Функция запаздывания и функция релаксации

В этом параграфе мы кратко изложим некоторые математические результаты, привлекаемые для рассмотрения функций запаздывания и релаксации. Более подробные сведения можно найти в специальных руководствах, использованных при написании этого параграфа [45, 46]. [c.109]

Практика показывает, что логарифмическая шкала более удобна для описания вязкоупругих свойств полимеров, так как интересно получить функции распределения времен релаксации и запаздывания для широкого диапазона времени, охватывающего несколько порядков. [c.25]

Внутри каждой группы вязкоупругие функции определяются для трех уровней верхний уровень — комплексная податливость (первая группа) и комплексный модуль (вторая группа) средний уровень — функция ползучести (первая группа) и функция релаксации (вторая группа) нижний уровень — спектр распределения времен запаздывания (первая группа) и спектр распределения времен релаксации (вторая группа). [c.103]

Могут быть также установлены соотношения между группами функций на каждом уровне. На верхнем уровне комплексная податливость является просто обратной величиной комплексного модуля. Соотношения между функциями ползучести и релаксации, а также между спектрами распределения времен запаздывания и релаксации представляют собой соответственно интегральные уравнения и интегральные преобразования. [c.103]

Рис. 7.2. Приближенная функция распределения времен релаксации (Мх) и запаздывания ( х) для полиизобутилена (по Марвину).

Спектры времен релаксации и запаздывания. Важные выводы и соотношения могут быть получены из рассмотрения математических свойств функций релаксации и ползучести. Прежде всего это позволяет ввести понятие о релаксационном спектре материала. [c.83]

Функция запаздывания и функция релаксации [c.104]

Используя наиболее общую форму описания линейных релаксационных явлений, а именно Больцмана — Вольтерры уравнения, можно показать, что Р. с. однозначно связаны с ядрами этих ур-ний, поэтому они м. б. вычислены друг из друга. Кроме того, эти ур-ния позволяют выразить функции распределения времен релаксации через функции распределения времен запаздывания (см. также Реология). [c.167]

Функции ф((), "ф(<), G (oj) и G"( u), а также константы /о, Tio, — основные реологич. х а р а к т е-р и с т и к и вязкоупругого материала, к-рые определяются его релаксационными свойствами и м. б. выражены через функции распределения времен релаксации или запаздывания. Интегралы Больцмана — Вольтерры устанавливают связь между ф (t) и ф (г) и позволяют при произвольной истории нагружения для материала с известными реологич. характеристиками находить напряжения или деформации. Все реологич. характеристики поэтому не являются независимыми, а связаны между собой математич. соотношениями. [c.171]

Кинетическая (механическая) гибкость. Во внешнем, обычно гидродинамическом, поле макромолекула может проявлять подвижность (включая изменение формы или размеров) в целом или на отдельных участках цепи. Определяя минимальный участок цепи, способный при внешнем воздействии изменять форму, т. е. проявлять гибкость, как кинетический сегмент, можно охарактеризовать ответ изолированной макромолекулы на внешнее воздействие целым спектром времен запаздывания, или релаксации (см. Релаксационные явления). Ситуация здесь аналогична разложению функции, описывающей сложное колебательное движение, в ряд Фурье. Участки струны, соответствующие гармоникам или обертонам, аналогичны участкам макромолекулы, перестройка к-рых определяет перестройку макромолекулы в целом. С деформацией малых участков связаны малые времена релаксации и т. д. Но отсюда уже видно, что, в отличие от статистич. сегмента, длина кинетич. сегмента даже у изолированной молекулы не является константой и зависит от скорости воздействия. В квазиравновесных условиях (очень медленная деформация) она близка к длине статистич. сегмента при очень быстрой деформации вся макромолекула ведет себя как абсолютно жесткая ( превращается в один кинетич. сегмент), ибо не успевает деформироваться. Поэтому более или менее однозначная оценка кинетич. сегмента изолированных макромолекул и вообще кинетич. гибкости м. б. произведена лишь В экспериментах, где цепи деформируются в стационарном режиме. Мерой кинетич. гибкости является в этом случае внутренняя вязкость В, определяемая из соотношения [c.306]

Результаты исследований Р. я. при разных темп-рах, длительностях и частотах воздействия м. б. количественно сопоставлены друг с другом на основе принципа температурно-временной суперпозиции. Это позволяет охарактеризовать линейные Р. я. в очень широких диапазонах темп-ры, частоты или длительности воздействия, напр., функциями распределения времен релаксации или запаздывания, ядрами интегральных ур-ний Больцмана — Вольтерры и др. [c.166]

При рассмотрении соотношений между различными вязко-упругими функциями полезно ввести еще две дополнительные производные функции спектр времен релаксации и спектр времен запаздывания. Чтобы пояснить значение этих спектров, обратимся снова к механическим моделям хотя они и не являются необходимыми для целей математического определения и некоторые исследователи считают использование их неправильным, механические модели удобны для наглядного представления, а их значение не выходит за рамки уравнений, описывающих их поведение. [c.59]

Рис. 3.19. Функции распределения времен релаксации И (т) и запаздывания I (т ) для нолиизобутилена (по Марвину).

Релаксационные свойства или механическое поведение идеального линейного вязко-упругого материала могут быть полностью описаны либо функцией распределения времен релаксации, либо функцией распределения времен запаздывания, так как эти функции взаимосвязаны [71]. Однако по причинам, указанным ниже, релаксационное поведение органических твердых тел, обсуждаемое в этом обзоре, большей частью представляется на основе не функций распределения, имеющих аргументом время или частоту, а на основе какого-либо экспериментально измеряемого релаксационного свойства как функции частоты или температуры или их обеих. Такой методики придерживаются по следующим причинам [c.335]

Для интегрального представления функции ползучести, так же как для функции релаксации, можно ввести функцию плотности времен запаздывания. Пусть часть запаздывающей деформации, которая имеет время запаздывания, лежащее между т и т + т, равна [c.109]

Таким образом, нормирующий множитель Р плотности времен запаздывания выражен через равновесный модуль и начальное значение функции релаксации. При ю — оо уравнение (4.65) также автоматически удовлетворяется, а из уравнения (4.64) получаем [c.115]

Перейдем теперь к функциям плотности времен релаксации и запаздывания. Сначала сделаем замену переменных [c.117]

Уравнения, связывающие функции плотности времен релаксации и запаздывания, можно представить в несколько более симметричном виде. Имеем [c.118]

I основная функция — функция запаздывания, а в группе П основная функция — функция релаксации. [c.138]

На рис. 1.6 приведены типичные релаксационные спектры двух различных каучуков, рассчитанные по формуле (1.9). Достаточно простая форма релаксационного спектра и возможность определения его из кривой течения позволяют использовать данный метод для описания вязкоупругих свойств полимеров. Таким образом, если известен один из спектров (релаксации или запаздывания) во всем интервале изменения времени, то другой спектр или какая-нибудь другая вязкоупругая функция могут быть всегда вычислены. [c.25]

Математическая теория линейной вязкоупругости развита весьма детально, в частности получены точные уравнения, связывающие друг с другом различные функции, которые характеризуют вязкоупругое поведение материала [1—3]. Известны также два приближенных метода расчета этих функций прямой пересчет известной функции в другую, представляющую интерес, и пересчет с использованием на промежуточной стадии вычислений спектров времен релаксации и запаздывания. [c.29]

Наконец, упомянем о формуле, связывающей спектры распределения времен релаксации и запаздывания. Эта формула была получена Б. Гроссом, исходя из соотношения б / = 1, в котором комплексные величины С и I выражались через спектральные функции. Для целей настоящего изложения важен сам факт существования формулы Гросса, поскольку этим замыкается круг функций, рассматриваемых в теории линейной вязкоупругости. [c.88]

Уравнения (1.79) и (1.80) можно рассматривать как интегральные реологические уравнения состояния вязкоупругих сред. Если же спектры распределения времен релаксации и запаздывания дискретные, то использование этих интегральных уравнений состояния, котя и возможно, но неудобно из-за того, что нри их практическом применении приходится оперировать с дельта-функциями. Поэтому если релаксационный спектр не непрерывный и состоит из отдельных точек ( линий ), то обычно переходят от интегральных уравнений состояния к дифференциальным, для чего используют обобщенные модели Максвелла и Кельвина — Фойхта. Выше уже говорилось [c.100]

Реологич. характеристики полимерных материалов можно представить не только непрерывными спектрами времен релаксации и запаздывания, но и с помощью дискретных спектров. При этом вязкоупругие свойства описываются набором каким-либо образом распределенных по временной шкале значений характерных времен релаксации 0 (и=1, 2,. . . ), а во всех записанных выше выражениях интегралы заменяются суммами конечного числа экспонент, в к-рых роль значений F(0)d0 и Z(0 )d0 играют, соответственно, константы, наз. парциальными модулями Е или податливостями / . Так, функции ф (I) и о ) (I) выражаются в виде [c.171]

Чтобы заключить нашу теоретическую часть, нужно упомянуть два понятия, которые непосредственно не входят в рассмотрение электрофореза по Бутсу, но которые являются предметом большой дискуссии в литературе по электрофорезу. Одним из этих понятий является эффект релаксации, который обычно определяется как запаздывание подвижности в отличие от электрофоретического эффекта. Такое отличие, однако, возникает только тогда, когда электрофоретический эффект рассчитывается [как в уравнении (24-7)] на основе распределения ионной подвижности, которая имела бы место в отсутствие электрического поля. В расчет в этом случае должна быть введена поправка на то, что атмосфера подвижных ионов в присутствии поля будет всегда оставаться позади центрального иона при его движении через раствор. Эффект релаксации представлен в уравнении Бутса функциями / и [c.477]

ВЫЧИСЛЕНИЕ СПЕКТРОВ ВРЕМЕН РЕЛАКСАЦИИ И ВРЕМЕН ЗАПАЗДЫВАНИЯ ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ ФУНКЦИЙ [c.72]

Имеются другие более сложные экспериментальные условия, при которых вязкоупругие свойства также могут быть предсказаны с помощью спектров времен релаксации и времен запаздывания, а также с помощью других функций. В гл. 1 в качестве примеров приведены случаи деформации при постоянной скорости возрастания деформации и при постоянной скорости возрастания напряжения. Другим сложным случаем является релаксация напряжения после прекращения установившегося течения. [c.76]

Рассмотрев природу температурной зависимости времен релаксации и времен запаздывания, обратимся теперь к деталям временной и частотной зависимостей основных вязко-упругих функций и к их связи с химической структурой. Каждая зона значений времени представляет собой отдельную проблему. Наиболее характерна для полимеров переходная зона из высокоэластического в стеклообразное состояние, которая рассматривается в настояшей главе. [c.286]

Из соотношений (1)—(6) ясно видно, что по известным функциям распределения времен релаксации или запаздывания теоретически можно рассчитать податливость или модули. Однако L(t) и Н т) не могут быть измерены непосредственно, а рассчитываются из экспериментальных наблюдений таких зависимостей, как E(t), D(i), E i u) и т. д. Более того, не существует удобных и точных соотношений, по которым из этих измеренных зависимостей можно было бы рассчитать функции Я(т) и L(t). Было предложено огромное число приближенных соотношений, позволяющих определять H i) по любому модулю и L(t) по любой податливости. Обобгцение этого материала с указанием погрешностей каждого метода было выполнено Ферри [4]. [c.30]

Там же были освещены методы описания линейных вязко-упругих свойств с помощью механических моделей, содержащих группы Фойгта, соединенные последовательно друг с другом, а также с упругим и вязким элементами, или группы Максвелла, соединенные параллельно. Если число таких групп конечно, то мы имеем дискретный спектр времен упругого последействия или времен релаксации. Дискретный спектр времен релаксации представляет собой набор времен релаксации причем с каждым временем релаксации связан определенный модуль Ei, изображаемый упругим элементом группы, имеющей номер L Для сплошного спектра или полосатого число времен релаксации бесконечно велико и вместо дискретных модулей Е вводят функцию распределения времен релаксации E tr) или (lnir), так что dE=Е (tr)dtr представляет собой вклад в величину модуля групп Максвелла, имеющих времена запаздывания от U до U+dtr. [c.164]

На примере отклика наблюдаемой скорости реакции на ступенчатое возмущение функций отметим некоторые закономерности нестационарных процессов. Во-первых, переходные режимы заканчиваются не мгновенно, а имеют некоторый период релаксации. Как правило, характер релаксации скорости близок к экспоненциальному, иногда бывает незначительное начальное запаздывание. Во-вторых, наблюдается скачок скорости после возмущения по некоторым реагентам, имеющий конечную величину и предшествующий дальнейшему установлению монотонного характера скорости. Будем говорить об инерционных и предваряющих свойствах катализатора, смысл которых поясняется ниже. За исключением условий, в которых возможны кинетические автоколебания скорости, отмеченные закономерности проявляются во многих каталитических реакциях. Это позволяет предположить, что типичные стороны нестационарных процессов, вызванных как собственно каталитическими нревра- щениями, так и процессами, обусловленными сторонними превращениями, изменяющими свойства катализатора, в первом приближении могут быть выражены в сравнительно простой и удобной для исследования форме в виде дифференциальных уравнений относительно новых переменных — наблюдаемых скоростей превращения компонентов газовой фазы. Асимптотическое поведение этих уравнений при неизменном состоянии газовой фазы совпадает с кинетической моделью стационарного процесса. [c.18]

Прежде чем переходить к непос >едственному изложению материала, дадим краткую характеристику вязко-упругих свойств полимеров. Эти свойства обычно характеризуют такими показателями, как динамический модуль (а), модуль потерь G"((o), динамическая податливость / ((й), податливость потерь /"(со), переходные модуль G(i) и податливость /(t) и т. д., а также спектрами времен релаксации Я(т) и времен запаздывания L(r). Каждый из этих показателей или соответствующая их пара характеризуют поведение материала в определенных условиях испытаний или эксплуатации и являются функциями частоты (или времени) и температуры. При этом частотная и температурная зависимости оказываются, тесно связанными между собой [19, 20] и при наличии некоторых дополнительных данных могут быть пересчитаны одна в другую. [c.6]

Более надежны соотношения, позволяющие пересчитывать одни зависимости модулей или податливостей в другие, минуя использование спектров распределения времен релаксации или запаздывания. Применимость и надежность этих соотношений была недавно рассмотрена в работе Шварцля и сотр. [5]. Однако возможность использования прямых пересчетных формул в значительной мере зависит от интервала времен, для которых были получены экспериментальные данные, и вида измеренных функций. Кроме того, исходные экспериментальные данные должны быть предстаЕлены в определенной форме. Во многих случаях точность пересчета остается неизвестной и требуется проведение дополнительных перекрестных расчетов. Поэтому необходимо сформулировать общую для всех расчетов такого рода методику, позволяющую использовать технику программирования для счетнорешающей машины, не требующую гтубо- [c.30]

Подробное изучение вида вязкоупругих функций позволило Ферри выделить несколько характерных зон, существование которых 0 связывает с разл чным типами молекулярного движен я. Автор различает зону стеклообразного состояния, переходную зо у между высокоэластическ 1м 1 стеклообразным состоян ями, зо у плато (где спектр релаксации имеет сравнительно плоскую форму, а спектр запаздывания проходит через, макс 1мум), псевдоравновесную зону (для сшитых полил еров) и конечную зону, характерную для линейных полимеров. [c.6]

Величина оигибки, допускаемой при приближенных вычислениях спектров релаксации и запаздывания, может быть оценена различными способами. Исходная экспери.меита,и,-ная зависимость, из которой был найден спектр, может быть вновь получена из спектра с помощью формул, подобных (4.1), и сопоставлена с исходными данными, однако это не является достаточно строгой проверкой н такой метод применяется редко. Итерационный метод, аналогичный методу Реслера и Ипрсона, позволяющий в принципе получить точные результаты, может быть использован для проверки более простых методов проверка такого типа ), проведенная для выражения (4.20) Вильямса и Ферри, показала хорошее совпадение результатов, за исключением области вблизи максимума Н. Более часто применяется другой способ — сравниваются значения Я, полученные приближенно из различных экспериментальных функций. Это почти всегда воз.можно при анализе результатов динамических испытаний, при которых G и G" (или J и /") определяются одновременно. Расхождение спектров, вычисленных по упругой и вязкостной слагаю-UiHM, указывает на то, что по крайней мере один из них ошибочен, в то время как совпадение является достаточно надежным доказательством удовлетворительности вычислений, так как нет оснований ожидать, что оба спектра отклоняются одинаковым образом. [c.89]