Классы элементов симметрии

Таблица 5.5. Классы элементов симметрии и характеры НП группы Он

Таким образом, точечная группа определяется по симметрии рентгенограмм лишь с точностью до центра инверсии (и равнодействующих элементов симметрии). Например, кристаллы с симметрией 2, т и 2/ш дадут рентгенограммы с одинаковой симметрией 21т. Из 32 кристаллографических групп одиннадцать содержат операцию инверсии. Следовательно, рентгенографически (по симметрии рентгенограмм) все точечные группы распределяются по 11 семействам — так называемым классам Лауэ . [c.69]

Мочевина с многими веществами образует кристаллические соединения включения (см. мочевину). Кристаллы их принадлежат к классу симметрии без центра симметрии (класс Об с винтовой осью в качестве элемента симметрии). Хотя существует одинаковая вероятность правого и левого направления винтовой оси, все же опыт показывает, что при образовании кристаллов такого рода формы, соответствующие зеркальным изображениям, получаются в различных количествах. Молекулы. располагаются преимущественно или исключительно в соответствии с той или иной винтовой осью в зависимости от характера образования первого зародыша при кристаллизации. Если мочевина соединяется с рацемическим веществом, то мыслимы два различных продукта [c.137]

Для молекулы аммиака определите элементы симметрии, постройте таблицу группового умножения и проверьте, образуют ли эти элементы группу. Определите классы сопряженных элементов. Является ли данная группа абелевой [c.26]

Трансляции размножают элементы симметрии кристаллического класса в семейство параллельных элементов симметрии (см. рис. II.9) и преобразуют поворотные оси симметрии в винтовые, а зеркальные плоскости — в плоскости скользящего отражения. В результате из каждого кристаллического класса образуется несколько пространственных групп. Общее число пространственных групп 230. Это значит, что помимо одного непрерывного и изотропного пространства Евклида существует 230 типов дискретных и анизотропных периодических пространств, представителями которых являются кристаллы. В числе 230 [c.60]

Пронумеруем классы элементов симметрии индексом к, обозначим число элементов в классе кн- Например, для группы Ок (табл. 5.5) /1 = 1( ) /12 = 8(8Сз) /1з = 6(6С2 ) и т. д. Введем вектор характеров [c.174]

Рис. 11.17. а) Стереографическая проекция кристаллического класса — 42т] 6) элементы симметрии пространственной группы [56]. [c.61]

Классы элементов симметрии и характеры НП точечной группы Од [c.115]

Классы элементов симметрии Е 8Сз 6С ЗСа / 65. 85. 6а 6С. [c.134]

В 1857 г. А. В. Гадолин математически вывел все сочетания элементов симметрии, которые характеризуют кристаллические многогранники. Он показал, что по внешнему виду симметрии кристаллы разделяются на 32 класса, которые объединяются в семь систем кубическую, гексагональную, тетрагональную, три-гональную, ромбическую, моноклинную и триклинную. Каждая система имеет определенную совокупность элементов симметрии. Так, например, кристаллы кубической системы должны иметь три оси четвертого порядка, в кристаллах гексагональной системы — ось шестого порядка и т. д. Кристаллы германия и кремния относятся к кубической системе. [c.87]

Элементы симметрии с одинаковыми характерами можно объединить в классы. Рассмотрим, например, преобразование р-функций атома азота в молекуле ЫНд под влиянием элементов симметрии группы Сз (рис. 46). Элементы симметрии группы Сз запишем в виде , 2Сд, За , т. е. два поворота вокруг оси третьего порядка Сз и С (на 120 и 240°) объединим в один класс 2Сз, а отражения в трех вертикальных плоскостях симметрии — в класс Зз . [c.116]

Полный набор операций симметрии для данной фигуры называется группой симметрии. На рис. 2-31 показан пример с поворотной осью 3, лежащей в плоскости симметрии. Поворотная ось, разумеется, поворачивает не только цветок, но и любой другой элемент симметрии в данном случае это плоскость симметрии. Повороты на 120° дадут в целом три плоскости симметрии, расположенные по отношению друг к другу под утлом 60°. Именно такой тип симметрии имеется у цветка, высеченного на камне и показанного в правой части рис. 2-25. Некоторые простейшие организмы, заимствованные из книги Геккеля [15], приведены на рис. 2-32. Все они имеют оси 5, а некоторые из них обладают также пересекающимися (вертикальными) плоскостями симметрии. Морская звезда, находящаяся в центре, принадлежит, например, классу симметрии 5 т. Эта морская звезда состоит из десяти совмещаемых частей, каждая пара которых связана плоскостью симметрии. В целом морская звезда остается неизменной либо при повороте вокруг оси на угол 360°/5 = 72°, либо при отражении в плоскостях симметрии, которые пересекаются под углом 36°. Ось 5, совпадающая с плоскостями [c.39]

Для класса симметрии тетраэдра существуют два эквивалентных способа описания 3/2-ш или же 3/5. Наклонная линия, связывающая две оси, показывает, что они не ортогональны. Символ 3/2 т обозначает две не ортогональные поворотные оси 3 и 2, а также включающую их плоскость симметрии. Эти три элемента симметрии показаны на рис. 2-74. Класс симметрии 3/2 т эквивалентен паре осей третьего порядка и четверной зеркально-поворотной оси. В обоих случаях тройные оси проходят через вершину тетраэдра и центр его противоположной грани. Четверные зеркально-поворотные оси совпадают с осями второго порядка. Наличие четверной зеркально-поворотной оси хорошо видно, если тетраэдр повернуть на 90° относительно оси второго порядка, а затем отразить в плоскости, перпендикулярной этой оси. Таким образом, операции симметрии, выбранные в качестве основных, порождают остальные элементы симметрии. Это доказывает эквивалентность обоих описаний. [c.86]

Проиллюстрируем эти правила на примере упомянутой таблицы характеров для группы С2 - Все четыре элемента симметрии стоят здесь особняком, каждый из них образует собственный класс. Число неприводимых представлений точечной группы Сз как раз равно четырем, что точно соответствует числу классов. [c.203]

Если особая плоскость ленты неполярна, то лента двусторонняя. В целом ленты имеют 31 класс симметрии [2], из которых 7 характеризуют только бордюры. Рис. 8-11, а показывает бордюр, порожденный переносом мотива из листьев. Рис. 8-11,6 является двумерной лентой, характеризуемой плоскостью скользящего отражения. Она содержит перенос на половину периода трансляции и отражение в плоскости чертежа. Листовые узоры на рис. 8-11 параллельны узорам из черных треугольников. Новый элемент симметрии иллюстрирует рис. 8-И,л это винтовая ось второго порядка, 2,. Соответствующее преобразование представляет собой перенос на половину периода трансляции и поворот на 180". Все классы симметрии лент (их число равно 31), составляющие [c.368]

Всего существует 17 классов симметрии односторонних плоских сеток (см., например, [2]). Они изображены на рис. 8-21 аналогично иллюстрации семи классов симметрии, присущих бордюрам (см. рис. 8-9). Приведены также наиболее важные элементы симметрии и координатные обозначения классов симметрии. Первая буква (р или с) в этом обозначении относится к группе трансляций. Следующие три позиции несут информацию о наличии различных элементов симметрии m - плоскость симметрии, 3-плоскость скользящего отражения, 2, 3, 4 или 6-поворотные оси. Цифра 1 или пустое место указывают на отсутствие элемента симметрии. Представления классов симметрии на рис. 8-21 в некотором смысле были навеяны иллюстрациями, содержащимися в книге Элементарная кристаллография Бургера [7]. Наряду с чисто геометрическими конфигурациями на рис, 8-21 представлены 17 венгерских вышитых узоров. Краткое описание их происхождения дано в пояснении к рисункам [8]. [c.377]

Еще в XIX в. минералоги установили, что для описания внутреннего расположения атомов или молекул в кристаллах необходимы два класса операций симметрии. Собственные операции, такие, как вращение или параллельный перенос, сохраняют хиральность объекта. Напротив, несобственные операции превращают объект в его зеркальное изображение, то есть приводят к изменению конфигурации хирального тетраэдрического атома с К на 8. Операции симметрии проводят над точками, осями и плоскостями, которые называют элементами симметрии. В кристалле подобные операции приводят к переносу атомов или молекул в положения с идентичным окружением. Например, кристаллическая структура, имеющая оси вращения п-го порядка, будет казаться неотличимой от первоначального положения при вращении на угол 2тг/п (360°/п) вдоль этой оси. В результате внутренней периодичности для кристаллов возможны оси с п = 1 (первого порядка), 2 (второго порядка), 3 (третьего порядка), 4 (четвертого порадка) и 6 (шестого порядка). Кристаллографические символы для этих осей и симметрично-эквивалентные положения, получаемые при их использовании, приведены на рис. 11.2-2. Параллельный перенос описывает смещение объекта в данном направлении и, конечно, сохраняет хиральность объекта неизменной. В кристаллах вращение на 2тг/п можно сочетать с параллельным переносом на (г/п) х (г = 1,2,..., п — 1 х = а, Ь, с), что приводит к т.н. винтовым осям симметрии Пг. [c.392]

Хотя слово кристалл в повседневном употреблении является почти синонимом симметрии, важно знать, что существуют строгие ограничения, налагаемые на симметрию кристаллов. В то время как в принципе не существует ограничений числа классов симметрии молекул, не так обстоит дело для кристаллов. Что касается формы, то все кристаллы принадлежат к одному из 32 классов симметрии, возможных для кристаллов. Их также называют кристаллографическими точечными группами. На рис. 9-9, а и б приведены примеры точечных групп реальных минералов и соответствующие стереографические проекции элементов симметрии. [c.411]

Наличие только 32 классов симметрии внешней формы кристаллов, очевидно, является следствием их внутреннего строения. Трансляционная периодичность ограничивает элементы симметрии, которые могут присутствовать в кристалле. Наиболее строгое ограничение- это отсутствие в кристаллах поворотных осей пятого порядка. Рассмотрим, например, плоские сетки многоугольников, обладающих поворотными осями второго, третьего, четвертого, пятого и т.д. порядков (рис. 9-12) Многоугольники с двойными, тройными, четверными и шестерными осями покрывают всю поверхность без каких-либо промежутков, в то время как многоугольники с осями симметрии пятого, седьмого и восьмого порядков оставляют на поверхности промежутки. [c.416]

Из равенства (7.17) видно, что так как —элемент группы, то каждая группа должна содержать тождественную операцию Е. Группы симметрии молекул называют точечными группами, потому что все элементы симметрии, которыми может обладать молекула, т. е. центр симметрии, оси симметрии, зеркально-поворотные оси или плоскости симметрии, имеют по крайней мере одну общую точку пересечения. Важный класс групп, которые не обладают этим свойством, составляют группы, описывающие симметрию кристаллов. Их называют пространственными груп-пами. Они будут кратко рассмотрены в гл. 10. [c.143]

Вещества, проявляющие круговое двулучепреломление и круговой дихроизм, называют оптически активными. Их можно разделить на два класса один, в котором оптическая активность обнаружена только у кристаллов, например кварц, и другой, в котором оптическая активность проявляется в твердом, газообразном и жидком состояниях чистого вещества или в растворах. В веществах первого класса оптическая активность обусловлена правой или левой спиральными структурами в кристалле и исчезает при его плавлении. Оптическая активность веществ второго класса связана с асимметрией самой молекулы. Для молекулы, зеркальное изображение которой не совмещается с ней самой, лево- и правополяризованный свет имеет разные показатели преломления и соответственно различные коэффициенты поглощения. Это может быть любая молекула, обладающая только элементами симметрии собственного вращения (разд. 13.11). Молекула, имеющая ось несобственного вращения (5п), включая зеркальную плоскость или центр симметрии, не может быть оптически активной. [c.486]

Хотя собственно для кристаллов возможны 32 класса кристаллов (точечных групп симметрии), для комбинаций элементов симметрии в элементарной ячейке разрешены не менее, чем 230 пространственных групп симметрии [c.395]

Для описания отношений симметрии между внешними гранями кристаллов применимы только кристаллографические операции типа пип. Последние могут быть объединены в 32 кристаллографические точечные группы симметрии, известные как классы кристаллов. Внутреннее периодическое расположение атомов в кристаллической структуре требует применения векторов параллельного переноса, которые также могут сочетаться с осями вращения и плоскостями симметрии, как обсуждалось выше. Включение сложных операций симметрии, таких, как винтовые оси и плоскости скольжения, приводит к 230 пространственным группам симметрии, разрешенным для комбинаций элементов симметрии в элементарной ячейке. Они приведены в Международных таблицах кристаллографии [11.2-1]. В этом контексте интересно отметить, что примерно 75% всех органических и металлоорганических соединений образуют кристаллы, принадлежащие всего к 5 пространственным группам, а 12 пространственных групп симметрии, все принадлежащие к триклинным, моноклинным и орторомбическим кристаллическим системам, охватывают 87% таких соединений. Все эти пространственные группы симметрии допускают достаточно хорошую плотную упаковку органических молекул, которые, как правило, имеют низкую симметрию. [c.395]

Элементы симметрии кристаллического многогранника пересекаются в одной точке. Полный перечень всех элементов симметрии одного многогранника обусловливает степень его симметрии. Многогранники, обладающие одной степенью симметрии, составляют точечную группу, которую еще называют видом, или классом, симметрии- Все возможные для кристаллов точечные группы симметрии (виды симметрии) устанавливаются путем сложения элементов симметрии, возможных в кристаллических индивидах С. Р, 2, Ьз, 4, Ьв, Ц, Ц, Ь. [c.47]

Второе замечание относительно использования групп локальной симметрии и перестановочной симметрии, в сущности, является предостережением. При отображении групп локальной симметрии и перестановочной симметрии па полную точечную группу следует позаботиться о том, чтобы элементы симметрии были расположены в правильной последовательности. При отображении группы локальной симметрии часто возникают недоразумения, когда полная группа, как, например, группы 04/, или Обй, включает больше одного класса осей второго порядка, перпендикулярных главной оси, а также более одного класса пло скостей симметрии, проходящих через главную ось. [c.284]

Рассмотрим, например, молекулу бензола. Эта молекула имеет геометрию плоского шестиугольника с точечной группой симметрии Об/,. На рис. 13.5 показано по одному элементу симметрии для каждого класса симметрии правильного шести- [c.284]

Эти элементы симметрии соответствуют точечной группе Дел которой и принадлежит рассматриваемая модель. Опубликованные таблицы [10] позволяют классифицировать нормальные колебания молекулы по классам симметрии Обозначая эти классы соответствующими симво- [c.302]

Пример 7. Молекула КНз обладает элементами симметрии.Сз, Сз2 = Сз" , а ( ), (т (2), Ст1.( ), Е, так что операции симметрии составляют группу Сзи. Посмотрим, как элементы этой группы делятся на классы. Для этого удобно воспользо-.ваться таблицей произведения элементов (табл. 7), которую легко построить на основе чертежа (рис. 8). В табл. 7 первый множитель стоит в верхней строке, второй множитель — г левом столбце. [c.80]

Важность этого понятия связана с тем, что симметрия кристалла определяет и симметрию проявления самых разнообразных физических свойств. Но макрофизические свойства, такие, как электропроводность, упругость и др., относятся не к отдельным атомам или атомным рядам, а к кристаллу в целом, и определяются не пространственной группой симметрии кристалла, а его классом симметрии — той точечной группой, которая получится, если все открытые элементы симметрии заменить сходственными закрытыми и перенести в общую точку пересечения. [c.25]

В принципе метод Лауэ можно использовать также для решения одной из промежуточных задач структурного исследования — установления точечной группы симметрии кристалла, или, точнее, его класса Лауэ (с учетом закона центросимметричности рентгеновской оптики— см. ниже). Для этого требуется повернуть кристалл так, чтобы с первичным пучком совпал предполагаемый элемент симметрии — ось симметрии и (или) плоскость симметрии. Тогда симметрия в расположении пятен на рентгенограмме отразит именно эти элементы симметрии. Из нескольких лауэграмм, снятых при раз- [c.68]

Если иметь в виду только внешнюю симметрию (макросимметрию) идеальных монокристаллов и, следовательно, исключить из рассмотрения элементы симметрии (винтовые оси и плоскости скольжения), присущие только пространственной решетке, то все кристаллы можно разделить на 32 кристаллографических класса, входящих в семь кристаллографических систем — син-гоний (табл. 1). [c.17]

Шар заслуживает того, чтобы о нем упомянуть. Это одна из наиболее простых возможных фигур и в то же время это фигура с высокой и сложной симметрией. Шар имеет бесконечное число поворотных осей бесконечного порядка. Все они совпадают с диагоналями этой фигуры, проходящими через ее центр. Этот геометрический центр, являющийся особой точкой, есть также центр симметрии. Для описания фигуры в качестве основных элементов симметрии можно выбрать следующие две неперпендикулярные друг другу оси бесконечного порядка и одну плоскость симметрии. Следовательно, класс симметрии шара обозначается как оо/со ж. Касаясь симметрии щара, Кепес [54] цитирует Коперника ... из всех существующих форм сферическая наиболее соверщенна и не нуждается в пояснении шар имеет максимально возможный объем и наиболее подходит в качестве фигуры, вписывающей в себя все остальное все изолированные части Вселенной-я имею в виду Солнце, Луну и звезды - шарообразны согласно наблю- [c.88]

Изображение элементов симметрии пространственных групп подобно их изображению в точечных группах [20]. Главное различие состоит в том, что порядок, в котором записывают элементы симметрии пространственных групп, может быть очень важным, за исключением триклинной системы. Порядок элементов симметрии выражает их ориентацию в пространстве относительно трех координатных осей. В моноклинной системе особой осью является ось с или h. Для пространственной группы Р2 полный символ может быть Р112 или Р 1 в зависимости от этого выбора и использования последовательности аЪс. Эти два варианта называют первой установкой и второй установкой соответственно. Упорядочение символов для ромбической системы особенно важно. Элементы симметрии обычно записываются в порядке аЬс. Пространственную группу, принадлежащую к классу 2тт, соответственно представляют как Ртт2, причем особая ось совпадает с с. [c.426]

Существуют разные способы обозначения элементов симметрии кристаллов, названия классов симметрии и их группировки [4, 5, 7, 9, 12, 13]. В табл. 3 приводятся наиболее распространенные в отечественной литературе обозначения (формулы симметрии) и названия каждого вида симметрии, а также общепринятые международные символы по К. Герману—Ш. Мо-гену. В международных символах пишутся только основные порождающие элементы симметрии [1, 11]. В этих обозначениях знака для осей симметрии нет, их заменяют на цифры (порядок оси) 1 — 11 2 — Ь2 3 — з 4 — 14 и 6 — 1в. Для инверсиадных осей используются цифры с чертой наверху [c.48]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология