Волны и волновые уравнения

Э. Шредингер волновое уравнение (XX.2) распространил на волны материи . [c.427]

В. Гейзенберг) изучает движение и энергетическое состояние микрочастиц. Она позволила по-новому взглянуть на строение атома. Согласно квантовомеханической теории электрон в атоме обладает двойственной природой ему приписываются свойства как частиц, так и волны. Волновое же движение электрона в атоме может быть выражено волновым уравнением, выведенным Э. Шредингером (1926) [c.12]

Сравнивая выражения для Сг и С2 в (2.179) с уравнениями характеристик (2.178) системы (2.176), нетрудно установить, что скорости волн с I VI с2 являются линеаризованными вариантами характеристических скоростей. В монографии Уоллиса [94] эти волны называются динамическими. Сопоставляя уравнение движения частиц в (2.177) и выражения для скоростей волн с, и в (2.179), нетрудно заметить, что эти волны, так же как и звуковые волны в газах, определяются взаимодействием инерции и квазиупругой силы сопротивления сжатию (растяжению), которая в данном случае возникает в связи с существованием дополнительного диффузионного потока частиц. С другой стороны, при мы получаем волновое уравнение [c.142]

Исключение всех решений уравнения, кроме тех, которые оставляют неподвижными концы струны. Это ограничение на допустимые решения волнового уравнения называется граничными условиями. На рис. 8-15, а показаны решения, удовлетворяющие граничным условиям о неподвижности концов струны на рис. 8-15,6 показаны решения, не удовлетворяющие таким условиям. Допустимы только те колебания струны, для которых длина волны определяется соотношением Х = 2а/п, т. е. v = п/2а, где п = 1, [c.361]

Уравнение Шредингера. Вычисления в квантовой механике основываются на уравнении Шредингера подобно тому, как в классической механике в основу расчетов положены законы Ньютона. Уравнение Шредингера является волновым уравнением, аналогичным уравнениям, описывающим звуковые и электромагнитные волны. Волновые уравнения — это уравнения в частных производных второго порядка, а независимыми переменными являются координаты и время. Решения волнового уравнения для звуковых волн представляют собой давление как функцию координат и времени. Решения волнового уравнения для электромагнитных волн представляют собой напряженности электрического и магнитного полей как функции координат и, времени. Решения уравнения Шредингера дают волновые функции ф, которые имеют более абстрактный физический смысл, чем давление или напряженность [c.491]

Для гармонической волны волновое уравнение (1.11) для потенциала скоростей переходит в так называемое уравнение Гельмгольца, которое для радиально-симметричной задачи принимает форму [c.305]

Таким образом, мы видим, что за квантование длин волн колебаний струны ответственно не само волновое уравнение, а граничные условия колебаний. [c.361]

Теперь рассмотрим отдельный электрон, не испытывающий каких-либо сил со стороны других тел и свободно двигающийся со скоростью V. Используем квантовые представления, в соответствии с которыми он должен обладать волновыми свойствами и длиной волны, удовлетворяющей уравнению (1.2). Подставив уравнение (1.2) в уравнение (1.7), получим [c.11]

Уравнения (1.16) и (1.17) имеют вид волновых уравнений, подобных уравнению (1.6). Из них следует, что вектор и в твердом теле распадается на две волны, распространяющиеся с разными скоростями. [c.20]

Волны в слоях и пластинах. Если твердое тело имеет две свободные поверхности (пластина), то в нем могут существовать специфические типы упругих волн [1, 2]. Их называют волнами в пластинах или волнами Лэмба и относят к нормальным волнам, т. е. волнам, бегущим (переносящим энергию) вдоль пластины, слоя или стержня, и стоячим (не переносящим энергии) в перпендикулярном направлении. Решение волнового уравнения для пластины с граничными условиями равенства нулю напряжений на двух поверхностях приводит к системе из двух характеристических уравнений для волнового числа кр. Она имеет два или больше положительных действительных корня в зависимости от произведения толщины пластины на частоту. Каждому из этих корней соответствует определенный тип волны в пластине (мода). [c.25]

Волновое уравнение для плоской упругой волны вдоль оси х имеет вид [c.250]

Волновая функция является функцией пространственных координат и времени. Чаще всего нас будет интересовать уравнение стоячих волн. Это значит, что оно не должно содержать времени как переменной. Волновое уравнение, зависящее от времени, применяют при рассмотрении излучения-, в проблемах же, касающихся энергии электронной системы, используют уравнение,не зависящее от времени. [c.49]

Подставляя А, = с/ (с — скорость света), получаем волновое уравнение для плоской световой волны [c.9]

Последующие преобразования основываются на предположениях, что распространение волн де Бройля описывается аналогичным уравнением и что эти волны являются стационарными и сферическими. Сначала представим, что по уравнению (И.5) изменяется значение новой функции от координат (х, у, г), имеющей смысл амплитуды некоторого колебательного процесса. Тогда, заменяя на получим волновое уравнение в форме [c.9]

С концепцией де Бройля Шредингер познакомился благодаря статье А. Эйнштейна о квантовой теории газов (1925 г.). Можно полагать, — писал Эйнштейн,—что каждому движению соответствует волновое поле... Это волновое поле — пока еще неизвестной физической природы — в принципе должно оказывать свое влияние на движение... Думаю, что речь здесь идет не только о простой аналогии . Под влиянием этой статьи Эйнштейна Шредингер пишет летом 1925 г., т. е. всего за полгода до открытия своего волнового уравнения, работу К эйнштейновской теории-газа , которую заканчивает такими словами ...Все это означает ничто иное, как принятие всерьез волновой теории де Бройля — Эйнштейна движущихся частиц, согласно которой эти частицы представляются в виде некоторых пенных гребней (ЗсЬаиткатш) на фоне образующих их волн излучения . - [c.29]

Рассмотрим распространение волны вдоль координаты х. Пусть величина ij периодически изменяется только в зависимости ог этой координаты. Тогда можно написать известное волновое уравнение, которое справедливо независимо от природы колеблющейся величины [c.34]

Сразу видно, что символ д /дх является оператором, который, действуя на функцию г)), дает эту же функцию, умноженную на —4я л , Примем в качестве постулата, что волновое уравнение верно и для волн де Бройля, т. е. предположим, что между длиной волны X и импульсом частицы (электрона, фотона, протона и т. д.) существует зависимость [c.34]

При решении волнового уравнения получается, что в некоторых областях пространства г) положительна, а в других отрицательна (как амплитуда волны), поэтому вероятность нахождения электрона в пространстве и характеризуют квадратом этой функции, поскольку вероятность не может быть отрицательной величиной (а может изменяться от О до I). Помня о физическом смысле функции гр, нетрудно понять, что она должна быть однозначной, конечной и непрерывной во всем пространстве гр равна нулю там, где электрон не может находиться. [c.30]

Поведение микрочастиц описывается волновым уравнением Э. Шредингера (1927), являющимся математической записью основного закона их движения. При его выводе используют уравнение электромагнитной волны [c.38]

Австрийский физик Э. Шредингер в 1926 г. в уравнении стоячей волны подставил вместо длины волны ее значение из уравнения де Бройля (П.2) и получил волновое уравнение Шредингера [c.32]

Электронные волны могут распространяться в любых плоскостях, и поэтому их амплитуда является функцией трех координат 1 (дг, (/, 2). Эту функцию принято называть волновой функцией. Шре-дингер вывел уравнение, которое связывает энергию электронной системы с волновой функцией. Волновое уравнение Шредингера для [c.54]

Точно так же электрон не является ни частицей, ни волной в обычном понимании. Во многих отношениях поведение электрона напоминает поведение малых частиц, обладающих массой т и электрическим зарядом — в. Но электроны отличаются от обычных частиц, подобных шарику подшипника, поскольку электроны ведут себя так, как будто они имеют волновую природу и характеризуются длиной волны, даваемой уравнением де Бройля. Электрон, так же как и фотон, следует описывать, характеризуя его и как частицу, и как волну. [c.72]

В котором скорость распространения волн равна замороженной скорости звука. С другой стороны, при очень быстрых реакциях (т -> 0) скорость V удовлетворяет волновому уравнению [c.129]

Уравнение (2.179) представляет собой волновое уравнение, которое описьшает ситуацию, когда в системе могут существовать волны различных порядков. Это уравнение подробно исследовано Уиземом [173]. Волны второго порядка со скоростями и С2 описываются факторизованным оператором в (2.179). Действительно, если бы и членами первого порядка можно было пренебречь, то решение уравнения (2.179) [c.142]

При малых зиачениях относительной скорости t , когда борновское приближение неприменимо, может быть применен метод искаженных волн. Сущность этого метода состоит б следующем. R отличие от метода Борна, в котором электрон рассматривается как свободно длижущаяся частица, в методе искаженных волн в волновые уравнения вг.одится средняя энергия атомного поля, в котором находится электрон до его столкновения с атомом и после столкновения. [c.176]

Многие волновые уравнения доп> скают решения в виде плоской или монохроматической волны и=Аехр (<к,х>-ш1) , к, х е Р". При этом, частота а и волновой вектор к не произвольны, а связаны некоторым соотношением, обычно называемым дисперсионньш. Однако большая часть решений не допускает выражения через такие элементарные функции и поэтому имеет смысл искать решения не такого вида, а близкие к ним, при этом мерой близости является некий малый параметр О < 1, входящий в математическую модель. Решения, которые удается построить, носят асимптотический характер. Они представляют собой (в простейшей ситуации) ряды по мало.му параметру, и близость к точному решению понимается как матость невязки, получаемой при подстановке такого представления в исходную задачу. [c.200]

В основу модели атома Шрёдингер положил математическое описание стоячей волны, включив в него соотношение де-Бройля. Такой метод дает стационарный характер движения электрона в пространстве, удовлетворяя требованиям принципа неопределенности. Решение получающегося уравнения оказывается возможным не при всех значениях энергии Е, а лишь при некоторых, называемых собственными значениями энергии. Соответствующие им функции г) называются собственными функциями. Иногда для одного собственного значения имеется т различных собственных функций. Тогда говорят, что данный уровень энергии т-кратно вырожден. Дискретный характер собственных значений энергии правильно отражает квантовые свойства микросистем, являясь естественным результатом решения волнового уравнения. Ранее это важнейшее положение было введено в теорию Бора как постулат. [c.164]

Волновой процесс характеризуется параметрами длиной волны X, ее амплитудой а (рис. 158) и скоростью распространения и. Одномерную волну описывает уравнение у = а sin (2n X)x. Значение у, определяющее отклонение колеблющейся величины от нуля, называют смещением, 2пх1к — фазой колебания. [c.289]

Ранее было сказано, что электрон ведет себя как волна, и теперь описывать его движение следует волновым уравнением. Обычно математически волновое движение выражается дифференциальным уравнением второго порядка. Например, передача колебания Бдоль натянутой струны может быть выражена уравнением [c.44]

Несмотря на то что мы пока не решили, каким образом выразить волновой характер электрона, но тем не менее уверены в том, что это должно быть сделано с помощью волнового уравнения. Это делает необходимым использование волновой функции для описания свойств электрона. Для известных форм волнового движения можно дать вполне разумную и полезную физическую интерпретацию волновой функции. Однако какой смысл будет иметь волновая функция частицы, сказать не так легко. Эрвин Шредингер блестяще продемонстрировал возможности волновой механики в этом направлении еще до того, как появилось приемлемое толкование волновой функции. Сейчас может показаться, что волновая функция имеет только математический смысл и никакой физической интерпретации в действительности и не требуется. Это как будто бы подтверждается наличием умозрительных трудностей, связанных с дуализмом волна — частица. Такая точка зрения должна в особенности импонировать тем, кто любую попытку дать физическое описание всем природным процессам считает помехой для развития науки. Однако, безусловно, следует ноддер- [c.45]

При попадании света на любую молекулу в прозрачной среде скорость его прохождения через среду уменьшается из-за взаимодействия с молекулой. В большом масштабе это явление ответственно за преломление света, причем уменьшение скорости пропорционально показателю преломления среды. Степень взаимодействия зависит от поляризуемости молекулы. Плоскополя-ризованный свет можно рассматривать как состоящий из двух видов циркулярно поляризованного света. Последний имеет (или должен иметь, если рассмотреть его как волну) вид спирали, закрученной вокруг оси движения света, причем одна спираль левая, а другая правая. До тех пор пока плоскополяри-зованный свет проходит через симметричную среду, две циркулярно поляризованные составляющие имеют одинаковую скорость. Однако хиральная молекула проявляет различную полярность в зависимости от того, с какой стороны на нее падает свет, с левой или с правой. Одна циркулярно поляризованная составляющая света подходит к молекуле, скажем, слева и встречает иную поляризуемость, чем справа, поэтому замедление происходит в разной степени (в крупных масштабах это выражается в разных показателях преломления). Это означает, что левая и правая составляющие циркулярно поляризованного света должны иметь различную скорость прохождения через среду. Однако две составляющие одного пучка света не могут двигаться с разной скоростью, поэтому в действительности более быстрая составляющая тянет другую к себе, что приводит к вращению плоскости. Такое явление можно описать математическим выражением и в принципе можно рассчитать величину и знак вращения для любой молекулы (что служит еще одним способом определения абсолютной конфигурации). При этом необходимо использовать волновое уравнение и помнить его ограничения, рассмотренные в гл. 1. Практически величина и знак вращения были рассчитаны лишь для нескольких молекул, причем правильных результатов было не меньше, чем ошибочных. На основании данных о рефракции связей и поляризуемости групп были разработаны эмпирические методы прогнозирования величины и знака вращения [60]. Во многих случаях эти методы дают вполне удовлетворительные результаты. [c.151]

Будем считать, что волновое уравнение (И.7) описывает движение частицы. Тогда % — длина фазовой волны, а — амплитуда фазовой волны в любоц произвольно взятой точке X, у, г, характеризующей местоположение частицы (например, положение электрона относительно ядра атома). Длину и амплитуду фазовой волны можно связать с массой и энергией частицы. Если частица движется в потенциальном поле, [c.9]

Законы движения микрочастиц в квантовой механике существенно отличаются от классических. С одной стороны, они ведут себя (например, при столкновениях) как частицы, обладающие неделимыми зарядами и массой, с другой — как волны, обладающие определенной частотой (длиной волны) и характеризующиеся волновой функцией а1з — свойством, отрал<ающим волнообразно распространяющееся возмущение, причем устойчивое движение электрона в атоме, как показал Шредингер (1926), описывается при помощи указанной волновой функции 1)7, являющейся регне-нием волнового уравнения особого типа — уравнения Шредингера. Это уравнение получается в результате подстановки в уравнение сферической волны, описывающее периодическое изменение по закону гармонических колебаний в трехмерном пространстве, длины волны из уравнения де Бройля. Такой подход основан на постулате квантовой механики, согласно которому уравнение сферической волны описывает распространение волн де Бройля. [c.47]

Так как электрон обладает волновыми свойствами, его движение можно описать волновым уравнением, подобно тому, как описывают световые и звуковые волны, колебания струны. Такое уравнение было предложено р 1926 г. австрийским ученым Эрвином Шрёдингером и носит его имя. [c.29]

Волновая механика базируется на фундаментальном принципе, согласно которому электроны ведут себя как волны (например, известна дифракция электронов), и, следовательно, для них можно записать волновое уравнение, точно так же как волновыми уравнениями можно описать световые, звуковые и другие волны. Уравнение, которое служит математической моделью электронов, известно как уравнение Шрёдингера для одноэлектронной системы оно имеет вид [c.15]

Однако идея де Бройля послужила только началом создания квантовой механики. Она рассматривала поведение микрообъекта, свободного от силового поля. В действительности же материальные частицы, например электроны, всегда находятся в поле действия определенных сил. С этой точки зрения электроны в атоме движутся в центрально-симметричном поле, для которого потенциальная энергия зависит только от расстояния до ядра. Законы движения в поле центральных сил образуют основу атомной механики решение общей задачи о движении электронов в атоме опирается на результаты, относящиеся к движению одной частицы в поле центральных сил. На основе гипотезы де Бройля австрийский ученый Шрёдингер (1925—1926) интуитивно использовал волновое уравнение классической механики в качестве модели для описания поведения электрона в атоме. Из учения о колебаниях и волнах известно, что распространение волны вдоль координатной оси х (рис. [c.37]

Выражения (III.19) и (111.20) есть волновые уравнения Шрё-дингера для стационарного состояния, когда энергия системы не зависит от времени. В большинстве случаев задачи сводятся именно к нахождению стационарных состояний. Уравнения (III.19) и (III.20) не выводятся из более обших законов, а являются следствием эмпирического выбора уравнения стоячей волны в качестве модели для описания поведения электрона в атоме с учетом волны де Бройля. Правомерность такого вывода уравнения Шрёдингера доказывается тем, что его решение приводит к значениям энер-1ИН Е, точно соответствующим опытным данным из атомных спект- ров. [c.39]

Шрёдикгер (1925 — 1926) интуитивно использовал волновое уравнение классической механики в качестве модели для описания поведения электрона в атоме. Из учения о колебаниях и волнах известно, что распространение волны вдоль координатной оси X (рис. 10) описывается дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка [c.28]

Волновой характер движущихся электронов был с несомненностью установлен работами американского физика К- Дж. Девиссона (1881— 1958) и английского физика Дж. П. Томсона (род. в 1892 г.). Эти исследователи обнаружили, что электроны, рассеиваемые кристаллами, дают дифракционную картину, подобную той, которую дают рассеиваемые кристаллами рентгеновские лучи, и, более того, такая дифракционная картина соответствует длине волны, даваемой уравнением де Бройля. [c.71]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология