Группа симметрии трансляций

При изучении кристаллов вводят еще одну операцию — трансляцию. Группы симметрии в этом случае называют пространственными. Анализ и классификация групп симметрии кристаллов впервые выполнены Е. С. Федоровым (1890) и имели основополагающее значение для теории строения. [c.174]

Вл есте с трансляциями операции точечной симметрии порождают пространственную ( федоровскую ) группу симметрии кристалла , состоящую из всех трансляций, всех преобразований точечной группы, а также из всех комбинированных преобразований, каждое из которых включает трансляцию плюс операцию точечной группы [c.77]

В этой схеме число операций трансляции конечно и группой симметрии гамильтониана [уравнение (11)] является конечная пространственная груп- [c.517]

Любой набор трех периодов, отвечающий ячейке с наименьшим объемом, является примитивным набором. Решетка определяет дискретную коммутативную группу симметрии. Кроме трансляций, кристалл может обладать также другими элементами симметрии, и не всегда удается установить примитивный набор трансляций, выражающий полную симметрию кристалла однако это неудобство исчезает, если рассматривать всю решетку кристалла в целом. [c.280]

В данной модели полный набор трансляций образует непрерывную группу симметрии, так что опять удобно использовать фурье-преобразование плотности [c.287]

Структура кристалла — постройка бесконечная, элементы симметрии в таких системах в одной точке не пересекаются, кроме того, появляются такие элементы симметрии, которые невозможны в конечных фигурах. Дополнительно к известным нам элементам симметрии в структурах кристаллов могут быть трансляции, плоскости скользящего отражения и винтовые оси. Сложение элементов симметрии, возможных в пространственных решетках, было выполнено Е. С. Федоровым, в результате чего установлено 230 пространственных групп симметрии, к одной из которых принадлежит симметрия структуры любого кристалла. [c.36]

Группы симметрии, в которые входят операции антисимметрии,называют черно-белыми группами. Для конечных кристаллографических фигур существует 58 точечных черно-белых групп. Введение антисимметричной трансляции увеличивает число ячеек Бравэ на плоскости от пяти до десяти, а в пространстве вместо 14 серых ячеек Бравэ получается 36 трехмерных черно-белых ячеек Бравэ. [c.201]

Рассмотрим кристалл, физические свойства которого согласуются с наличием плоскости симметрии, оси 2-го порядка, центра симметрии и, как у любой замкнутой группы, операции идентичности. Порядок пространственной группы равен четырем. Если мы определим (или знаем) положение одного атома, элементы симметрии пространственной группы определят положение в общей сумме четырех эквивалентных атомов. Таким образом, необходимо определить положения атомов в четвертой части всего объема этой элементарной ячейки, в асимметрической ячейке, и можно быть совершенно уверенным, что элементы симметрии этой пространственной группы и трансляции решетки образуют оставшуюся часть структуры. Теперь становится очевидным, почему важно знать число 2 молекул, содержащихся в элементарной ячейке. (2 легко определяется из параметров решетки, молекулярного веса и плотности кристаллов,, как показано в следующем упражнении.) [c.35]

Характеры неприводимых представлений по операциям симметрии или типы симметрии колебаний даны для всех точечных групп Б таблицах, которые приводятся в учебниках и монографиях по симметрии молекул и кристаллов, молекулярной спектроскопии и теории групп. В качестве примеров приведены таблицы характеров (типов симметрии) для пяти точечных групп симметрии С20, Сгл, Ьг/1, Сзи и Озн (табл. 1Х.1). В таких таблицах кроме операций симметрии, образующих данную точечную группу, и характеров приводятся и правила отбора для ИК и КР спектров, а также указывается, к какому типу симметрии относятся трансляции и вращения относительно системы главный осей. [c.201]

Зная, к какой точечной группе симметрии относится молекула или выбранная модель молекулы, можно с помощью формул (1Х.4), (IX.5) и табл. IX. 1 определить 1) число колебаний (вместе с трансляциями и вращениями), относящихся к каждому типу симметрии 2) типы симметрии трансляций и вращений для вычитания их и получения истинного числа нормальных колебаний каждого типа симметрии 3) сколько и каких нормальных колебаний должно проявляться в ИК спектре 4) сколько и каких нормальных [c.201]

Против того типа симметрии в таблице характеров, к которому относится трансляция или вращение, ставится, соответственно, один из символов Тх, Ту, Тг (иногда просто X, у, г) и Нх, Яу, Нг-Не представляет большого труда определить это и без таблиц. Достаточно задать направления главных осей X, У, I) при известной точечной группе симметрии и, смещая в направлениях осей или поворачивая относительно их молекулу, определить, как будут меняться знаки координат ядер в этой системе при выпол-лении каждой операции симметрии, т. е. определить характер каждого преобразования координат. Например, для нелинейной молекулы ХУг направления главных осей, проходящих через центр масс, показаны на рис. IX.3, и легко видеть, что типы симметрии смещений молекулы по осям и поворотов вокруг осей именно те, которые указаны для точечной группы Сгн в табл. IX. 1. [c.202]

Как уже говорилось, для проявления в ИК спектре правила отбора требуют, чтобы была отлична от нуля хотя бы одна из проекций электрического момента данного перехода Мх, Му, Мг ИЛИ производная хотя бы одной проекции [1х, Ну, 1г собственного дипольного момента молекулы по нормальной координате в точке равновесия. Для этого достаточно, чтобы тип симметрии нормального колебания совпадал с типом симметрии трансляций в направлении одной из декартовых координат (в системе главных осей молекулы). Таким образом, нужно найти, в каких строках таблицы характеров неприводимых представлений точечной группы стоят координаты х, у, г или символы с этими подстрочными индексами (Г,, М,-, Р,- и т. п., г=х, у, г), обозначающие трансляцию или проекцию электрического дипольного момента перехода. [c.202]

Группы симметрии, содержащие трансляции и их сочетания с другими преобразованиями симметрии, описывают симметрию бесконечных периодических пространств и называются простран-гтвенными (федоровскими) группами. В пространственной группе G выделим подгруппу трансляций [Gt и подгруппу вращений G/. [c.50]

Бесконечная цепь атомов углерода (рис. 8-5) имеет конечную толщину. На самом деле это трехмерная конструкция с периодичностью только в одном направлении. Таким образом, она имеет одномерную пространственную группу симметрии (С ) и подобна бесконечно длинному стержню. Стержень обладает особой осью, но не имеет особой плоскости. Все типы осей симметрии (ось трансляции, простая поворотная, зеркально-поворотная, винтовая) могут совпадать с осью стержня. Винтовая ось может быть не только осью второго порядка, как в случае лент, но и любого другого. Конечно, эти элементы симметрии, за исключением простой поворотной оси, могут характеризовать стержень, только если он на самом деле бесконечно вытянут. С точки зрения симметрии труба, винт и различные лучи в такой же степени являются стержнями, как и стебли растений, векторы или винтовые лестницы. Чтобы для их описания применять пространственные группы, необходимо допустить их бесконечные размеры. Реальные же предметы конечны, поэтому, изучая их симметрию, лучше рассматривать только некоторую их часть, оставляя их концы вне поля зрения и мысленно продолжая их до бесконечности. Часть лестницы, обладающей винтовой симметрией, изображена на рис. 8-13. Трудновообразимая винтовая лестница, представленная на рис. 8-14, кажется бесконечной. По этой причине к ней может быть применена пространственная группа симметрии. [c.371]

Симметрия структуры К. (расположения атомов и молекул, электронной плотности) описывается простраиств. группами симметрии (наз. также федоровскими в честь нашедшего их Е. С. Федорова). Характерные для решетки операции-три некомпланарных переноса а, Ь, с- иаз. трансляциями, они [c.538]

Если система материальных точек совершает гармонические колебания, то ее нормальные колебания преобразуются по неприводимым представлениям группы симметрии системы. В случае идеального кристалла такой группой является группа трансляций. Поскольку представления этой группы одномерны и определяются заданием квазиволнового вектора к (см. введение), можно связать с каждой нормальной модой вектор к, относящийся к неприводимому представлению, по которому преобразуется эта мода. [c.35]

Элементарной ячейкой рассматриваемой цепочки будет любой отрезок длиной, равной кратчайшему ме катомному расстоянию а (периоду решетки). Соответственно, трансляционная симметрия цепочки заключается в том, что все атомы цепочки совмещаются с другими такими же атомами при любых трансляциях, кратных периоду решетки а, или, что то же, при вращениях на любой угол, кратный 2я/Л (группа симметрии Сд-). Тогда фундаментальная роль трансляционной симметрии вытекает из следующей теоремы собственные функции БФ одноэлектронного гамильтониана цепочки можно выбрать так, чтобы они принадлежа.ти неприводимым представлениям группы трансляций цепочки (i-jiynna (7jv). [c.50]

Пространственная группа генерируется независимыми операторами сходственной точечной группы, компонентами трансляции действующих операторов и группой трансляций Бравэ. В соответствии с этим правильные системы точек общего положения, свойственные пространственной группе, получаются как правильные системы точек сходственной точечной группы, координаты которых почленно сложены с суммой компонентов Франсляции этих операторов, а результат суммирован с группой Бравэ. При записи суммарных компонент трансляций, свойственных тем или иным операторам, необходимо учитывать, что выбор начала координат влияет на трансляционные компоненты. Только в группах, сохраняющих пучок закрытых элементов симметрии, пересекающихся в одной точке, которая выбрана за начало координат (в так называемых симморфных группах), система точек определяется только природой оператора. Если сумма косых трансляций и открытых элементов симметрии смещает различные составляющие пучка операторов точечной группы в раз- ном направлении па разные расстояния, то группа считается несим-морфной и начало координат выбирают в стороне от действующих операторов (или некоторых из них) в точке максимальной симметрии, оцениваемой величиной симметрии, т. е. разностью кратностей [c.76]

Однако пространственная группа кристалла отражается в симметрии этих свойств не полностью. Такие элементы симметрии, как винтовые оси и плоскости скользящего отражения, не могут проявить в них своей индивидуальности. Макроскопические свойства кристалла одинаковы по параллельным направлениям. Например, если кристалл обладает осью симметрии четвертого порядка, то независимо от того, является ли она простой или в1интавой, в обоих случаях в четырех направлениях, связанных поворотами на 90° вокруг оси, скорость роста граней кристалла, или пироэлектрические свойства, будут одинаковы и останутся неизменными при перемещении места наблюдения на любое расстояние вдоль оси. В отношении макросвойств кристалл ведет себя как непрерывная, а не дискретная анизотропная среда. Симметрия внешних свойств есть симметрия направлений. Элементы симметрии, которыми эта симметрия описывается, не распределяются в пространстве их можно считать пересекающимися в одной точке. Полезно поэтому рассмотреть точечную группу симметрии, сходственную той пространственной группе, которой обладает кристалл. Под этим термином понимается совокупность элементов симметрии, которая будет получена, если в пространственной группе уничтожить все трансляции, имеющиеся как в чистом виде, так и в сочетаниях с вращениями или отражениями. Иначе говоря, для получения точечной группы кристалла надо, во-первых, все элементы симметрии пространственной группы перенести (параллельно себе) так, чтобы они пересеклись в одной точке, во-вторых, заменить винтовые оси простыми того же порядка, а плоскости скользящего отражения — плоскостями зеркального отражения. [c.20]

В этих условиях на индексы дифракции— целые числа р, д, г, входящие в условия Лауэ, — не накладывалось почти никаких ограничений существовал лишь верхний предел, зависящий от соотношения между длиной волны и размерами ячейки кристалла. В действительности в структуре могут быть дополнительные трансляции в чистом виде (в случае непримитивности ячейки Бравэ), а также дополнительные переносы в сочетании с вращениями и отражениями (при наличии винтовых осей и плоскостей скользящего отражения). Эти дополнительные трансляции и переносы вносят существенные изменения в дифракционную картину они приводят к исчезновению определенной части дифракционных лучей. Выявление таких погасаний дифракции с индексами р, д, г, подчиняющимися определенному закону, позволяет поэтому осветить вопрос о пространственной группе симметрии кристалла. [c.259]

Винстон и Халфорд [37] рассмотрели конечный кристалл, состоящий из Л/ МгЛ/ з элементарных ячеек. Каждая элементарная ячейка содержит т атомов. Общее число нормальных колебаний такого кристалла поэтому равно ЗтЛ/1] /2Л/з- Мь1 должны получить число колебаний соответствующих каждому неприводимому представлению группы симметрии. Как было показано ранее, группа чистых трансляций имеет Л/1М2Л з таких представлений. Число а/ можно определить из уравнения (59), где порядок /г группы равен Л 1Л 2Л/ з- Значения Н) даются уравнением [c.84]

Из предыдущих разделов мы знаем, что пространственная группа состоит из группы трансляций решетки и дополнительных элементов симметрии, таких, как вращения, отражения и т. д. Поэтому группа трансляций является подгруппой пространственной группы. Правила отбора для этих двух типов группы симметрии очень тесно связаны. Для того чтобы установить эту связь, рассмотрим колебательную систему с определенными элементами симметрии, которые образуют группу. Эта группа определяет колебательные правила отбора. Теперь предположим, что симметрия системы понизилась и ее можно описать подгруппой исходной группы. В этом случае правила отбора менее строги и, вообще говоря, большее число колебаний активно в ИК- и КР-спектрах, но важно помнить, что эти правила отбора подгруппы также выполняются для исходной группы более высокой сим у1етрии. Поэтому правила отбора группы трансляций, рассмотренные в предыдущем разделе, применимы для любой пространственной группы. Они необходимы, но недостаточны, так как для пространственной группы меньшее число колебаний активно в ИК- или КР-спектрах по сравнению с группой трансляций. [c.110]

Каждой точечной группе соответствует несколько пространственных групп. Из пространственной групп )[ симметрии кристалла легко получить его точечную группу. Для этого надо мысленно уничтожить все трансляции, т. е. превратить плоскости скользящего отражения в зеркальные плоскости, а ВИНТОВ , е оси — в поворотные оси симметрии, затем перенести все оставшиеся элемент1.г симметрии, чтобы они пересекались в одпой точке. [c.115]

Изучение макроскопических свойств кристаллов постепенно привело к представлению об их упорядоченной атомарной структуре. В совершенном кристалле определенная группа атомов — его мотив — периодически повторяется в трех измерениях пространства, оставаясь идентичным самому себе и сохраняя свою ориентацию. Бесконечные фигуры, возникающие в результате таких повторяющихся трансляций, могут иметь значительно более разнообразные комбинации элементов симметрии, чем конечные фигуры. Федоров (1890 г.) и Шенфлис (1891 г.) проанализировали и классифицировали все бесконечные пространственные группы симметрии, к которым должны относиться все возможные кристаллические структуры. Изучение дифракции рентгеновских лучей в кристаллах, начатое Лауэ (1912 г.), а затем Брэггами, подтвердило гипотезу об их периодической структуре. [c.8]

Координаты, преобразующиеся по этому представлению, появляются, если учесть вращение и трансляцию молекулы. Они появляются также при колебаниях более сложных молекул этой группы симметрии. [c.193]

Классификация всех рамановских нормальных колебаний осуществляется при рассмотрении восьми смежных элементарных ячеек (так называемой суперъячейки) и использовании в качестве группы симметрии группы направлений кристалла, дополненной теми трансляциями, которые переводят соседние эквивалентные атомы друг в друга. Например, для алмаза такая группа симметрии содержит 384 элемента (из них только 48 элементов принадлежат группе направлений кристалла). Формулы для характеров механического представления такие же, как (19.50) при к=0 (см. табл. 42) с учетом числа всех атомов, находящихся в суперъячейке. [c.396]

Смотреть страницы где упоминается термин Группа симметрии трансляций: [c.49] [c.51] [c.60] [c.244] [c.140] [c.538] [c.347] [c.123] [c.173] [c.585] [c.287] [c.530] [c.51] [c.145] [c.88] [c.26] [c.522] [c.206] [c.197] [c.371]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология