Ортогональность представлений

Набор матриц R, связанных с элементами группы есть представление (представление вектора) группы которое может быть либо приводимым, либо неприводимым. Левая часть равенства (2.4) не зависит от поворота R если усреднить правую часть этого равенства по g операциям группы, взяв сумму по операциям R и разделив на g, то в силу теоремы об ортогональности представлений (приложение Б, 3) среднее значение будет отлично от нуля лишь в том случае, если представление [c.228]

Из теоремы об ортогональности представлений следует, что 5 0 (/ U = f баЛ- (2.8) [c.229]

Очень важным свойством представлений является их ортогональность. Соотношение ортогональности представлений можно записать в виде [c.246]

В основе такого метода лежит представление об ортогональных функциях [13]. Условием ортогональности системы действительных линейно-независимых функций (х) с весом р (дс) иа конечном отрезке а, Ь) является соотношение [c.164]

Для представления одномерных характеристик лучше применять интерполяцию, так как она является первичной в том смысле, что сама используется при аппроксимации. Если располагать узловые точки чаще на участках с большой кривизной и реже на участках с малой кривизной, то массив исходных данных при интерполяции может быть не больше массива коэффициентов аппроксимации, даже если принять во внимание, что для каждой точки задаются два числа, определяющих ее координаты. Однако с точки зрения быстродействия аппроксимация ортогональными многочленами Чебышева является предпочтительной. [c.180]

Выражения для искомых полиномиальных коэффициентов можно получить с помощью разложения P p ) по ортогональным полиномам, составляющим полную ортонормированную на [xi, х/[ систему. При этом имеет место представление [c.140]

Смысл соотношений ортогональности состоит в том, что если составить /г-мерные векторы из соответствующих элементов матриц неприводимых представлений, то эти векторы будут ортогональны, т. е. [c.26]

Из соотношений ортогональности (2.7) следует, что число таких векторов равно сумме квадратов размерностей неприводимых представлений. Известно, однако, что в пространстве размерности Л существует ровно Н линейно независимых ортогональных векторов. Отсюда следует, что сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы [c.26]

Имеют место соотношения ортогональности для характеров неприводимых представлений. [c.28]

С помощью соотношений ортогональности для характеров неприводимых представлений можно легко разложить приводимое представление на сумму неприводимых представлений. Пусть Г — некоторое приводимое представление, и оно раскладывается на сумму каких-то неприводимых представлений, т. е. Г = [c.28]

В основе понятия гибридизации лежит представление о том, что общая волновая функция многоцентровой молекулы (представленная определителем, содержащим атомную орбиталь) не изменится, если молекулярные орбитали подвергнуть линейному ортогональному преобразованию. Следовательно, не изменяя общей волновой функции, можно найти такие молекулярные орбитали, которые будут сосредоточены на отдельных химических связях. [c.114]

Далее требуется выразить параметры обратной решетки через параметры кристаллографической, воспользовавшись скалярным представлением соотношений (5) и (6) . В частности, в случае ортогональной решетки (а=р=у=90° и соответственно а = р = у =90°) мы имеем просто о —1/а, Ь =1/Ь, с = 1/с и соотношение (13) упрощается до [c.15]

Высокая скорость приближения к условному оптимуму может быть обеспечена при спуске в направлении/ касательном к гиперповерхности ограничений. Касательное направление при этом определяется как направление, ортогональное вектору нормали гиперповерхности ограничений, который может быть представлен как [c.534]

В связи с этим используются формулы приближенного представления переходных процессов, имеющие сравнительно простые аналитические выражения, что облегчает возможность их применения для инженерных расчетов. Трансцендентные передаточные функции с любой степенью точности аппроксимируются дробно-раЦиональ-ными выражениями, а для приближенной оценки переходной функции используются ортогональные разложения, основанные на интегральных оценках кривой отклика. [c.235]

Естественно, что при таком подходе остается проблема возбужденных состояний. Однако и для них можно сформулировать утверждения типа представленного неравенством (7), хотя и в не столь удобной форме. Именно собственное значение первого возбужденного состояния служит нижней границей функционала энергии на всех тех функциях ф, которые ортогональны ф , т.е. точной собственной функции основного состояния [c.146]

Таких векторов-столбцов для данного представления Г можно построить где п = п(Г) - размерность представления. Оказывается, что для неприводимых представлений эти векторы взаимно ортогональны [c.205]

Таким образом, характеры неприводимых представлений взаимно ортогональны и нормированы на N. [c.205]

Очевидно, что У2 является мерой химического сдвига у сигнала и, как мне кажется, легко видеть, что переменная VI также определяет химический сдвиг сигнала V, поскольку полученная нами интерферограмма имеет осцилляции с частотой V, Итак, мы получили квадратный спектр с двумя ортогональными осями и с сигналом, имеющим в частотном представлении максимум в точке с координатами (у, у), т. е. на диагонали (рнс. 8.4). Сечением этого спектра через его центр в направлении осей VI или V2 является лоренцева линия с шириной 1/кТ2. Это наш первый двумерный ЯМР-эксперимент. Я могу согласиться, что он ие слишком впечатляющий, поскольку не содержит никакой дополнительной информации по сравнению с обычным спектром. Однако ои имеет все необходимые элементы прототипа двумерного эксперимента (рнс. 8.5), в котором сигнал модулируется как функция переменной и затем регистрируется как функция г . Все двумерные эксперименты [c.264]

Все главные компоненты взаимно ортогональны. Наибольшая часть информации о разбросе данных приходится на первую компоненту. В свою очередь, вторая компонента содержит больше информации, чем третья и т. д. Для интерпретации результатов может помочь графическое представление как векторов главных компонент, так и нагрузок. Из анализа главных компонент можно сделать выводы о группировке объектов. Изображение нагрузок позволяет установить относительный вклад индивидуальных признаков в главные компоненты. [c.525]

Таким образом, для того чтобы выяснить, каково поведение фазовых траекторий на бесконечности, нужно исследовать особые точки на экваторе сферы Пуанкаре. После этого для получения полного представления о характере фазового портрета системы рассматривают ортогональную проекцию одного из полушарий сферы Пуанкаре, обычно нижнего (южного) полушария, на плоскость, касаюшуюся южного полюса, т. е. рассматривают расположение фазовых траекторий в круге Пуанкаре. [c.124]

Выше мы изложили традиционные квантовохимические представления о гибридизации атомных орбиталей на традиционных примерах (СО2, НС СН, Н2С==СН2, СН4, ВРз и т. д.). Однако эти представления, которые по праву можно назвать классическими, в ряде случаев оказываются неприменимыми. Одним из таких случаев является молекула 1,б-дикарба-/сло-зо-гексаборана (рис. 36), где четырех валентных АО углерода недостаточно для построения пяти ортогональных ГАО. Однако при отказе от требования ортогональности, как было показано С. Г. Семеновым, удается построить линейно-зависимый набор неорто-гональных ЛМО, преобразующихся друг в друга при операциях симметрии Оц1- Эти 15 ЛМО (6 двухцентровых, локализованных на связях СН и ВН 8 трехцентровых, локализованных на связях СВг и одна четырехцентровая, тождественная канонической 1 2г-М0, охватывающей атомы бора) с электронными заселенностями 2, не могут быть переведены унитарным преобразованием в исходные 13 канонических МО (сравни с рассмотренным выше случаем молекулы метана). [c.216]

Некоторые из первых попыток интерпретации СТВ были связаны с ароматическими радикалами, в которых неспаренный спин находится в гг-системе, как, например, в СбН5Н02 . Расчет осуществлялся по методу Хюкке.гтя, и для определения величины плотности неспаренного электрона у различных атомов углерода использовались квадраты р -коэффициентов углерода в МО, на которой находится неспаренный электрон. Экспфиментально наблюдаемое сверхтонкое расщепление обусловлено протонами цикла, которые ортогональны я-системе. Непосредственно на них плотность неспаренного электрона находиться не могла, но плотность неспаренного спина тем не менее на них ощущалась из-за так называемой спин-пол.чризации, или косвенного механизма. Мы попытаемся дать предельно простое представление этого эффекта, используя метод валентных схем. Рассмотрим две резонансные формы, представленные на рис. 9.15 для связи С — Н в такой систе.ме, в которой неспаренный электрон находится на р -орбитали углерода. В отсутствие взаимодействия между л- и а-системой (так называе.мое приближение идеального спаривания) мы можем записать волновые функции связывающей и разрыхляющей а-орбиталей, используя метод валентных схем [c.24]

Гибридная экспертная система (ГЭС) оптимальной компоновки оборудования химических производств ЭКСКО , реализованная иа ПЭВМ, предназначена для разработки (с использованием средств машинной графики в режиме интеллектуального диалога непрог-раммируюш,его пользователя-специалиста по монтажному проектированию и ПЭВМ) оптимального (по минимуму приведенных затрат) варианта размеш,ения ЕО и прокладки трасс внутрицеховых ТП с представлением результатов компоновки в виде чертежей ортогональных планов и вертикальных разрезов проектируемого производства [144]. [c.340]

Если имеется два неприводимых представления Гь и Гь то для их матричных элементор применима теорема ортогональности [c.78]

Характеры неприводимых представлений ортогональны в смысле выполне1 ия равенства [c.79]

Можно показать, что ( >ункщш ь т(р) = s,in pnmli), р = i, 2,. .., М — 1, на сетке Хт == mh, wi = О, 1, 2,. .., образуют полную и ортогональную систему функций в (р — 1)-мерном пространстве сеточных функций, удовлетворяющих граничным условиям (2.6.12). Разлагая по этим функциям начальную функцию, получим представление м-1 [c.54]

Ряд Пайка и Сильвербергера [3]. Наилучшую сходимость при аппроксимации функций двух переменных обеспечивает их представление в виде ряда — см. уравнение (IV. 9)—по двум заранее неизвестным системам ортогональных функций gl x ), /г (д 2) (/ = О, 1,2,. .., й), т. е. таких функций, что для любых не равных друг другу / и 4 [c.100]

Модель планарной сети, в которой используются элементы сосредоточенных параметров, связанные правилами Кирхгофа, использована для представления римановой метрики химических многообразий энергии. Входные токи сети соответствуют контравариант-ным компонентам тангенциальных векторов в направлениях координат многообразия в данной точке (например, скоростям реакции), тогда как сопряженные напряжения соответствуют кова-риантным компонентам (например, сродствам). Теорема Телегина и введение линейных сопротивлений, являюишхся постоянными во всем дифференциальном интервале, ведут к типичному риманову элементу расстояния неравенство Шварца превращается в параметр, определяющий оптимальный динамический коэффициент трансформации энергии, а колебания в переходах между двумя состояниями в химическом многообразии могут быть введены с помощью дополнительных элементов — конденсаторов и индуктивностей. Топологические и метрические характеристики сети приводят к уравнениям Лагранжа, геодезическим уравнениям, а условия устойчивости эквивалентны обобщенному принципу Ле-Шателье. Показано, что конструирование сети эквивалентно вложению п-мерного (неортогонального) многообразия в (ортогональную) систему координат больщей размерности с размерностью с1 = п п + + 1)/2. В качестве примера приведена биологическая задача, связанная с совместным транспортом и реакцией. [c.431]

Собственные функции для одномерного гамильтониана, как и для любого эрмитова оператора, ортогональны, если они относятся к разным собственным значениям. Более того, в одномерных задачах функции, отвечающие финитному движению, всегда невырождены, т.е. каждому собственному значению прина длежит лишь одна собственная функция. Если же энергия такова, что она отвечает непрерывному спектру, то кратность вырождения не превышает двух. Эти два утверждения (как, впрочем, и ряд других, представленных ниже) следуют из теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка, и на доказательстве их мы останавливаться не будем, т.е. будем принимать как должное. [c.70]

В целом же функция Лц) будет преобразовываться по прямому произведению представлений Гд и Г , тогда как все подынтегральное выражение матричного элемента преобразуется по прямому произведению трех представлений Г , Г и Г . Представление Гф совпадает с Г , если его матрицы вещественны (т.е. ортогональны). В противном случае Г и Г различны. Кроме того, если функции ф и гр суть базисные функции одного и того же пространства, на котором действует неприводимое представление Г, , то в Г 0Г,(, должен быть взят лишь симметри-зованный квадрат Г . [c.224]

Согласно вариашюнному принщ1пу, величина Е в соотношении (2) служит оценкой сверху для точной энергии основного состояния системы при любой функции Ч. Сохраняя представление функции Ф в виде детерминанта (1), мы можем менять функции и при этом среди всех возможных выбрать те, которые дают минимум функционалу (2). Эти изменения 6г ), функций т.е. их вариации, должны производиться так, чтобы сохранялась нормировка и чтобы они оставались взаимно ортогональными (в противном случае перестало бы быть справедливым выражение (2), которое получается именно для ортонормированных спин-орбиталей). [c.277]

Таким образом, общее построение метода Хартри-Фока годится лишь для основного состояния (при тех или иных ограничениях). Покажем, что если при решении уравнений Хартри-Фока найдено единственное решение, отвечающее абсолютному минимуму энергии, то соответствующий детерминант будет преобразовываться по одному из неприводимых одномерных представлений, отвечающих типу симметрии основного состояния при заданной симметрии ядерной конфигурации. Операция симметрии, как уже говорилось, есть некоторое (ортогональное или унитарное) преобразование пространства, либо соответствующее преобразование функций, заданных в этом пространстве. Пусть такой операцией является gi Е С. Тогда однодетерминантная функция Ф (либо одноконфигурационная далее везде эту оговорку мы просто будем лишь подразумевать) преобразуется следующим образом [c.310]

Не входя в детали строгого рассмотрения, можно получить представление о результатах экспериментов по двойному резонансу на основе классической модели ЯМР-эксперимента, как это было описано в гл, VII. Для случая, когда частота V2 второго поля совпадает с ларморовой частотой ядра А, оказывается, что Вэфф = В2, т. е. вектор цд прецессирует вокруг В2 и, таким образом, вокруг оси х. Следовательно, цд направлен практически перпендикулярно вектору цх. Векторы ядерного спина /(X) и /(А) квантуются тогда вдоль осей z я х соответственно. Таким образом, они ортогональны и их скалярное произведение, т. е. скалярное спин-спиновое взаимодействие, становится равным нулю, согласно уравнению (II. 6). [c.306]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология