Операции симметрии тождественное преобразование

Существуют различные комбинации этих операций. К числу операций симметрии следует также отнести такую, при которой предмет остается в покое эту операцию называют тождественным преобразованием и обозначают . [c.110]

Чтобы получить возможность определять разрешенные принципом Паули состояния для более общих систем, необходимо воспользоваться свойствами группы перестановочной симметрии (или, на языке математики, симметрической группы). Симметрической группой 5(Л ) степени N называется группа, операциями которой являются все возможные перестановки N объектов. Например, при наличии двух объектов их можно произвольно обозначить символами 1 и 2. В таком случае группа перестановок 8(2) состоит из тождественного преобразования (которое всегда обозначается символом Е) и операции, приводящей к перестановке объектов. Схематически эти операции можно записать так [c.136]

В таблицу характеров группы К(3) входят только характеры тождественного преобразования н операции вращения. Все произвольные вращения относительно любой оси имеют одинаковые характеры это означает, что группа содержит бесконечное число вращений С(ф). В таблице характеров указано только одно такое вращение. В таблицу характеров группы 0(3) должны входить еще характеры других операций. В конечных пространственных группах симметрии (или точечных группах, как их принято называть) имеется пять типов операций симметрии (см. гл. 13). Двумя из них являются тождественное преобразование Е и операция вращения (иначе — собственного вращения) С( ). Кроме того, имеются еще инверсия, обозначаемая символом I, отражение в плоскости а, а также несобственное вращение 8 ф). Несобственное вращение включает обычное вращение, которое сопровождается отражением в плоскости, перпендикулярной оси вращения. (Другое определение несобственного вращения — вращение, сопровождаемое инверсией.) Число элементов симметрии а и 5 ф) также бесконечно. Инверсия эквивалентна несобственному вращению в том частном случае, когда угол вращения равен 180°. Отражение эквивалентно несобственному вращению, когда угол вращения равен нулю. Следовательно, двух типов операций достаточно для того, чтобы породить остальные операции рассматриваемой группы. [c.60]

Кроме элементов Симметрии и операций симметрии, приведенных в табл. 2, следует указать на тождественное преобразование Е. Тождественное преобразование равносильно тому, что система из равновесной конфигурации ядер атомов вообще не подвергалась преобразованию. [c.19]

Кроме элементов симметрии и операций симметрии, приведенных в табл. 2, следует указать на тождественное преобразование Е. Тождественное преобразование равносильно тому, что система из равно- [c.17]

Каждая точечная группа симметрии, содержащая оси вращения выше второго порядка, имеет вырожденные представления, которые, согласно Малликену, обозначают Е (следует отличать от обозначения тождественного преобразования) — для двукратно вырожденного представления Т — для трехкратно вырожденного представления. Примеры таких групп даны в серии табл. 6.2. В этих группах операции симметрии сведены в классы операций, имеющих 196 [c.196]

Ранее было сказано, что для молекулы воды существуют четыре операции симметрии, однако пока были упомянуты только три. Четвертая операция важна, хотя и тривиальна. Это тождественное преобразование, т. е. операция, оставляющая молекулу неподвижной. Ее обозначают буквой Е (или иногда /). На первый взгляд эта операция может показаться излишней. Необходимость ее введения обусловлена тем, что на основе теории групп можно построить алгебру операций симметрии молекулы воды. Чтобы выразить тот факт, что последовательное выполнение двух операций поворота вокруг оси Сг оставляет молекулу в исходном положении, нужна тождественная операция. Алгебраически это можно представить в впде [c.137]

В случае молекулярных систем квантовые числа п, I и гп1 теряют свой смысл поэтому классификация этих новых состояний основана на симметрии молекулы и на значении суммарного спина. В разд. 2.2.4 для описания электронных состояний молекулярных систем уже применялись некоторые из символов, определяющих операции симметрии, однако само понятие операции симметрии до сих пор не было объяснено. Этот термин относится к изменению ориентации молекулы по отношению к некоторой фиксированной системе координат при обмене местами эквивалентных атомов молекулы таким образом, чтобы общая структура молекулы не изменилась. Операции симметрии характеризуются особыми геометрическими элементами, которые называются элементами симметрии. Симметрия молекулы определяется следующими элементами симметрии 1) ось вращения 2) зеркальная плоскость 3) центр симметрии 4) зеркально-поворотная ось 5) тождественное преобразование. [c.51]

Набор основных перестановок можно получить следующим образом. Выбираем одну из 48 перестановок все перестановки, которые являются результатом преобразования выбранной перестановки при операциях симметрии точечной группы молекулы, должны происходить с равными скоростями называются они основной набор перестановок . Далее, последовательно применяя к первоначальному набору операторы Сг, а , можно получить три другие эквивалентные серии. После чего выбирают одну из 48 перестановок, еще не полученную в вышеописанном процессе, и повторяют эту процедуру до тех пор, пока не будут учтены все 48 перестановок. В действительности, кроме набора перестановок, приводящих к тождественным структурам, имеется четыре набора основных перестановок, и они могут быть записаны следующим [c.188]

Как видим, каждому преобразованию симметрии системы можно поставить в соответствие некоторую матрицу-оператор. При этом обратному преобразованию симметрии соответствует обратная матрица, последовательному применению двух операций симметрии — произведение соответствующих матриц, а тождественному преобразованию — единичная матрица. Таким образом, геометрические свойства симметрии оказываются полностью переведенными на язык матриц-операторов, который является существенным при использовании теории групп в квантовомеханических исследованиях. [c.53]

В этой главе будут изложены методы классификации фундаментальных колебаний по типам симметрии. Поскольку операции трансляции решетки действуют на фундаментальные колебания подобно операции тождественного преобразования, можно попытаться исключить эти операции из рассмотрения. [c.115]

Напомним, что группа G порядка g имеет g независимых элементов. В случае групп симметрии этими элементами являются операции симметрии. Каждой операции симметрии соответствует некоторое линейное преобразование координат, которое задается матрицей его коэффициентов. Символическому произведению двух операций симметрии соответствует произведение матриц линейных преобразований, описывающих эти операции симметрии. Если речь идет о тождественной операции е, то ей отвечает единичная матрица, обратной операции соответствует обратная матрица. В целом совокупность матриц линейных преобразований, соответствующих элементам данной группы симметрии, сама образует группу, по своим свойствам эквивалентную исходной группе симметрии. Группа, состоящая из матриц л ,- линейных преобразований, однозначно соответствующих элементам некоторой группы, называется представлением этой группы. Число переменных, линейные преобразования которых образуют представление, определяет ранг матриц представления и носит название размерности представления, а совокупность указанных переменных — базиса представления. [c.189]

Рассмотрим теперь операцию 5ь которая включает операцию С1 и отражение. Однако С] —операция тождественного преобразования, поэтому операция 51 есть просто отражение исходной структуры в плоскости, проходящей через ее геометрический центр. На рис. 2-5 показан пример молекулы, имеющей элемент симметрии 5ь Можно видеть, что операция приводит к эквивалентной, но не тождественной структуре, поскольку лишь две операции 5ь т. е. 5ь дают структуру, тождественную исходной, т. е. 81 = Е. Мы видим, что эта молекула имеет плоскость симметрии, проходящую через геометрический центр молекулы, и, таким образом, зеркально-поворотная ось первого порядка ( 1) в точности то же самое, что и плоскость симметрии (о). В даль- [c.25]

Таким образом, рассматриваемую молекулу можно перевести в эквивалентное положение в результате одной из трех операций симметрии двух отражений и поворота. Операции симметрии составляют предмет специальной области математики — теории групп. В любом случае должен быть элемент, играющий роль числа 1 в обычной алгебре, т. е. при умножении его на функцию последняя остается неизменной. Например, в матричной алгебре таким элементом является единичная матрица. В теории групп этот элемент называется тождественным преобразованием. Для групп симметрии тождественное преобра- [c.121]

Вернемся теперь к обсуждению групп симметрии и выясним прежде всего, какие операции симметрии вообще возможны. С тремя из них мы уже познакомились тождественное преобразование, поворот вокруг оси и отражение в плоскости. Нам встретятся еще два преобразования симметрии инверсия в центре симметрии (при этой операции точка с координатами х, у, 2 переходит в точку с координатами —х, —у, —г) и поворот вокруг оси с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной к этой оси. В табл. 8.1 приведены общепринятые обозначения для этих операций симметрии. [c.123]

Возьмем в качестве примера группу Сз . Допустим, что строится МО для молекулы NH3. Сначала построим линейные комбинации водородных Is-AO, которые преобразуются по НП группы. Обозначим исходные функции через фа, фь и фс (см. рис. 8.3). Чтобы пайти характеры представления, для которого фа, фь и фо являются базисными функциями, надо выяснить, какие из этих функций остаются неизменными при данной операции симметрии (поскольку при операции симметрии функции либо сохраняются неизменными, либо переходят в другие функции). При тождественном преобразовании все функции неизменны, при повороте Сд все три функции изменяются, переходя друг в друга при каждой операции отражений только одна из функций не изменяется (например, при операции а а функция фа остается неизменной, а функции фь и фе переходят друг в друга). Характеры представления, которое обозначим Г, равны [c.141]

Характер представления — это сумма диагональных элементов матриц, соответствующих операциям группы. В характер вносят вклад только те компоненты, которые остаются неизменными при операции симметрии. Для начала возьмем две наиболее простые операции тождественное преобразование I сохраняет неизменными все пять компонент, следовательно, % (/) = 5 при операции инверсии знак всех компонент не меняется (так как -орбитали относятся к -состояниям), поэтому X (г) = 5. Для других операций определить характеры труднее, но это можно сделать, рассматривая изменение волновых функций при повороте на угол ф. [c.286]

Полная группа симметрии решетки Браве (совокупность операций, переводящих эквивалентные точки решетки в эквивалентные) содержит трансляции tл на векторы решетки, образующие группу трансляций Г 2) операции g точечной группы симметрии решетки Со 3) комбинированные операции означающие последовательное применение и к точкам решетки, т. е. переводящие точку с координатой г в точку с координатой г = + а. Используя единое обозначение для всех операций симметрии, трансляции на векторы решетки можно записать в виде Е 1а. , а преобразования точечной группы Со — в виде 1 о , где Е — единичный элемент точечной группы, to — трансляция на нулевой вектор (единичный элемент группы трансляций). Единичный элемент, соответствующий тождественному преобразованию симметрии решетки, можно, очевидно, записать в виде )/о - Правило перемножения операций симметрии решетки Браве следующее [c.27]

Выше мы изложили традиционные квантовохимические представления о гибридизации атомных орбиталей на традиционных примерах (СО2, НС СН, Н2С==СН2, СН4, ВРз и т. д.). Однако эти представления, которые по праву можно назвать классическими, в ряде случаев оказываются неприменимыми. Одним из таких случаев является молекула 1,б-дикарба-/сло-зо-гексаборана (рис. 36), где четырех валентных АО углерода недостаточно для построения пяти ортогональных ГАО. Однако при отказе от требования ортогональности, как было показано С. Г. Семеновым, удается построить линейно-зависимый набор неорто-гональных ЛМО, преобразующихся друг в друга при операциях симметрии Оц1- Эти 15 ЛМО (6 двухцентровых, локализованных на связях СН и ВН 8 трехцентровых, локализованных на связях СВг и одна четырехцентровая, тождественная канонической 1 2г-М0, охватывающей атомы бора) с электронными заселенностями 2, не могут быть переведены унитарным преобразованием в исходные 13 канонических МО (сравни с рассмотренным выше случаем молекулы метана). [c.216]

Операциями симметрии являются повороты, параллельные переносы или другие преобразования, при которых объект не изменяется. Операции точечной симметрии представляют собой особый класс преобразований, которые не только оставляют объект неизменным, но и оставляют по крайней мере одну точку в объекте неподвижной. Например, поворот на 180° меняет местами две тождественные субъединицы, и его можно представить следующим образом [c.124]

Группе точечной симметрии данного объекта соответствует совокупность всех операций симметрии, которые оставляют объект неизменным. Полностью асимметричному объекту соответствует группа симметрии, называемая группой . К такой группе симметрии относится только тождественное преобразование, которое оставляет объект неизменным и неподвижным. Другие примеры операций точечной симметрии приводятся в тексте. К операциям симметрии относятся параллельные переносы, а также возможные вращения и некоторые другие операции. Они называются операциями пространственной симметрии. В качестве примера рассмотрим простой параллельный перенос вдоль оси. [c.125]

Рассмотрим несколько примеров. Молекула гране-бута диен а имеет четыре операции симметрии. Наличие тождественного преобразования тривиально. Мы уже упоминали о вращении на 180°, которое обозначается символом Сг. Как у любой плоской молекулы, отражение в плоскости молекулы является операцией симметрии. Оно обозначается символом Он, где индекс /г указывает, что отражение осуществляется в горизонтальной плоскости (перпендикулярной оси вращения, которая рассматривается как вертикальная ось). Эта операция не изменяет положения всех атомов молекулы. (Заметим, однако, что она приводит к изменению знаков всех базисных ря-функций.) Инверсия всех координат в точке начала отсчета, выбранной в центре молекулы, тоже является операцией симметрии. Эта операция приводит к такой перестановке индексов атомов, как операция Сг. (Она изменяет не только индексы, но и знаки базисных ря-функ-ций.) В данном конкретном случае система имеет по одному элементу симметрии (тождественное преобразование, ось, плоскость и точка), соответствующему каждой операций симметрии. Группа симметрии, состоящая из этих элементов, Е, С2, I, б , называется группой Сгй. Все элементы симметрии бутадиена пересекаются в точке инверсии. Все элементы симметрии- любого объекта должны пересекаться в некоторой точте поэтому п 9-странственные группы симметрии индивидуальных объектов часто называют точечными группами. Группы, симметрии, используемые для описания кристаллов и других систем, обладающих повторяющейся трансляционной симметрией, называются пространственными группами. Здесь мы сосредоточим внимание на точечных группах симметрии объектов молекулярного типа. [c.267]

Выше уже указывалось (разд. 3.5), что произвольный трехмерный физический объект может иметь операции симметрии следующих пяти типов тождественное преобразование Е собственное вращение Сп, зеркальное отражение а инверсия I несобственное вращение Для собственного и несобствейного вращений индекс п указывает порядок вращения, т. е. равен результату деления 2п на угол вращения. Все физические объекты остаются инвариантными при тождественном преобразовании Е. Объекты, обладающие какой-либо симметрией, оказываются неотличимыми от исходного состояния после действия операций симметрии других типов. Геометрические точки, прямые или плоские, относительно которых осуществляются операции симметрии, называются элементами симметрии. Например, ось, вокруг которой осуществляется вращение, плоскость, в ко- [c.266]

Физический смысл понятия неприводимости можно пояснить на следующем простом примере. Рассмотрим набор орбиталей центрального атома Рх, Ру, и р в пирамидальной молекуле симметрии Сз . Очевидно, что ни одна из операций симметрии молекулы не может преобразовать орбиталь р в комбинацию орбиталей рх и Ру. Однако орбитали Рх и ру переходят друг в друга при преобразованиях симметрии. Следовательно, операции группы симметрии Сз в базисе рхрург образуют одномерное и двумерное представления. Группа Сз включает шесть операций симметрии (тождественная операция, операция вращения на угол 120", операция вращения на угол 240 и три операции отражения в плоскостях симметрии см. рис. 1.1,а), так что /г = 6. Поскольку для данной группы имеется одно одномерное и одно двумерное представления, из соотношения (1.8) следует, что единственно возможное третье неприводимое представление должно быть одномерным, так как [c.246]

Это уравнение можно применять для состояний, характеризующихся полным угловым моментом J (где J = L + S), путем простой замены. / на I. Если электронов четное число и если J целочисленно, полное предсгавление в любой симметрии можно разложить на неприводимые представления точечной группы, как это мы сделали в предыдущем раз-геле. Одпако, если J имеет полуцелое значение (т.е. S нечетно), поворот tia 2л (что предс ав.тяет собой операцию тождественного преобразования не дает гождесдве1пюй величинь характера [c.84]

Над каждой молекулой можно произвести ряд операций симметрии, греобразующих молекулу до состояния, не различимого с тем, которое было до преобразования. Полная совокупн ть таких операций симметрии представляет группу симметрии. Число операций симметрии в группе называется порядком группы. Группа операций,, например а, Ь, с..., определяется как совокупность, удовлетворяющая условиям 1) произведение двух операций группы эквивалентно какой-либо операции этой же группы а Ь = с) 2) система содержит тождественную операцию Е (аЕ = Еа = а) 3) для каждой операции имеется обратная операция, которая является операцией этой же группы (а а == а а = ) 4) произведение нескольких операций обладает свойстэом ассоциативности а(Ь с) = (а Ь)с. [c.20]

В предыдущем разделе для симметризации функций мы воспользовались подгруппой Сг точечной группы Сгл. Эта подгруппа является простейшей подгруппой группы Сгл, которая обменивает местами эквивалентные базисные функции п-элек-тронной системы бутадиена. Можно сказать, что группа Сг является группой перестановочной симметрии для этих функций. Заметим, что порядок группы перестановочной симметрии равен числу обмениваемых местами эквивалентных функций. Группа локальной симметрии определяется элементами симметрии, проходящими через рассматриваемую точку. Для п-электронной системы бутадиена тождественное преобразование и плоскость симметрии проходят через каждый атом. Таким образом, каждый атом имеет локальную симметрию С . Полная группа является произведением группы локальной симметрии и группы перестановочной симметрии. В других молекулах могут существовать различные положения, имеющие неодинаковые локальные и перестановочные симметрии. В зависимости от обстоятельств каждая из этих подгрупп может быть настолько мала, как группа Сь или настолько велика, как полная точечная группа симметрии молекулы. В любом случае каждая из них должна быть подгруппой полной группы (или совпадать с ней), а произведение каждой группы локальной симметрии и соответствующей перестановочной группы должно давать полную группу. Нередко перестановочную группу не удается выбрать однозначно, как это имеет место в случае бутадиена, где перестановка базисных функций может осуществляться операциями группы Сг либо С,-. [c.281]

Багавантам [21] предложил несколько иной метод классификации колебаний. Он условно рассматривает всякую трансляцию как операцию тождественного преобразования, которая переносит атом данной примитивной ячейки на конгруэнтный атом другой ячейки и, таким образом, сводит пространственную группу только к ее элементам (/ ,Тя), совокупность которых описывает симметрию ячейки эта совокупность образует группу примитивной ячейки ). Характер представления, определяемого фундаментальными колебаниями, дается той же формулой (1.4), где С/д — число атомов примитивной ячейки, которые остаются инвариантными при операции (/ , Гд) отметим, что Тд = О при любой такой операции. Приведение полученного таким образом представления осуществляется при помощи формулы (1.3). Группа примитивной ячейки и фактор-группа изоморфны, что обеспечивает согласие результатов, полученных данным методом и методом, изложенным в п. б . [c.117]

Однако при отказе от требования ортогональности, как было показано С. Г. Семеновым, удается построить линейно-зависимый набор неортогональных ЛМО, преобразующихся друг в друга при операциях симметрии Эти 15 ЛМО (6 двухцентровых, локализованных на связях СН и ВН 8 трехцентровых, локализованных на связях СВ и одна четырехцентровая, тождественная канонической 1Ь2а-МО, охватывающей атомы бора) с электронными заселенностями х2, не могут быть переведены унитарным преобразованием в исходные 13 канонических МО (сравни с рассмотренным вьппе случаем молекулы метана). [c.231]

Таким образом, группы симметрии С нелинейных молекул являются конечными подгруппами полной ортогональной группы симметрии атома поскольку при всех операциях из группы С сохраняется неподвижная точка, выбранная за начало координат, группы симметрии молекул называют точечными группами. Число элементов в них конечно и изменяется от единицы (в группе С], не содержащей никаких операций симметрии, кроме тождественного преобразования) до 120 (в наиболее богатой группе симметрии икосаэдра, обозначаемой У/,). Точечные группы, 1не содержащие зеркальных поворотов, называют группами первого рода, остальные — группами второго рода точеч- [c.15]

Рассматриваемые здесь группы являются группами операций симметрии молекул. Операциями симметрии называют такие действия, производимые над молекулой (инверсия, вращение, отражение), которые совмещают молекулу саму с собой. Так, например, операцией симметрии является вращение молекулы двуокиси азота на 180" вокруг биссектрисы угла ONO. Вращение вокруг той же оси на 90° не является операцией симметрии. В интересующих нас приложениях мы не встречаемся с трансляциями и поэтому рассматриваем только точечные, а не пространственные группы симметрии. Пространственные группы существенны в теории кристаллов. Точечные группы включают лишь такие операции симметрии, которые оставляют по крайней мере одну точку молекулы инвариантной (фиксированной). В число операций группы симметрии обязательно входит тождественное преобразование Е. Эта операция оставляет функцию неизхмененной, так что мы можем записать [c.242]

Приведенные в табл. 4 обозначения симметрии относятся к группе симметрии С ., характеризующей молекулу формальдегида. Они означают, что молекула обладает осью симметрии второго порядка Сз, относительно которой ее можно повернуть на 180 градусов при этом конфигурация молекулы в пространстве не изменяется, так как два атома водорода тождественны . Кроме того, люлекула обладает вертикальной плоскостью симметрии V, расположенной под прямым углом к плоскости молекулы и содержащей ось С=0. При зеркальном отражении на эту плоскость конфигурация молекулы также не изменяется (см. фиг. 27). Возможность осуществления таких двух преобразований симметрии означает, что зеркальное отражение в плоскости люлекулы также есть преобразование симметрии. Наконец тождественное преобразование , при котором мы ничего не делаем с молекулой, мы тоже считаем преобразованием симметрии, так каконо оставляет молекулу неизмененной. Поскольку в результате преобразования симметрии электронная плотность остается прежней, волновая функция либо должна остаться прежней, либо, в крайнем случае, может изменить знак. Этот вывод справедлив только для невырожденных состояний, но поскольку молекула формальдегида или любая другая молекула, характеризуемая симметрией не имеет вырожденных энергетических уровней, в нашем изложении, основанном на теории групп, мы их рассматривать не будем. Из так называемой таблицы характеров видны различные возможности—неизменность волновой функции или изменение ее знака при проведении групповых операций. В табл. 5 приведены характеры группы Со,. (Более подробно вопрос изложен в Приложении II.) [c.73]

Группы v, sv, Dsh, D , Tj, Ha рис. 3.2 показаны операции симметрии для молекулы Н2СО. Среди них есть единичная операция (тождественное преобразование, означающее отсутствие какого бы то ни было изменения) показанные на рисунке четыре операции симметрии с математической точки зрения образуют группу, называемую точечной группой Со. Слева на рис.3.2 операции симметрии иллюстрируются как перемещения ядер молекулы (например, повороты молекулы вокруг оси второго порядка СО), а справа как преобразования системы координат ( перемещения осей системы координат ). Во втором случае надо представлять себе две системы осей координат одну неподвижную, а другую преобразующуюся до преобразования обе системы осей совпадают, а операция симметрии характери [c.55]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология