Статистическая независимость переменны

Упражнение. Факториальный кумулянт суммы двух статистически независимых переменных является суммой их факториальных кумулянтов. Факториальный кумулянт, включающий два взаимно независимых набора переменных, равен нулю. [c.23]

Упражнение. Обобщите формализм на случай, когда рассматриваются точки разных сортов, и покажите, что многомерный аналог распределения Пуассона—это просто произведение одномерных распределений (2.2.6). Упражнение. Если. VI, N2 —две статистически независимые переменные, каж- лая из которых подчиняется распределению Пуассона, то их сумма тоже распределена по Пуассону. [c.42]

Уравнение (19.10) обобщается на случай произвольного числа статистически независимых переменных. [c.184]

Мы полагаем, что Х1 и Х2 являются статистически независимыми переменными. Тогда [c.39]

При статистической независимости переменных Xi и Х, парный коэффициент причинного влияния Г / в (1.160) равен нулю. Случай Гу = 1 соответствует строгой детерминированности следствия причиной, понимаемой в том смысле, что качественное и количественное разнообразие следствия определяется мерой разнообразия причины единственным образом. Так как Л/ min Hi, Hj), то, если причина Х, имеет собственную статистическую неопределенность Я/, большую, чем безусловная энтропия следствия Hi, невозможна активная причинная связь Xj- -Xi с интенсивностью Г//, равной единице. [c.54]

При описании гидромеханики псевдоожиженного слоя независимые переменные, отражающие движение твердых частиц и ожижающего агента, быстро изменяются на участке- пути, сопоставимом с размерами частиц. Между тем, в ряде предложенных уравнений авторы оперируют (с оговорками или без них) сглаженными переменными, характеристики которых усреднены по области, значительно превышающей размер частиц, но малой по сравнению с размерами всей системы. Полученные уравнения описывают движение ожижающего агента и твердых частиц как двух взаимнопроникающих сплошных сред такой метод уже содержит некоторые существенные допущения. Например, для области, по которой усредняется скорость частиц в окрестности данной точки, в действительности существует некоторое распределение скоростей, так что поведение системы, вообще говоря, предопределено характером этого распределения, а не средним значением скорости. Такая ситуация обычна для задач неравновесной статистической механики, причем известно, что описывать движение, используя локальную усредненную скорость, допустимо только в том случае, когда взаимодействие между частицами характеризуется достаточной силой и частотой, чтобы обеспечить квазиравновесное распределение скоростей. [c.75]

В соответствии с воззрением классической термодинамики и статистической физики, состояние равновесия системы характеризуется набором величин Р , Р",. . ., Р (например, давление, температура, концентрация и т. п.). При этом число независимых переменных определяется правилом фаз Гиббса. При фиксированных параметрах системы состоянию равновесия соответствует определенная точка в п-мерном фазовом пространстве Гиббса. Любая другая точка этого пространства определяет неравновесное состояние системы, характеризующееся набором величин Р , Р[,. . ., Р п илп же набором векторов Р = Р — Р. [c.16]

На схеме Гаусса — Маркова базируется очень распространенная вычислительная процедура, заключающаяся в подборе значений 6 в выражении (III. 1) путем минимизации суммы квадратов отклонений (разностей между измеренными значениями выходной величины в каждом эксперименте и предсказанными по модели). Эту процедуру называют методом наименьших квадратов (МНК). При этом важно отличать МНК, как вычислительную процедуру, от регрессионного анализа. Последний является статистическим анализом регрессионной модели, в которой зависимая переменная — случайная величина, а независимые переменные —детерминированные величины. [c.82]

Как уже известно, в термодинамике состояние системы, содержащей единственное чистое вещество, вполне однозначно определяется в общем случае тремя независимыми переменными. Например, числом молей п, энергией и и объемом V. Однако с микроскопической точки зрения такая система, скажем один моль какого-либо вещества, содержит около 10 отдельно (в известной мере) существующих индивидуальных молекул. Статистическая механика ставит задачу описания состояния каждой частицы путем указания ее координат и характера совершаемого движения. При этом считается, что движение молекул описывается законами классической механики, применяемыми в форме так называемых канонических уравнений Гамильтона [c.177]

Такой статистически независимой системой является, например, молекула идеального газа, которая подавляющую часть времени движется свободно, не взаимодействуя с другими молекулами. Соударения молекул чрезвычайно редки и дают пренебрежимо малый вклад в энергию газа (правда, эти соударения существенны в том смысле, что из-за них изменяются импульсы молекул, динамические переменные ведут себя как случайные величины, в системе устанавливается статистическое распределение). [c.85]

Определим среднее число частиц N в -м квантовом состоянии, для чего используем следующий метод рассмотрения. Будем считать одной системой все частицы газа, находящиеся в данный момент времени в I-M квантовом состоянии с энергией ег. Остальные частицы газа составят окружение выбранной системы, с которым система слабо взаимодействует (взаимодействие осуществляется при соударениях частиц системы и частиц окружения). В результате соударений происходит переход некоторых частиц из г-го квантового состояния в другие состояния эти частицы, таким образом, уходят из системы. Некоторые частицы, напротив, из состояний / Ф i переходят в t-e состояние и, следовательно, входят в систему. Число частиц в системе является переменным. Учитывая, кроме того, что система представляет собой совокупность невзаимодействующих частиц и, таким образом, статистически независима, можем применить к ней формулы большого канонического распределения. Особенность рассматриваемой системы состоит в том, что все ее частиц находятся в одном и том же квантовом состоянии. Общая энергия системы [c.170]

Индекс с в уравнении (УП.21) является сокращенным обозначением условия постоянства концентраций всех независимых компонентов 6-1, с . Так как флуктуации независимых переменных Р, 3 и с., т. е. АР, Д5 и Дс., статистически независимы [c.140]

Здесь следует сказать, что статистически независимы флуктуации тех величин, которые выбраны в качестве независимых переменных, характеризующих состояние системы. Обычно этот выбор диктуется условиями эксперимента. Безотносительно к выбору независимых переменных, характеризующих состояние системы, вопрос о статистической независимости тех или иных флуктуаций не имеет смысла. Так, например, флуктуации плотности и флуктуации концентрации статистически независимы, если в качестве независимых переменных, определяющих состояние раствора, выбраны его плотность и концентрации компонентов. Они статистически зависимы, если в качестве независимых переменных, характеризующих состояние раствора, выбрать его плотность и химические потенциалы ц. компонентов. Тогда <АрАс.>,1 фО, где индекс (1 означает, что флуктуации плотности и концентрации рассматриваются при некоторых заданных значениях химических потенциалов ц независимых компонентов раствора. Такой выбор независимых переменных может быть полезен, например, при изучении влияния гравитационного поля на рассеяние света в растворах в окрестности их критической области жидкость — пар. Некоторые результаты подобных расчетов приведены в работе А. Д. Алехина, А. 3. Голика, Н. П. Крупского, А. В. Чалого, Ю. И. Шиманского [33]. Расчеты выполнены с помощью термодинамического потенциала Р (Т, V, ц) -.= + Ри, предложенного М. А. Анисимовым [34]. [c.140]

Для построения статистической модели была проведена оценка вклада различных факторов на время до разрушения магистральных газопроводов. В качестве рабочего инструмента была выбрана процедура множественной регрессии, позволяющая получать модель в виде линейной комбинации воздействующих факторов. Исследования проводились с доверительной вероятностью 95 %. В качестве независимых переменных использовались величины толщин стенок труб, температур, расстояний до компрессорной станции, давлений, а также их модифицированные значения (обратная температура, обратное расстояние, отношение действующего напряжения к пределу текучести стали и др.). Расчеты проводились как с использованием константы, так и без нее. Всего было рассмотрено 48 вариантов модели. Из них была выбрана одна, имеющая наиболее высокий коэффициент детерминации. В табл. 1.6 приведены результаты расчета этой модели. Переменные имеют следующие обозначения толщина стенки трубы (мм) - Н, давление (МПа) - Р, температура (°С) - Т, величина, обратная расстоянию до компрессорной (100/км) - ЬО, время до разрушения (лет) -1. [c.56]

Переменные Xj, Х называют некоррелированными, когда известно, что их ковариация равна нулю. Это условие является более слабым, чем статистическая независимость. Причина, по которой такое свойство имеет специальное название, состоит в том, что первый и второй моменты достаточно хорошо описывают многие конкретные случаи. [c.22]

Упражнение. Докажите упомянутые выше три критерия статистической независимости и обобщите их на случай г переменных. [c.22]

Реализация процедур статистического оценивания параметров очень громоздка в вычислительном отношении. Пусть, например, имеется 30 экспериментальных точек х — у — Т — р) для бинарной системы. Тогда, пользуясь методом работы [125, первая ссылка], нам придется искать минимум функции (VI.43) по 30-2 — истинным значениям независимых переменных и по 9-вектору параметров модели. [c.144]

Заметим, что независимость означает здесь статистическую независимость ошибок измерений, а не независимость термодинамических переменных. Таким образом, наблюдаемые на опыте значения зависимых термодинамических величин часто могут считаться независимо распределенными, это определяется методикой их измерения. [c.145]

Корреляционная связь устанавливается на основе статистических методов анализа. Она является промежуточной между точной зависимостью, даваемой функциональной связью, и совершенной независимостью переменных. [c.676]

В статистическом моделировании принято независимые переменные величины, влияющие на протекание процесса, называть факторами и обозначить х, Зависимые величины называют функциями отклика и обозначают у1, Любую статистическую модель [c.605]

Объединим каждые g последовательных векторов Ь в одну субъединицу. Это изображено на рис. 1.2 для случая, когда = 3. Если g гораздо больше радиуса корреляции то новые векторы с статистически независимы, и мы сталкиваемся с задачей об Ы/ё независимых переменных приводящей снова к гауссовой статистике, если только велико. Именно такую ситуацию мы называем идеально цепной. Среднеквадратичное расстояние между концами цепи пропорционально [c.31]

Область действия описанного метода, однако, как уже указывалось в начале параграфа, ограничена. Если температуры, а следовательно, и константы скорости реакций различны в разных частях реактора или если реакции протекают по порядку, отличному от первого, величины ,,(т) теряют свою определенность, так как время контакта больше не является единственной независимой переменной, влияющей на превращение молекул. Вероятности превращений для молекул, проведших в реакторе одинаковое время, но двигающихся по разным траекториям и, следовательно, находившихся в разных температурных и концентрационных условиях, неодинаковы, и описанный метод расчета теряет силу. Следуя дальше по пути статистического описания системы, рассмотрим некоторую траекторию молекулы внутри реакционной зоны. Вероятность того, что молекула, вошедшая в реактор, пройдет именно эту траекторию (точнее, траекторию, бесконечно мало отличающуюся от выделенной), может быть вычислена по крайней мере в принципе. Можно также найти вероятность того, что молекула, прошедшая данную траекторию, претерпит те или иные превращения. В одномерном случае каждая траектория описывается некоторой функцией 2(0) положения молекулы от времени 0, прошедшего с момента, когда она вошла в реактор. Чтобы определить состав реагирующего потока на выходе аппарата, необходимо суммировать вероятности по всем возможным траекториям, т. е. траекториям, принадлежащим к некоторому множеству М. Аналогично (V. 18), записываем [c.197]

Наиболее эффективный, хотя и самый трудный путь экспериментального исследования состоит в раздельном количественном изучении всех разнородных явлений (кинетики химических превращений, переноса массы и тепла, движения потока и пр.), взаимодействие которых создает картину реального каталитического процесса. Эксперимент при этом должен быть поставлен либо в таких условиях, когда действие всех факторов, кроме исследуемого, исключено, либо когда методами статистического анализа влияние каждого из исследуемых факторов может быть точно учтено. Результатом такого исследования является определение функциональных зависимостей параметров, характеризующих процесс (т. е. входящих в его расчетные уравнения), от всех варьируемых (независимых) переменных. Далее на основании полученных зависимостей может быть осуществлен расчетный выбор оптимального режима процесса. [c.341]

Возьмем для дегидрирования wao- gH OH снирта (рис. 38 в главе 4, 1) пример с тремя независимыми переменными положение металла в периоде и группе а и г/ и положением металлоида в группе Z. Чтобы на чальная точка лежала в центре симметрии исходных данных, можно и в этом случае ограничиться четырьмя исходными точками HgO, SnO, dS и PbS. Получаем уравнение А = 2,53 + 0,60х — l,68i/ + 1,16z. Максимальное восхождение указывает на HgS, который, согласно табл. 3, оказался, однако, менее активным, чем оставшиеся три вещества, взятые за основу расчета. В этом случае статистических данных недостаточно для выбора пути к максимуму активности. [c.212]

Мы рассмотрим здесь лишь простейший случай простой линейной регрессии, где л считают точно определяемой независимой переменной, а у зависимой переменной, имеющей статистический характер. Данные должны укладываться на прямую. [c.607]

В отличие от методов регрессионного анализа, описанных в гл. 5, методами корреляционного анализа исследуют случайную связь между независимыми переменными. Предлагая то или иное уравнение регрессии, исследователь тем самым определяет как само существование зависимости между независимыми переменными, так и математический вид этой зависимости. При корреляционном же анализе проверяется лишь сам факт, т. е. статистическая гипотеза об отсутствии (или наличии) связи. Сама природа величин, между которыми такая случайная связь предполагается, позволяет судить о ней как о вероятностной, [c.122]

Параметры выбранной модели рассчитывают, подгоняя их к экспериментальным данным. Подобное приближение осуществляют, используя либо графические, либо численные методы, как, например, метод наименьших квадратов с его помощью рассчитывают такие значения параметров, для которых сумма квадратов отклонений минимальна. Отклонения — это разности между экспериментальными и рассчитанными данными в каждой точке с фиксированным значением независимой переменной. Такой способ обработки данных наиболее распространен, так как позволяет на основании некоторого предположения о характере статистической популяции, из которой делают выборку, получить расчетные параметры с определенными требуемыми свойствами [1—3]. А это значит, что оценочные функции в методе наименьших квадратов являются несмещенными оценками с минимальной дисперсией истинного значения. Более того, данный метод позволяет оценить не только ошибки интересующих нас параметров, но и согласие предполагаемой модели, т. е. дает возможность проверить альтернативные гипотезы. Конечно, различные гипотезы можно проверить, если построить на глаз графическое изображение модели, но объективность такой оценки несравнимо хуже, чем в случае применения метода наименьших квадратов. [c.70]

Следует отметить, что две статистически независимые переменные являются некоррелированными [уравнение (24)], но обратное утверждение не всегда верно. Если для получения единственного статистического описания достаточно знать функции плотности распределения вероятности, то обратное утверждение не является справедливым. Фактически при статистическом описании принимаются во внимание только самые главные моменты функции плотности распределения вероятности вплоть до второго порядка. Поскольку рассматриваются именно эти моменты, то различные случайные переменные могут быть эквивалентными и, слидовательно, для описания определенного физического процесса, для которого известны данные, необходимые для статистического описания, можно использовать различные статистические модели. [c.468]

Целесообразно применять метод главных компонент совместно с мето-да. щ статистического анализа, например, в множествснно.м регрессионно. анализе вместо большого набора независимых переменных Х], Хг,. .., х можно расс. ютреть гораздо меньший набор главных компонент, к тоь1у же не коррелирующих друг с другом. [c.233]

Так как 5 и Я независимые переменные, то их флуктуации статистически независимы <сАРАЗ = 0. Следовательно, [c.139]

Определение количественных значений показателей биоповреждений при одновременном действии нескольких факторов во времени, а также при проведении ускоренных испытаний сводится к решению задачи регрессивного анализа. Процесс биоповреждений рассматривают как явление статистическое, а результат эксперимента подвержен случайному разбросу. Применение планирования эксперимента позволяет уменьшить число опытов, а также получить математическую модель процесса бноповреждений [31]. Ее исследование позволяет показать значения целевой функции в тех точках факторного пространства, которые экспериментально не изучались, при этом под целевой функцией понимают некоторый показатель процесса г)=ф(д 1, х , х/ ), где х ,. ....— независимые переменные (факторы). [c.69]

То1да эти два множества называют статистически независимыми друг от друга. В этом случае множитель Р является частной плотностью вероятности переменных Х , Х ,. . ., Х,,. В то же время он является условной плотностью вероятности [c.20]

В-третьих, легко видеть, что имеет важное значение условие независимости переменных X. Если в качестве всех г переменных взять одну и ту же величину X, результат будет не верен. С другой стороны, достаточно слабая зависимость переменных друг от друга является допустимой. Это видно из вывода распределения Максвелла по скоростям из микроканонического ансамбля для идеального газа (см. упражнение в 1.3). 1Микроканоническое распределение в фазовом пространстве является совместным распределением, которое не факторизуется, но в пределе г оо распределение скорости каждой молекулы гауссово. Эквивалентность различных ансамблей в статистической механике основана на этом факте. [c.37]

Последовательный симплекс-метод является процедурой, которая может использоваться для выбора серии независимых переменных в математическом выражении, которые делают выражение ваилучшей подгонкой (в статистическом смысле) к серии точек данных [226, 227]. [c.133]

Бь5л применен экспериментально-статистический метод. В качестве независимых переменных (режимных параметров) были выбраны температура в реакционной зоне (Гр) и объемная скорость подачи сырья час ) в качестве оптимизируемого параметра (функции отклика)— эффект обессеривания [c.17]

Здесь V — число наблюдаемых переменных уц — экснеримен-тальпое значение /-ой наблюдаемой переменной в -ом опыте т) (а , к) — ее расчетное значение при условиях а и значениях параметров к. Весовые множители учитывают, что опыты, проведенные в различных условиях, имеют разную точность. Если есть основания считать, что экспериментальные данные равноточны и статистически независимы, можно положить = 1 и = О (г й). [c.18]

Когда А/ м = 0, концентрация молекул в каждой из форм одинакова. Поскольку предполагается, что степень полимеризации велика, весьма малые изменения А/ м вблизи точки д/ м = 0 могут вызвать очень резкие изменения отношения (С)/(Я). Развитие одной конформации за счет другой при изменении независимой переменной, такой как температура или состав (активность) окружающей среды, может происходить достаточно резко, чтобы походить на фазовый переход. Так как х велико, энтальпия плавления на всю молекулу также будет велика. Следовательно, константа равновесия К должна очень быстро изменяться с температурой. Чтобы оценить ширину перехода, надо определить изменение с температурой относительной концентрации молекул, имеющих конформацию статистического клубка. При температуре перехода T = Tt, когдаЛ = 0, скорость изменения этой концентрации может быть выражена как в работе [34] [c.63]

В простейших вариантах на поле графика наносят теоретически рассчитанную кривую и экспериментальные точки или же теоретическую и экспериментальную кривые. По степени их расхождения судят о строгости теоретической модели. Иногда при наличии надежной теории графическое сравнение может быть использовано для оценки качества эксперимента. Как и при оценке погрешностей, начинающие часто полагают, что расхождение теории и эксперимента на 20—30 % слишком велико. В действительности же такое совпадение часто может считаться удовлетворительным. Однако есть ситуации, когда расхождение такого порядка должно настораживать, особенно если оно возникает лишь при определенных значениях независимой переменной (рис. 34). Вообще, случаи существенного изменения расхождений в интервале изменения независимой переменной должны всегда внимательло анализироваться. Величина допустимого расхождения должна быть тщательно оценена. (Правильный подход к оценке расхождения должен основываться на статистических критериях.) [c.168]

Теория Крамерса [11], являющаяся одной из первых попыток общего статистического рассмотрения системы ионов, сравнительно недавно нашла свое развитие в работе Берлин и Монтролль [301. При сохранении общего метода Крамерса, в этой теории вместо предположений о статистической независимости зарядовых переменных и их распределения по нормальному закону, вводится приближение сферикализации [c.7]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология