Экспоненциальное граничное условие

Если коэффициент распределения примесей между жидкой и твердой фазами больше единицы, то парциальная плотность примесей па фронте кристаллизации убывает со временем по закону, близкому к экспоненциальному. Граничное условие на фронте кристаллизации получим из выражения (V.157), приняв в нем Л = 0 [c.194]

Экспоненциальное граничное условие [c.129]

Для постоянного граничного условия диффузионный поток интегрируется элементарно. Для экспоненциального граничного условия только что изложенный метод дает [c.131]

Решение этого уравнения должно удовлетворять граничному условию (IX.99) и быть ограниченным прн 2 —>оо. Но общее решение уравнения (IX. 100) представляет собой комбинацию постоянной п экспоненциальной функции с положительным показателем ехр г г1Е а)] последняя не удовлетворяет требованию ограниченности на бесконечности и потому не должна входить в решение. Таким образом [c.294]

Постоянные и А определяются из граничных условий (IX. 105). Чтобы упростить задачу, воспользуемся, однако, условиями (IX.102), которые в данном случае принимают вид = О при а = О и конечно при х —>оо. Это означает, что 4+ = О, так как возрастающая экспоненциальная функция не должна входить в решение. Таким образом [c.296]

Решения общих краевых задач для уравнения (XV,87) обладают свойством стабилизации ограниченное решение 1/ X, I) каждой такой задачи при tоо имеет предел, являющийся стационарным решением Физически это означает, что всякий нестационарный процесс [математическая модель которого описывается уравнением (XV,87) с соответствующими граничными условиями и учитывающая конкретный закон сохранения (ограниченность решения) устанавливается, т. е. для больших значений времени весьма близок к стационарному режиму. Скорость выхода на стационарный режим, как правило, экспоненциальна, что оправдывает метод вычисления стационарного решения с использованием нестационарной задачи. [c.514]

Первое интегрирование при граничном условии = 0 = О для X = сю дает экспоненциальную зависимость потенциала ф от расстояния от поверхности х (рис. ХП.5) [c.202]

Автомодельные решения. Для степенного и экспоненциального законов (соответственно (3.5.22) и (3.5.21)) определены в простейшем виде константы i, С2, С3 и С4. Ниже выписаны выражения для функций o и с, соответствующих чисел Грасгофа, а также дифференциальные уравнения и граничные условия в случае и(х, 0) = 0. [c.87]

Кроме приведенных выше граничных условий, необходимо найти плотность теплового потока излучения д , входящую в уравнение (6.8.3). Для определения этого члена применялись различные модели излучения газа. Некоторые из них обсуждаются подробнее в разд. 17.6. В общем случае предполагается, что процесс переноса тепла излучением является одномерным, и д (у) рассчитывается с использованием некоторых упрощающих допущений. В работах [55—57, 64] обсуждается проблема расчета характеристик переноса излучением с помощью модели излучения серого газа, экспоненциальной широкополосной модели излучения газа и других моделей. [c.405]

Решение уравнения движения является результатом учета трех функций функции расстояния по нормали к поверхности раздела фаз, периодической (волновой) функции.расстояния в направлении, параллельном поверхности раздела фаз, и экспоненциальной функции времени. Смысл этого приема основан на существовании бесконечно малого возмущения, периодического но характеру, изменение которого во времени (усиление или спад) будет зависеть от знака константы в экспоненциальном члене. Решение затем комбинируется с уравнениями движения, что приводит к форме возмущенного уравнения скорости. Последнее решается с использованием всех граничных условий, кроме того единственного, которое связывает течение и диффузию, в результате все константы кроме одной исключаются. Исключение этой последней константы с учетом значений тангенциальных напряжений на границе раздела фаз требуют знания градиента концентраций на поверхности раздела. Для этого необходимо решить уравнение диффузии. [c.214]

Простой анализ показывает, что одно из линейно независимых решений уравнения (3.98) экспоненциально растет при -> > и, следовательно, не удовлетворяет граничному условию при = о. Следовательно, если значение параметра задано, то решение краевой задачи существует лишь при отдельных значениях постоянной а. Условию неотрицательности можно удовлетворить только при одном из этих значений. [c.125]

Операторный метод очень удобен для решения задач с переменным граничным условием. Пусть, например, концентрация на границе меняется со временем по экспоненциальному закону [c.129]

Таким образом, задача сводится к решению уравнения диффузии без источников с переменным граничным условием. Кишиневский принимает, что концентрация поглотителя у поверхности уменьшается со временем по экспоненциальному закону и использует решение вида (11,103). [c.139]

Система уравнений (6.4-5)—(6.4-7) представляет собой линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Нетрудно найти аналитическое решение этой системы. Величины Сь, с , с будут представлять собой линейные комбинации экспоненциальных функций Постоянные коэффициенты в этих линейных комбинациях и параметры 2, 3 определяются из граничных условий (6.4-9) — (6.4-11) и системы уравнений (6.4-5)—(6.4-7). [c.234]

Интегрирование (4.56) с граничным условием С(0,0)=Са приводит к экспоненциальному результату [c.222]

При граничном условии f h=o=7 o решение уравнения (5.132) приводит к экспоненциальному распределению средней температуры монодисперсных частиц по высоте участка постоянной скорости сушки [c.316]

Первое интегрирование при граничном условии ij) = 0 d /dx = = О для л = О дает экспоненциальную зависимость потенциала г от расстояния от поверхности х (рис. XII. 6) [c.184]

Отметим, кроме того, что решения уравнений и граничных условий как для степенного, так и для экспоненциального законов, т. е. уравнений (3.5.26) — (3.5.28) или (3.5.33) — (3.5.35), не зависят от того, положительны или отрицательны л и или М. При некоторых условиях просто удобнее отдельно интерпретировать решение как соответствующее течению вверх или вниз. На самом деле решение осуществляется одновременно для течений в обоих направлениях изменения х, положительном и отрицательном. [c.90]

Систему (УП.З) нужно решить для следующих граничных условий при Тр —О, 1м—1мо, 1п=1по, 0 = 1, а Тр меняется от О до Трп. Укажем, что аналитическое решение системы (УП.З) приводит к системе экспоненциальных уравнений (см. гл. I) и не облегчает моделирования, так как решение системы экспоненциальных уравнений с использованием современной цифровой вычислительной техники требует примерно такого же машинного,времени, что и решение системы дифференциальных уравнений. При использовании аналоговой техники решение системы линейных дифференциальных уравнений оказывается значительно более простым. [c.269]

Модель, описываемая уравнениями (6.3.2), допускает лишь асимптотическое исчезновение в пределе оо. Действительно, даже при отсутствии субстрата 2 концентрации молекул X и У не могут обратиться в нуль по прошествии конечного интервала времени, а лишь уменьшаются экспоненциально со временем. Поэтому, в частности, нам не требуется налагать никакого граничного условия для распределения вероятности при — 0. [c.212]

Из уравнения (24) видно, что степень превращения является линейной функцией времени, а не экспоненциальной, как это указано в уравнении (16). Диффузионная задача решена также для реакций типа 11—IV при использовании других граничных условий [118], [c.316]

Профили распределения углерода были получены в результате аналитического решения уравнений (7.24) — (7.27) совместно с уравнениями сохранения и приближенными граничными условиями. Профили распределения углерода для параллельного и последовательного отравления показаны на рис. 7.7 (а) и 7.7(6) соответственно для экспоненциальной функции активности. Как видно из рисунка, выделение кокса наибольшее на входе в реактор для параллельного отравления, где реагент (источник кокса) имеет наибольшую концентрацию. С другой стороны, для последовательного отравления выделение кокса наибольшее вблизи выхода из реактора, там, где источник отравления (в данном случае это продукт) имеет наивысшую концентрацию. Более того, параллельное отравление приводит к понижающемуся профилю распределения кокса, в то время [c.156]

Эти условия позволяют получить решение в форме экспоненциальной функции. Оно может применяться в качестве приближенного в случаях, когда использование граничных условий Данквертса затруднительно. [c.88]

Если известны законы изменения поперечного сечения концентраторов, то, интегрируя дифференциальное уравнение для колебательной скорости и учитывая граничные условия, можно найти расчетные формулы для определения всех данных, необходимых при конструировании полуволновых концентраторов различных типов. Порядок и примеры расчета различных концентраторов изложены в работах [38, 56] в качестве примера рассмотрим расчет ступенчатого и экспоненциального концентраторов. Резонансная длина полуволнового концентратора ступенчатого [c.104]

Массивными профилями обычно называют профильные изделия с треугольным, квадратным и т. д. поперечным сечением, относительные размеры которого не позволяют использовать для расчета уравнения теории одномерных течений. Интегрируя уравнение Навье—Стокса для случая двумерного течения, как это приходится делать при расчете массивных профилей , необходимо прежде всего определить граничные условия, которые учитывают форму профилирующего отверстия в матрице. Поскольку решения этих уравнений приходится искать в виде рядов Фурье или бесселевых функций, содержащих экспоненциальные коэффициенты, метод обратного расчета оказывается очень сложным, а иногда и совсем неосуществимым. Дальнейшее осложнение обусловливается тем, что в большинстве случаев расплавы являются неньютоновскими жидкостями. При попытке применить степенной закон для описания двумерных течений дифференциальные уравнения в частных производных превращаются в нелинейные уравнения с дробными показателями. В опубликованной литературе можно найти только уравнения, описывающие течение ньютоновских жидкостей через отверстия сравнительно простой формы квадрат, равносторонний треугольник, эллипс, прямоугольник и некоторые другие. [c.318]

Глава 3 посвящена приближенному аналитическому методу расчета нестационарной теплопроводности для одномерных и многомерных тел классических и неклассических форм. Введение параметра геометрической формы позволяет сформулировать и решить краевые задачи нестационарной теплопроводности для пластины, цилиндра и шара в виде одной задачи. Получены достаточно точные и простые по форме приближенные решения для функций температурного возмущения на поверхности этих тел (при граничных условиях первого, второго и третьего рода), изменяющихся по линейным, гармоническим, экспоненциальным и другим законам. [c.6]

Известно, что решения задач нестационарной теплопроводности для цилиндрических и сферических оболочек при смешанных граничных условиях второго и третьего рода, первого и третьего рода и т. д., полученные методом интегральных преобразований, имеют очень громоздкие ядра, а собственные числа определяются из сложных трансцендентных уравнений [97, 119]. Точные решения, как правило, выражаются сложными функциональными рядами, поэтому такие решения мало эффективны для инженерных расчетов. Метод, предложенный в настоящей книге, позволяет обойти эти трудности и представить решения в виде полиномов относительно радиальной координаты, коэффициенты которых экспоненциально стабилизируются во времени. [c.6]

Температура жидкости на входе — экспоненциальная функция времени. Граничное условие иа входе задано в виде [c.330]

В то же вре.мя термоупругие напряжения, найденные по температурному полю в первом приближении, принимают наибольшие значения в начальный момент времени не только при граничных условиях первого рода (В =оо), но и при любом конечном числе В1. Это связано с тем, что температурное поле в первом приближении описывается одной стабилизирующейся во времени экспоненциальной функцией. [c.385]

Следует заметить, что точное решение системы уравнений (3.209) с граничными условиями (3.210) приводит к более сложному, чем уравнение (3.211), выражению, содержащему бесконечно большой ряд последовательно уменьшающихся но величине экспоненциальных членов [7, 235, 343]. Однако при расчетах на основе этого решения приходится сталкиваться со значительными трудно- [c.108]

Решение системы уравнений (4.113) с граничными условиями (4.34), (4.35) и (4.114), (4.115) приводит к выражению вида (4.64). Если в выражении (4.64) ограничиться одним экспоненциальным членом и принять, что предэкспоненциальный множитель в нем близок к единице, как, нанример, это имеет место при работе колонны в безотборном режиме (см. табл. 2), то выражение для фактора разделения приближенно можно записать как [c.228]

Практическая оценка достаточности граничных условий всех трех вариантов, проведенная путем сравнения результатов решения с экспериментальными данными (105] показала, что наиболее точные значения степени превращения получаются с применением граничных условий Данк-в ртса. Наибольшее отклонение было получено при решении с граничными условиями (II 1.28). Граничные условия (II 1.29) позволяют получить решение в форме экспоненциальной функции. Это решение более точное, чем решение, полученное при граничных условиях (II 1.28). Оно может быть рекомендовано для приближенных расчетов, когда использование выражений (III.26) и (III.27) затруднительно, особенно для процессов со сложными реакциями. [c.47]

Видно, что величины тепловых потоков сугцественно зависят от параметра Ь. Его уменьшение до Ь = О, 5 при сохранении значений остальных параметров приводит к завышению теплового потока по сравнению с экспериментальными значениями. Результаты для равномерно неоднородной поверхности (/ = 5) совпадают с результатами для экспоненциально неоднородной поверхности при / = 5, г = 10, Ь = = 1 и являются заниженными по сравнению с экспериментальными данными. Расчеты проводились в рамках системы уравнений и граничных условий химически неравновесного многокомпонентного вязкого ударного слоя с использованием концепции эквивалентного осесимметричного тела. [c.90]

Поместив пластину в плоскости 2=0, мы на этой плоскости должны сформулировать граничное условие, которому должно подчиняться решепие уравнения (25.4). Поскольку эффектами столкновений частиц газа с поверхностью тела мы пренебрегаем, то вне сечения тела нри 2=0 распределение частиц не отличается от распределения (25.2) в набегающем потоке. В то н<е время вне сечения тела число частиц с О экспоненциально мало. Поэтому с принимаемой нами точностью будем считать такие частицы отсутствующими. Наконец, слева от тела (г = 0) с такой же точностью нет частиц, движущихся влево (г < 0), поскольку такие частицы могут возникать лишь п результате отражения от поверхности тела. Таким образом, граничное условие для нашей задачи имеет 11 ид [c.95]

Уравнение (1.1) в совокупности с граничными условиями представляет собой двухточечную краевую задачу для уравнения второго порядка. Здесь у — концентрация реагента в реакторе, занимающего отрезок О < 1 Ре — число Пекле Ва — число Дамклера В — число, пропорциональное теплоте реакцих . Нелинейный экспоненциальный член, фигурирующий в уравнении (1.1), определяет основные трудности при его решении. [c.185]

Правая часть первого уравнения системы (1.3) будет экспоненциально малой почти на всем отрезке изменения величины г за нсключеиием окрестности точки г = 1. Разобьем отрезок О г 1 на впутреинюю и внешнюю области. Внутренняя область представляет собой е — окрестность точки г = 1. В этой области, размеры которой порядка е. функция Н (г) будет экспоненциально уменьшаться от значения 1, которое согласно второму граничному условию она принимает на правом конце отрезка, до своего асимптотического значения —Д вне этой окрестности. Внешняя область включает почти весь отрезок за исключением е — окрестности точки г = 1. В этой области значение функции Н (г) должно от- [c.185]

Тепловой поток—экспоненциальная функция времени. В граничных условиях (5.56) положим ф2(Ро) =Го = соп81 <р (Ро)=(/сП—ехрХ Х(—PdPo)]. Тогда из формулы (5.59) получим [c.394]