Потенциальная яма одномерная

Трехмерный потенциальный ящик. Из полученного решения уравнения Шредингера для одномерного потенциального ящика становится понятным существование дискретного набора энергетических уровней электрона в атоме. Для того чтобы пояснить другие особенности электронного строения атомов, целесообразно рассмотреть движение частицы в трехмерном потенциальном ящике. [c.33]

Чтобы подробно рассмотреть поведение электронов в металле, необходимо знать их распределение по энергиям. Представление об этом дает решение задачи о движении частицы в одномерном потенциальном ящике. Ящик прямоугольной формы (рис. П1.31, а) с бесконечно высокими стенками, и частица не может существовать вне ящика. Это означает, что при движении частица отражается, когда приходит в соприкосновение со стенками ящика, а в любом месте внутри ящика ее энергия равна нулю. Решение уравнения Шредингера для такой системы приводит к следующему выражению для энергии [c.200]

Свободная частица. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме. Туннельный эффект. [c.167]

Рис. 1.1. Энергия электрона в одномерном потенциальном ящике

Рис. 26. Изменение потенциала вдоль неупорядоченного одномерного остова а — падение электронной волны на отдельную потенциальную ступеньку б— прохождение электронной волны через потенцнальний барьер в — неупорядоченные потенциальные барьерм

Решение уравнения Шредингера для одномерного потенциального ящика. Решения уравнения Шредингера в задачах, встречающихся в теории атома и молекулы, являются весьма сложными они не могут быть получены в этой книге. Однако, чтобы понять характер рассматриваемых ниже,результатов квантовомеханического изучения атома, стоит разобрать решение уравнения Шредингера на более простых примерах. Поэтому мы решим его для некоторых воображаемых систем. [c.29]

Модель одномерного потенциального ящика была уточнена чтобы учесть периодический ход потенциала, который падает возле каждого атома цепной молекулы, ровное дно потенциального ящика было заменено синусоидой (см. рис. 22,6). Определение энергетических уровней электронов, движущихся в периодическом поле остова молекулы с сопряженными связями, показало, что положение занятых уровней почти не изменяется, однако все энергетиче-окие уровни, занятые и свободные, группируются в отдельные зоны. При этом каждая зона состоит из 2< +2 уровней, где д — число двойных связей, входящих в систему сопряженных связей данной молекулы. Оказалось, что такая усовершенствованная модель [c.94]

Теперь обратимся к потенциальным поверхностям, минимумы которых глубоки, но эквивалентны. В этом случае волновые функции %тк(Я) будут делокализованы по таким минимумам. В простейшем случае эту ситуацию можно смоделировать, рассмотрев одномерное движение частицы в поле потенциала с двумя эквивалентными минимумами. [c.115]

В качестве примера рассмотрим одномерное движение квантовой частицы с массой т в потенциальном поле У(х). Если частица находится в стационарном состоянии, описываемом волновой функцией ро(х), то ее энергия [c.41]

Частица, движущаяся свободно по прямой между непроницаемыми стенками, находящимися на расстоянии а (одномерный потенциальный ящик) [c.15]

Моделью системы сопряженных связей, рассматриваемой как положительно заряженный остов, в потенциальном поле которого движутся я-электроны, как показал Кун (1948 г.), может служить одномерный потенциальный ящик шириной, равной длине данной системы связей, с вертикальными стенками бесконечной высоты [c.91]

Поскольку электрон не может обладать бесконечно большой энергией и не может выйти за пределы заданного отрезка, говорят, что он находится в одномерном потенциальном яи ике. [c.14]

Сначала получим решение для одномерного потенциального ящика. В этой модели частица (например, электрон) может двигаться только [c.29]

Рассмотрим другую задачу. Пусть электрон, потенциальную энергию которого примем за нуль, движется по окружности с радиусом г (рис. 1.2). Положение электрона характеризуется лишь одной координатой, представляющей расстояние х, пройденное электроном по окружности, поэтому уравнение Шредингера имеет такой же вид, как и для одномерного потенциального ящика [см. уравнение (1.17)]. [c.17]

Механизм элементарного акта ионных реакций можно трактовать при помощи поверхностей потенциальной энергии системы в начальном и конечном состояниях. Для простейших реакций электронного переноса, не сопровождающихся изменением структуры иона, в качестве координаты реакции (т. е. того параметра, который претерпевает изменение в ходе процесса) следует выбрать некоторую обобщенную координату у, характеризующую конфигурацию диполей среды. На рис. 26 представлены одномерные потенциальные кривые начального и конечного состояний системы для таких реакций. Исходной равновесной конфигурации диполей растворителя отвечает координата , а конечной — yf. Координата характеризует ориентацию диполей растворителя в переходном состоянии реакции. Кривая 1 получена суммированием потенциальной энергии системы растворитель + за- [c.87]

Одномерный жесткий ротатор. В этой задаче предполагается что частица может двигаться только по кругу радиусом г (рис. 14), причем ее потенциальная энергия 11 постоянна как и в предыдущих примерах, удобно считать и = 0. Уравнение Шредингера принимает вид [c.36]

Уравнение Шредингера (1.41) для случая одномерного потенциального ящика примет вид [c.30]

Простейшей системой, с которой следует начать, является свободно движущаяся частица. Пусть она движется, например, вдоль оси ох (одномерное движение) и пусть ее потенциальная энергия [c.61]

На рис. 12 представлены графики функций ф и для частицы в одномерном потенциальном ящике при /г = 1, 2 и 3. График зависимости ф от X аналогичен изображению колебаний закрепленной с двух сторон струны, когда возможны лишь такие колебания, при которых вдоль струны укладывается целое число полуволн. Как видно из рис. 12, функции вероятности 11> та1 же имеют вид, резко отличный от классической картины. Из рис. 12 видно, что вероятность нахождения частицы в различных точках потенциального ящика неодинакова. Кроме того, при значениях /г > 1 в некоторых точках внутри ящика вероятность нахождения частицы равна нулю — результат, совершенно невозможный с точки зрения классических представлений. [c.32]

Как и в предыдущей одномерной задаче, здесь мы имеем дело с воображаемой ситуацией. Однако существует реальное явление, в известной мере отвечающее поставленным условиям, — это движение электронов проводимости в куске металла. Эти электроны движутся во всех направлениях, но за пределы куска не выходят. Поэтому модель трехмерного потенциального ящика применяется в теории металлического состояния. [c.33]

Решение уравнения (1.55) нам известно оно было получено при рассмотрении задачи об одномерном потенциальном ящике. [c.34]

Как и в случае одномерного потенциального ящика, величины п , Пу и могут принимать только целочисленные зна-ч е и и я. Таким образом, переход от одномерной задачи к трехмерной вызвал появление трех целочисленных характеристик в выражении волновой функции. [c.35]

Полученный результат имеет общее значение. Квантовомеханическое рассмотрение различных случаев движения микрочастиц в ограниченной области пространства (например, в атоме, молекуле и т. п.) показывает, что волновая функция частицы всегда содержит безразмерные параметры, которые могут принимать ряд целочисленных значений. Эти величины называются квантовыми числами. Количество содержащихся в рещении квантовых чисел равно числу степеней свободы частицы. Числом степеней свободы называется число независимых слагающих движения частицы. Так, в одномерном потенциальном ящике частица имеет только одну степень свободы в случае поступательного движения в пространстве она обладает тремя степенями свободы — движение возможно в направлении каждой из трех координат х, у я г если частица при этом может вращаться вокруг собственной оси, то появляется четвертая степень свободы и т. д. [c.35]

Выше (стр. 176) указывалось, что движение электрона в системе делокализованных я-связей может быть рассмотрено с помощью модели одномерного потенциального ящика. Однако это не всегда дает правильные результаты, так как данная модель очень грубая. Кроме того, она определяет лишь уровни энергий электронов и не позволяет судить [c.193]

Энергия электрона в одномерном потенциальном ящике выражается соот ношением Е == (п к )1 %т а ). В указанных соединениях число делокализован ных я-электронов равно 2т, эти электроны займут т первых энергетических [c.299]

Число степеней свободы f для частицы, движущейся в трехмерном потенциальном ящике, 3, для ротатора 2, для линейного осциллятора 1. Таким образом, каждому квантовому состоянию можно сопоставить ячейку объема в ц-пространстве величина ДЙ дает число таких ячеек в объеме Ду. Если для описания квантового осциллятора пользоваться классическим фазовым пространством, то эллипсы, изображенные на рис. П. 1, надо располагать дискретным образом, так чтобы площадь кольца между соседними эллипсами равнялась Л. Это кольцо и есть элементарная ячейка в фазовом пространстве одномерного гармонического осциллятора. [c.81]

Колебательная энергия одномерного классического гармонического осциллятора представляет собой сумму кинетической энергии p /2ji и потенциальной [c.223]

В стационарное одномерное уравнение Шредингера входит вторая производная волновой функции — ее кривизна. Установите, как зависит форма кривой Ч = Ч (х) а) от амплитуды волновой функции б) от разности полной и потенциальной энергий —С/(х). [c.15]

Для лучшего понимания сказанного рассмотрим несложную задачу. Допустим, электрон движется в одномерной прямоугольной потенциальной яме шири ны а и с бесконечно высокими стенками. Выше ыы уже рассматривали точное решение этой задачи, теперь определим энергию электрона, используя опи-саннь й приближенный метод, а в качестве базисных функций хп выберем полиномы лс"(а —(п = 1, 2). Тогда Ф = J (a — л )+ Сгд 2(а — хУ, где а, напоминаем, —ширина ямы, а с и Сг —вариационные параметры. Для упрощения вычислений положим а = 1. . [c.73]

Если образование комплекса сопряжено с нреодолопнем потенциального барьера, то расчет образования составной системы требует детального знания той части новерхности нотенциальной энергии, которая лежит на пути от исходпых молекул к комплексу. Одномерный профиль пути реакции такого типа показан на рис. 12. Вершина потенциального барьера сопоставляется с переходным комплексом (активированное состояние), введение которого иногда облегчает расчет сечения захвата. Потенциальной яме сопоставляется долгоживущий комплекс, в котором происходит перераспределение энергии между различными степенями свободы. Это нерерас пределение может быть описано движением изображающей точки только внутри многомерной потенциальной ямы, поэтому одномерная схема реакции является крайне условной. [c.138]

Если в задаче о движении частицы в одномерном потенциальном ящике различным значениям квантовых чисел соответствуют различные энергии, то в трехмерной задаче появляются состояния, характеризуемые различными квантовыми числами, но отвечающие одной и той же энергии. Так, при = 2, /г , =. 1 и п = 1 энергия частицы будет та же, как и при = 1, .у =2 и = 1. Если одной и той же энергии отвечают несколько различных состояний (характеризуемых различными волновыми функциями), то говорят, что даный энергетический уровень вырожден. В зависимости от числа состояний вырождение может быть двукратное, трехкратное и т. д. [c.35]

Можно ожидать, что эта модель, показанная на фиг. 4.3, г, немного более реальна, чем модель прямоугольной потенциальной ямы, поскольку в этой модели часть потенциала, соответствующая силам притяжения, падает постепенно с увеличением расстояния. Подобно прямоугольной потенциальной яме потенциал треугольной формы впервые использовался для механикостатистического изучения одномерных веществ [35]. Его преимущество состоит также в том, что выражения для В (Г) и С (Т) могут быть получены в замкнутой форме [35а], хотя интегрирование в этом случае оказывается несколько более сложным. Математически этот потенциал можно представить следующим образом [c.184]

Значения т, с, h известны, длина связи I определяется из опыта. Поэтому можно было легко проверить, насколько модель одномерного потенциального ящика отражает, природу молекул с сопряженными связями. Оказалось, что расчетные значения длин волн расчетн ДЛЯ ТОГО ряда красителей, для которых строилась данная модель, хорошо согласуются с экспериментальными значениями - ЭКСП (табл.2). [c.94]

Расчет спектров поглощения лолиметиновых красителей. Как указывалось на стр. 176, в цепи углеродных атомов, содержащей сопряженные двойные связи, которую можно обозначить —(СН=СН) — я-электроны, не локализованы они могут перемещаться вдоль цепи Условия движения электрона в такой полиметиновой цепи (радикал —СН называют метином) довольно близко соответствуют модели одномерного потенциального ящика (см. стр. 29— 33). При помощи этой модели могут быть довольно точно рассчитаны спектры поглощения ряда соединений, выражаемых общими формулами [c.298]

Коллективное взаимодействие частиц принято иллюстрировать на примере одномерной дисперсной системы, т. е. учитывая взаимодействие выделенной частицы с двумя соседними (рис. VI.3). Для построения потенциальной кривой коллективного взаимодействия необходимо просуммировать э 1ергию в местах наложения потенциальных кривых взаимодействия выделенной частицы с каждой соседней частицей. [c.154]

Как и в одномерном потенциальном ящике, электрон может иметь лишь дискретный ряд допустимых энергий, определяемых целыми значениями квантовых чисел. Отметим, что количество квантовых чисел равно числу степеней свободы частицы. При появлении дополнительных степеней свободы энергия частицы 0П1ре- [c.16]

В отличие от задачи одномерного потенциального ящика здесь ииые граничные условия. Поскольку окружность бесконечна, а электрон может находиться в любой ее точке, 5-функция не обра- [c.17]

Механизм элементарного акта ионных реакций можно трактовать при помощи поверхностей потенциальной энергии системы в начальном и конечном состояниях. Для простейших реакций электронного переноса, не сопровождающихся изменением структуры иона, в качестве координаты реакции (т. е. того параметра, который претерпевает изменение в ходе процесса) следует выбрать некоторую обобщенную координату у, характеризующую конфигурацию диполей среды. На рис. IV. 14 представлены одномерные потенциальные кривые начального и конечного состояний системы для таких реакций. Исходной равновесной конфигурации диполей растворителя отвечает координата уи а конечной— У/. Координата у характеризует ориентацию диполей растворителя в переходном состоянии реакции. Кривая 1 получена суммированием потенциальной энергии системы растворитель+заряженные частицы и полной энергии электрона при различных значениях обобщенной координаты у в исходном состоянии. Сумму указанных величин называют также электронным термом. Кривая 2 представляет электронный терм конечного состояния. Так как в первом приближении термы можно аппроксимировать параболами, то для энергии активации а на основе простых геометрических соотношений получаем следующее уравнение [c.97]

Несмотря на то что данная модель является предельно упрощенной, она используется и при решении реальных задач. Так, например, движение я-элек-тронов в системе сопряженных двойных связей в органических соединениях (см. стр. 176 и приложение 9) можно приближенно рассматривать как движение в одномерном потенциальном ящике. [c.30]

Таким образом, мы нашли функцию ф и значения энергии, удовлет-воряюш,ие уравнению (1.48), т. е. решили уравнение Шредингера для одномерного потенциального ящика. Рассмотрим полученное решение. [c.31]

Как уже указывалось выше (см. стр. 30), движение я-электронов Б системе сопряженных двойных связей сходно с движением частиц в одномерном потенциальном ящике. С помощью этой простой квантовомеханической модели во многих случаях может быть достаточно точно рассчитан спектр соединений, содержащих сопряженные двойные связи. Примеры таких расчетов приведены в придажении 9. [c.176]

В использованной выше модели потенциальная энергия пропорциональна отклонению атома Аг от его положения равновесия. График функции = <р(Аг) описывается параболой с вершиной, соответствующей положению равновесия г,. Одномерное уравнение Шрёдингера для амплитуды [c.219]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология