Преобразование симметрии. Матрицы преобразований

Раньше уже говорилось, что неприводимое представление получается из приводимого нахождением подходящего преобразования подобия. Важным моментом в этом рассмотрении является то, что характер матрицы не меняется при любом преобразовании подобия. Из этого следует, что сумма характеров неприводимых представлений равна характеру первоначального приводимого представления, из которого они были получены. Мы уже видели, что для каждой операции симметрии матрицы неприводимых представлений расположены вдоль диагонали матрицы приводимого представления, и ее характер-это просто сумма диагональных элементов. Когда мы занимаемся приведением представления, простейшим способом является нахождение комбинации неприводимых представлений группы, т.е. суммы их характеров в каждом классе таблицы характеров это даст нам характеры неприводимого представления. [c.218]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ. МАТРИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ [c.48]

Если для каждого класса закон преобразования декартовых координат уже охарактеризован своими шпурами матриц преобразования, то подобная же характеристика преобразований с/ч )ункций устанавливается из простых рассуждений. Пусть, например, для класса 3 уже установлено, что (х, у, г) -> (х, -2, у). Тогда для произведения декартовых координат имеем ху, хг, уг) (-хг, ху, -уг). Теперь следует представить это преобразование записанным в матричной форме и найти шпур, соответствующий матрице, он равен -1. Поступая подобным же образом со всеми пятью (/-функциями для каждого класса преобразований, убеждаемся, что при всех преобразованиях симметрии функции Л у хг уг функции ( у. (/ 2) образуют свои инвариантные подпространства и чго шпуры матриц преобразований для перечисленных выше классов равны [c.192]

Необходимо подчеркнуть, что эти функции должны быть нормированы (это указывается двойной вертикальной чертой при записи скалярного произведения). Допустим, что функция ф/ входит в базис неприводимого представления Г) группы С, которому соответствует матрица (ГеС), а функция ф/ входит в базис неприводимого представления Гз, которому соответствует матрица (7еС). Когда оба неприводимых представления совпадают, мы будем считать, что они полностью идентичны, а не только эквивалентны. В более широком смысле будем считать функции идентичными и тогда, когда они по-разному нормированы (поскольку в данный момент нас интересуют лишь их свойства симметрии). Выражение (6.59) представляет собой скалярное произведение (число), поэтому действие оператора преобразования симметрии Т на матричный элемент Му не изменяет его значения с использованием (6.49) можно записать [c.134]

Мы получим, таким образом, / уравнений, которые показывают, каким образом / линейно независимых функций фь фг, , Ф/, преобразуются к новой системе функций при преобразовании симметрии. Это преобразование, подобно преобразованию координат, можно записать кратко с помощью матрицы [c.252]

Группа матриц, действие которых на базис из данных функций совпадает с действием элементов симметрии на этот же базис, называется представлением точечной группы симметрии в данном базисе. Чтобы продемонстрировать зависимость представления группы от базиса, рассмотрим преобразование -функций операциями симметрии группы Сги (табл. 5.4) и выпишем матрицы преобразований группы Сгв в базисе -функций [c.172]

На других операциях симметрии остановимся позднее, а пока заметим, что все указанные выше операции являются линейными преобразованиями переменных, а потому могут быть заданы с помощью некоторых линейных операторов или матриц преобразования. Следует при этом отметить, что линейные преобразования, [c.198]

Определим характер представления, соответствующего повороту молекулы. Пусть при повороте на угол ф (элемент симметрии С,р) вокруг некоторой оси симметрии остаются на месте Л/с ядер. Матрица преобразования смещении каждого из этих ядер имеет вид [c.647]

Равенства (6.31) и (6.32) означают, что возможна замена исходной группы преобразований симметрии Т, Т,. .. набором унитарных матриц ..., которые также образуют группу [c.124]

Естественно, в больщинстве случаев знания симметрии системы недостаточно для установления матрицы преобразования, и поэтому приходится обращаться к другим критериям, основанным на определенных физических представлениях (подробнее об этом см. обзоры [6—9]). [c.304]

Если молекулы А и В идентичны, матрицу преобразования можно полностью определить только из соображений симметрии. Если же [c.233]

След этого преобразования равен 2 os ф J- 1. Если операция симметрии — это вращение с отражением, то след равен 2 os ф — 1. В общем случае, когда и атомов в молекуле лежат на элементе симметрии R, след матрицы преобразования равен [c.82]

Символ А, указывающий на определенную операцию, которую нужно произвести над следующей за ним функцией, называют оператором. Следовательно, каждому преобразованию симметрии можно поставить в соответствие некоторую матрицу-оператор. [c.50]

Линейные преобразования (III. 11), для которых выполняются условия (III. 13), называются унитарными. Унитарность преобразований поворотов и отражений, матрицы которых приведены выше, легко проверяется простым вычислением. Преобразования симметрии для молекулы, следовательно, являются унитарными. Проведем последовательно два преобразования системы [c.52]

Как видим, каждому преобразованию симметрии системы можно поставить в соответствие некоторую матрицу-оператор. При этом обратному преобразованию симметрии соответствует обратная матрица, последовательному применению двух операций симметрии — произведение соответствующих матриц, а тождественному преобразованию — единичная матрица. Таким образом, геометрические свойства симметрии оказываются полностью переведенными на язык матриц-операторов, который является существенным при использовании теории групп в квантовомеханических исследованиях. [c.53]

Как показано выше, каждому преобразованию симметрии можно поставить в соответствие некоторую матрицу. Легко показать, что совокупности матриц, соответствующих преобразованиям симметрии системы, также образуют группу и все полученные выше соотношения распространяются без изменений на эти матрицы-операторы. [c.56]

Для другого преобразования симметрии данной молекулы мы точно Так же получим другую матрицу. Перебирая таким образом все преобразования симметрии, т. е. все элементы группы симметрии данной молекулы, можно получить некоторую совокупность матриц размерности /, число которых совпадает с числом элементов в группе. Об этих матрицах говорят как о представлении группы, а совокупность функций грь г] 2, с помощью кото- [c.57]

Легко видеть, что для получения представления группы не обязательно пользоваться наборами базисных функций, являющимися волновыми функциями состояний системы с данной энергией. Для получения преобразований (111.22) достаточно, чтобы базисные функции были независимы и преобразовывались друг через друга при преобразованиях симметрии [что и выражается уравнениями (111.22)]. Примером такого представления группы могут служить трехмерные матрицы преобразований симметрии для координат поворотов и отражений, введенных нами выше (для этого представления базисом служат декартовы координаты х, у, г). Для нас важно здесь, что волновые функции состояний системы с данной энергией также. могут служить базисом представлений. Можно показать, что если функции базиса образуют ортогональную систему, то матрицы представления будут унитарными. [c.57]

Среди неприводимых представлений группы имеется и так называемое единичное, осуществляемое одной функцией базиса, симметричной по отношению ко всем преобразованиям симметрии группы. Все характеры матриц единичного представления равны единице. [c.60]

Легко видеть, что для получения представления группы не обязательно пользоваться наборами базисных функций, являющимися волновыми функциями состояний системы с данной энергией. Для получения преобразований (1Х.22) достаточно, чтобы базисные функции были независимы и преобразовывались друг через друга при преобразованиях симметрии [что и выражается уравнениями (IX. 22)]. Примером такого представления группы могут служить трехмерные матрицы преобразований симметрии для координат поворотов и отражений, введенных нами выше (для этого представ- [c.252]

Итак, вектор 2, у2, 22 получается из х, 21 или применением к нему некоторой операции симметрии, или умножением на матрицу преобразования. Эту матрицу называют представлением операции симметрии в данном базисе, понимая под базисом преобразуемый вектор хи у, 21 . Матрицы-представления квадратны и имеют размерность, равную числу элементов базиса. Из табл. 5.3 преобразования р-функций видно, что [c.171]

В классе 2 бьшо выбрано вращение на угол я- относительно оси х. Из соображений симметрии ясно, что вращение на угол я- относительно оси у или г приведет к тем же числам все элементы класса имеют одинаковые значения щпуров матриц преобразования. Атомные функции Рх. Ру, Рг преобразуются подобно декартовым координатам, и если атом находится в начале координат, то шпуры матриц преобразования для р-функций уже установлены. Обратимся к -функциям центрального атома и запишем их для простоты в вещественной форме < = [c.192]

Используя приведенную таблицу, легко Цолучить матрицы преобразования базиса ( Рь Тг, Рз), соответствующие преобразованиям группы симметрии Сго [c.133]

Таким образом, для составления векового уравнения в раскрытом виде необходимо найти все коэффициенты Вц перехода от декартовых координат к внутренним (построить матрицу преобразования В), затем, согласно (П4.23), найти элементы матрицы О и по (П4.24) вычислить произведения соответствующих миноров определителей [ С и / . Следует отметить, что число необходимых миноров очень быстро растете увеличениемЛ . Вильсоном[4290] в формуле (П4.24) были сделаны дальнейшие упрощения для тех случаев, когда молекула содержит атомы с одинаковыми массами. Решение уравнения в случае симметричных молекул может быть упрощено введением координат симметрии. В этом случае уравнение для А распадается на несколько уравнений низших порядков. Раскрытая форма векового уравнения удобна тем, что к ней легко применить приближенные методы решения. Один из них — метод отделения высоких частот [4290, 4292, 4293]. Этот метод основан на том эмпирическом факте, что некоторые колебательные частоты в действительности определяются лишь небольшим числом силовых постоянных и очень слабо зависят от остальных (существование характеристических частот, большое различие в величинах частот одной молекулы и т. п.). В этом случае уравнение можно решить раздельно для высоких и низких частот. При решении для низких частот уравнение следует разделить на произведение из всех входящих в него больших силовых постоянных при условии, что большие силовые постоянные стремятся к бесконечности. Тогда члены, в знаменатель которых входит большая силовая постоянная, пропадут, и порядок уравнения, соответствующего низким частотам, понизится (на число больших силовых постоянных). Соответствующее уравнение для высоких частот можно получить, если положить все малые силовые постоянные равными нулю. В этом случае степень уравнения также понизится. [c.977]

Остается упомянуть о критериях, используемых для определения матрицы преобразования 1). В случае симметричных молекул, таких, как метан, можно воспользоваться тем, что в молекуле имеются эквивалентные атомы или связи. Скажем, если нас интересуют какие-либо свойства связи С—Н (например, ее дипольный момент) в молекуле СН4, следует провести такое преобразование исходной системы молекулярных орбиталей, которое позволит найти четыре физически эквивалентные орбитали, описывающие четыре связи С—Н в метане. Оказывается, что, если молекулярные орбитали найдены методом МО ЛКАО в минимальном базисе атомных орбиталей (см. обсуждение молекулы С2Н4 в разд. 6.6), симметрия системы позволяет определить все параметры соответствующей матрицы преобразования. [c.304]

В молекуле, гамильтониан которой инвариантен по отношению к преобразованиям группы симметрии, существует тесная связь между симметрией и локализованными орбиталями. Если матрица плотности р (ж х ) в уравнении (10) инвариантна по отношению ко всем преобразованиям группы, то инвариантен также и хартри-фоковский оператор уравнения (9) и, следовательно, канонические молекулярные орбитали принадлежат к неприводимым представлениям. С другой стороны, локализованные орбитали часто принадлежат к приводимым представлениям, причем групповые преобразования просто мештт порядок локализованных орбиталей. Получающиеся при такой перестановке локализованные орбитали часто называют эквивалентными орбиталями Простейшим примером является атомная конфигурация (5) 2рхУ), волновую функцию которой можно записать в виде [c.103]

Нахождение функций, преобразующихся по типам симметрии Eg яTlu [(или вообще с размерностью / > 1 (случай вырождения)],-заметно сложнее. При решении задачи в лоб , необходимо было бы написать в общем виде линейные комбинации шести функций базиса Ог с неопределенными коэффициентами с , а затем, подг вергнув эти функции преобразованиям группы, получить для каждого из них матрицу преобразования, выразить ее характер через Сгй и приравнять его к соответствующему характерам рассматриваемого представления. Из полученных таким образом уравнений можно определить коэффициенты с . [c.117]

Вращения переводят геометрическую В табл. 29 приведены матрицы нап-фигуру в совместимо равные положения, равляющих косинусов основных ко-отражения — в зеркально равные. нечпых преобразований симметрии для [c.198]

Преобразуя поочередно каждый из 18 независимых пьезомодулей, можно найти вид матрицы пьезомодулей для любого класса симметрии если после преобразования симметрии знак пьезомодуля изменяется на обратный, то этот пьезомодуль должен равняться нулю если знак остается неизменным, модуль остается в матрице пьезомодулей. [c.259]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология