теорема для уравнения Больцмана

В константу равновесия входит лишь разность пороговых значений энергии, но не сами пороговые значения. Это легко понять исходя из того, что уравнение Больцмана не содержит явно времени, а Н-теорема определяет лишь условия равновесия, но не время его достижения. Изменение порогов реакций и 2 (с сохранением неизменной их разницы Д ) приведет лишь к увеличению или уменьшению скоростей процессов, но никак не скажется на конечном состоянии, которое определяется, вообще говоря, энергетическим равновесием подсистем. Величина АЕ определяется энергией состояний реагентов и продуктов и выступает в качестве "фундаментальной" характеристики системы, определяющей ее состав в [c.30]

Точное значение числа молекул в ячейке не может быть равным (г, р) (1 г с1 р, потому что оно целое. Это число флуктуирует относительно значения, дающегося уравнением Больцмана вследствие случайного характера столкновений, и только их вероятность описывается использованным столкновительным членом. Наша цель вычислить эти флуктуации. Если / слабо отличается от равновесного распределения, уравнение Больцмана можно заменить его линеаризованной версией. Тогда становится возможным подключить флуктуации, добавив член. Ланжевена, значение которого определяется с помощью флуктуационно-диссипативной теоремы. Однако, как показано в 8.9, приближения Ланжевена неприменимо вне линейной области. Поэтому мы стартуем с основного кинетического уравнения и используем -разложение. Вся процедура состоит из четырех шагов. [c.325]

Важное свойство решений уравнения Больцмана формулируется так называемой /Г-теоремой. [c.125]

Указанные выше свойства уравнения Больцмана (наличие сумматор-ных инвариантов и Я-теорема) являются, по-видимому, наиболее важными с физической точки зрения. Рассмотрение математических свойств оператора столкновений в форме Больцмана проводится в ряде работ (см. [31] и цитированную там литературу), однако оно дает возможность лишь некоторого упрощения вычислений, по не выявляет каких-либо новых физических эффектов. Поэтому мы не будем более останавливаться на этой стороне дела. [c.126]

Действие пространственного заряда теоретически можно включить в преобразованную форму теоремы Лиувилля для предельного случая, когда несущественны корреляции между частицами (уравнение Больцмана без столкновений), однако уравнения движения обычно решить нельзя. Трудность в том, что силы не являются больше независимыми от движения частиц. Можно ввести различные аппроксимации, чтобы включить действие пространственного заряда, например, усреднение по распределению плотности в фазовом пространстве. Важную роль в определении динамики пучка частиц может играть функция распределения в фазовом пространстве. [c.131]

Пытаясь дать строгое обоснование максвелловского предположения о случайном характере молекулярного движения, Больцман в 1872 г. сформулировал и доказал Н-теорему [7]. Эта теорема выявляет необратимость физических процессов и показывает, что столкновения молекул приводят к увеличению энтропии системы любое начальное распределение по скоростям и координатам будет почти всегда стремиться к равновесному максвелловскому распределению скоростей молекул. В этой же работе Больцман вывел интегро-дифференциальное уравнение (известное ныне как уравнение Больцмана), которое описывает эволюцию функции распределения во времени и пространстве. Больцман показал, что найденные Максвеллом выражения для различных кинетических коэффициентов в газе, состоящем из максвелловских молекул, можно получить непосредственно, решая это интегро-дифференциальное уравнение. Построение формальной основы кинетической теории неоднородных газов было фактически завершено, когда Больцман в 1875 г. [8] и Лоренц в 1887 г. [136] обобщили Я-теорему, распространив ее на случай газа, находящегося в консервативном силовом поле. [c.18]

Можно предполагать, что в случае, когда состояние газа не слишком сильно отклоняется от состояния теплового равновесия, линеаризованная форма уравнения Больцмана должна давать достаточно точное описание явлений переноса. Вьшод линеаризованного уравнения Больцмана содержится в 4.6. Линеаризованный оператор столкновений фактически представляет собой интегральный оператор с симметричным ядром, свойства которого, разумеется, зависят от вида межмолекулярного взаимодействия. В 4.7 выводятся некоторые интегральные теоремы, которые связаны со свойствами линеаризованного оператора столкновений и которые будут использоваться позже при построении решений нелинейного уравнения Больцмана. В заключение главы, в 4.8, мы, используя методы функционального анализа, получим теорему существования и единственности решений линеаризованного уравнения Больцмана. Эта теорема в строгой математической форме определяет те условия, при которых линеаризованное уравнение Больцмана дает единственное решение при заданных начальных условиях. Таким образом, эта теорема обеспечивает строгое обоснование кинетической теории процессов переноса в газах, состояние которых близко к состоянию теплового равновесия. [c.72]

Квазихимическое уравнение можно рассматривать как приложение е-теоремы Больцмана к равновесию [c.338]

Поэтому квазихимическое уравнение применимо для вычисления термодинамических функций реальных растворов со всеми теми ограничениями, которые обусловливают применимость е-теоремы Больцмана. [c.338]

Следует сказать, что трактовка указанных вопросов в статье [ 15] не вполне соответствует действительности. Теория растворимости, предложенная в [16], развита на основе е теоремы Больцмана в форме не применимой к случаю гетерогенного равновесия (см. например [3], стр. 468). Уравнение А" = [c.40]

Строго горя, законность указанного уравнения с полной строгостью была доказана Я-теоремой Больцмана только для идеальногазовых систем, где термодинамические вероятности частей системы являются независимыми и где поэтому термодинамическая вероятность состояния системы в целом может быть определена как произведение вероятностей состояния отдельных частей системы. [c.10]

Последнее уравнение (17) и выражает собой е-теорему Больцмана. Оно показывает, что различие в плотностях вещества в двух точках пространства определяется различием в потенциальной энергии вещества в этих точках пространства. Практически определяется через выражение работы переноса вещества из первой во вторую зону рассматриваемого пространства. Попутно е-теорема показывает также характер влияния температуры на распределение вещества в пространстве действия сил. [c.85]

Эти условия имеют вероятностную природу и обеспечивают выполнение Н-теоремы Больцмана для решения системы уравнений (VII. 31). Формальное решение системы уравнений (VII. 31) имеет вид [37, 59] [c.360]

В трудах Больцмана действительно нет уравнения (6.32), однако в них имеется знаменитая Н-теорема. Функция Я, уменьшающаяся в изолированных системах, равна энтропии со знаком минус. Планку в данном случае принадлежит лишь интерпретация Н-теоремы Больцмана. Громадное значение трудов Больцмана, впервые пробивших брешь в пессимизме Клаузиуса ( энтропия мира стремится к максимуму ), подчеркнуто краткой эпитафией на могиле Больцмана в прекрасной Вене S = kin W. [c.213]

Как и в случае частиц без внутренней структуры, интегралы столкновений записаны при двух следующих основных допущениях. Первое из них является общим почти для всех вариантов использования уравнений Больцмана и заключается в достаточной степени разреженности всей смеси, чтобы можно было учитывать только интегралы бинарных столкновений. Второе допущение состоит в предположении обратимости всех процессов, что и позволяет объединить интегралы прямых и обратных столкновений. Этот вопрос имеет принципиальное значение, так как выше было показано, что принцип микроскопической обратимости является необходимым и достаточным условием выполнения закона действующих масс в системе с одной химической реакцией. Кроме того, в работе Черчиньяни [193] в общем случае (без выписывания //-функции и определения условий равновесия) было показано, что //-теорема остается справедливой для классического газа многоатомных молекул, если уравнения движения обратимы во времени. [c.32]

Изложим доказательство этой теоремы для с.мучая газа без внешних сил, считая распределения частиц пространственно однородными. При этом кинетическое уравнение Больцмана н.чеот [c.31]

В самой обширной четвертой главе приводятся различные выводы уравнения Больцмана, начиная с выводов самого Больцмана, причем подчеркиваются все допущения, лежащие в основе вывода. Далее рассматриваются выводы уравнения Больцмана, которые даны Трэдом и Кирквудом. Еще раньше, в гл. III, коротко был намечен вывод уравнения Больцмана, вытекающий из анализа Боголюбова. Сопоставление и анализ всех этих выводов основного кинетического уравнения интересны и поучительны. В качестве следствий, вытекающих из уравнения Больцмана, рассматриваются гидродинамические уравнения сохранения, а затем <0-теорема Больцмана и условия равновесия, приводящие к распределению Максвелла. Далее приводятся некоторые обоснования релаксационного уравнения Крука — Бхатнагара — Гросса и подчеркивается его нелинейный характер. Рассматриваются столкновения при дальнодействующих потенциалах взаимодействия и дается вывод уравнения Фоккера — Планка из уравнения Больцмана и из уравнения Чепмена — Колмогорова. Показывается справедливость с -теоремы для уравнения Фоккера — Планка и дается представление о родственных кинетических уравнениях — уравнениях Ландау и Балеску — Ленарда. [c.6]

Итак, мы ознакомились со свойствами наиболее широко применяемых кинетических уравнений. В главе V дано решение уравнения Больцмана методом Чепмена — Энскога и методом Грэда. В заключение вновь исследуется проблема релаксации к равновесию макроскопических систем как в духе классической статистической механики, где мы опять сталкиваемся с ансамблями в Г-пространстве, так и методом эргодической гипотезы. Первый, априорный подход, опирается на постулат равных априорных вероятностей, тогда как при втором (апостериорном) подходе делаются попытки доказать эргодическую гипотезу. Оба метода исследуют необратимое приближение к равновесию макроскопических систем. Они представляют собой статистическо-механиче-ский эквивалент метода теории кинетических уравнений, в котором с помощью ( -теоремы изучается та же самая проблема. [c.257]

Выше мы видели, что кажущаяся необратимость макроскопических систем естественным образом вытекает из постулата равных априорных вероятностей и формализма для вычисления вероятностей макросостояний. Однако, интуитивно являясь удовлетворительным, этот априорный подход специфичен в одном своем аспекте он не является чисто динамической теорией. Это, скорее, объединение вероятностных и динамических закономерностей. Существует ли какой-нибудь способ получить необратимость макроскопических явлений чисто динамическим путем Мы уже сталки-вались с такой попыткой в с -теореме Больцмана. Однако эта теорема опирается на справедливость уравнения Больцмана, вывод которого, если мы вспомним, включает множество предположений. Одним из них является гипотеза молекулярного хаоса. Этот Ansatz полагает двухчастичную функцию распределения /2 равной произведению одночастичных функций распределения /1/1, что в представлении фазовых чисел записывается так [c.336]

Помимо макроскопических законов сохранения, из уравнения Больцмана можно вывести другое важное соотношегае. Оно имеет форму неравенства и впервые было получено Больцманом [7] в 1872 г. Больцман назвал его Е-теоремой Е — обозначение для энтропии) позже его стали называть Я-теоремой Это неравенство количественно выражает тот факт, что кинетическая теория описьшает процессы, необратимые во времени. Проиллюстрируем это, рассмотрев операцию обращения времени применительно к уравнению Больцмана. [c.79]

Следующий важнейший шаг как с точки рения построения кинетической теории газов, так и одновременно с точки зрения развития обш,ей проблемы статистических закономерностей в физике был сделан Больцманом, который, исходя из конкретных представлений механики о взаил5одейстиии молекул га.чл посредством парных столь новений, вывел свое основное интегро-дифференциальное ураипепие для функции расиределения частиц но скоростям. Это уравнение, называел5ое кинетическим уравно нием Больцмана, представляет собой математическую формулировку статистического закона изменения во времени и пространстве распределения молекул газа но скоростям, обусловленное как внешними воздействиями сил и полей па газ, так и взаимодействием молекул газа между собой благодаря их столкновениям. Кинетическое уравнение позволило с помощью /-теоремы Больцмана дать атомистическое истолкование второго начала термодинамики. При этом был вскрыт статистический смысл понятия энтропии, установлена связь энтропии с вероятностью состояний ансамбля частиц газа. [c.14]

Это уравнение иногда называют е-теоремой Больцмана. Таким образом, уравнение (11.23) применимо в тех случаях, Когда оправдывается условие (11.31), т. е. когда средние кииетические энергии молекул равны. При фазовом равновесии это допущение может быть оправдано далеко не всегда. В случае равновесия жидкость — пар или жидкость — твердое тело условие (11.31), следовательно, и уравнения (11.23) неприменимы. [c.470]

Это противоречие явилось источником парадокса обратимости, выдвинутого первоначально в 1876 году Лошмидтом в связи с работой Больцмана. Больцману удалось получить кинетическое описание, которое согласовывалось с наблюдаемыми необра-тимыми явлениями в природе, но противоречило основным законам механики. Парадокс равным образом вытекает из обоих фактов утверждаюш ей необратимость макроскопических состояний М-шеоремы Больцмана (которая вскоре будет обсуждаться) и наблюдаемых необратимых явлений в природе. Парадокс заключается в следуюш ем каким образом обратимые законы микроскопической механики (законы Ньютона, уравнение Лиувилля) могут приводить к наблюдаемым (релаксация к равновесию) либо формулируемым (с -теорема Больцмана) необратимыми макроскопическим законам [c.172]

Л1ожно показать, что такое определение температуры приводит к простому математическому выражению для большинства температурных зависимостей н численно совпадает с температурами, фигурирующими в уравнении состояния идеальных газов (закон Менделеева—Клапейрона), в законе Стефана—Больцмана, теореме Карно и т. д. Из сказанного выше стало ясно по крайней мере то, насколько сложнее и богаче истинный смысл понятия температуры по сравнению с бытовым понятием. Температуре посвящена отдельная книга Я- А. Смородинского, вышедшая в 1981 г. в серии Библиотечка Квант (выпуск 12). [c.41]