифференциальных уравнений системы (IV.16), могут быть приняты либо начальные условия, соответствующие мгновенному вводу вещества-индикатора на входе в первую ступень [44, 1391 при г = О [c.85]

Следует отметить, что в случаях с отклоняющейся геометрией значения констант и показателей степени различны. Причиной этого являются различные граничные условия первоначального дифференциального уравнения. [c.86]

Наряду с графическим построением имеется также относительно простой и распространенный в инженерной практике расчетный метод, с помощью которого для каждого возмущения на входе можно определить выходное значение переменной, т. е. рассчитать, какой отклик даст элемент процесса на возмущение. Этот метод называют преобразованием Лапласа, а полученную с его помощью функцию — передаточной. Такое преобразование является линейным. С помощью этого преобразования функция / (t) от реальной переменной t становится сопряженной функции / (р) от комплексной переменной р = а ]Ь Можно доказать [15], что преобразование Лапласа для члена п-го порядка в дифференциальном уравнении (14-23) при нулевом условии будет следующим [c.307]

Это уравнение является хорошо известным неполным линейным дифференциальным уравнением второго порядка [1]. Точное решение определяется пограничными условиями Т (го,1) = То (постоянно), или, что то же самое, [c.373]

Решение дифференциального уравнения (У,61) или, что то же самое, уравнения (У,59) содержит две произвольные постоянные , которые долл<пы быть определен ,I из двух граничных условий, нанример [c.201]

Такой способ интегрального преобразования имеет и свое физическое обоснование. Дело в том, что любое интегральное преобразование, взятое по пространственным координатам, является с физической точки зрения некоторым усреднением исследуемой физической величины. Вполне естественно, что это усреднение должно быть сделано не только в соответствии с характером прсцесса и формой тела (видом дифференциального уравнения), но и в соответствии с граничными условиями. В этом случае решение для изображения функции будет представлять самостоятельный интерес, поскольку такое преобразование в физическом отношении будет представлять переход от анализа актуальных значений исследуемых функций (дифференциальное уравнение, условия однозначности) к усредненным значениям, сделанным в соответствии с конкретной постановкой той или иной физической задачи. Таким образом, методы интегрального преобразования приобретают новое весьма су-ществгнное преимущество перед классическими методами, так как они дают возможность получить ряд закономерностей протекания физических процессов на оснсве анализа решения для усредненных значений исследуемой физической величины (анализ решения для изображения). Это обстоятельство сближает данные аналитические методы с методами теории подобия. [c.58]

Такое уравненпе можно наппсать для каждого вещества Aj Прп этом получается система S дифференциальных уравнений, для решения которой надо знать S начальных условий — значения j при i = 0. в наиболее общем случае, когда все величины j изменяются независимо, необходимы все S уравнений. Их можно проинтегрировать, если температура Т и давление Р либо постоянны, либо являются известными функциями времени. Во многих важных случаях, однако, эти уравнения не независимы, так что достаточно решить меньшее чпсло уравнений. [c.152]

В работе Амундсона, Коста и Рудда (см. библиографию на стр. 305) показано, что модель ячеек идеального смешения с N = PJ2 дает хорошее приближение к решению не только простого дифференциального уравнения, но и системы нелинейных уравнений для степени полноты реакции и температуры при Р = Р а. Это позволяет искать решение с помош ью алгебраических, а не дифференциальных уравнений. Полученные значения переменных у выхода реактора Г (1) и (1) можно затем использовать в качестве начальных условий при интегрировании дифференциальных уравнений в обратном направлении (от выхода к входу). Так как в этом направлении интегрирование численно устойчиво, можно найти путем итераций точное решение дифференциальных уравнений. [c.297]

В математическое описание звена входят граничные условия для дифференциальных уравнений и саяэи с другими, соседними звеньями - для конечных уравнений. [c.14]

Приняв правые части двух последних равенств, получим дифференциальное уравнение истощения нефтяной залежи в условиях замкнутоупругого режима [c.133]

Отметим, что уравнение пьезопроводности (5.14) имеет место только для слабосжимаемой упругой жидкости, для которой (р — Ро) 1. Если же это условие не выполняется, то функцию Лейбензона нельзя определять по формуле (5.12), необходимо сохранить слагаемое Рж(Р Ро) под интегралом. При этом дифференциальное уравнение значительно усложнится и примет нелинейный вид. [c.136]

При малых е ФО решение (10.70) близко к Тдрос всюду вне -окрестности точки = 1. В окрестности точки = 1 график изменения температуры резко изгибается, чтобы наклон кТ/сК, = у сменился на величину dT d( = ТН, соответствующую краевому условию (рис. 10.5). Такое поведение решения объясняется образованием у подошвы залежи теплопроводного пограничного слоя и характерно для решений дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной (как в уравнении (10.68)). [c.329]

Для получения единственного решения при интегрировании этой системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно давлений р ир2та ней необходимо добавить начальные и граничные условия (см. гл. 2, 7). [c.357]

Математические модели представляют собой совокупность математических объектов и отношений (уравнений), описываюших изучаемый физический процесс на основе некоторых абстракций и допущений, опирающихся на эксперимент и необходимых с практической точки зрения для того, чтобы сделать задачу разрешимой. При моделировании процессов разработки нефтегазовых месторождений эти соотношения в общем виде представляют собой сложные (обычно нелинейные) дифференциальные уравнения в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями (см. гл. 2, 8, 10). [c.379]

Нахождение оптимального решения ири использовании принципа максимума сводится к задаче интегрирования системы дифференциальных уравнений процесса и сопряженной системы для вспомогательных функций ири граничных условиях, заданных на обоих концах интервала интегрирования, т. е. к решению краевой задачи. На область изменения переме шых могут бьггь наложены ограии-чепня. Систему дифференциальных уравнений интегрируют, применяя обычные программы на цифровых вычислительных машинах. [c.32]

Принцип максимума для процессов, описываемых дифференциальными уравнениями, при некоторых предположениях является и достаточным условием оптимальности. Поэтому дополнительной гроверки на оптимум получаемых решений обычно не требуется. [c.32]