Что такое марковские цепи

О том, что такое марковские цепи, их замечательных свойствах, применении в самых различных областях человеческой деятельности можно узнать из этой живо и увлекательно написанной книги, рассчитанной на широкого читателя. [c.2]

ЧТО ТАКОЕ МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ [c.18]

Итак, читатель, на этом мы решили закончить начальное знакомство с марковскими цепями. В первой главе мы попытались ответить в основном на два вопроса что такое марковские цепи Какие они бывают [c.64]

Исследование влияния стратегии ремонтов сложных ХТС на [Производительность системы проведено в работе [140]. В качестве моделей функционирования отдельных элементов этой системы, так же как и в работе [139], применяется марковская цепь, а для оценки поведения системы в целом предлагается использовать дерево отказов. Допускается зависимость между отказами элементов, обусловленная выбранной стратегией ТО. Показано, что для определенных типов стратегий ТО, когда ремонт оборудования не зависит от условий, в которых находятся другие элементы системы, хорошие результаты могут быть получены, если исходить из предположения о независимости отказов элементов. Дана методика оценки характеристик системы в целом, основанная на предположении о статистической независимости отказов элементов системы. Предложена методика такой оценки для планируемых сроков текущих ремонтов сложных систем. [c.97]

Ход превращения смеси углеводородов можно представить как марковскую цепь. Это означает, что состояние системы в данный момент времени или, что то же, в данной точке по координате реактора полностью определяет вероятность ее состояния в следующий момент времени или следующей точке реактора. В соответствии со стохастической трактовкой кинетики химических реакций соотношение вероятностей взаимных превращений углеводородов идентично соотношению констант скорости этих превращений при равной структуре описывающих их уравнений. Тогда для решения поставленной задачи значения переходных вероятностей (вероятностей взаимных превращений углеводородов) должны описываться функцией от молекулярной массы в каждом классе углеводородов, а для машинных расчетов такая зависимость может быть дана в виде таблицы. [c.195]

При условии замкнутости система может переходить из одного состояния в другое только посредством упругих столкновений частиц. Поскольку мы не рассматриваем конфигурационное пространство, временное поведение системы не является детерминированным, последовательность переходов системы из одного состояния в другое — случайный процесс, а сами эти состояния образуют марковскую цепь. Вероятности переходов между различными состояниями не зависят от времени и полностью определяются набором скоростей всех частиц. Чтобы получить возможность описания макроскопических систем, нужно было бы положить N равным примерно числу Авогадро. Ввиду ограниченных возможностей современных ЭВМ воспользуемся несколько модифицированным методом периодических граничных условий. При описании системы набором скоростей всех частиц он сводится к разбиению бесконечной системы частиц на Л/групп таким образом, что скорости всех частиц в каждой группе близки по величине и направлению друг к другу. В каждой группе выделяется "типичная" частица и считается, что остальные частицы в группе ведут себя аналогично этой частице. Таким образом, если п — физическая концентрация частиц, величина л/Л/будет соответствовать концентрации каждой из N "типичных" частиц. Отметим, что частицы системы могут быть разного сорта — а, (3.....Т, но при [c.202]

Основу второй ступени иерархии (см. рис. 1-3) химического предприятия составляют производственные цеха и системы автоматического управления цехами. Цех — это взаимосвязанная совокупность отдельных типовых технологических процессов" и аппаратов, при взаимодействии которых возникают статистические распределенные по времени возмущения, т. е. существуют стохастические взаимосвязи между входными и выходными переменными подсистем. Для анализа функционирования подсистем второй ступени иерархии необходимо использовать статистико-вероятностные математические методы. Среди них широкое применение начинают получать сравнительно новые разделы математики, такие, как теория марковских цепей, теория графов, теория массового обслуживания и др. На этой ступени иерархии происходит статистическое обогащение информации, а при управлении подсистемами возникают задачи оптимизации и программирования для оптимальной координации работы аппаратов и оптимального распределения нагрузок между ними. [c.13]

Конечными марковскими цепями называют такие цепи, у которых множество возможных значений представляет собой конечное число N состояний. Они широко изучены, так как хотя н являются простейшими марковскими процессами, но обладают большинством характерных для них черт . Первая функция распределения вероятности Pi(y, t) является iV-компонентным вектором р Ц) (л=1, [c.95]

Это определение представляет собой компромисс. Некоторые авторы определяют марковские цепи только с помощью первого свойства, другие — только второго свойства. Большинство авторов не включают третье свойство в определение, но рассматривают только такие случаи. Ср. со сноской в [I, р. 340]. [c.95]

Математики вводят дискретное время, задавая конечный временный шаг Ы, и тем самым сводят процесс к марковской цепи с матрицей перехода =ехр (WA/). Тогда теоремы Перрона и Фробениуса, упомянутые в 4.5, дают полный ответ. Для физиков такой подход кажется довольно искусственным и к тому же переносит проблему на доказательство теорем Перрона — Фробениуса. [c.109]

Ограниченность аналогии макромолекулярной цепи со стохастической марковской цепью во времени проявляется и в самих основах статистики макромолекул. Ее принципиальные особенности были рассмотрены Лифшицем [49]. Макромолекула характеризуется наличием линейной памяти — звенья связаны г, единую цепь и расположены в ней последовательно. Поэтому звенья (частицы статистического ансамбля) принципиально различимы, каждое из них имеет свой номер в цепи и перестановка звеньев требует разрыва химических связей. Линейная память наличествует как в однородной, гомополимерной, цепи, так и в информационной цепи биополимера. Во втором случае память выражается наличием первичной структуры (см. стр. 73). [c.143]

Сама физическая сущность процесса сополимеризации указывает на возможность применения для описания его статистики аппарата марковских цепей. Цепью Маркова называется такая последовательность испытаний El, Е2,..., для которой вероятность совместного исхода нескольких испытаний определяется формулой [c.60]

Покажем теперь, как с помощью аппарата марковских цепей построить функцию мгновенного композиционного распределения продуктов сополимеризации [15, с. 229—236]. Так как в этом случае мы должны рассматривать цепь конечной длины, для которой надо учесть вероятности зарождения (инициирования) и обрыва, то для описания полной эволюции цепи надо построить матрицу иного вида, чем в случае бесконечной цепи. Это будет матрица вида [c.63]

Вообще говоря, распределение звеньев в сополимерах, полученных в результате макромолекулярных реакций, не является конечно марковским, так как химические акты не упорядочены вдоль какого-то направления в цепи в отличие от процесса сополимеризации. Однако независимость нахождения любых последовательностей по обе стороны от диады АА, характерная для продуктов полимераналогичных реакций (соотношение 1П.32), является свойством марковской цепи второго порядка, что дает основание для применения соответствующего марковского приближения. Отметим, что это свойство распространяется лишь на последовательности, разделенные двумя звеньями А. В случае, когда мы рассматриваем диады АВ, ВА и ВВ, уже не будет наблюдаться независимость нахождения некоторой последовательности по одну сторону от этой диады от природы звеньев, стоящих по другую сторону [32]. [c.88]

Эти авторы применили для описания статистики замещения марковский подход, считая, что вероятность замещения в (п-Ы)-ом звене не зависит от наличия заместителя в ( —1)-ом. Такое предположение означает приближение процесса марковской цепью первого порядка. [c.105]

По аналогии с вероятностью перехода на одном шаге я хщ I Хт х) можно ввести вероятность перехода на т — п) шагах я хт х ), ш п. Поскольку марковская цепь не имеет памяти, вероятность перехода из х в х равна сумме произведений вероятностей перехода я х I Х] ) я (Х] I Хт), взятой ПО всем состояниям х в какой-либо момент времени между tn и Так как переменная х, описывающая состояния системы, может принимать непрерывный ряд значений, суммирование означает в данном случае взятие интеграла по состояниям х и сформулированное нами утверждение может быть представлено уравнением [c.30]

За малый промежуток времени Д/, в дальнейшем называемый скачком, находившаяся в г-ой ячейке частица компонента А либо останется в ней либо перейдет в следующую по направлению потока ячейку (/+1). Величина должна быть такой, чтобы частица могла перейти в соседнюю ячейку, но не перескочить через нее в следующую. Для такой системы ее состояние в любой момент времени определяется толы о через последнее известное состояние, т. е. вероятность нахождения меченой частицы в ( -Ы)-й ячейке, если в предыдущий момент времени она находилась в ячейке г-ой, является функцией состояния только в (г + 1) и г-й ячейках и не зависит от поведения частицы в предыдущих ячейках. Это вытекает из основного свойства марковских цепей, для которых вероятность перехода системы в какое-либо состояние Хч в момент времени состоянии система находилась в момент и она не изменяется оттого, что становятся известными состояния ее в более ранние моменты времени. [c.90]

Процесс изменения состояний отделения, управляемых выводом электролизеров в ремонт, можно представить как управляемую марковскую цепь. Принципиальная возможность такого (представления связана с тем, что вероятность перехода отделения в очередное состояние зависит только от настоящего состояния и выбранного управления. [c.124]

Что может быть общего между капризами моды, работой водителя такси, проведением аварийно-спасательных работ, определением строения сложной молекулы или, скажем, ответом иа вопрос когда менять свой личный автомобиль Как это иа первый взгляд ни странно, в основе математического описания всех этих процессов лежат так называемые марковские цепи — одна из разновидностей случайных процессов. [c.2]

Вообще говоря, под математической цепью можно понимать любую последовательность чисел или других математических объектов (например, символов, векторов, множеств и т. д.), между которыми существует какая-то взаимосвязь. А. А. Марков под цепью понимал последовательность случайных чисел, вероятности появления которых взаимосвязаны. Точнее, вероятность значения каждого последующего числа связана с предыдущим. Таким образом, здесь, как и в механической цепи, есть звенья-чнс-ла и связь между ними, только она не механическая, а математическая— вероятностная. В дальнейшем такие математические цепи были названы в науке марковскими. Конечно, то, что сейчас было сказано, нуждается в уточнениях и разъяснениях. Это и будет сделано нами в дальнейшем. Но стоит ли в популярной форме рассказывать читателям о математических цепях Мы не случайно назвали их замечательными. Дело в том, что наряду с другими видами математических моделей (а марковские цепи — это тоже математическая модель), таких, например, как дифференциальные уравнения, нормальный закон распределения случайных величин и т. д., обладающих поразительной универсальностью и применяемых поэтому в самых различных областях науки и техники, марковские цепи занимают вполне достойное место. Они не только дают возможность математически моделировать самые разнообразные явления в природе и технике, но и послужили основой для создания новых наук теории надежности, теории массового обслуживания и др. Кроме того, марковские цепи дали начало новому большому разделу теории вероятностей — теории случайных процессов. Но есть и другие причины появления этой книги. [c.4]

Впервые вопрос о зависимых случайных величинах был поставлен в статье Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга , опубликованной в 1906 г. В ней А. А. Марков доказывает, что одно из важнейших положений теории вероятностей — предельная теорема Чебышева — справедливо и для зависимых случайных величин. Но это было только началом. В дальнейших своих работах выдающийся математик, по существу, закладывает основы теории марковских цепей. Так, им уже тогда были сформулированы понятия простых и сложных, однородных н неоднородных цепей, рассмотрены возможности их применения, например, в лингвистике. Читая труды А. А. Маркова, нельзя не восхищаться своеобразной красотой и даже изяществом их изложения. Четкость и лаконичность, строгость и выразительность, логичность и завершенность — таковы их характерные черты. В научных суждениях — объективность и принципиальность. Нельзя не привести здесь одну цитату из его статьи по теории вероятностей Теорема, которую доказывает Чебышев в упомянутом мемуаре, давно считается верной, но установлена она при помощи крайне нестрогих приемов. Я не говорю доказана, так как нестрогих доказательств не признаю, если не усматриваю возможности сделать их строгими . [c.11]

И действительно, даже знаменитый Н. Винер, сделавший огромный вклад в создание математической теории броуновского движения, сравнивал его с игрой в пушбол. В этой игре команды ударами рук пытаются загнать в ворота огромный мяч. Говорят, всякое сравнение хромает. Наше сравнение броуновского движения с траекторией полета шайбы в хоккее, возможно, хромает на обе ноги , потому что в броуновском движении молекулы беспорядочно толкают частицу в разные стороны. Когда в какой-то случайный момент окажется, что силы молекул игроков одной молекулярной команды совпадут и превысят сумму сил другой, то частица переместится в каком-то определенном направлении. Это, конечно, больше похоже на пушбол, чем на хоккей или футбол, где перемещение мяча или шайбы все-таки более осмысленно и целенаправленно. Но мы сейчас заговорили о хоккее и футболе (кстати, здесь может фигурировать любая коллективная игра с мячом) не для того, чтобы начать создавать их математическую модель. Просто на примерах, которые наглядны и понятны многим, легче продолжить наше знакомство с марковскими цепями. Правда, для этого нам потребуется предельно упростить реальную картину игры, [c.43]

После этих, несомненно, полезных, но, возможно, кажущихся скучноватыми определений вернемся к вопросу, заданному нашей продавщицей. Почему же все-таки книги оказываются на своих местах Что это — чистая случайность или какая-то закономерность, связанная с определенным типом марковской цепи Ответ на вопрос будет таким это свойство регулярных марковских цепей. [c.63]

Представим себе, что на орбите происходит сборка крупного космического объекта, состоящего из нескольких отдельных блоков. Очевидно, само событие космической стыковки может состояться лишь при условии выведения собираемых блоков на орбиту. Таким образом, вероятность этого события является условной, зависящей от результатов предшествующего испытания, заключающегося в запуске космических кораблей. Перед дальнейшим анализом процесса космической сборки с позиций теории марковских цепей сделаем одно небольшое отступление. [c.67]

При сборке космического объекта не из двух, а из большего числа блоков математическая модель принципиально не изменится. Возрастет только размерность матриц, усложнятся и вычисления. Таким образом, теория марковских цепей (да и вообще теория вероятностей) не только рекомендует на всякий случай иметь некоторые резервы, но даже указывает их величину. [c.70]

Мы все-таки рискнем привести такой пример, и вот почему во-первых, эта книга — не руководство к действию, а популярный рассказ о марковских цепях. Во-вторых, сейчас делаются попытки как-то приблизительно оценить вероятность будущего покупательского интереса (например, с помощью экспертов, изучения общественного мнения, анализа конъюнктуры, тенденций в развитии, успехов других предприятий и фирм и т. д.). В-третьих, получение приближенной информации на основе исходных данных, взятых в некотором реальном диапазоне, может помочь выбрать компромиссное решение. [c.74]

При анализе технологических процессов механической обработки станок, инструмент, деталь и приспособление, с помощью которого она закрепляется, часто рассматриваются как единая система станок — приспособление — инструмент — деталь . Так вот, в результате воздействия различных случайных (и неслучайных) факторов в такой системе будет происходить смена состояний, которая может описываться марковской цепью. [c.83]

Итак, марковские цепи помогли нам составить математическую модель для определения оптимальных режимов работы станка, но, конечно, в таком сложном организме, как современный завод, их возможности далеко не исчерпаны. [c.87]

Очевидно, что вероятности поступления или убытия заготовок и будут переходными вероятностями марковской цепи для состояний с разными номерами i=/=j. Исключение составляют лишь крайние состояния Ао — бункер пуст я Ак — бункер полон. Эти переходные вероятности определяются также на основании теорем алгебры событий. Так, состояние Ад наступит, если одновременно произойдут два события й(0) и й(— 1), то есть число заготовок в бункере было неизменно (и он был пуст) или имеющаяся в нем одна заготовка была извлечена роботом. Тогда переходная вероятность будет равна [c.99]

Величина и,(0) показывает, на сколько в среднем отличается доход, когда процесс заканчивается в том или ином состоянии. В теории марковских цепей и, 0) называют весом, так как разность У (0) — О2(0) при двух состояниях показывает средний выигрыш от того, в каком состоянии мы находимся в конце процесса (независимо от выбранной стратегии). [c.106]

Цепь конфигурации, отвечающую зависимости (XIII.91), получают путем задания определенных вероятностей перехода от одной конфигурации к другой. Вероятность pij перехода от i-й конфигурации к j-й считают зависящей от энергии этих конфигураций, точнее, от величины UJ — Ui)lkT pji = p j ехр [— (Uj—Ui) kT]. Вводят, таким образом, условные вероятности перехода вероятность данного события, состоящего в появлении конфигурации /, зависит от того, каким было предыдущее событие. Последовательность случайных событий, в которой вероятность определенного события зависит от исхода предыдущего испытания, называют цепью Марша (точнее, простой цепью Маркова в более сложных случаях марковских цепей на исход испытания влияют результаты нескольких предшествующих испытаний). С помощью теории марковских цепей Можно показать, что предельная зависимость (XIII.91) для частоты появления конфигураций с заданной энер- [c.390]

Наличие зависимости каждого слагаемого минимизируемой суммы от Xk-i не вносит существенных осложнений, так как этот случай сводится к предыдущему с помощью преобразования двухсвязной марковской цепи в односвязную за счет повышения размерности фазового пространства (замена одномерного управляющего параметра Xj на двухмерный параметр Xj. Л3-1). Это приводит к некоторому усложнению системы функциональных уравнений Беллмана , которые для данной задачи будут иметь вид [c.203]

Теоретическое рассмотрение многокомпонентных систем можно найти в работах Френсдорфа [17], Хиджманса [18], Пеллера [19]. Мы не будем рассматривать здесь эти системы, так как предметом настоящей монографии являются макромолекулярные реакции, и весь изложенный выше материал, относящийся к сополимеризации, был дан лишь для проведения возможной аналогии при теоретическом расчете строения цепи продуктов обоих процессов. Очевидно, что в первую очередь такая аналогия возможна для продуктов сополимеризации двух мономеров (в продуктах макромолекулярных реакций тоже содержатся звенья двух типов — прореагировавшие и непрореагировавшие). Вопрос о применимости аппарата марковских цепей к описанию реакций макромолекул будет рассмотрен в следующей главе. [c.67]

Выражение (111.69) представляет собой систему из четырех уравнений, решение которой дает выражение для одномарковских переходных вероятностей через параметры и ц (или f, ц и V). Так как полимерная цепь рассматривается в этом случае как марковская цепь первого порядка, то для расчета композиционной неоднородности можно воспользоваться уравнениями, выведенными во II главе для продуктов сополимеризации по концевой модели. [c.107]

Действительно, трудно связать солнечную активность с таким феноменом цикличность колебаний многолетнего стока Волги сильно изменяется после ее слияния с Камой. В научных дискуссиям гидрологов часто рассматривают такой вопрос многолетние колебания стока рек - это простая марковская цепь (колебания - стационарный случайный процесс) или эти колебания содержат циклические компоненты Автору очевидно, что решить этот вопрос, основываясь только на статистических данных невозможно. Необходим отказ от традиционных представлений о многолетних колебаниях речного стока как абстрактно вероятностном, признание его физической основы будет способствовать поиску радикального пути решения данного вопроса [Дружинин и др., 1991]. В области климатологии также до сих пор не установлены физические механизмы возникновения цикличности гидрометеорологических процессов. В работах [Найденов, 1992 Найденов, Юшманова, 1996 Найденов, Кожевникова, Крутова, 1995] описан тепловой механизм испарения с поверхности суши, который позволяет подойти к решению этой интересной проблемы. [c.159]

В большинстве случаев переход аппарата из одного состояния в другое может быть описан марковской цепью. Если такое условие выполняется, то может быть построена марковская цепь для всего отделения, в котором установлены аппараты. Так как состоянием отделения управляют посредством вывода в ремонт отдельных аппаратов и при этом предприятие получает доход или терпит убытки, то задача оптимизации вывода в ремонт однотипного оборудования, работающего в большой серии, сводится к нахождению олтимальной стратегии для некоторой УМЦ. Задачей такого вида является определение оптимальных сроков ремонтов электролизеров цеха электролиза хлорного производства. Действительно, в таком цехе одновременно работают несколько сотен диафрагменных электролизеров с относительно небольшим межремонтным пробегом единичного электролизера и значительными расходами на ремонт. [c.123]

Итак, еще одна научно-популярная книга по математике Всякий, кто когда-либо пытался написать такую книгу, поймет муки авторов. Ведь существует много разных точек зрения. Одни считают, например, дурным тоном шэнменять какие-либо формулы и сложные подробности. Другие придерживаются противоположной точки зрения. Авторы занимают в этом вопросе компромиссную позицию. Более всего нам, например, импонирует стиль книги Дж. Вильямса Совершенный стратег , с помощью которой можно получить первоначальные сведения по теории игр. Примерно такую же цель, только по отношению к теории марковских цепей, преследовали и мы. Насколько это удачно получилось, судить читателю. [c.5]

И... оказывается, что уже на втором шаге в матрице нет элементов, равных нулю Это значит, что после второго шага мы можем попасть в любое состояние Такое множество состояний, внутри которого возможны любые переходы, но из которого нельзя выйти, называется эргодн-ческим. Марковская цепь, состояния которой образуют эргодическое множество, относится к классу эргодических цепей. [c.63]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология