Параметры, собственные значени

Собственные значения е,п(Я) и собственные функции Ф,п г Н) этого уравнения характеризуются набором квантовых чисел электронного состояния (т) и зависят от ядерных координат не как от динамических переменных, а как от параметров, поскольку от них как от параметров зависит Й . По этой причине ядерные координаты в формуле (55) отделены от коорди нат электронов вертикальной чертой. [c.110]

При (1 = 0 все его собственные числа X отрицательны. По мере увеличения ц спектр уравнения ( 111.168) сдвигается вдоль действительной оси. Для того чтобы собственные значения возрастали с увеличением (I [так чтобы при некотором значений этого параметра уравнение ( 111.126) имело бы ненулевые решения при Я, = О, когда оно совпадает с ( 111.122)] необходимо, чтобы по крайней мере в некоторой области внутри зерна функция (х) была положительной. [c.359]

Программа, реализующая метод Якоби, представлена на стр. 288. Она состоит из процедуры и обращения к ней. Формальным и параметрами процедуры являются N — порядок матрицы А — матрицы коэффициентов LAM — вектор собственных значений S — матрица собственных векторов. [c.287]

Пусть А — заданный оператор. В математике его собственными значениями называют те значения параметра а, при которых функции /, входящие в уравнение [c.12]

Параметр р выбирается таким образом, чтобы матрица Р / -f была положительно определена. Собственные значения матрицы + О -, [c.270]

Заметим, что выражение (VI, 53) является решением задачи для любого значения коэффициента А . Когда конкретно выбранный параметр дает такое решение, он называется собственным значением. Другие собственные значения этой задачи имеют вид [c.135]

Л может рассматриваться как параметр. В гл. III указывалось, что собственные значения — это такие значения Я, для которых существует решение и при том иное, чем тривиальное х = 0. [c.135]

Следовательно, значения й, которые удовлетворяют уравнению (VI, 58а), являются собственными значениями, и при таком выборе параметров результатом будут множественные решения в форме (VI, 47а) для любых 2. [c.136]

Как правило, а отличается приблизительно в 250 раз (в трубчатом реакторе с продольным перемешиванием), а длина приблизительно в 100 раз. Подстановка показывает, что собственное значение в случае трубчатого реактора с продольным перемешиванием меньше по крайней мере на порядок, даже если параметр 5 имеет возможную [c.148]

Все термодинамические процессы характеризуются собственными значениями скорости и движущей силы. Однако если в системе одновременно протекает несколько термодинамических процессов, процессы могут взаимодействовать друг с другом. В результате скорость каждого из них, иными словами, поток каждого термодинамического параметра будет зависеть не только от своей термодинамической силы, но и от движущих сил всех других процессов, происходящих в системе. Данное заключение о возможности взаимовлияния и, следовательно, взаимодействия различных необратимых термодинамических процессов является принципиальным для термодинамики неравновесных процессов. В частности, ею многих случаях оно позволяет достаточно корректно описывать сложные и/или трудно интерпретируемые другим способом явления. [c.323]

Дифференциальные уравнения, связывающие переменные системы, имеют решения, содержащие некоторые параметры, которые принимают целочисленные значения для устойчивых состояний. Другим выражением той же закономерности является дискретность собственных значений оператора энергии в уравнении Шредингера. [c.333]

Рассмотрим задачу на собственные значения (А -Ь е В + + е В — Х(А )Е )С = 0. Левая часть этого уравнения зависит от параметра к, О к 2п. Обозначим через к)—собственные числа этой задачи, упорядоченные в порядке убывания. Функции (к) являются непрерывными. Область значений каждой такой функции является отрезком и называется зоной спектра матрицы А1. Спектр матрицы А) состоит из объединения этих зон. Интервал вещественной прямой, свободный от точек спектра, называется лакуной. [c.60]

Если величина собственного значения А известна, то, воспользовавшись значениями параметров, приведенными в таблице 1, можно рассчитать массовую скорость горения т. Полученные значения массовой скорости горения приведены на рис. О (для нестехиометрических смесей) и рис. 7 (для стехиометрических смесей). Видно, что, в согласии с теоретическим анализом, — при малых [c.323]

Рис. 8.1.1. Расщепление в нулевом поле уровня триплетного состояния. Обозначения спиновых функций 1> = [аа> 0> = (1ар> + 1Ра>)/ 2 и -1> = рр>. Л и - параметры расщепления в нулевом поле уИ собственные значения операторов и соответственно.

Однако структура кинетических моделей, как правило, такова, что оценки кинетических констант сильно коррелируют между собой. Это ведет к тому, что функции меры, характеризующие степень совпадения экспериментальных и расчетных данных, обнаруживают в пространстве параметров в окрестности точки минимума наличие оврагов, затрудняющих определение точечных оценок констант. Детерминантные критерии значительно уменьшают объем доверительного эллипсоида, не изменяя коэффициентов корреляций и, следовательно, не исправляя овражной ситуации. В этом отношении критерий формы, максимизируюпщй наименьшее собственное значение информационной матрицы Л/(е), представляется более предпочтительным, так как стремится придать доверительной области сферичность посредством минимизации длины большой полуоси доверительного эллипсоида. [c.189]

Наименьшее значение (i, при котором могут появляться мнимые собственные значения, соответствует р = О, га = 1, и равно Из условий (VIII.139) видно, что появление мнимых собственных значений в кинетическом режиме практически не может наблюдаться. Прежде всего, обычные значения р для пористых катализаторов превосходят единицу. Кроме того, поскольку Ф1 > 1 (в частности для плоской пластинки я] = л74, а для сферической частицы ф = л ), даже при Р 1 мнимым корням соответствуют значения параметра fi, при которых нарушаются условия протекания реакции в кинетическом режиме. Таким образом, на непрерывной ветви решений, начинающейся с ц = О и соответствующей кинетическому режиму протекания реакции, не возникает явлений колебательной неустойчивости и решения из этой ветви устойчивы вплоть до точки ветвления решений стационарных уравнений. Хотя мы пользовались [c.361]

Задача (VIII.147) всегда икеет действительный спектр. Таким образом, па непрерывных ветвях решений, соответствующих диффузионному режиму, также невозникает явлений колебательной неустойчивости. При А <С0 все собственные значения отрицательны, и соответствующий стационарный режим устойчив. При. 4 > О в спектре задачи (VIII.147) есть положительное собственное значение, и стационарный режим неустойчив. При изменении параметра А смена устойчивости происходит в результате перехода собственного значения через нуль в точке ветвления. 4=0. Области А ]>0 соответствует область неустойчивых режимов, разделяющих внутри- и внешнедиффузионную области протекания реакции. [c.363]

Программа на стр. 290 реализует метод унитарных преобразований для нахождения собственных значений действительных несимметрических матриц. Вычислительная часть программы оформлена в виде процедуры UNITIM, входными параметрами которой являются порядок матрицы Р, матрица U, точность расчета EPS. Выходным параметром процедуры является матрица L размерности Р X 2, строки которой содержат действительные и мнимые части найденных собственных значений исходной матрицы. В процедуре UNI TIM используются две процедуры SDM и СОМР, первая из которых реализует сложение и вычитание матриц, а вторая — преобразование комплексных чисел из алгебраической в тригонометрическую форму и обратно. [c.295]

Таким образом, мы пришли к семейству (11,193), (11,194) с р = 1. Следовательно, Яф положительно определена для любого Ф 5= 0. Теперь ограничим диапазон изменения параметра Ф отрезком [0,1]. Это связано со следующим интересным свойством матрицы Нф для Ф [0,1] и квадратичной функции (11,9) собственные значения матрицы к = А НфА % расположенные по порядку, стремятся монотонно к единице для любой последова-телЪности векторов я, определяемой соотношениями (1,40), (11,272). Причем это справедливо независимо от того, проводится одномерный поиск или нет. [c.113]

При использовании взвешенного разностного метода существенным является определение необходимой степени аппроксимации, т. е. отыскание значения п, достаточно малого для обеспечения легкости вычислений и достаточно большого для получения необходимой точности. Естественно предположить, что для изучения устойчивости системы, описываемой моделью частицы катализатора, достаточно довольно малого значения п. Куо и Амундсон (1969 г.) в результате тщательного исследования получили профили четырех стационарных состояний с помощью метода Галеркина. В любом случае заключение об устойчивости системы было корректным уже при п = 1 и ни в одном из случаев не потребовалось значения /г > 3, чтобы получить собственные значения с точностью до трех значащих цифр. Для изучения той же системы Макговин (1969 г.) также использовал метод Галеркина, но он в основном исследовал влияние изменений числа Льюиса. В качестве примера был выбран случай с тремя стационарными состояниями, приведенный на рис. У1-10. Эти профили оказались справедливыми для любых чисел Льюиса при следующих значениях остальных параметров [c.174]

Может показаться, что наличие двух граничных условий увеличивает размер матрицы А. Однако Макговин доказал, что две вспомогательные точки коллокации могут быть исключены с помощью одновременного решения уравнений (IX, 37) и (IX, 38) с тем, чтобы выразить все переменные как функции, вычисляемые только в п точках. Используя параметры, выбранные Рейли и Шмитцем (1966 г.) для исследования трубчатого реактора идеального вытеснения с рециклом и подбирая подходящие числа Пекле, Макговин применил ранее полученные результаты к изучению трубчатого реактора с продольным перемешиванием и рециклом. Он определил характер устойчивости в малом для различных стационарных состояний, вычисляя наибольшее собственное значение матрицы А при разной степени аппроксимации п. Типичный пример представлен на рис. 1У-6, из которого следует, что сходимость носит затухающий колебательный характер. [c.231]

Интересный пример излагается в работе Искола (1970 г.), который моделировал реактор каталитического крекинга с помощью четырех обыкновенных дифференциальных уравнений материального и теплового балансов реактора и регенератора. При тщательном рассмотрении пары уравнений проточного реактора с перемешиванием существование рецикла не становится очевидным, но характер действительных потоков, как показано на рис. 1Х-10, такой, что каждый из них является внутренним рециклом для другого. С помощью тщательного исследования собственных значений Искол (1970 г.) показал, что система может быть неустойчива как при наличии колебаний параметров в довольно широких пределах, так и без этого. Изученные им свойства системы напоминают эффект упругого последействия. Численные результаты исследования Исколт могут быть использованы при управлении установкой промышленного крекинга. [c.241]

Задача заключается в оиродолепии значений параметра при которых уравнение (4.98) (с пулевым граничным условием для и(х)) имеет ненулевое решение этп значения называют, как известно, собственными значениями уравнения (4.97), соответствующие частоты со — частотами свободных колебаний, тгснулевые решеиия и х), отвечающие собственным значениям (которые оиределяются с точностью до И0СТ0ЯН1С0Г0 миожителя), называют собственными формами свободных колебаний. [c.171]

Выражение матричных элементов секулярной матрицы через радиальные интегралы кулоновского и спинюрбитального взаимодействий — это в определенном смысле законченный этап исследования. Возможности упрощения задачи, вытекающие из ее сферической симметрии, использованы полностью. Не зная численных значений радиальных интегралов, найти собственные значения секулярной матрицы в общем случае невозможно. Однако во многих интересных для физики случаях задача фактически содержит малый параметр. Если воспользоваться этим обстоятельством, можно написать приближенное решение секулярной задачи, все еще оставляя радиальные интегралы свободными параметрами. [c.171]

Операторы симметрти в общем случае не коммутируют между собой. Установим систему коммутирующих операторов, собственные значения которых определяют тип симметрии волновой функции. Эти операторы играют в теории молекул ту же роль (в смысле классификации электронных состояний), что и операторы (Ь , Ьг) или (Я, 1 ) в теории атома. Оператор энергии электронной подсистемы зависит от электронных переменных г и от координат ядер как от параметров. Рассмотрим преобразования симметрии электронных переменных под знаком интеграла [c.188]

Уравнение (81) называется дифференциальным уравнением возмущающего движения. Исследование устойчивости решения этого уравнения представляет собой задачу о собственных значениях дифференциального уравнения (81) при граничных условиях (78). Предположим, что основное течение задано, то есть известно распределение скоростей в ламинарном пограничном слое и (у). Тогда уравнение (81) будет содержать четьтре параметра Я, а, Сг, Си Для каждой выбранной пары Я и а можно найти собственную функцию ф и комплексное собственное значение с = Сг + Сг, причем здесь Сг — безразмерная скорость распространения возмущений, а С — безразмерный коэффициент [c.310]

Вычисление вероятности нахождения электрона в данной точке и его энергии — сложная математическая проблема. Оно предполагает решение дифференциального уравнения — уравнения Шредин-гера, в котором используются в качестве параметров масса и потенциальная энергия электрона. Решение уравнения Шредингера дает функцию координат электрона х, у, г ж времени известную как волновая функция электрона г з = / (ж, у, г, 1). Эта волновая функция полностью описывает электрон. Ее называют орбиталью. Единственной физической интерпретацией волновой функции является, как это будет видно из дальнейшего, соответствие квадрата модуля этой функции вероятности нахождения электрона в точке с координатами X. у, 2 в момент времени 1. Функции г — решения уравнения Шредингера — необходимо дополнить некоторыми математическими условиями, чтобы они имели физический смысл. Из этого следует, что уравнение Шредингера имеет решения, удовлетворяющие этим условиям только для некоторых значений полной энергии электрона Е. Это — разрешенные или собственные значения энергии (соответствующие волновые функции называются собственными волновыми функциями). Фактически эти разрешенные значения энергии показывают, что в квантовой механике принцип квантования уровней энергии вытекает из математической формы уравнений, а не вводится произвольно, как в квантовой теории. [c.26]

Решение уравнения Шредмнгера всегда содержит некоторые безразмерные параметры, принимающие значения натурального ряда чисел и представляющие собой квантовые числа п, I, т (главное, побочное, магнитное), значение которых определяют числом степеней свободы частицы-волны. Трехмерное пространство атома характеризуют тремя степенями свободы частицы-волны, которым соответствуют три только что упомянутых квантовых числа. Движение частицы вокруг собственной оси определяет четвертую степень свободы и требует введения четвертого, спинового квантового числа т . В уравнении (18.19) нижние индексы как раз и есть те параметры, т. е. квантовые числа. [c.207]

В методе Хюккеля обычно предполагают, что матрица перекрывания 8 совпадает с единичной. Кроме того, для углеводородных систем пренебрегают различиями в диагональных элементах матрицы Н и принимают, что недиагональиые элементы энергетической матрицы равны нулю, если атомы с соответствующими номерами не связаны химической связью. Остальные недиагональные элементы иредполагаются отличными от нуля и равными между собой, т. е. Вц а, Нц — если атомы i и / смежны, // , = О, если атомы I и у несмежны. Величины а и рассматриваются г ак параметры метода и называются кулоновским и резонансным интегралами соответственно. Собственные значения е,- интерпретируются как одноэлектронные уровни энергии. На каждом из них в соответствии с принципом Паули может быть расположено не более двух электронов (рис. 1.16). Полная л-электронная энергия основного состояния системы я-электронов представляется в виде суммы Е = 2 где щ — числа заполнения уровней энергии, равные одному из чисел О, 1 или 2. Числа 8 упорядочены в порядке возрастания, и занолненными в основном состоянии ири т =2к являются к (или /с +1, при т = 2кЛ- ) нижних уровней (см. рис. 1.16). Несложно проверить, что энергетическая матрица Н допускает представление Н = сгЕ 4- А, где А — матрица смежности соответствующего МГ с нумерацией вершин, аналогичной нумерации АО ф1 (г), Е — единичная матрица т-го порядка. Если принять за нуль [c.30]

Для трех приведенных выше уравнений первого порядка, определяющих величины Xj, 8 - и Т, граничные значения и У при г = оо являются известными, так как экспериментатор может свободно распоряжаться температурой и составом окружающей атмосферы. Индекс / всегда будет обозначать значения параметров при г = оо. Было предположено, что состав капли остается неизменным в процессе горения, поэтому составляющие каплю химические компоненты должны испаряться в пропорции, в которой они присутствовали в начальный момент, и следовательно, значения определяются начальным составом капли. Таким образом, в данной теории различие в скорости испарения компонентов не принимается во внимание. Хотя для некоторых двухкомпонентных топлив этот эффект наблюдается экспериментально, лишь в редких случаях имеется достаточно оснований для его учета при теоретическом анализе. Температура жидкости 7 определяется из условия фазового равновесия, как это сделано в пункте г 4 главы 3 в случае двухкомпонентной системы. Температура ТI слегка отличается от температуры кипения и определяется составом капли. Последним граничным условием является связь между величинами гjJ, выражающая требование о достижении химического равновесия при г —> оо. Из физических соображений следует, что этих условий достаточно для определения скорости горения т как собственного значения краевой задачи с условиями, заданными в двух точках. [c.311]

Следует подчеркнуть, что высота теоретической тарелки характеризует отнюдь не только саму колонку. Из параметров собственно колонки на величину Я явныд образом влияет диаметр гранул (с1), а неявным — коэффициент л, значение которого сильно зависит от степени однородности набивки колонки. Однако, кроме этих параметров, высоту Я определяют и выбор скорости элюции (и), и характер диффузии вещества в обеих фазах ( , , В ), и распределение вещества между зонами (Л), и кинетика сорбции (к). Таким образом, для разных препаратов или при разных условиях элюции одна и та же колонка может характеризоваться различнылш значениями Я. [c.32]