Свойства неприводимых представлений групп

Рассмотрим 1х-функцию атома водорода с точкой центрирования на протоне Н . Введем обозначение 1 )1 ( г - Кн 1) = 1 (Н ). Функции 1х(Н ) не преобразуются по неприводимым представлениям группы симметрии молекулы, этим свойством обладают линейные комбинации этих функций. Построим из орбиталей 1 (Н ) следующие симметризованные выражения [c.211]

Свойства неприводимых представлений групп [c.347]

Используя теоремы, описывающие свойства представления и его характера, можно найти характеры, не определяя матриц представления. В самом деле, для каждой группы легко найти число неприводимых представлений г и их размерности п . Учитывая также свойство (IV, 7), можно по- строить характеры неприводимых представлений группы. [c.80]

Все необходимые сведения о свойствах определенной группы симметрии содержатся в наборах матриц, образующих неприводимые представления группы. Эту информацию можно представить в наиболее сжатой форме, вводя определение характеров. элементов [c.189]

В расчетах, основанных на использовании теории возмущений, большую помощь оказывает применение теории групп. На основе теоретико-группового рассмотрения, или учета симметрии, удается показать, что многие интегралы оказываются тождественно равными нулю. Всякое наблюдаемое свойство системы должно быть инвариантным при любом преобразовании симметрии системы. Другими словами, наблюдаемые величины должны быть скалярными, а не векторными, операторными и т. д. С теоретико-групповой точки зрения это означает, что любой интеграл (или любая другая функция, представляющая наблюдаемую величину) должен преобразовываться по полносимметричному неприводимому представлению группы, к которой относится данная система. (Полносимметричное представление является единственным скалярным представлением группы и таким, в котором каждый элемент группы отображается на скаляр, равный + ) Поскольку каждую функцию или оператор, входящие в интеграл, можно отнести к некоторому неприводимому представлению (или к комбинации неприводимых представлений) группы и поскольку известны правила умножения для представлений, нетрудно определить представление, по которому преобразуется любая подынтегральная функция. Если это представление не совпадает с полносимметричным представлением или не содержит его в себе, то нет никакой необходимости проводить вычисление интеграла, так как заведомо известно, что он должен быть равен нулю. В расчетах по теории возмущений на основании такого анализа можно, например, установить, равна ли нулю поправка первого приближения к энергии и какие коэффициенты в разложении первого порядка для волновой функции или в разложении второго порядка для энергии оказываются равными нулю. [c.115]

Поскольку все неприводимые представления группы Сги одномерны, то все энергетические состояния системы не могут иметь вырождения. По свойствам симметрии волновые функции [c.87]

Фундаментальным свойством волновых функций является то, что они могут использоваться в качестве базиса неприводимых представлений точечных групп молекулы [4]. Это свойство и устанавливает необходимую связь между симметрией молекулы и ее волновой функцией. Предыдущее утверждение следует из теоремы Вигнера, согласно которой все собственные функции молекулярной системы принадлежат к одному из типов симметрии данной группы [8]. [c.247]

Учитывая свойства преобразования (46,5) — (46,7), можно построить из функций (45,8) — (45,10) такие линейные комбинации, которые будут преобразовываться по неприводимым представлениям группы симметрии О2. Простейший случай соответствует / = 1. В этом случае сами функции (45,8) — (45,10) преобразуются по неприводимым представлениям группы Оу, [c.208]

Отметим два свойства неприводимых представлений а) сумма Квадратов размерностей всех неприводимых неэквивалентных представлений равна порядку группы [c.690]

Используя общие свойства неприводимых представлений и их характеров, а также соотношения между ними, подобные соотношениям ортогональности (П1.30), можно найти все характеры неприводимых представлений групп. Приведем здесь для иллюстрации табл. П1.1 характеров неприводимых представлений [c.61]

Знание характеров неприводимых представлений групп преобразований симметрии является, как мы увидим, достаточным средством для получения многих интересующих нас сведений о свойствах молекул. [c.61]

Используя общие свойства неприводимых представлений и их характеров, а также соотнощения между ними, подобные соотношениям ортогональности (IX.30), можно найти все характеры неприводимых представлений групп. Таблицы характеров даны во многих руководствах, где теория групп используется в квантовомеханических исследованиях. Приведем здесь табл. IX. 1 характеров неприводимых представлений группы О ,, используемую далее в качестве примера. [c.256]

Существенной особенностью приближения ССП являются правильный учет свойств симметрии точного решения многоэлектронной задачи — принципа Паули (антисимметрия много-электронной волновой функции относительно перестановок пространственных и спиновых координат отдельных электронов) и преобразование по одному из неприводимых представлений группы симметрии ядерного остова (точечной группы для молекул и пространственной группы для кристаллов). [c.75]

Однако сначала рассмотрим свойства симметрии орбиталей центрального атома. Возьмем для примера точечную группу Ее таблица характеров приведена в табл. 6-1. Орбитали р, и центрального атома принадлежат к полносимметричному неприводимому представлению орбиталь dx -y -K В , а ,,-к Sj- Свойства симметрии орбиталей (Pi. Р,) и d z) представляют хорощую возможность для знакомства с двумерными представлениями. Выберем в качестве базиса три / -орби-тали и применим к ним операции симметрии точечной группы как это показано на рис. 6-16. Матрицы представлений приводятся ниже [c.268]

Характеры неприводимых представлений точечной группы молекулы Da указаны в табл. 11.1. Поскольку все неприводимые представления группы одномерны, переход от системы АО к системе МО с правильными трансформационными свойствами производится без труда. Удобно ввести сокращенные обозначения АО [c.315]

Идея и принципы построения корреляционных диаграмм непосредственно вытекают из атомных корреляционных диаграмм Хунда и Малликена [19]. Они оказались очень удобными для оценки разрешенности той или иной согласованной реакции. При построении корреляционных диаграмм нужно принимать во внимание как энергию, так и симметрию системы. На диаграмме с одной стороны приближенно изображаются уровни энергии реагентов, а с другой-то же самое, но для продуктов. Следует так же учитывать, как происходит сближение молекул. Далее необходимо рассмотреть свойства симметрии молекулярных орбиталей с точки зрения точечной группы активированного комплекса. В отличие от метода граничных орбиталей нет необходимости рассматривать ВЗМО и НСМО. Вместо этого все внимание концентрируется на тех молекулярных орбиталях, которые соответствуют химическим связям, разрывающимся или образующимся в ходе химической реакции. Нам известно, что любая приемлемая молекулярная орбиталь должна принадлежать к одному из неприводимых представлений точечной группы избранной системы. Эта МО, по крайней мере для невырожденных точечных групп, должна быть либо [c.322]

Использование свойств симметрии позволяет существенно упростить анализ электронного строения молекул, включая и анализ молекулярных спектров. Не менее важны и вычислительные аспекты. Положим, чго базисные функции преобразуются по неприводимым представлениям пространственной группы симметрии молекулы, т.е. представляют так называемый симметризованный базис. При вычислении секулярного определителя в симметризованном базисе удается существенно понизить ранг определителя. Построение симметризован-ного базиса может быть выполнено различными способами, в том числе и с использованием операторов проектирования [c.200]

В квантовомеханическом описании свойств молекул часто приходится вычислять интегралы от произведения функций, и оказывается полезным знать их отношение к преобразованиям симметрии. Почему так Причина состоит в том, что интеграл будет обращаться в нуль, если только подынтегральное выражение, состоящее из произведения двух или более функций, не будет инвариантно ко всем операциям симметрии данной точечной группы. Это означает, что интеграл не равен нулю, только если подынтегральное выражение принадлежит к полностью симметричному неприводимому представлению точечной группы данной молекулы. [c.221]

Для построения таблицы характеров группы R(3) достаточно знать свойства операции тождественного преобразования Е и произвольного вращения С[ф). Любое другое произвольное вращение (их число бесконечно) обладает такими же свойствами. Таблица характеров группы R(3) помещена в табл. 3.5. Она имеет такую же форму, как любая другая таблица характеров. Строки таблицы обозначены символами неприводимых представлений (в данном случае их число бесконечно), а столбцы таблицы — символами операций группы. На пересечении строк и столбцов стоят характеры соответствующих операций в указанных представлениях. [c.59]

Любое другое приводимое представление группы К(3) можно разложить на неприводимые представления аналогичным образом. В группе 0(3) свойства представлений, соответствующие индексам дии, можно устанавливать, проверяя характер операции 8 ф) для каждого неприводимого представления О. [c.64]

В задачах, при решении которых в гамильтониане явно не учитывается спин (к ним относится большинство рассматриваемых нами задач), необходимо принимать во внимание лишь перестановочные свойства спиновой функции. Эти свойства можно определить непосредственно из соответствующих симметрических групп, не обращаясь явно к рассмотрению групп углового момента. После этого остается лишь скомбинировать пространственные волновые функции так, чтобы они приобрели свойства соответствующей перестановочной симметрии. Для фермионов (например, электронов) пространственные и спиновые функции должны преобразовываться по сопряженным неприводимым представлениям соответствующей группы 8(УУ), И тогда их произведение оказывается полностью антисимметричным. Для бозонов пространственные и спиновые функции должны преобразовываться по одному и тому же неприводимому представлению, и тогда их произведение оказывается полносимметричным. [c.139]

Забудьте все, что вам известно о принципе Паули, и воспользуйтесь свойствами симметрической группы, чтобы разместить три электрона на ls-орбитали [другими словами, попытайтесь спроектировать неприводимое представление D° группы вращений на неприводимые представления [1 ] или [2, I] симметрической группы 8(3)]. [c.166]

Когда а ф Ь Ф с, каждому значению энергии соответствует одна волновая функция (25,15). Другими словами, в системе отсутствуют вырожденные состояния. Этот результат непосредственно следует из свойств симметрии потенциальной энергии. Потенциальная энергия остается инвариантной при вращениях на 180° вокруг каждой из осей координат и при преобразовании инверсии [хуг- —х, —у, —г). Следовательно, симметрия поля относится к абелевой группе Огл,. В этой группе результат применения двух преобразований симметрии не зависит от того, в какой последовательности они выполняются. Все неприводимые представления этой группы одномерны, и вырождение отсутствует (см. 19). [c.113]

Дальнейшее упрощение вычислений возможно при учете свойств симметрии системы. При этом, кроме упрощения решения, мы получим возможность классификации вращательных состояний по неприводимым представлениям соответствующей группы симметрии 19). [c.207]

Полученный результат является частным случаем более общего результата, справедливого не только для линейных молекул, но и для молекул другой симметрии, и не только для одноэлектронных, но и для многоэлектронных состояний. Множество операций пространственной симметрии молекулы образует так назьшаемую группу - множество, обладающее определенными свойствами, изучаемыми в теории групп [1, 10, 12, 26]. Здесь приведены лищь некоторые результаты применения теории групп к квантовой теории молекул. Так, можно ввести такие наборы функций (базисы неприводимых представлений группы симметрии молекулы), которые при операциях симметрии молекулы будут преобразовываться друг через друга. Иными словами, базис неприводимого представления определяет функциональное подпространство, которое инвариантно относительно преобразований симметрии молекулы. Слово неприводимое означает, что инвариантное подпространство обладает наименьщей возможной размерностью, назьшаемой размерностью представления. Функции, образующие базис неприводимого представления, называют функциями-партнерами. [c.38]

Задание конфигурации предполагает задание системы базисных функплй в каждой оболочке для построения термов важны свойства симметрии базисных функций. Полагают, чго базисные функции оболочки преобразуются по неприводимым представлениям группы пространственной симметрии молекулы. Из этих базисных функций строят детерминантные, представляющие конфигурации. Волновые функции 200 [c.200]

Применительно к квантовомеханической задаче об угловом моменте индекс / соответствует квантовому числу углового момента. Например, целочисленные значения / соответствуют целочисленным значениям / для жесткого ротатора. Таким образом, каждому энергетическому уровню жесткого ротатора можно сопоставить свое неприводимое представление группы вращений. Полуцелые значения /, как мы убедимся позже, позволяют описывать спин электрона. Ббльщая часть свойств группы 0(3), которые понадобятся нам, может быть установлена из рассмотрения одних лищь вращений, т. е. из свойств группы R(3). [Группа R(3) может рассматриваться как вращательная подгруппа группы 0(3).] Таблица характеров группы указывает характеры каждого элемента группы (в данном случае единичного элемента — тождественного преобразования — и операций вращения) в каждом неприводимом представлении. [c.58]

В физике для описания свойств собственного углового момента элементарных частиц используются специальные унитарные группы SU(n), где п равно 2/+ 1- Специальная унитарная группа — это группа всех унитарных матриц (т. е. таких, для которых обратная матрица совпадает с сопряженно-транспонированной) размерности п с детерминантами, равными - -1- В такой группе собственный угловой момент (спин) отдельной частицы преобразуется по первому нескалярному неприводимому представлению группы (т. е. первому с размерностью больше единицы). Правильно симметризованные совокупности одинаковых частиц преобразуются по представлениям высших размерностей. [Группа трехмерных вращений R(3) является подгруппой всех групп SU(n).] Существуют две равноправные схемы обозначения представлений для групп SU(n) обозначения из симметрических групп S(yV), а также обозначения, связанные с угловым моментом. Эти соображения, а также то обстоятельство, что алгебра групп -SU(n) хорошо развита, делают удобным использование групп SU (п) для описания спиновых свойств. [c.355]

Поскольку между системами характеров и неприводимыми представлениями группы имеется однозначное соответствие, то-удобно во многих приложениях теории групп иметь дело не с неприводимыми пpeд тaвлeнияJVIи, а с характерами. Пользуясь свойствами ортогональности (Д, 7) характеров неприводимых представлений группы, можно разлокить характеры любых приводимых представлений группь по неприводимым представлениям. Например, [c.692]

К практическим применениям указанного общего подхода принадлежит один из квантовохимических методов расчета свойств неорганических комплексных соединений — так называемая теория кристаллического поля, которая основана на следующей модели. Гамильтониан свободного атома, в котором учитываются только электростатические взаимодействия, инвариантен относительно одновременного вращения координат всех электронов. Наличие у гамильтониана симметрии такого типа ведет к вырождению уровней в рамках термов -например, для одного электрона, находящегося в -состоянии, это означает, что его энергетический уровень пятикратно вырожден, т. е. ему соответствуют пять различных -функций. Если атом теперь подвергнется действию лигандов (химически связанных с ним соседних атомов) и возникший при этом комплекс будет иметь симметрию, отвечающую группе С, то исходная сферическая симметрия атома нарушится и вместе с ней изменится исходное вырождение уровней. Квантовые числа I н Мь перестают быть хорошими квантовыми числами, поэтому вместо них следует ввести новые квантовые числа Г и шг, где Г — неприводимое представление группы О, а шг — компонента этого представления, если неприводимое представление Г является многомерным. Мы видели, например, в разд. 6.6 при описании конструирования гибридных орбиталей, что если атом помещен в поле лигандов октаэдрической симметрии (см. рис. 6.4), то его вырожденные -состояния расщепляются на два новых состояния, которые соответствуют неприводимым представлениям Е я Т группы О. Следовательно, исходный пятикратно вырожденный уровень расщепляется на два новых энергетических уровня, один из которых трехкратно вырожден, а другой двукратно вырожден. [c.160]

Уравнение (14.4) для электронной энергии совершенно аналогично уравнению, обсуждавшемуся в гл. XI. Электронные волновые функции Р х, у, z, г), таким образом, обла-чдают симметрическими свойствами различных неприводимых представлений групп Лоод или ov, в зависимости оттого, являются ли ядра одинаковыми или разными. Колебательная волновая функция R r) зависит только от расстояния между двумя ядрами и принадлежит поэтому к полностью симметричному представлению. Полная волновая функция будет, следовательно, иметь свойства симметрии произведения F x, у, Z, r)U bj х)- обсуждения свойств решения уравнения (14.6) удобно сначала рассмотреть волновое уравнение для симметричного волчка, т. е. для твердого тела с вращательной симметрией относительно одной оси. Применяя систему координат фиг. 27 с осью симметрии твердого тела вдоль оси 2-, получаем следующее волновое уравнение [.57—59 для системы [c.346]

Значение теории групп для квантовомеханического исследования молекул и кристаллов состоит в следующем во-первых, теория групп позволяет, исходя только из свойств симметрии системы, провести классификацию электронных и колебательных состояний молекулы и кристалла и указать кратность вырождения энергетических уровней системы во-вторых, на основе теории групп удается установить некоторые правила отбора для матричных элементов, существенные при расчете вероятностей переходов и других характеристик в-третьих, на основе теории групп можно провести качественное рассмотрение возможного расщепления вырожденного уровня энергии при изменении симметрии системы (например, появлении внешнего поля). Наконец теория групп позволяет существенно понизить порядок решаемых уравнений при использовании симметризованных (преобразующихся по неприводимым представлениям группы симметрии системы) функций благодаря тому, что матричные элементы операторов, вычисленные с такими функциями, удовлетворяют некоторым соотношениям общего характера. [c.6]

Специального рассмотрения требует вопрос о том, как для конкретной КРЭЯ связать каждую из получающихся МО с каким-либо неприводимым представлением группы трансляций и установить, таким образом, какому уровню п(к) в энергетическом спектре кристалла соответствуют связанные с МО одно-электронные энергии квазимолекулы Ет. При установлении такой связи необходимо учитывать степень вырождения каждого уровня, зависящую от числа векторов звезды волнового вектора, а также свойства симметри блоховских функций, связанные с группой волнового вектора (см. 1,8), [c.174]

Допустим теперь, что матрицы С приводимы, а результат приведения выражается блочными матрицами, одна из которых показана на рис. 4.3. В таком случае функции Ч (г = 1, 2,. .., ) образуют в действительности два независимых набора , I = = I, 2,. .., 1) и (/ = 1, 2,. .., а то обстоятельство, что соответствующие им значения энергии совпадают, можно рассматривать как случайное. В качестве примера случайного вырождения можно указать на состояния 2 и 2р атома Н волновые функции разбиваются на два набора фаз и (Фгрх. Щ-ру, Фгрг). имеющие совершенно различные трансформационные свойства. Поскольку подобное случайное вырождение встречается довольно редко, разумно считать, что, как правило, волновые функции, принадлежащие данному собственному значению энергии, образуют базис неприводимого представления группы пространственной симметрии рассматриваемой механической системы. [c.79]

Поскольку синглетная (S 0) спиновая волновая функция системы двух электронов антисимметрична, а триплетная (S I) симметрична относительно перестановки спиновых координат частиц, пространственная волновая функция синглетного состояния должна быть симметрична, а триплетного — антисимметрична относительно перестановки пространственных координат электронов. Далее, из помещенных в гл. 4 таблиц характеров неприводимых представлений групп oov, Dooh (табл. 4.1, 4.2) ясно, что волновая функция 2-состояния (М 0) при отражении в произвольной плоскости, содержащей ось молекулы, должна либо не изменять своего знака (2 -состояние), либо изменять его на обратный (S -состояние). Для проверки трансформационных свойств 21-состояния мы ради простоты воспользуемся здесь отражением в плоскости хг. [c.237]

Многоатомные молекулы. Прежде чем приступить к рассмотрению конкретных примеров, вспомним, что уже говорилось о свойствах симметрии атомных орбиталей. Если в молекуле имеется центральный ато.м, то его атомные орбитали принадлежат к некоторому неприводимому представлению точечной группы данной молекулы. Для других атомов молекулы из подобных орбиталей специально образуют приведенные по симметрии линейные комбинации (ПСЛК). Эти новые орбитали пытаются комбинировать с АО центрального атома с целью получения МО. [c.275]

Рассмогрение таблиц характеров (см. табл. 7.2) показывает, что каждая симметрическая группа имет два и только два одномерных неприводимых представления. У одного из них все характеры равны +1. и оно является полносимметричным неприводимым представлением. Другое имеет характеры +1 Для четных классов и —1 для нечетных классов и является полностью антисимметричным представлением. Одномерные полно- иммeтpич ыe представления содержатся во всех группах, а полностью антисимметричные — во всех симметрических группах (но не во зсех остальных группах). Другие представления обладают смешанными свойствами относительно перестановок. Перестановочная симметрия функции, антисимметричной по отно-щению к 1ерестановке частиц, определяется полностью антисимметричным неприводимым представлением. [c.163]

Произведения представлений, подобные указанным в примерах (7.А7) и (7.А8), называются приводимыми, поскольку их можно разложить, т. е. записать в виде суммы неприводимых представлений. Существует систематическая пpoцeдyfa для разложения приводимых представлений любой конечной группы, основанная на свойствах ортогональности неприводимых представлений. Оказывается, что если перемножить характеры % операций Я для двух неприводимых представлений, скажем Гг и Г/, а затем просуммировать результат по всем опеоациям, то результат окажется равным произведению Ьц (дельта-функция Кронекера) и порядка группы g (строго говоря, поскольку характеры могут быть комплексными, при их перемнохении следует использовать один из каждой пары в комплексно-сопряженной форме). Сказанное означает, что [c.164]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология