Точное интегрирование

Точное интегрирование уравнения (XIV.163) в общем виде невозможно. Однако приближенное решение можно получить путем разложения экспоненты правой части этого уравнения в ряд. Учитывая быструю сходимость этого ряда, можно ограничиться первыми двумя членами разложения [c.392]

Он отказался от точного интегрирования уравнения (XIV.163) ввиду его сложности и рассмотрел вероятность того, что некоторый /-Й ион будет находиться на расстоянии г от противоположно заряженного к-то иона. Объем шарового слоя с радиусами г и г- -йг вокруг к-то иона равен, очевидно, Апг йг. При равномерном распределении ионов в этом слое окажется в среднем п, ионов /-го сорта, причем [c.396]

При более точном интегрировании следует учитывать, что AH = f(T). Эту зависимость определяют по уравнению Кирхгофа (И, И). [c.106]

Электрохимическими преобразователями, или хемотронами, называют приборы и отдельные элементы устройств, принцип действия которых основан на законах электрохимии. Электрохимические системы такого рода выполняют роль диодов, датчиков, интеграторов, запоминающих устройств и соответственно выполняют функции выпрямления, усиления и генерирования электрических сигналов, измерения неэлектрических величин и др. В хемотронах происходят процессы преобразования электрической энергии в химическую, а также механической энергии в электрическую и др. В отличие от электронных устройств (ламповых и полупроводниковых), в которых перенос электричества осуществляется электронами, в электрохимических преобразователях заряды переносятся ионами. Согласно закону Фарадея, количество вещества, претерпевшего изменение на электроде, пропорционально количеству прошедшего электричества. Поэтому измеряя тем или иным способом количественное изменение вещества, можно определить количество электричества, т. е. интегрировать электрические сигналы. Для этого электрохимическая реакция должна быть а) обратимой, т. е. реакция на аноде должна быть обратной реакции на катоде. Например, на аноде Си — 2е Си на катоде Си + + Че" Си б) реакция должна быть единственной, иначе точное интегрирование тока затруднено в) электролиты и электроды должны быть устойчивыми во времени г) реакции на электродах должны протекать с достаточно высокими скоростями. Таким требованиям могут удовлетворять некоторые электрохимические реакции, характеризующиеся потенциалами, лежащими между потенциалами водородного и кислородного электродов (рис. 66). При отсутствии в системе газообразных водородов и кислорода и при малой электрохимической поляризации электродов на них будут протекать лишь основные реакции. Системой, удовлетворяющей указанным требованиям, может быть 12+ + 2е ч 21" Е = 0,53 В. Потенциал ее положительнее потенциала водородного электрода и при рН< 11 отрицательнее потенциала кислородного электрода, поэтому в водных растворах в присутствии иода и ионов I" кислород и водород выделяться не будут. Эта реакция в прямом и обратном направлениях протекаете небольшой электрохимической поляризацией, следовательно, на электродах можно получить [c.367]

Для точного интегрирования этого уравнения необходимо принять во внимание зависимость ДЯпл от температуры, используя уравнение Кирхгофа, которое для рассматриваемого случая имеет вид [c.127]

Точное интегрирование уравнения (1У.7) требует учета зависимости А7/° от температуры в соответствии с уравнением (1.11). В этом случае уравнение (1У.7) принимает вид [c.55]

К сожалению, не представляется возможным решить выражения (16) — (18) относительно Тг после подстановки IRT w AH 4RT( вместо Xq. Однако численно нетрудно определить в зависимости от переменных ДЯ , Р, (а также L и Ug), As/A и То- Гиддингс (1960) показал, что величины температуры удерживания, полученные прп точном интегрировании выражений (14) и (15), мало отличаются от найденных приближенно по уравнению (17). С уменьшением р ошибка уменьшается, так как возрастает величина Х - Уравнение (17) вполне удовлетворяет требованиям, предъявляемым к точности при решении практических задач. [c.401]

Довольно сложное точное интегрирование этого уравнения может быть упрощено, если принять во внимание фактически действующие соотношения реагирующих веществ, а именно 302=0,1- -0,2% Ог=0,2-4-1,0% и 80з<0,01%. То, что в ЗОз превращается менее 10% (отн.) первоначального количества ЗОз и на реакцию расходуется всего несколько относительных процентов наличного кислорода, позволяет пренебречь их изменениями и считать величинами, от реакции не зависящими. [c.90]

Попарные произведения ф фу играют важную роль в одноэлектронном описании электронной структуры атомов и молекул. Эти произведения, умноженные на элемент объема т и суммированные (точнее, интегрированные по всему пространству) определяют так называемое перекрывание атомных орбиталей ф. и фу, представляющее собой некоторую определенную меру их эквивалентности . [c.242]

Точное интегрирование уравнения (4.42), выполненное в работе [4.29], дает [c.200]

Для вычисления интегралов в уравнениях (2.11)—(2.13) и (2.15), определяющих координаты цвета и яркость цветового стимула, редко прибегают, или вообще не прибегают, к точному интегрированию. Вместо интегрирования используется приближенный метод суммирования, известный как метод взвешенных ординат. [c.175]

Точное интегрирование этого уравнения удается только для малых потенциалов (ze l o < 9), при которых уравнение Пуассона—Больцмана, линеаризуясь, принимает следующий вид [c.71]

Точное интегрирование уравнения (VI.55) при п = 2, выполненное в работе , дает для давления в зазоре ( = 0) следующее выражение [c.358]

Как показывает точное интегрирование стационарного уравнения диффузии, величина М есть первый положительный корень трансцендентного уравнения, которое имеет вид для плоского сосуда— [c.76]

Точное интегрирование уравнения (84) сложно, так как обычно в ходе процесса изменяется не только состав раствора, но и температура. Если имеется достаточное количество данных по равновесию системы, то можно использовать для рещения уравнения графический метод [11]. [c.80]

Приведенное теоретическое решение задачи о ламинарном течении жидкости в круглом трубопроводе постоянного сечения, к сожалению, представляет собой один из немногочисленных примеров возможного точного интегрирования уравнений движения вязких жидкостей иные возможные решения приводятся в специальных курсах гидромеханики. [c.75]

Более точно значение <(ШУ> можно было найти решением интеграла уравнения (14) для записанной кривой, но для малых концентраций ядер, как в данном случае, точное интегрирование провести трудно. [c.53]

Уравнение (2. 341) идентично уравнению (2. 223) для случая одной только диффузии к растущей ртутной капле. При этом образование и потребление вещества в результате реакции за время t настолько незначительно, что превращение вещества при протекании тока целиком определяется диффузией вещества S из при-электродного слоя с концентрацией с. Предельный переход в случае Б с помощью уравнения (2. 340) невозможен потому, что это соотношение верно только в предположении (kj + к) i 1, которое по своему смыслу обратно предыдущему. Однако точное интегрирование уравнения (2. 337) с условиями (2. 3376) должно дать то же предельное соотношение (2. 341) и для случая Б. [c.304]

Впоследствии было проведено более точное интегрирование уравнения (111,8) и составлены таблицы, которые позволяют по краевому углу, диаметру капли, ее высоте и объему получить величину поверхностного натяжения жидкости Отт- Можно решать и обратную задачу — по a r находить краевой угол. [c.77]

Результат анализа, регистрируемый на хроматограмме, представляет собой ряд последовательных пиков, содержащих качественную и количественную информацию об элюированных пз колонки компонентах. Оба вида анализа—качественный и количественный — взаимно дополняют друг друга, поскольку хорошее разделение компонентов введенной пробы и правильная идентификация пиков влияют на результат количественного анализа в той же мере, что и точное интегрирование площади пиков. [c.5]

Точное интегрирование может быть проведено, если известно X. =/(/ ), для чего должны быть заданы теплоемкости как жидкости, так и пара в функции температуры. Согласно (134) [c.200]

Принимая (для упрощения) в качестве формы колебаний синусоиду (синусоида — точная форма колебания равномерно нагруженного вала постоянного сечения), путем точного интегрирования [38] получаем из предыдущей формулы [c.387]

Уравнение (1.98) можно использовать только при низких степенях превращения мономеров в реакционной смеси, т. е. на начальных стадиях сополимеризации (степень завершенности <0,1). Уравнение (1.97) является дифференциальным, поэтому оно пригодно на любой стадии процесса. Точное интегрирование этого уравнения в общем виде невозможно, поэтому, вводя упрощения, получают его пригодные для расчетов интегральные формы. [c.52]

Точное интегрирование уравнения (VIII.3.5) может быть проведено численно [1, 2] и приводит к выражению [c.159]

Из обычного определения понятия средней величины следует, что среднее время пребывания I должно находиться умножением каждого значения времени 1 на долю с11 индикатора, имеющего данное время пребывания (или, точнее, время пребывания в интервале от I яо 1 + М) с последующим су ммированием или, точнее, интегрированием этих произведений по всему возможному диапазону, т. е. [c.97]

Наилучшим способом расчета свободной энергии взаимодействия плоских двойных слоев Vg является, несомненно, прямое интегрирование расклинивающего давления П по расстоянию к. Относительная ограниченность применения этого метода связана, по-видимому, со следующим обстоятельством. Еще в монографии [ ] было высказано мнение, что даже в простейшем случае постоянства потенциала диффузных слоев = onst точное интегрирование Hg по к для произвольного значения невозможно. Получив методами Дерягина и Ленгмюра уравнение для расклинивающего давления пластин [c.159]

При применении метода ЯМР удобнее пользоваться спектрами высокого разрешения, так как соответствующие приборы обычно более доступны. Следует, однако, отметить Два серьезных ограничения этого метода. Во-первых, если разные области одной цепи имеют различные конформации, то должен существовать быстро релаксирующий компонент. Точное интегрирование сигналов спектров можно осуществить путем использования внешних стандартов, форма сигналов которых максимально (насколько это возможно) приводится к форме сигнала измеряемого вещества [27] однако подобные косвенные доказательства всегда неудовлетворительны. Во-вторых, действительное время релаксации для быстро релакси-рующего компонента замерить невозможно, так как ширину ненаблюдаемого сигнала измерить нельзя следовательно, этот ценный параметр, характеризующий степень жесткости молекулы, в данном случае недоступен. Обе эти проблемы в принципе можно обойти прямыми измерениями времени спада намагничивания, однако это до сих пор трудно осуществить и вследствие усреднения этого параметра по химически неэквивалентным ядрам могут быть получены низкие значения Гг. Следовательно, лучше всего приме-нять указанные выше методы совместно и рассматривать их как дополняющие друг друга- [c.293]

Стационарные решения уравнений волновой модели для химической реакции первого порядка. Рассмотрим примеры точного интегрирования системы уравнений (7.2.8.1) в стационарном варианте. Интегрирование этой системы при нелинейной функции Q( ) вряд ли возможно аналитическими методами в общем случае. Поэтому рассмотрим только простейший вариант наличия реакции первого порядка, положив в системе (7.2.8.1) Q ) = ki , где ki = onst. Имеем следующие уравнения [c.644]

Функция в уравнении Шрёдингера называется волновой функцией и определяет амплитуду стоячей электронной волны. Физический смысл имеет величина г1й(1ь , равная вероятности нахождения электрона в элементарном объеме = = хйуйг. Таким образом, квантовая механика дает лишь вероятность нахождения электрона в том или ином месте атомной системы. Поэтому такие понятия, как траектория частицы (например, электронная орбита), в квантовой механике не имеют смысла. В соответствии с физическим смыслом сама волновая функция должна удовлетворять определенным условиям, которые называются стандартными. Согласно последним, волновая функция должна быть 1) непрерывной, так как состояние квантовой системы в пространстве меняется непрерывно 2) конечной, т.е. она не должна обращаться в бесконечность ни при каких значениях аргументов 3) однозначной, ибо по смыслу ф есть амплитуда вероятности, а потому для любой данной точки она может иметь только одно значение 4) обращаться в нуль на бесконечности. Кроме того, функция ф должна быть нормированной. Это означает, что суммарная вероятность нахождения электрона в околоядерном пространстве должна быть равна единице, т.е. результат проявления волновокорпускулярного дуализма не ведет к исчезновению электрона. Математически условие нормировки записывается как Jф dv — 1, т.е. суммирование (точнее, интегрирование) ведется по всему объему значений каждой из координат от — оо до + ОС. Из статистической интерпретации волновой функции возникает вопрос, обладает ли волновыми свойствами отдельная микрочастица или они присущи коллективу их. В опытах по дифракции электронных пучков очень малой интен- [c.29]

Этот закон, найденный Моттом и Кабрерой получил особенно большое подтверждение на примере реакций металлов с газами . На рис. 359 представлены подтверждающие справедливость уравнения (6. 10) данные Вермилья относительно роста пассивирующего слоя на тантале в потенциостатических условиях. Пунктирная кривая передает точное интегрирование уравнения (6. 9). [c.818]

Состав сонолимера в общем случае (кроме азеотрон-ных систем) отличается от состава мономерной смеси, поэтому последни в ходе процесса изменяется содержание более активного мономера падает, менее активного — растет. Соответственно изменяется и состав сополимера (в пределе, при глубине превращешгя 100%, состав сополимера равен составу мономерной смеси). Точное интегрирование ур-ния (1), необходимое для расчета суммарного состава сонолимера при высоких степенях превращения, в общем виде невозможно. С помощью нек-рых упрощений получают интегральное ур-ние Абкина [c.223]

Приближенное интегрирование уравнения Пуассона, примененное Д е-баем и Гюккелем, приводит к не совсем точным конечным результатам, как было позже показано Бьеррумом, Мюллероми др. Ошибки сказываются однако лишь в сравнительно концентрированных растворах, требующих принятия во внимание также и радиусов ионов (см. ниже). Точное интегрирование было сделано в работе Г р о н в а л л я, л я-М е р а и Зандведа (1929). Оно приводит к довольно громоздким формулам. [c.323]

Не все авторы разделяют то мнение, что величины радиусов ионов, которые надо ввести в формулы Дебая и Г юккеля для их совпадения с опытом, достаточно правдоподобны и отвечают действительности. В отдельных случаях (Б ь е р р у м, 1926, Шерер, 1924, л я-М е р, 1927) приходилось для г брать величины, близкие к О и даже отрицательные. Гронвал, Зендвед ил я-М е р ( 183) показали, что эти противоречия устраняются при применении их формул, получаемых путем более точного интегрирования уравнения Пуассона. [c.326]

Следует указать, что точное интегрирование уравнения нестационарной конвективной диффузии с приведенными граничными условиями весьма затруднительно. Точно так же больише трудности возникают и в более простом случае стационарного процесса, если поверхность электрода не является равнодоступной в диффузионном отношении. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся случаем стационарного электролиза. происходягцего на электроде с равнодоступной поверхностью. [c.289]

Прандтль ввел в уравнение (5.24) математическое упрощение (физически, вообще говоря, ничем не обоснованное), положив правзгю часть уравнения равной То. Это упрощение несколько облегчает дальнейшие выкладки и, как легка убедиться путем точного интегрирования данного уравнения, вносит в конечный результат весьма небольшую погрешность. Поэтому, ограничившись упомянутым выше приближением, можно записать уравнение движения в бояее простой форме. После извлечения квадратного корня упрощенное зфавнение движения будет [c.153]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология