Лапласа поверхностью

Преобразованная по Лапласу концентрация на твердой поверхности имеет вид [c.117]

Оценим X как среднее расстояние, на котором скорость течения и уменьшается от максимального значения в ядре потока до нуля на его границах, образуемых внешней поверхностью зе- рен. Тогда градиенты скорости (первые производные) будут порядка и1Ь, а оператор Лапласа (вторые производные) — порядка / 2. [c.22]

В точной постановке требуется решить уравнение Лапласа для потенциала V = О при следующих граничных условиях кровля плас- та непроницаема поверхность водонефтяного контакта, форма которой [c.222]

Выражения для роста температуры по модели Данквертса легко могут быть найдены на основе некоторых зависимостей, содержащихся в его работе Приведенные там уравнения (7) и (14) дают изображения по Лапласу и соответственно с параметром р. Чтобы найти повышение температуры, усредненное для всех частей поверхности при коэффициенте физической массоотдачи, равном следует подставить 5 = 1/0 вместо р и умножить изображение на 5. Это дает [c.140]

Если предположить отсутствие поляризации анодных участков, т. е. А1 а = О (неограниченная анодная поверхность), и приблизительное постоянство плотности тока в различных точках включения, то для включений дискообразной формы, находящихся на большом расстоянии (по сравнению с диаметром диска) друг от друга, дифференциальное уравнение Лапласа [c.275]

Здесь l — концентрации веществ, участвующих в реакции Т — температура г — скорость реакции в единице объема пористого катализатора D , % — эффективные коэффициенты диффузии и теплопроводности в пористом зерне v — стехиометрический коэффициент -го вещества (v,- < О для исходных веществ и > О для продуктов реакции) h — теплота реакции V — оператор Лапласа g = С (Г), То= Т (Г) — концентрации реагентов и температура на внешней поверхности зерна oo, T a— значения соответствующих переменных в ядре потока, омывающего частицу катализатора Р,, а — коэффициенты массо- и теплопередачи из ядра потока к внешней поверхности зерна п — направление внешней нормали к поверхности Г. [c.131]

По мере отсоса жидкости из капиллярной системы ее приводят в контакт со свежей порцией капиллярной системы отсоса. Процесс считается законченным, когда на свежей порции капиллярной системы нет следов жидкости. Исходя из предположения полного смачивания твердой фазы жидкостью (eos 0=1), на основе уравнения Лапласа о дополнительном давлении под искривленной поверхностью жидкости можно записать [c.86]

Силы поверхностного натяжения оказывают на жидкость дополнительное давление, нормальное к ее поверхности, величина которого определяется уравнением Лапласа [c.30]

Капиллярное давление на границах раздела между водой и нефтью связано с кривизной поверхности и характеристиками жидкостей формулой Лапласа [c.149]

Если коэффициент вязкости т] равен нулю, то уравнение (1.9) сводится к уравнению Эйлера. К этому уравнению задаются граничные условия. Для вязких жидкостей тангенциальные и нормальные составляющие скорости должны быть продолжены через внешнюю поверхность. Для невязких жидкостей остается только одна нормальная составляющая скорости, так как жидкости могут скользить относительно друг друга. Кроме того, тангенциальная составляющая напряжения (в вязких жидкостях) должна быть продолжена через границы. Давление на обе стороны внешней новерхности соответствует уравнению Лапласа [c.28]

Задача легче всего решается, если принять, что поверхность плоская. Тогда оператор Лапласа А сводится к d /dx , так что выражение (5.24) можно записать в виде [c.147]

Насколько нам известно, этот вывод впервые был сделан в 1936 г. Веселовским и Перцевым [2]. Проведенное рассмотрение, при котором было получено двумерное давление х/г, искривляющее линию с натяжением х до кривизны Мг, соответствует расчету Лапласа для трехмерного капиллярного давления, вызывающего искривление до кривизны МЯ -Ь МЯ" поверхности с натяжением ст, т. е. Ра = о /Р + МР ). Здесь Р и Р" — главные радиусы крн- [c.253]

Разность давлений, возникающая по обе стороны от поверхности жидкости при ее искривлении, называется капиллярным давлением. Его величина зависит от поверхностного натяжения и кривизны поверхности и может быть выражена следующим уравнением Лапласа [c.8]

Как видно из рис. 5, отличие искривленной границы раздела от плоской состоит в том, что составляющая сил поверхностного натяжения на направление нормали к поверхности в первом случае не равна нулю, а во втором Оп=0. Поэтому давление в фазах а и р, разделенных искривленной границей, будет отличаться на величину давления, создаваемого Оп. Это давление (р), называемое капиллярным давлением, для поверхности с главными радиусами кривизны Г] и Гг определяется по формуле Лапласа [c.15]

Для искривленной границы раздела адсорбционное уравнение Гиббса имеет тот же вид, что и для плоской [уравнение (1.9)], в том случае, если разделяющая поверхность находится в таком положении, для которого разность давлений в фазах аир определяется формулой Лапласа. Такую разделяющую поверхность называют поверхностью натяжения. [c.16]

Если в системе силы тяжести полностью уравновешены силами диффузии, наступает так называемое седиментационное равновесие, которое характеризуется равенством скоростей седиментации и диффузии. При этом через единицу поверхности сечения в единицу времени проходит вниз столько же оседающих частиц, сколько их проходит вверх с диффузионным потоком. Седиментационное равновесие наблюдается не только в коллоидных растворах, но и в молекулярно-дисперсных системах. Это равновесие характеризуется постепенным уменьшением концентрации частиц в направлении от нижних слоев к верхним. Распределение частиц в зависимости от высоты столба жидкости подчиняется гипсометрическому (или барометрическому) закону Лапласа в применении к золям при [c.307]

При частичном погружении капилляра в смачивающую его жидкость уровень жидкости в нем повышается до тех пор, пока гидростатическое давление столба не уравновесит действие силы, вызывающей втягивание жидкости в капилляр. Эта сила обусловлена искривлением поверхности жидкости вследствие смачивания и возникновением капиллярного давления, которое в данном случае действует в направлении, противоположном внешнему давлению. Искривление поверхности приводит к ее увеличению. При этом уменьшается радиус кривизны (от оо для плоской поверхности до Д) и совершается работа против силы поверхностного натяжения. Связь капиллярного давления с радиусом кривизны и поверхностным натяжением дает уравнение Лапласа [c.89]

Величина р"—р ) в случае сферической поверхности называется поверхностным давлением или давлением Лапласа. Уравнения (ХИ1.98) и (ХП1.99) показывают, что разность статических давлений в смежных фазах равна произведению межфазного поверхностного натяжения на кривизну поверхности. Очевидно, для плоской поверхности [c.345]

Это уравнение является основным в теории капиллярных явлений и носит название формулы Лапласа. Оно дает значение капиллярного давления, вызываемого искривленной поверхностью жидкости любой формы. [c.99]

Из уравнения Лапласа видно, что краевой угол или величина его косинуса зависит от молекулярной природы поверхности раз.села и не зависит от размеров капли. [c.136]

В узких капиллярах вследствие лиофильного или лиофобного взаимодействия жидкости со стенками капилляра поверхность жидкости, искривляясь, принимает форму вогнутого или выпуклого мениска. При этом появляется дополнительная, направленная в глубь одной из фаз, составляющая сил пограничного натяжения, действующих по касательной к межфазной границе. Таким образом, возникновение мениска приводит к появлению на границе раздела дополнительного капиллярного давления Ар, величина которого связана со средней кривизной поверхности и а уравнением Лапласа (1806) [c.153]

Эта глава посвящена равновесиям в сложных гетерогенных системах. Простыми равновесиями такого типа мы уже занимались, изучая системы вида жидкость пар, твердое тело жидкость и т. д. на основе уравнения Клапейрона — Клаузиуса (гл. IV). Равновесия этого типа рассматривались и в разделах, посвященных химическому равновесию, а также в главе о растворах. В сложных гетерогенных системах количественное рассмотрение задачи или затруднительно, или просто невозможно. Прежде чем перейти к изучению этих систем, уточним некоторые понятия. Под фазой понимают совокупность материальных частей системы, обладающих одинаковыми или непрерывно от точки к точке изменяющимися термодинамическими свойствами. Фазы отделены одна от другой поверхностями раздела, где свойства изменяются скачком. Это определение отличается от данного ранее указанием возможности непрерывного изменения свойств. Так, например, представим себе вертикально расположенную трубку, внизу которой имеется некоторое количество жидкости, а над ней пар. Вследствие влияния силы тяжести давление пара изменяется с высотой уровня по соотношению, известному под названием барометрической формулы Лапласа, выводимой из более общего уравнения Больцмана (VI.57) [c.287]

Рассмотрим более подробно физический смысл и следствия закона Лапласа—Юнга, являющегося основой теории капиллярных явлений. Уравнение (У.34) показывает, что разность давлений в объемных фазах возрастает с увеличением а и с уменьшением Я. Величина / — это радиус кривизны поверхности натяжения (см. [5, с. 18]). [c.67]

Следует отметить, что в некоторых случаях, например в пленочных колоннах, условие (13) должно быть заменено условием нулевого градиента концентраций при некотором конечном расстоянии от поверхности. Интегрирование уравнения (10) легко выполнить, пр енив преобразование Лапласа [c.17]

Решение нестационарной задачи значительно упрощается в условиях регулярного теплового режима, когда для описания температурного поля достаточно использовать первую моду ряда Фурье. Для решения задачи просева заготовки в виде цилиндра с эксцентричным отверстием используется преобразование Лапласа, решение в области изображений обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка методом Галеркина и переход в область оригиналов. Теплофизические свойства материала считаются постоянными. На поверхности принимается граничное условие первого рода. [c.72]

Лекция 8. Правило фаз Гиббса для дисперсных систем. Внутреннее давление под иокревленной поверхностью, уравнения Лапласа. Капиллярные явления, формула Жюрена. [c.217]

Изменение кривизны поверхности (удельной поверхиости) вызывает изменение внутреннего давления в телах. Разность давлений Ар, например, внутри жидкого тела с кривизной поверхности и без нее, незы-вается капиллярным (избыточным) давлением. Связь капилляр [ого давления с кривизной поверхности описывается уравнением. Лапласа [c.8]

Располагая данными о давлении пара над плоской поверхностью или соответствующей кривой 1 (рис. 1У-27), по закону Кельвина для пузырька с данным радиусом можно определить понижение давления и построить кривую 2. Зная температуру пара над плоской поверхностью кипящей жидкости, соответствующую внещнему давлению р (по кривой 1), после расчета пр закону Лапласа найдем (по кривой 2) температуру 2. которую должна иметь жидкость, окружающая пузырек. Отсюда можно определить перегрев жидкости, необходимый для существования пузырька радиусом г. [c.329]

Лаплас вывел уравнение (4.16) в 1806 г. несколько иным способом. Его вывод позволяет интерпретировать капиллярное давление как изменение молекулярного давления в жидкости, что приводит к противоположному знаку АР. Относительно недавно, в 1958 г., Щербаков окончательно разъяснил этот остававшийся долгое время неясным момент в теории капиллярности. Он показал, что Б выводе Лапласа неправильно отождествляются молекулярное и внешнее (например, гидростатическое) давления. В действительности при новом состоянии равновесия, которое возникает в результате искривления поверхности, изменяется как внешнее, так и молекулярное давление. Эти изменения описываются двумя уравнениями того же типа, что и уравнение Лапласа. Капиллярное давление связано только с изменением внешнего давления, а чтобы можно было судить о соответствующем изменении молекулярного давления, нужно располагать методами его измерения. Следовательно, молекулярное давление, определяемое межмолекулярными силами и имеющее очень важное значение для молекулярнокинетической теории жидкости, не может быть лзучено путем исследования капиллярных явлений в макрогетерогенных системах. Далее мы покажем, что это оказывается возможным только при исследовании свойств микрогетерогенных систем, например очень тонких слоев жидкости. [c.85]

В случае жидкой подложки второе выражение (7), определяющее неподвижность капли в вертикальном направлении, одновременно означает и полную компенсацию сил, действующих на обе поверхности капли. Действительно, согласно уравнению Лапласа, для сферической поверхности капиллярные давления со стороны верхней и нижней поверхностей капли соответственно равны 2oJRi = 2o2IR2- Равенство этих двух давлений при равновесии означает, что о i/o, = RJRo- В то же время для капли со сферическими поверхностями г = а, = R sin а2, г следовательно, [c.254]

Уравнение (14.9) отражает равновесие поверхностей пленки и свидетельствует о наличии в дисперсной частице избыточного по сравнению с окружающей средой давления, называемого лапласо-вым давлением. В случае сферической поверхности получаем уравнение Лапласа—Юнга [c.271]

Для искривленной границы раздела уравнение Гиббса сводится к виду (1.11), если разделяющая поверхность находится в таком положении, в котором разность цавле-ний , фааах ..а.. ..онредрляетгя. формулой Лапласа. [c.17]

Из ряда работ Б. В. Дерягина с сотрудниками было найдено, что для воды в пристенных слоях толщиной от 10 до 10 см обнаруживается сильное увеличение вязкости под влиянием поверхностных сил, обусловленных ориентацией диполей воды к образованием структур, обладающих прочностью на сдвиг. В работе Б. В. Дерягина и М. М. Кусакова, где пузырек воздуха в воде прижимался к стеклянной плоской поверхности, было установлено, что пристенные слои чистой воды, обладающие сдвиговой прочностью, достигают размеров 1 10 см. Эти наблюдения позволили авторам предположить наличие расклинивающего давления в зазоре между пузырьком газа и стенкой, которое оценивалось по известному уравнению Лапласа [c.87]

Чтобы рассчитать распределение потенциала и тока на поверхности металла, содержащего включения, необходимо решить при определенных граничных условиях дифференциальное уравнение Лапласа для распределения потенциала в электролите при отсутствии свободных объемных зарядов. Решение этого уравнения связано с большими трудностями и было осуществлено лишь для включений в форме полоски или в форме диска радиусом Го в предположении постоянства плотности катодного тока в различных точках включения и неполяри-зуемости основного металла. Расчет показывает, что плотность анодного тока наибольшая у края включения и резко падает при удалении от него. Интегрирование зависимости плотности тока от расстояния дает суммарный ток, который равен суммарному катодному току. Сопротивление раствора между точкой, находящейся на расстоянии г от центра диска, и окружающим диск основным металлом падает по мере роста г [c.363]

До сих пор поверхность раздела фаз считалась плоской. Однако на практике нередко приходится иметь дело с искривленными поверхностями. Например, поверхность капли выпукла, а поверхность жидкости в смачиваемом капилляре вогнута. Очевидно, что если взаимодействие молекул не ограничивается только взаимодействием с ближайшими соседями, то молекула жидкости, находящаяся на выпуклой поверхности, будет испытывать равнодействующую силу, направленную вглубь жидкости меньшую, чем на плоской поверхности. На вогнутой поверхности эта сила, наоборот, больше. Такое изменение поверхностных взаимодействий вызывает и изменение условий равновесия фаз, разделенных искривленной поверхностью. Если на плоской поверхности давление в обеих сосуш,ествующих фазах одинаково, то на искривленной поверхности возникает добавочное давление, направленное в сторону той фазы, по отношению к которой поверхность вогнута. Другими словами, при равновесии давление в фазе, отделенной от другой фазы вогнутой поверхностью, больше. Разность давлений, возникающая по обе стороны искривленной поверхности л идкости, носит название капиллярного (или лапласова) давления. Величина капиллярного давления зависит от кривизны поверхности и поверхностного натяжения и выражается уравнением Лапласа. [c.192]

Подставляя ( 11.5.2) в ( 11.5.1) и деля обе части уравнения на Г1Ггф1ф2> получим формулу Лапласа, выражающую избыток давления со стороны вогнутой поверхности [c.193]

Поверхностное натяжение на границе трех фаз. На границе раздела трех фаз наблюдаются более сложные соотношения между межфазными поверхностными натяжениями. Если на твердую поверхность 3 (рис. 103) нанесена капля воды 1 и обе поверхности граничат с газом 2, то капля образует с твердой поверхностью краевой угол смачивания 0 (измеряемый в водной фазе). По уравнению Лапласа величина соз0 при равновесии связана с межфазными поверхностными натяжениями следующим соотношением [c.285]