Динамическое программирование ограничения

Применение метода динамического программирования для оптимизации процессов с распределенными параметрами или в задачах динамической оптимизации приводит к решению диф([)еренциальных уравнений в частных производных. Вместо решения таких уравнений зачастую значительно проще представить непрерывный процесс как дискретный с достаточно большим числом стадий. Подобный прием оправдан особенно в тех случаях, когда имеются ограничения на переменные задачи и прямое решение дифференциальных уравнений осложняется необходимостью учета указанных ограничений. [c.32]

Таким образом, даже тогда, когда уравнение Эйлера существует и можно найти его общий интеграл, зто еще не означает, что получено решение исходной оптимальной задачи. Лишь относительно узкий круг задач с достаточно гладкими решениями и хорошими ограничениями позволяет успешно применять методы вариационного исчисления. В остальных же случаях более эффективными оказываются такие методы, как динамическое программирование и принцип максимума. [c.243]

В рамках принимаемых допущений и исходя из выбранного критерия оптимальности методы динамического программирования, ветвей и границ и эвристические обеспечивают выполнение указанных выше требований. Заметим, что методы, аналогичные методам динамического программирования или ветвей и границ, целесообразно использовать как оболочки системы синтеза, дополняя их эвристическими и другими ограничениями при решении конкретных задач. Система синтеза должна во всяком случае учитывать современные достижения в области реализации отдельных процессов и осуществлять поиск оптимального варианта на основе этих достижений. [c.139]

Основное преимущество рассмотренного метода по сравнению с методом динамического программирования состоит в том, что при вычислительном процессе не требуется запоминания в ЦВМ про- межуточных результатов счета на каждом шаге итерационного процесса. Однако динамическое программирование неизбежно обеспечивает онределение глобального экстремума, в то время как описанный метод позволяет находить лишь стационарное значение функции цели. Еслп же эта функция имеет не один экстремум, решение с помощью данного метода значительно усложняется, поскольку приходится исследовать всю область, где определен критерий оптимизации, для нахождения глобального экстремального значения. К тому же вид уравнений (VI,32) определяет безусловный экстремум функции цели, что не характерно для реальных ХТС, в которых всегда существуют ограничения технологического характера. [c.311]

Вернемся к рассматриваемой задаче. Поскольку на выбор управляющих воздействий наложено ограничение (4.63), то для решения задачи оптимизации методом динамического программирования введем неопределенный множитель X. Используя X, запишем выражения для оценок оптимальности каждого реактора каскада [c.344]

Применение классических методов математического анализа и вариационного исчисления для оптимизации химических реакторов наталкивалось на значительные затруднения, связанные с наличием в реальных задачах ограничений на фазовые и управляющие переменные. Аналогичные трудности возникали при постановке оптимальных задач в других областях науки и техники. Это способствовало развитию таких мощных методов, как метод динамического программирования принцип максимума методы нелинейного программирования 2о-22 [c.10]

Динамическое программирование. В общем случае, если сформулирован критерий управления и задано уравнение объекта, то -решение задачи управления состоит в отыскании (с учетом ограничений) последовательности управлений Ио, -. , jv— минимизирующей критерий, т. е. решается задача отыскания экстремума сложной функции многих переменных. [c.124]

Полученная математическая модель СТ — система уравнений (1У.5.19), (1У.5.20) и (1У.5.281), (1У.5.282)... (1У.5.28 ,) позволяет решить целый ряд задач оптимального проектирования. Задав критерий оптимальности и ограничения на параметры, можно применить математические методы поиска максимума (минимума). Так, для СТ без обратной связи [131 эти задачи можно решить методами динамического программирования [43, 53, 63]. В общем же случае они являются задачами нелинейного программирования [53]. [c.204]

Динамическое программирование хорошо приспособлено для решения задач оптимизации многостадийных процессов, особенно тех, в которых состояние каждой стадии характеризуется относительно небольшим числом переменных состояния. Однако при наличии значительного числа этих переменных, т. е. при высокой размерности каждой стадии, применение метода динамического программирования затруднительно вследствие ограниченных быстродействия и объема памяти вычислительных машин. [c.30]

Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве вспомогательного средства и при решении специальными методами задач других классов с ограничениями типа равенств, например, в вариационном исчислении и динамическом программировании. Особенно эффективно применение множителей Лагранжа в методе динамического программирования, где с их [c.31]

Множители Лагранжа в динамическом программировании. Неопределенные множители Лагранжа используются в классическом анализе и в вариационном исчислении при решении задач, на переменные которых наложены ограничения типа равенств. С неменьшим успехом эти множители можно применять и в динамическом программировании, где при их помощи удается снизить размерность оптимальной задачи. [c.280]

Каждое ограничение добавляет еще одно уравнение и на каждое ограничение вводится один множитель Лагранжа. Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве вспомогательного средства и при решении специальными методами задач других классов с ограничениями типа равенств, например, в вариационном исчислении и динамическом программировании. Особенно эффективно применение множителей Лагранжа в методе программирования, где с их. помощью иногда удается снизить размерность, решаемой задачи. [c.144]

Поэтому для вычисления оптимальной температурной кривой при условии ограничений (I—III) полезно пользоваться методом многоходового выбора вариантов [8], который позволяет без внесения в методику расчета существенных дополнений исключать не только неоптимальные траектории, но и траектории, не удовлетворяющие ограничениям указанного типа. Метод многоходового выбора вариантов является одним из численных методов динамического программирования [9]. Рассмотрим его подробно на примере расчета пиролизного реактора идеального вытеснения при постоянном давлении. [c.204]

Задача решается с учетом ограничений, наложенных на конверсию, температуру и скорость потока. Ограничения на конверсию вводятся, чтобы уменьшить образование нежелательных вторичных продуктов. Ограничения для температуры гарантируют, что реакция будет иметь место и что катализатор не будет разрушен чрезмерно высокой температурой. Скорость потока ограничивается количеством имеющегося сырья и возможностями заводского оборудования, в частности мощностью компрессоров. Задача решена двумя методами - с использованием дискретного принципа максимума и динамического программирования. [c.16]

Решение задачи основано на двумерной схеме динамического программирования, изложенной в разделе 5.4. Однонаправленный граф ВХС позволяет при этом ввести между участками отношение порядка, когда можно полагать, что все вышерасположенные участки имеют номер, меньший, чем рассматриваемый г-й участок. Возможность использования схемы динамического программирования основана на аддитивности целевой функции (5.5.4) и отделимости ограничений модели по участкам и периодам времени. Отделимость по участкам обеспечивается однонаправленностью графа ВХС, а по периодам управления — условиями (5.5.9) и (5.5.11). [c.205]

Нелинейность связей между параметрами модели, наличие локальных ограничений на суммарную стоимость мероприятий и т. п. не нарушает аддитивность целевой функции (мероприятия считаются независимыми, т. е. проведение одного из мероприятий не изменяет функции эффективности остальных) и сепарабельность ограничений. Это позволяет применять схему динамического программирования к моделям разномасштабных объектов и их отдельных частей, что особенно существенно для крупных водохозяйственных объектов (например, для бассейна р. Волги). [c.344]

Метод динамического программирования позволяет резко сократить объем вычислений при оптимизации, причем без потери строгости, Одпако этот метод налагает определенные ограничения на последовательность расчета каждый разделительный элемент или комплекс должен рассчитываться независимо от всей предшествующей части технологической схемы, [c.226]

Преимущество метода динамического программирования по сравнению с другими методами (например, с градиентным) особенно сильно проявляется при большом числе независимых переменных, например при расчете оптимальных каскадов для разделения изотопов. Метод трубки менее чувствителен к локальным оптимумам, чем градиентный, и совершенно не чувствителен к ограничениям кроме того, при этом методе получают намного больше информации о системе (вместо одной оптимальной траектории — пучок траекторий, соответствующих частичным оптимумам по отрезкам системы). [c.215]

В конечном счете можно вычислить значения критерия оптимальности для всех схем и выбрать оптимальный вариант. Достоинством данного метода синтеза оптимального варианта технологической схемы разделения многокомпонентных смесей является строгий математический подход и снижение размерности задачи, т. е. сокращение расчетов всех возможных колонн при разделении многокомпонентной смеси. Однако учет рециркулируемых потоков существенно усложняет метод динамического программирования. В связи с этим данный метод широко используется для синтеза технологических схем разделения идеальных и зеотропных смесей и весьма ограниченно для азеотропных. [c.166]

Проблеме оптимизации процессов в химических реакторах посвящен ряд монографий [8—10], поэтому мы ограничимся рассмотрением и обоснованием решения задачи А. Применим для решения этой задачи аппарат динамического программирования при условии соблюдения достаточной общности в постановке задачи. Эти условия сводятся к следующим четырем требованиям 1) управление процессом осуществляется s-вектором 2) процесс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка при этом порядок исследуемых реакций может быть произвольным, и, следовательно, система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (1) в общем случае не линейна 3) исследуемый процесс является многомерным, т. е. число реагентов может быть произвольным 4) на переменные управления и фазовые переменные наложены ограничения. [c.145]

В противоположность этим трем методам, которые хоть и не свободны от ограничений, но все же достаточно гибки, остальные два не обещают ничего хорошего. Непосредственное применение принципа максимума приводит к трудностям, вытекающим из необходимости решений уравнений, которые надо интегрировать, причем эти трудности могут быть совершенно непреодолимыми. Динамическое программирование ведет к чрезвычайно утомительным вычислениям, если только число одновременных реакций не является малым (одна или две). Эти методы должны применяться при решении тех задач, где их дефекты не столь ощутимы. [c.381]

Глобальные методы, к которым относятся метод полного перебора, метод статистических испытаний и метод динамического программирования , требуют высокого быстродействия п большого объема памяти вычислительной машины. Зато они приводят к глобальному экстремуму, а наличие ограничений не только не усложняет, но иногда облегчает нахождение решения. [c.22]

Как отмечалось, весьма эффективен расчет по методу динамического программирования с разрывом обратной связи. При этом уравнения связи (П1, 113) используются как ограничения. Применяя метод неопределенных множителей Лагранжа, составляют новую целевую функцию [c.76]

Наличие ограничений усложняет задачу оптимизации, для ее решения используют более сложные и трудоемкие методы, в том числе метод прямого перебора метод неопределенных множителей Лагранжа градиентные методы (наискорейшего спуска) максимального элемента, динамического программирования, ветвей и границ и др. [c.773]

Идея использования методов динамического программирования для оптимизации каскада реакторов принадлежит Арису [1, 85]. Однако в его работах эта задача решалась при упрощающих предположениях об ограничениях, накладываемых на режим процесса в каскаде. [c.186]

Задача распределения п сортов хлора по потребителям с учетом указанных ограничений и критерия оптимизации (прибыли) решается методом динамического программирования. Для понижения размерности используется метод неопределенных множителей Лагранжа. [c.88]

Кроме того, на примере оптимизации реактора изложен подход к решению реальной вариационной задачи с ограничениями типа неравенств. Решение этих задач представляет собой, вообще говоря, весьма сложную проблему. Однако задачу оптимизации реактора идеального вытеснения все же можно решить, если принять во внимание некоторые свойства оптимизируемого процесса. К сожалению, и общем случае не представляется возможным указать достаточно удобные методы решения вариационных задач с ограничениями тйпа неравенств. Поэтому для каждого конкретного процесса приходится искать са.мый удобный прием или же решать задачу с помощью других методов, например динамического программирования или принципа максимума, более приспособленных для решения таких адач. [c.222]

Препятствием для использования, например, метода неопределенных множителей Лагранжа является наличие ограничений на управляющие воздействия или переменные состояния в форме неравенств. С этим же препятствием приходится сталкиваться при использовании вариационного исчисления, когда в случае ограничений типа неравенств невозможно записать уравнения Эйлера. Наконец, при выводе уравнения Беллмана в динамическом программировании (VI, 146) необходимо допущение о дифференцируе-мости функции /, для которой записывается это уравнение и которая связана с критерием оптимальности процесса, заданным в виде функционала (VII, 545) соотношением [c.404]

Следует отметить, что каждый из методов решения оптимальных задач, в том числе и упомянутые выше методы, имеют свои достоинства и недостатки. Динамическое программирование целесообразно применять для решения задач с ограничениями. Поскольку при его использовании приходится вьпшслять и запоминать сетку значений для переменных каждого из оптимизируемых звеньев ХТС в отдельности, возникают значительные трудности из-за ограниченного объема запоминающих устройств ЦВМ. Применение принципа максимума, особенно для оптимизации сложных ХТС, позволяет уменьшить эти трудности, поскольку для всех звеньев получают одно решение, а затем его последовательно улучшают. В частности, для упомянутой выше задачи время, потребное для ее решения методом дашамического программирования, оказалось приблизительно в 11 раз больше, чем при ее решении по принципу максимума [20,с.116]. [c.16]

Классическая схема динамического программирования удовлетворяет следующим трем положениям многошаговости процесса решения, аддитивности целевой функции и отделимости ограничений Беллман, 1960 Хедли, 1967. [c.191]

Каждое из ограничений (11.7.5), (11.7.6) и (11.7.14) отделимо. Тогда с учетом (11.7.11) и того факта, что T J,S) — ориентированное дерево, для ее решения можно применить схему динамического программирования с шагом по вершинам j Е J в направлении от листьев к корню. При этом независимо варьируются Xj , а aj служит в качестве параметра состояния [Хедли, 1967]. Диапазон допустимых значений aj определяется физическим смыслом этого параметра во всех случаях суммарный сбросной расход из водохранилищ, расположенных непосредственно выше -го, не может превысить расход, который [c.427]

Рассмотренная в нредыдуш,ем разделе оптимизационная модель пропуска паводка базируется на применении схемы динамического программирования. Многовариантные расчеты по этой схеме обусловливают необходимость уделить особое внимание вычислительной трудоемкости алгоритма. Среди условий и ограничений сформулированной задачи наибольший объем вычислений порождают гидравлические расчеты, агрегировано описанные гидравлической функцией (12.2.11). Поэтому выбор расчетной гидравлической методики определяет вычислительную эффективность всей задачи и представляет собой ключевой вопрос при поиске компромисса между простотой методики и ее адекватностью реальным процессам на водохозяйственных участках и водохранилиш,ах. [c.441]

С помощью линейного протраммирования можно отыскивать экстремумы линейных функций при линейных ограничениях . Нелинейное программирование - дает (возможность обобщить классические методы решения дискретных экстремальных задач и применить их к практически важному случаю, когда ограничения задаются системой неравенств (теорема Куна и Такера). Метод динамического программирования разработан Бёллма-ном и др. он может использоваться для решения широкого круга дискретных и непрерывных задач. Метод основан на так называемом принципе оптимальности оптимальная стратегия [c.129]

Задачи опти.мизации ректификационных установок характеризуются в большинстве случаен сложны.м алгорнтмом вычисления целевой функции (как правило, процесс вычисления является итерационным), а также наличием большого числа независимых переменных и ограничений. Поэтому для решения таких задач наибольшее значение приобретают численные методы нелинейного и динамического программирования. Поскольку указанные методы нашли применение в настоящей работе, ниже дается их краткое описание. [c.130]

Метод динамического программирования, разработанный Р. Веллманом, является весьма эффективным методом оптимизации многостадийных процессов. Идея метода заключается в замене многомерной задачи оптимизации последовательностью задач меньшей размерности. Метод разбиения много-хмерной задачи на подзадачи зависит от вида функции цели и ограничений. [c.26]

Вначале оптимизируем полученную функцию цели F меньшего числа параметров без учета ограничений на исключенные параметры X, у,. .. Если в функции F непрерывных параметров уже не осталось, то получаем полностью дискретную задачу. Если непрерывные параметры остались, то получаем смешанную задачу. Для решения обеих задач можно комбинировать методы математического анализа с перебором, с методами дискретного или динамического программирования. Пусть оптимум F достигается при значениях v = v, w = w и т. д., тогда значения остальных параметров находим через их выражения (1). Если найденные значения х, у, . .. удовлетворяют ограничениям на х, у,. .., то задача уточненного расчета параметров решена полностью. В противном случае при некоторых условиях выпуклости, если Х >Хтах, МОЖНО заменить во всех условиях л на Хтах и решить новую задачу с меньшим числом параметров. Часто помогает следующий прием последовательного программирования. Пусть в функции цели F среди параметров имеется хотя бы один непрерывный параметр z. Предположим, что удается при любом значении 2 найти оптимум F по остальным переменным, т. е. Fovt как функцию г [c.32]