Волновое движение, математическое

Очевидно, что из (7.12) должно следовать уравнение (7.1), т.е. из уравнения, определяющего поведение плотности вероятности в /-пространстве, должна быть получена система детерминистических уравнений для можно сделать следующим образом пусть/ (с/, t) есть узкий пик, расположенный в определенной точке /-пространства. Если шириной пика пренебречь, то можно рассматривать его положение в (/-пространстве как макроскопическое значение (/, . В то время как Р изменяется во времени согласно (7.12), пик движется в /-пространстве согласно (7.1). Заметим, что уравнение (7.12) линейно, а уравнение (7.1) может быть и нелинейным. В этом нет противоречия ситуация аналогична тому, как от линейного уравнения Шредингера осуществляется переход к нелинейным классическим уравнениям движения в приближении, в котором частицы достаточно тяжелы для того, чтобы пренебречь распространением волновой функции. Математический аппарат для такого описания был развит в работах [266, 350, 429, 436]. [c.177]

В 1924 г. Луи де Бройль предложил распространить корпускулярно-волновые представления на все микрочастицы, т. е. движение любой микрочастицы рассматривать как волновой процесс. Математически это нашло выражение в соотношении де Бройля, согласно которому частице, имеющей массу т и движущейся со скоростью V, соответствует волна длиной Я, [c.8]

Как и ньютоновские уравнения движения, уравнение движения электрона не имеет вывода все они являются последовательными математическими описаниями определенных явлений природы. Однако для электрона окончательная форма уравнения довольно сложна. Эю обусловливается, по-видимому, тем, что в нем отражается сочетание ряда различных сторон явления. Окончательное уравнение должно отражать волновой характер электрона и вероятностный характер наших измерений. Это вынуждает нас воспользоваться волновым уравнением и попытаться придать ему корпускулярный характер с помощью соотношения де Бройля. Для учета волновых свойств электрона в нашем уравнении воспользуемся общим уравнением волнового движения в частных производных (2-7) или в более простой форме (2-7а). [c.48]

Квантовая механика была развита в 1926 г. независимо Гейзенбергом и Шредингером. Подход Гейзенберга называют матричной механикой, а подход Шредингера — волновой механикой. Хотя эти два метода кажутся различными, можно показать, что математически они эквивалентны. Мы рассмотрим только формулировку Шредингера, в которой используется представление о волновом движении. [c.372]

Согласно квантовомеханическим представлениям, движущимся микрообъектам присуща двойственная природа они являются частицами, но имеют волновой характер движения, т е микрообъекты обладают одновременно корпускулярными и волновыми свойствами Математически это выражается уравнением де Бройля, согласно которому частице, имеющей массу т и движущейся со скоростью V, соответствует волна длиной А, [c.34]

Поскольку имеется волновое движение, для его математического описания должно существовать волновое уравнение. Такое уравнение известно для световых и звуковых волн, для волн на поверхности воды, для упругих волн и т. д. оно было найдено также для электронных волн (или, как их часто называют, волн де Бройля). Это уравнение получило название волнового-уравнения Шредингера. Некоторые математические вопросы, связанные с этим уравнением, мы обсудим в гл. 3, однако кое-что касающееся его интерпретации можно отметить уже сейчас. [c.27]

В настоящее время из опытов Дэвиссона и Джермера [4] и Дж. П. Томсона [5] известно, что диффракционные явления, весьма сходные с теми, которые имеют место для света, могут быть воспроизведены с пучком электронов. Эти опыты дают блестящее подтверждение той гипотезы, впервые выдвинутой де Бройлем [6] и получившей математическое выражение у Шредингера [7], что электроны, вместо классических законов движения, так же как и фотоны, подчиняются законам волнового движения. [c.16]

Как было сказано, движение электрона следует описывать волновым уравнением. Обычно математически волновое движение выражается дифференциальным уравнением второго порядка. 40 [c.40]

Таким образом, Гейзенберг полагал, что в атомных масштабах траекторию частицы уже нельзя рассматривать с математической точностью, а вместо этого должна существовать полоса неопределенности, в которой частица может двигаться по всей области возможных положений. Из рис. 1.4 видно, что это движение имеет характерные черты волнового движения и поэтому его можно трактовать на основе уравнений волновой теории этот предмет известен как волновая механика. [c.13]

Математическое описание волнового движения [c.17]

Отвлечемся временно от описания строения атомов, чтобы познакомиться с математическим описанием волнового движения. Рассмотрим волну, изображенную на рис. 1-1,а, которая с [c.17]

При математическом описании движения жидкостей возникают задачи двух типов. Задачи первого типа относятся главным образом к истечению несжимаемой жидкости из баков, прохождению ее по трубопроводам, через клапаны и другие устройства. Подобные гидравлические цепи наиболее просто и удобно описываются при помощи уравнения Бернулли и закона сплошности. Задачи второго типа возникают при сжимаемости жидкости или содержащих ее сосудов и трубопроводов. В данном случае возможны вибрация, образование звуковых волн и их распространение в жидкостях или трубопроводах. Задачи этого типа решают при помощи уравнений волновых движений. В результате оказывается возможным предсказать появление бегущих или стоячих волн в трубопроводах и технологических аппаратах. [c.11]

Несмотря на то что мы пока не решили, каким образом выразить волновой характер электрона, но тем не менее уверены в том, что это должно быть сделано с помощью волнового уравнения. Это делает необходимым использование волновой функции для описания свойств электрона. Для известных форм волнового движения можно дать вполне разумную и полезную физическую интерпретацию волновой функции. Однако какой смысл будет иметь волновая функция частицы, сказать не так легко. Эрвин Шредингер блестяще продемонстрировал возможности волновой механики в этом направлении еще до того, как появилось приемлемое толкование волновой функции. Сейчас может показаться, что волновая функция имеет только математический смысл и никакой физической интерпретации в действительности и не требуется. Это как будто бы подтверждается наличием умозрительных трудностей, связанных с дуализмом волна — частица. Такая точка зрения должна в особенности импонировать тем, кто любую попытку дать физическое описание всем природным процессам считает помехой для развития науки. Однако, безусловно, следует поддер- [c.45]

Ранее было сказано, что электрон ведет себя как волна, и теперь описывать его движение следует волновым уравнением. Обычно математически волновое движение выражается дифференциальным уравнением второго порядка. Например, передача колебания вдоль натянутой струны может быть выражена уравнением [c.43]

Поскольку имеется волновое движение, для его математического описания требуется волновое уравнение. Такое уравнение известно для световых и звуковых волн, для волн на поверхности воды и т. д. оно было найдено также и для электронных волн (волн де Бройля). Это уравнение получило название волнового уравнения Шредингера. Для того чтобы в нем разобраться, следует учитывать вероятностный характер наших знаний. В соответствии с принципом неопределенности мы никогда не можем точно установить, где находится частица. [c.17]

Волновая функция. Поскольку движение электрона имеет волновой характер, квантовая механика описывает его движение в атоме при помощи так называемой волновой функции . В разных точках атомного пространства эта функция принимает разные значения. Математически это записывается равенством 1)3=113 (л , у, г), где х,у,г — координаты точки. Физический смысл волновой функции объяснить пока трудно. Имеет определенный физический смысл ее квадрат 1)5 он характеризует вероятность нахождения электрона в данной точке атомного пространства. Величина 1 з2 У представляет собой вероятность обнаружения рассматриваемой частицы в элементе объема. У. . [c.9]

Необходимо подчеркнуть, что проявление волновых свойств электроном не является следствием перерождения его в волну. Речь идет только о том, что движение электрона описывается такими же математическими выражениями, как и распространение волны. Например, у электронов можно наблюдать характерное для волн явление дифракции. Это свойство электронов проявляется в том, что, проходя через узкое отверстие экрана, электроны рассеиваются, образуя за экраном дифракционную картину. С учетом волновых свойств электрона нельзя представлять себе, что электрон в атоме движется вокруг ядра по орбитам со строго определенными радиусами, как это вытекает из теории Бора. [c.47]

Сформулируем основные требования к искомому уравнению. Прежде всего это волновое уравнение, и поэтому можно думать, что оно обладает по крайней мере некоторыми свойствами обычных волновых уравнений, описывающих, например, колебания струны скрипки, в данной книге рассматриваются в основном характеристики систем, не зависящие от времени. Будем исследовать допустимые уровни энергии атома или молекулы, игнорируя то обстоятельство, что вследствие испускания излучения или других процессов, меняющих энергию, уровень может существовать лишь короткое время. Таким образом, искомое уравнение не будет содержать времени. В частности, в него не будут входить производные по времени (в противоположность широкоизвестному математическому описанию волнового движения таких систем, как струна скрипки). Однако следует ожидать, что те величины, которые входили бы в классическое рассмотрение — кинетическая энергия частиц, отталкивание частиц с одноименными зарядами и притяжение с разноименными — должны [c.19]

Взятые вместе опыты по фотоэлектрическому эффекту и атомным спектрам, принцип неопределенности и обнаружение волновой природы электронов продемонстрировали полную непригодность классической механики для описания поведения электронов. Тогда был предложен совершенно новый способ рассмотрения таких частиц — квантовая, или волновая механика. В 1927 г. Шрёдингер постулировал уравнение (так называемое волновое уравнение), полностью описывающ,ее систему, для которой оно составлено. Уравнение Шредингера представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных от ЗЛ/ переменных, которыми являются три координаты, определяющие положение каждой из N частиц, составляющих систему. Полная энергия системы в этом уравнении, так же как и ее потенциальная энергия, появляется как функция от электрических зарядов и координат положения. Само волновое уравнение и его решения (волновые функции системы) имеют такую же математическую форму, как уравнения и функции, описывающие обычное волновое движение. Возможные решения уравнения несут в себе всю мыслимую информацию о системе. Эти решения интерпретируются, как функции распределения вероятности. Уравнение Шредингера применимо к любой системе частиц, но здесь рассматривается только его использование для электронов. [c.21]

Тот факт, что системы малых частиц проявляют, по крайней мере при определенных условиях, волновые свойства, предполагает воз-люжность описания таких систем уравнениями, подобными тем, которые, как известно, описывают другие виды волнового движения, например волны, которые распространяются вдоль колеблющейся струны, или волновое движение, приписываемое электромагнитному излучению. Действительно, можно начать с волнового уравнения, соответствующего электромагнитным волнам, и путем определенных замен превратить его в уравнение, соответствующее нашему случаю хотя эти замены диктуются физическими причинами, они в основном произвольны и могут быть приняты только потому, что приводят к уравнению, которое, как показывает опыт, позволяет получить правильные решения физических задач. Поэтому следует принять волновое уравнение как постулат, так как у химиков основной интерес вызывает применение волнового уравнения к атомным и молекулярным системам, а не физические и математические соображения, которыми руководствовался Шредингер, впервые его предложивший. [c.19]

Пока не решено, каким образом выразить волновой характер электрона, но есть уверенность в том, что это должно быть сделано с помощью волнового уравнения. Последнее делает необходимым использование волновой функции для описания свойств электрона. Для известных форм волнового движения можно дать вполне разумную и полезную физическую интерпретацию волновой функции. Однако какой смысл будет иметь волновая функция частицы, сказать не так легко. Эрвин Шредингер блестяще продемонстрировал возможности волновой механики в этом направлении еще до того, как появилось приемлемое толкование волновой функции. Сейчас может показаться, что волновая функция имеет только математический смысл и никакой физической интерпретации в действительности и не требуется. Это как будто бы подтверждается наличием умозрительных трудностей, связанных с дуализмом волна — частица. Такая точка зрения должна в особенности импонировать тем, кто любую попытку дать физическое описание всем природным процессам считает помехой для развития науки. Однако, безусловно, следует поддержать попытки описания природных процессов в рамках концепций, имеющих определенную связь с нашим физическим миром. Макс Борн, применив вероятностные идеи принципа неопределенности, дал общепринятую в настоящее время трактовку волновой функции 4. По Борну, волновая функция частицы — это не амплитудная функция, в обычном смысле используемая для описания волн, а, скорее, мера вероятности события. Когда волновая амплитуда велика, то велика и вероятность события, малая амплитуда отвечает столь же малой вероятности события. В этой интерпретации мы до некоторей степени упустили из виду физический мир, ибо это не то волновое движение, к которому мы привыкли. Однако такая концепция согласуется с приемлемой трактовкой квантовомеханических положений о движении электромагнитных волн. [c.44]

Применение операторов для нахождения волнового уравнения. В основу вывода уравнения Шредингера были положены определенные постулаты, связанные с теорией распространения волн, но предварительно указывалось, что это уравнение может быть полечено на базе других постулатов, которые, повидимому, не имеют никакого отношения к волновом движению. Один из подобных методов получения основного зравнения приобрел особенное значение, и он 63 дет изложен ниже. Основное положение, с которым связаны все последующие, заключается в том, что каждой величине, рассматриваемой в классической механике, т. е. координате, импульсу, энергии и т. д., соответствует онределенпый математический оператор, вид которого постулируется квантовой механикой. Содержание отдельных постулатов сводится к следл ющему [c.39]

В 1926 г. Эрвин Шрёдингер (1887-1961) предложил описывать движение микрочастиц при помощи выведенного им волнового уравнения. Нас не столько интересует математический вид уравнения Шрёдингера, сколько способ нахождения его рещений и извлечения из них необходимой информации. Поняв, как поступают при решении уравнения Шрёдингера, можно, даже не проводя самого решения, составить представление о причинах квантования и о смысле квантовых чисел. В данном разделе мы попытаемся объяснить общий метод решения дифференциальных уравнений движения, с которыми приходится встречаться в квантовой механике. Этот метод будет пояснен путем рассмотрения более простой аналогии-уравнения колебаний струны. [c.360]

Строгая постановка задачи требует знания точной функции потенциального поля молекулы. При этом необходимо принимать во внимание взаимное влияние всех ядер и электронов и движение их относительно друг друга в молекуле, учитывать изменения ку-лоновского поля под действием налетающего электрона и изменения волновой функции электронов в поле молекулы и некоторые другие факторы. Однако, несмотря на все трудности, математическое описание процесса рассеяния электронов газообразными молекулами можно получить, рассматривая упрощенную модель. [c.129]

В основу модели атома Шрёдингер положил математическое описание стоячей волны, включив в него соотношение де-Бройля. Такой метод дает стационарный характер движения электрона в пространстве, удовлетворяя требованиям принципа неопределенности. Решение получающегося уравнения оказывается возможным не при всех значениях энергии Е, а лишь при некоторых, называемых собственными значениями энергии. Соответствующие им функции г) называются собственными функциями. Иногда для одного собственного значения имеется т различных собственных функций. Тогда говорят, что данный уровень энергии т-кратно вырожден. Дискретный характер собственных значений энергии правильно отражает квантовые свойства микросистем, являясь естественным результатом решения волнового уравнения. Ранее это важнейшее положение было введено в теорию Бора как постулат. [c.164]

Разумеется, метод наложения валентных схем, использующий различные варианты представления волновой функции электронов в молекуле, например, для СвНв — менее точный (1П.66) и более точный (111.67), является лишь математическим приемом. Истинное распределение электронной плотности в молекуле, находящейся в данном энергетическом состоянии, вполне определенное и единственное, никаких изменений в нем не происходит. Поэтому неправильно было бы считать, что бензол содержит смесь молекул, находящихся в пяти различных состояниях, или что структура молекул, определяющая свойства этого соединения, является наложением (резонансом) пяти реально существующих структур. Наложение валентных схем нельзя считать физическим явлением. Это способ квантовомеханического рассмотрения состояния электронов, движение которых не локализовано около определенной пары атомов. Данный прием используется только в методе валентных связей и не фигурирует в другой квантовохимической теории — методе молекулярных орбиталей, хоторыи мы рассмотрим в дальнейшем. [c.177]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология