Энергия квантованного осциллятора

В свою очередь, энергия кванта пропорциональна. частоте колебаний атомного осциллятора (V) [c.7]

Квантовая теория была создана при объяснении спектра излучения абсолютно черного тела (распределение колебательной энергии). М. Планк допустил, что энергию в форме лучей испускает движущийся в твердом теле электрон. Этот электрон является осциллятором и он может испускать энергию квантами (порциями), что отражается формулой [c.33]

Энергия поглощенного осциллятором кванта в = Ау равна разности энергий соседних колебательных уровней Е > и Еа [c.159]

Разработка теории теплоемкости твердого вещества была впервые предпринята Эйнштейном в 1907 г. Атомы в узлах кристаллической решетки одноатомного твердого вещества находятся в непрерывном колебательном движении. Эйнштейн при разработке теории теплоемкости твердого вещества допустил, что колебания атомов являются гармоническими, а следовательно, атомы можно уподобить гармоническим осцилляторам. Согласно квантовой теории Планка (1900) гармонические осцилляторы могут обмениваться между собой только порциями энергии — квантами е = /IV, а энергия каждого из осцилляторов состоит из п-то количества квантов. Здесь Л —постоянная Планка —частота колебания. [c.200]

Таким образом, оказывается, что волновое число радиации, испускаемой или поглощаемой гармоническим осциллятором, равно волновому числу колебаний самого осциллятора, представляющего модель первого приближения колеблющейся молекулы. При этом не существенно, какие именно уровни комбинируются — нулевой с первым, первый со вторым и т. д. Здесь можно сослаться на рис. VI. 13, показывающий зависимость энергии гармонического осциллятора от межъядерного расстояния (парабола). На рисунке нанесены также равностоящие (эквидистантные) уровни энергии и переходы между ними, ведущие к поглощению или излучению квантов радиации одинаковой энергии, а следовательно, и частоты. [c.251]

Предполагается далее наличие сложного перераспределения квантов энергии между осцилляторами (или нормальными видами колебаний). [c.108]

Значение атомной теплоемкости для твердых тел может быть вычислено по уравнению Планка и Эйнштейна для энергии линейного осциллятора, возбуждаемого квантами энергии. Оно для комнатных температур теоретически равно 3R или 24,94 Дж/моль град. При известных значениях химического эквивалента и удельной теплоемкости можно определить валентность и атомную массу элемента, пользуясь законом Дюлонга — Пти. В самом деле, умножая значение химического эквивалента на удельную теплоемкость, получим [c.14]

Поглощение в ближней инфракрасной области определяется переходом молекулы с одного колебательного уровня на другой. Типичной частотой является частота, соответствующая максимуму полосы поглощения амид А — 3300 см (длина волны 3,0 мкм), что отвечает примерно Ю " с . Анализ инфракрасных спектров обычно начинается с рассмотрения валентных колебаний двухатомной молекулы. Представим, что два ядра молекулы соединены пружинкой. Колебательную энергию такой молекулы можно рассматривать как энергию гармонического осциллятора. Согласно квантовомеханическому подходу, энергия осциллятора принимает только дискретные значения, а соответствующие энергетические уровни располагаются на одинаковом расстоянии друг от друга, равном hv, где v — частота кванта света, поглощение которого повышает энергию до значения, соответствующего следующему энергетическому уровню. В основном (невозбужденном) состоянии молекула уже обладает энергией нулевых колебаний , равной половине энергии, необходимой для перехода на следующий уровень. [c.9]

Колебательная энергия, как и вращательная, квантована. Это означает, что осциллятор может находиться только в определенных энергетических состояниях. На низшем уровне молекула не покоится, а колеблется с некоторой частотой около положения равновесия. В квантовой механике энергия гармонического осциллятора выражается как [c.141]

Согласно теории Касселя, молекула рассматривается как совокупность 5 гармонических осцилляторов, обладающих одинаковой постоянной частотой колебания и воспринимающих и отдающих энергию, кратную энергии кванта hv. Число гармонических осцилляторов [c.346]

Колебательная энергия ангармонического осциллятора квантуется по закону [c.430]

Согласно классической теории, колебательная энергия молекулы может принимать любые значения. Квантовая теория позволяет точно решить уравнение Шредингера для гармонического осциллятора, используя уравнение потенциальной энергии в форме (5.93). Энергия гармонического осциллятора квантована и определяется простой формулой [c.88]

Из (30.47), (30.48) следует, что есть энергия в единице объема, или плотность энергии, приходящаяся на частотный интервал dis . Эту величину можно найти, умножив число осцилляторов поля на среднее число квантов, на осциллятор Щц и на энергию кванта о) [c.352]

При очень низких температурах Ео = Ыо 1 2) или о/Л о=е/2 = = средней энергии каждого осциллятора в основном состоянии. Но, как уже было показано [см. уравнение (8.14)], при О К все молекулы находятся в основном колебательном состоянии следовательно, величина е/2 представляет собой нулевой уровень энергии, или остаточную энергию гармонического осциллятора при О К. Таким образом, при температуре абсолютного нуля каждое колебание происходит с энергией, равной половине энергии колебательного кванта. Поэтому энергия У-го колебательного состояния определяется выражением гу=УЬ + У2 = [c.285]

Полосы, связанные с возбуждением колебательных уровней энергии, расположены в области спектра примерно от 200 ..300 до 4000...5000 см , что соответствует энергии квантов от 3 до 60 кДж/моль. Поэтому при обычных температурах энергетическое состояние молекул, как правило, характеризуется основным колебательным уровнем. Простейшей моделью, которая используется при рассмотрении колебаний двухатомной молекулы, является модель гармонического осциллятора. Это система из двух масс, связанных упругой силой. Кривая потенциальной энергии гармонического осциллятора обычно аппроксимируется параболой (рис. 3.4, кривая /). Применение квантовой теории к такой системе показывает, что ее энергия может быть найдена по уравнению [c.55]

Выражение константы скорости диссоциации (1) получено в предположении быстрого обмена колебательными квантами независимо от номера уровня, что, строго говоря, верно только для гармонического осциллятора. Ангармонизм молекулярных колебаний приводит к двум качественным особенностям распределения колебательной энергии в процессе диссоциации. Во-первых, распределение колебательной энергии ангармонических осцилляторов, которое устанавливается в результате быстрого обмена колебательными квантами, не является больцмановским [2, 3]. Отличие распределения от больцмановского тем больше, чем больше ангармоничность колебаний, и для верхних уровней оно может быть весьма значительным. Во-вторых, скорость возбуждения ангармонических осцилляторов п- п + при достаточно больших номерах колебательных уровней п отнюдь не мала по сравнению со скоростью обмена квантами. Поэтому распределение, обусловленное быстрым обменом, относится к номерам уровней, ограниченным сверху некоторым значением п = п. Граница, разделяющая области относительно быстрого и медленного обмена квантами, выраженная через частоту колебания со , почти не зависит от конкретных свойств молекул и определяется соотношением [3] [c.62]

В теории Касселя молекула рассматривается как совокупность 5 гармонических осцилляторов, обладающих одинаковой постоянной частотой колебания V и, следовательно, воспринимающих и отдающих энергию, кратную энергии кванта Число гармонических осцилляторов принимается равным числу колебательных степеней свободы. Для нелинейной /У-атомной молекулы [c.184]

Энергия гармонического осциллятора, находящегося в основном состоянии с энергией /г , описываемом собственной функцией 1130, может увеличиваться только на целое число квантов йсо. Таким образом, У —оператор, пересчитывающий кванты, и V есть число квантов энергии йсо в состоянии, описываемом функцией [c.186]

Согласно классической теории колебательная энергия молекулы может принимать любые значения, т. е. молекула может находиться в любой точке кривой (2.23). Квантовая теория приводит к принципиально иному выводу. Как вытекает из результатов решения уравнения Шредингера с использованием потенциальной функции в форме (2.23), энергия гармонического осциллятора квантована и определяется следующей простой формулой [c.47]

Е — потенциальная энергия гармонического осциллятора Е — напряженность электрического поля Е — энергия квантов Еа — энергия активации Еа, Ет, — глубина акцепторного и донорного уровней, соответственно Ет, — энергия активации диффузии [c.325]

Такое соотношение означает полный отход от классической теории. В методе Рэлея — Джинса предполагается,-что электрические осцилляторы, связанные с электромагнитным излучением, могут иметь любую энергию, от нуля до бесконечности. Согласно гипотезе Планка, энергия этих осцилляторов не может изм,еняться непрерывно они могут иметь только определенные количества энергии, так называемые кванты , ку, 2Н, . .. пк, где V — частота, п — целое число, к — универсальная постоянная, которая сейчас известна как постоянная Планка. Любое изменение энергии системы осцилляторов может происходить только дискретными порциями — один или более квантов. После того, как сделано это предположение, константы о и сг в эмпирическом уравнении [c.20]

Уравнение для колебательной энергии гармонического осциллятора в поле монохроматических электромагнитных квантов можно вывести, представив электромагнитное поле лазерного излучения как систему с эквидистантными уровнями энергии О, Йю, 2йш,. . . с заданным числом фотонов в единице объема и с температурой Изменение энергии е осциллятора за счет [c.158]

Удобно разбить расчет на два этапа, хотя на практике они могут быть объединены. На первом этапе (табл. 5.1) систематически составляются все возможные комбинации квантовых чисел, для которых полная колебательная энергия меньше требуемого предела 10 ккал/моль. При этом начинают с основных состояний всех осцилляторов, а затем постепенно увеличивают энергию третьего осциллятора до тех пор, пока не будет достигнуто значение > 10 ккал/моль, отмечая полную энергию на каждом шаге. Затем возбуждается на один квант второй осциллятор ( 2=1) и процесс повторяется, опять начинаясь с из=0. Когда снова 1,>10 ккал/моль, и, увеличивается до 2 и т. д. Если любое дальнейшее возрастание 2 окончательно приводит к ,>-10 ккал/моль, даже при г. з=0, то VI увеличивается на единицу, а и, и Уз начинаются с нуля. Таким путем систематически табулируются энергии квантовых состояний в заданном энергетическом интервале. Затем составляется вторая таблица (табл. 5.2), в которой заданный интервал энергий разбивается на требуемое число малых интервалов (в этом примере 20 шагов по 0,5 ккал/моль каждый) и в колонку 2 при соответствующей энергии вносятся вклады по единице на каждое квантовое состояние, приведенное в табл. 5.1 . Эти вклады суммируются в горизонтальном направлении и дают полное число состояний в пределах каждого интервала энергии (колонка 3), а последовательное суммирование вкладов различных интервалов в вертикальном направлении дает значение 2Р( ) (колонка 4). [c.127]

Выход из создавшегося тупика был найден Планком. Он получил формулу, которая давала хорошую сходимость на всех участках длин волн, однако для ее вывода потребовалось ввести гипотезу, противоречащую всему духу классической физики. Сущность гипотезы Планка, предложенной им в 1900 г. сводилась к следующему осцилляторы могут находиться только в определенных состояниях, в которых их энергия является целым кратным наименьшего количества энергии (кванта, порции) бо [c.11]

Поскольку одно излучение от другого отличается только длиной волны иv и частотой, то гипотеза Планка означала, что существует новый закон изменения энергии любых осцилляторов, согласно которому энергия изменяется квантами. Таким образом, 1900 г. явился началом новой эпохи в физике — эпохи квантовой механики. [c.11]

Допущение, что скорость дезактивации не зависит от внутренней энергии, является до некоторой степени грубым. Имеется экспериментальное доказательство, что скорость потери колебательной энергии молекулой Ij при столкновении примерно в 100 раз больше для высоко возбужденных состояний, чем для более низких энергетических состояний. Ельяшевич [4], Мотт и Массей [5] сделали приближенные квантовомеханические расчеты, которые указывают, что при соударении с атомом потеря или приобретение кванта колебательной энергии гармоническим осциллятором пропорциональна энергии осциллятора. Другая работа по этой проблеме заключалась в экспериментальном изучении дисперсии звука в газах. Эти измерения показали [6], что для самых низких вибрационных состояний величина Хо равна около 10 , но может сильно варьировать от газа к газу и сильно зависит от химической природы соударяющихся газов. [c.210]

Полученные результаты не согласовывались с волновой теорией света, поскольку согласно последней интенсивность излучения должна быть пропорциональна квадрату частоты, как это показано кривой I на рис. 2.20. Чтобы привести теорию в соответствие с новыми экспериментальными фактами, Планк предположил, что энергия, излучаемая каким-либо телом—поверхностью Солнца или светящейся нитью лампы накаливания,— вьщеляется в результате того, что атомы такого тела ведут себя как крошечные колеблющиеся частицы, или осцилляторы, каждый из которых излучает энергию с определенной частотой. Эти осциллирующие атомы способны поглощать и излучать энергию подобно скрипич-.ной струне, которая получает энергию от смычка и затем излучает ее в виде звуковой энергии с определенными частотами. На основании математических рассуждений, которые здесь не будут рассматриваться, Планк установил существование мельчайших порций энергии, которые могут поглощать или излучать атомы. Другими словами, он установил определенный нижний предел, или минимальное количество энергии, которое может быть испущено в одном акте излучения. Планк назвал такую порцию энергии квантом энергии, или фотоном, и показал, что она пропорциональна частоте связанного с ней излучения. [c.37]

В модельной теории вместо / фигурирует квант колебательной энергии электрона-осциллятора йшо- Приведем также приближенное выражение для Удисп, выведенное Слейтером и Кирквудом [26] [c.194]

Значение атомной теплоемкости для твердых тел может быть вычислено по у равнению Планка и Эйнщтейна для энергии линейного осциллятора, возбуждаемого квантами энергии. Оно для комнатных температур теоретически равно 5,98 кал моль. При известных значениях химического эквивалента и удельной теплоемкости можно определить валентность и атомный вес элемента, пользуясь законом Дюлонга — Пти. [c.12]

Для быстрых оценок метод РРК при очень высоких температурах дает результат, правильный с точностью до порядка, при условии, что 5НТ>Еу> 18ЯТ и превышает энергию двух колебательных квантов. В противном случае предпочтительнее подсчитывать число распределений энергии по осцилляторам и использовать метод РРК для основного состояния. [c.169]

Анализ этого уравнения, аналогичный описанному в разделе Ж б, гл. 1 (особенно см. упражнение 1 на стр. 30), показывает, что хорошие решения возможны только при определенных значениях энергии Е. Отсюда непосредственно следует, что энергия гармонического осциллятора квантуется. К сожалению, ни одна из колеблющихся систем, рассмотренных в гл. 2, не приводит к уравнению нормальных колебаний, сходному с (Д-5), так что решения должны быть непохожими на встречавшиеся нам ранее. Трудно даже и представить себе реальную систему, которая привела бы к такому уравнению нормальных колебаний. Если записать второй член в левой части (Д-5) в виде (2mEllr) [1 — (кх 12Е)] и сравнить его с уравнением нормальных колебаний для струны [(А-18) в гл. 2], мы увидим, что струна, подчиняющаяся уравнению (Д-5), должна была бы при х >2Е/к иметь отрицательную плотность. Это, конечно, невозможно в реальной системе, хотя такую систему и можно представить мысленно. [c.154]

В действительности, многочисленные фотохимические исследования многоатомных молекул показали, что, как правило, поглощение света приводит к эффективной диссоциации молекул. Квантовые выходы фотодиссоциации большого числа исследованных молекул (альдегиды, кетоны, органические кислоты, азосоединения, дпазосоединения, соли диазония, органические азиды, алкилиитросоединения, нитросоединения, серосодержащие органические соединения, органические галогениды и гипохлориты, олефины и ацетиленовые углеводороды и т. д.) достигают величин 0,5—1 [94]. Исключение составляют только молекулы бензола, ароматических углеводородов и аминов, дезактивация возбужденных электронных состояний которых происходит путем люминесценции, интеркомбинационной конверсии и изомеризации. Фотолиз насыщенных и ненасыщенных углеводородов исследован хуже. Тем не менее в тех случаях, когда квантовый выход диссоциации измерен, он достигает таких же значений (метан — Фнг(1240 А) =0,4, и-бутан — суммарный квантовый выход фотодиссоциации ф2--1Ь В спектрах поглощения всех этих веществ наблюдаются интенсивные полосы поглощения (силы осцилляторов />0,1, что соответствует радиационным вероятностям переходов Л>10 сек ) при энергиях квантов ниже потенциалов ионизации, однако люминесценция крайне слаба. При энер-гнях квантов выше потенциала ионизации также не все переходы приводят к ионизации молекул [95—97]. [c.38]

Совершенно новая концепция происхон дения излучения черного тела была выдвинута в 1901 г. Планком [7]. Он постулировал, что энергия создающих излучение осцилляторов в атомах меняется не непрерывно, а скачками — квантами, которые испускаются, когда осциллятор перескакивает с одного дискретного уровня энергии на друго11. Энергия кванта Е пропорциональна [c.16]

Изложенные рассуждения основывались на классической механике. В квантовой механике плазменные колебания можно проквантовать. В соответствии с общими правилами квантования гармонического осциллятора энергия кванта плазменных колебаний называемого плазмоном) где Л — постоянная Планка, а плазменная частота Qe определяется соотношением (3.16). Квантование движения изменяет равновесное максвелловское распределение электронов в плазме. Если энергия электрона равна энергии одного нли нескольких плазмонов, то [c.54]