Решение в виде ряда

Предложены два пути решения задачи на примере трехслойных прямых ребер прямоугольного сечения, бесконечной и конечной длины точный численный метод с получением решения в виде рядов и приближенный аналитический метод, полученный при различных допущениях. [c.217]

Решение в виде ряда получается разложением О в ряд Фурье по косинусам [c.515]

Считается, что тепловой контакт жидкости с цилиндром на его внешней поверхности является идеальным, а коэффи-циент теплопроводности материала цилиндра бесконечно велик. Предполагается, что цилиндр внезапно нагревается при помощи внутреннего тепловыделения с постоянной плотностью теплового потока на единицу длины д. Используя преобразование Лапласа, можно получить два решения в виде рядов, (7.3.1) и [c.464]

Ищем решение в виде ряда [c.83]

Если мы ищем интегральную кривую уравнения у = /(л, у), проходящую через точку (а, Ь), то следует искать решение в виде ряда Тейлора, расположенного по степеням х — а [c.271]

Прн получении решения в виде ряда, естественно, возникают вопросы, связанные со сходимостью полученного ряда. Мы не можем здесь касаться этих вопросов. Отметим лишь, что даже не всякое линейное уравнение можно решить этим методом. [c.272]

Решение в виде ряда [c.254]

Как было показано в 47, метод теории возмущений состоит в разбиении оператора Гамильтона физической системы на две части — одна из которых (Яо) соответствует упрощенной (невозмущенной) системе, а вторая рассматривается как возмущение. Если во второй части выделить малый числовой множитель Я, то метод теории-возмущений позволяет получить решение в виде ряда по степеням 7 . Если этот ряд сходится, го задача может быть решена с любой желаемой точностью. До- [c.214]

Точное решение уравнений (6.18) может быть получено лишь численно [200]. Это графически показано на рис. 6.4. Кроме того, используя теорию возмущений, можно получить приближенное решение в виде рядов по степеням параметров [c.101]

Другую форму решения в виде ряда можно получить, разлагая функции е" / (х) и е щ ( ) в бесконечные ряды по полиномам Эрмита. Возможно также, наконец, скомбинировать первый член выражения [64] с разложением по полиномам Эрмита. [c.292]

Это — нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его непосредственное аналитическое решение затруднительно. Будем искать решение в виде ряда но степеням величины (б АГо) , имея в виду, что интересующий нас эффект выявляется при малых i. В нулевом приближении получим [c.236]

В работе [9] для случая / = 0 получено решение в виде ряда для р12(> ) г оценена толщина интерфазы, которая по [9] равна 6= 1,2-.10— см (ср. с оценкой (15)). [c.148]

Интегрирование выражения (305) при помощи ряда приводит к данному Богуславским решению в виде ряда [c.290]

Для математической записи сформулированного условия рассмотрим представление решения в виде ряда [108 [c.302]

Поскольку второе уравнение является нелинейным, будем искать его решение в виде ряда [c.102]

Интегрирование уравнения (6.29) при граничных условия.х (6.30) дает решение в виде ряда для безразмерной температуры [c.176]

В дополнение к решению в виде ряда Фурье (4.47) для вынужденных колебаний также возможно получить замкнутую форму решения. Эта форма понадобится в 4.6, поэтому рассмотрим сейчас член, описывающий вынуждающую силу Р Щ, который будет позднее использован [c.159]

Итак, решение в виде ряда Фурье является решением задачи с определенными начальными условиями. К нему можно прибавить собственные колебания и удовлетворить таким образом любым начальным условиям. [c.201]

Рассмотрение вынужденных колебаний с помощью интегральных уравнений приводит к решению в виде ряда. Это иногда удобно, но недостаточно наглядно. Иногда желательно получить решение в замкнутом виде. Покажем, что дифференциальное уравнение приводит к решению такого вида. [c.494]

В точном решении в виде ряда по СЗ и СФ члены, содержащие ц , цз, исчезают из-за малости временных факторов. Данная стадия релаксации может быть настолько длительной, что на эксперименте достижение состояния равновесия не происходит, поэтому ниже она называется также метастабильной. В этом разделе будут найдены формулы, определяющие первые СЗ и средние значения произвольной физической величины F(x) на метастабильной стадии релаксации. [c.32]

Решая это уравнение итерациями, представим решение в виде ряда по производным параметра Фо [c.49]

В отличие от предыдущего построения здесь хо полагается некоторым неизвестным параметром, зависящим от времени. Параметр хо характеризует заселенность основного состояния. Уравнение (1.106) также решается итерациями, приводящими к представлению решения в виде ряда по временным производным хо или в виде ряда по степеням оператора Е [c.68]

Из-за СЛОЖНОГО характера энергетического спектра здесь невозможно получить компактные формулы на коэффициенты решения в виде ряда по производным заселенности основного состояния. Однако, не составляет труда найти для них рекуррентные формулы, из которых они полностью определяются. Как мы знаем, на асимптотической по времени стадии релаксации функция распределения имеет вид [c.127]

С помощью (6.50) получаем решение в виде ряда по временным производным параметра 1о. В первом приближении имеем [c.251]

Ко второй группе следует отнестн методы более общего, характера, связанные с представлением решения в виде рядов или ин- [c.253]

В работе [92] описан анализ течений в факеле над линейным и осесимметричным источниками с использованием автомодельной переменной в форме, первоначально предложенной Прандтлем. Приведены результаты численных решений совместных неразделяющихся уравнений для Рг =0,7. В статье [119] найдено преобразование, допускающее решения в замкнутой форме для распределений температуры и скорости в потоке над ли нейным источником тепла при числах Прандтля 5/9 и 2. В работе [82] выполнены измерения распределений скорости и температуры над линейно расположенными небольшими газовым пламенами, предназначенными для моделирования линейного источника тепла Севрук [94] получил решение в виде степенных рядов. В статье [16] рассмотрены уравнения пограничного слоя для газового факела в предположении, что вязкость п теплопроводность прямо пропорциональны абсолютной температуре. Использовано стандартное преобразование, и для числа Прандтля 5/9 найдено решение в виде ряда. После соответствующего [c.107]

Для тел конечного размера операторный метод дает в явном виде только операторную формулу (выражение для изображения). Но из этой формулы можно получать решения в виде рядов, хорошо сходяш,ихся в различных предельных случаях. Рассмотрим в качестве примера бескоцечнзгю плоскопараллельную пластину с начальной равномерной концентрацией Со. Для функции [c.135]

Из приведенных зависимостей следует, что, хотя. выражения, которые описывают необратимые электродные процессы в условиях сферической диффузии в хроновольтамперометрии, сложны, все же кинетические параметры электродного процесса могут быть определены на основе одной экспериментальной кривой. Из-за указанной сложности зависимости (6.96) некоторые исследователи пытались представить уравнение тока в более аналитической форме. Рейнмут [12] сообщил о получении решения в виде ряда, который сходится в области потенциалов образования кривой. Однако это решение не позволило упростить порядок действий при теоретической обработке хроновольтамперометрических кривых необратимых процессов. Поэтому Никольсон и Шейн [И] рассчитали теоретически большое число кривых ток — потенциал на их основе были рассчитаны разности между токами, которые наблюдались бы в идентичных условиях на сферическом электроде и плоском электроде той же площади. [c.229]

Определение y t) из сложного нелинейного интегродифферен-циального уравнения (4.18) в замкнутом виде невозможно. Поэтому мы будем искать решение в виде ряда по степеням со. Заметим, что получение точного значения у 1) для непосредственного сравнения с данными опытов вряд ли целесообразно, так как в исходных допуш ениях, например, о независимости теплофизических характеристик материала от температуры, об отсутствии переохлаждения и т. д., уже кроется источник ошибок и поэтому весь расчет только приближенно отражает истинное положение веш,ей. [c.90]

Нас прежде всего интересуют решения для малых значений числа Прандтля. Ликоудис решил эту задачу как аналитически, так и численно для чисел Прандтля 0,01 Рг<0,73. Результаты его расчетов на вычислительной машине приведены на рис. 3. По его данным при увеличении магнитного поля средний коэффициент теплоотдачи, так же как и скорость конвекции, уменьшается значительно слабее. Особенно сильно это различие заметно при малых значениях числа Прандтля и Л <1 в области, в которой решение в виде ряда 1[Л. 31 наиболее оправдано. Спэрроу выполнил сравнение локальных значений чисел Нуссельта, Ми(х), этих двух решений при условии, что величины магнитных полей в рассматриваемом месте одинаковы в обеих задачах. Он провел сравнение имевшихся в его распоряжении данных для Рг = =0,72 и получил хорошее совпадение местных значений теплоотдачи для всех значений параметра АХ вплоть до единицы. Для больших значений АХ в случае постоянного поля получаются меньшие значения коэффициентов теплоотдачи. Это отклонение он объясняет либо влиянием предыстории потока, либо ошибкой, связанной с аппроксимацией ряда. Судя по рис. 3, это отклонение, вероятнее всего, связано с предысторией потока, роль которой возрастает при уменьшении числа Прандтля, т. е. по мере того, как уменьшается термическое сопротивление пограничного слоя. Физически эта разница может объясняться тем, что сильное магнитное поле оказывает незначительное влияние на теплоотдачу на нижней части пластины, где скорости течения очень малы. По мере движения вверх по пластине скорости увеличиваются, но напряженность магнитного поля падает ниже постоянного значения, принятого Спэрроу в рассматриваемом сечении, и пондеромоторные силы оказываются меньше, чем для случая постоянного ноля. Поэтому перед рассматриваемым сечением теплоотдача для автомодельной задачи выше, чем для случая постоянного магнитного поля, а следовательно, и суммарная теплоотдача будет большей. [c.26]

Уравнение (25-15) было впервые получено Боэдером . Решение в общей форме не может быть получено, но Боэдер дал решение в виде ряда, приложимое к небольшим значениям отношений р/0. Его результат имеет вид [c.500]

Замечание. Соотношение (8) можно использовать для построения решения задачи (5) вблизи границы а = 0. Зная температуру поверхности и ее градиент из (8), мы можем с помошью исходного уравнения (5) найти все последовательные производные от температуры по координате х, а следовательно, построить решение в виде ряда Тейлора по степеням х. [c.7]

Этот вывод взят из работы Дэвидсона и Куллена [18], которые отмечают, что при кратковременном контакте фаз простое уравнение теории проницания [уравнение (3.34)] может быть использовано вместо более сложного решения в виде ряда для течения с параболическим распределением скорости в пленке. Для выполнения такой процедуры величину (дс1др)р получают дифференцированием уравнения [c.105]

Представляет интерес рассмотреть решения для низких значений критерия Прандтля. Ликудис получил аналитическое и численное решение для теплоотдачи при 0,01 < Рг < 0,73 (см. рис. 3). Оказывается, что при переменном магнитном поле интенсивность теплообмена не снижается так существенно, как при постоянном поле. В особенности это относится к области низких значений критерия Прандтля и Л < 1, т. е. как раз к той области, где решение в виде ряда [31 ] обладает наибольшей точностью. [c.285]

Краевая задача (41) называется задачей Трикоми (для уравнения Чаплыгина (22.47)). В послевоенных работах Ф. И.Франкля и его последователей эта задача получила исчерпывающее решение, причем оказалось, что для нее, как и для задач об истечении дозвуковых струй, эффективен метод Фурье (разделение переменных с последующим представлением решения в виде рядов по частным решениям). Напротив, задача (39) при < ц, принадлежащая к классу так называемых обобщенных задач Трикоми, оказывается очень трудной, хотя и решалась приближе1п10 численными методами рядом авторов. Здесь необходимы дальнейшие аналитические исследования. В частности, представляет большой интерес асимптотическое поведение трансзвукового течения, когда щ г со стороны > с. [c.306]

В то же время нри решении прямой задачи для области А В АВ на поверхности АВ (рис. 1.5), расположенной в сверхзвуковой области, не требуется постановки каких-либо граничных условий. Единствешюсть решения краевой задачи в области А В АВ для нелинейных уравпений газовой динамики до настоящего времени в общем случае не доказана, хотя и получен ряд численных решений. Лишь для случая сверхзвукового истечения струи из плоского отверстия, когда задача сводится к задаче Трикоми, имеется доказательство единственности и получено аналитическое решение в виде рядов [208]. Решение прямой задачи в области А В АВ существует лишь при критическое значение расхода % тем меньше, чем меньше радиус кривизны контура в минимальном сечении. В работе [209] содержится попытка доказательства неединственности значения для сопла заданной формы. При этом в окрестности минимального сечения поток должен переходить через скорость звука. Характер течения должен определяться его предысторией и зависеть от того, каким образом установилось критическое значение расхода. Строгого доказательства эта идея не получила. В то же время показана (при решении прямой задачи в вариациях) единственность критического расхода при работе сопла в расчетном режиме [174, 209]. Идея о неединственности критического расхода, особенно в случае течения газа с неравновесными физико-химическими превращениями, представляется весьма правдоподобной. [c.37]

Постановка обратной задачи теории сопла и уравнения приведены в работах [143, 145, 149, 150]. Обратная задача сводится лг задаче Коши, решение которой можпо получить в врзде рядов. Способы представления решения в виде рядов могут быть различными разложения в ряд по степеням декартовых координат [252, 263], по отрицательным степеням радиуса кривизны минимального сечения [240, 260], по степеням функции тока [39]. Отличительной особенностью перечисленных работ является то, что разложение в ряд производится только в трансзвуковой области. В работах [140, 145] решение отыскивается в виде ряда по степеням функции тока в окрестности начальной поверхности для до-, транс- и сверхзвуковой областей течения. Решение, полученное в работе [145] для прострапственпого течения, является наиболее общим. [c.118]

При необходимости, отыскивая решения в виде ряда по степеням малого отношения W/a, молено определить и дальнейшие уточнения. Одиако основной интерес все же представляет первое приближение и, в частности, формула (10.2.3) для поверхностного отклонения. Она без особого труда дает значительное уточнение по сравнению с решением для иевращающейся жидкости. Этот метод был очень успешно применен в работе [744] для расчета приливов в Адриатическом море, которое для этой цели было разделено иа 40 участков. Различия по сравнению с наблюдениями оказались малыми. (Результаты этой работы воспроизведены Дефантом [164, т. 2, рис. 169 и 170] на первом из этих рисунков показана т пг, а на втором — основная сейша с периодом 23 ч). Расчеты многих других ситуаций изложены в гл. 12 труда Дефанта [164, т. 2]. [c.77]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология