Особые точки седловые

Рис. 4.16. Особые точки и разделяющие линии в диаграмме смеси вода -муравьиная кислота - уксусная кислота (С- седловой азеотроп Az - бинарный азеотроп с максимумом тем-Муравьиная пературы кипения 1-1У - области кислота ректификации)

Если к — О, то особая точка будет устойчивым узлом, к которой сходятся все дистилляционные линии при i- —oo. Если к = п—1, т. е. все корни отрицательны, то особая точка оказывается неустойчивым узлом. Кроме этого, еще имеется п — 2 случая, когда Q <к <п—. В таких случаях поведение дистилляционных линий является более сложным [22], а именно существуют две гиперповерхности [к измерений и п—1—к измерений), в которых дистилляционные линии примыкают к особой точке причем в первой гиперповерхности при t- oo, а во второй — при /->-—оо. Дистилляционные линии вне указанных гиперповерхностей будут седловыми кривыми, т. е. они не примыкают к особой точке и имеют около нее гиперболический характер. Особые точки последних типов являются разновидностями седловых точек, число к определяет порядок седла. Наглядную иллюстрацию к перечисленным случаям дают рассмотренные ранее 3- и 4-компонентные системы. [c.54]

Таким образом, в 4-компонентных системах особые точки седлового типа в случае бинарных азеотропов могут и приводить, и не приводить к появлению разделяющего многообразия. В тройных системах, напротив, узловая линия, проходящая через седловую точку двойного азеотропа, обязательно будет разделяющей. [c.41]

Примыкают к точке тройного азеотропа при /и -у 0. Еще две траектории, для которых Са = 0, Сз О, будут примыкающими при возрастании т. Остальные траектории оказываются седловыми кривыми. Таким образом, в тройной системе особая точка является седлом (рис. III, 3,й). Если теперь в формулах (111,11) Сз = О, то получим семейство траекторий [c.45]

Появление в системе нескольких дистилляционных областей здесь и в других случаях всегда обусловлено седловыми особыми точками с разделяющим многообразием. Наличие разных дистилляционных областей может существенно влиять на результаты дистилляции. Например, в данном случае при дистилляции невозможно выделить в растворе толуол, если состав раствора [c.51]

Не останавливаясь подробно на структуре диаграммы, отметим, что пространство внутри тетраэдра распадается на щесть трехмерных дистилляционных областей и на ряд двумерных областей, образованных разделяющими поверхностями 2-, 3- и 4-компонентных седловых особых точек. Характер протекания процессов дистилляции в этом случае оказывается довольно сложным и зависит от состава исходного раствора. [c.53]

Как видно, в tt-компонентных системах имеется п типов внутренних особых точек, т. е. п типов азеотропов, содержащих все компоненты системы. При этом, если в тройных системах известен и возможен только один тип седлового азеотропа, то в общем случае число различных седловых азеотропов равно /г — 2, [c.54]

Остановимся на различиях в свойствах седловых азеотропов. Рассмотрим седла порядка 1 и п —2. В этих случаях одна из гиперповерхностей имеет размерность п — 2, т. е. размерность, на единицу меньшую, чем размерность концентрационного симплекса. Соответственно этому гиперповерхность будет разделять окрестность особой точки на две области. С наличием разделяющих поверхностей может быть связан ряд особенностей дистилляции и ректификации. [c.55]

Для иллюстрации применим формулу (1 ,4) к тройным системам. В этом случае устойчивый и неустойчивый узлы имеют индекс 1, так как ки Хг > О или Х1, < 0 индекс седловых особых точек, для которых Хг < О, равен —I, что согласуется с приведенными выше (стр. 65) расчетами. В результате при п = 3 формула (IV, 4) дает [c.72]

О—точка четверного азеотропа —граничные особые ТОЧКИ, / — дистилляционные линии на границе 2 —дистилляционные линии внутри концентрационного тетраэдра двойными штрихами перечеркнуты дистилляционные линия. образующие Контур разделяющей поверхности, которая порождена четверным седловым азеотропом. [c.77]

Пусть, наконец, в 4-компонентной системе имеется один тройной седловой азеотроп и диаграммы дистилляционных линий в тройных системах имеют вид, как на рис. IV, 15. Из рисунка следует, что Д1-1-2Д2 = —4. Соответственно из формулы (IV, 7) находим Дз- -2Д4=1, причем = о, Л/Г = о, Сз = 1, 0 СГ = = 0, 1, так как тройной седловой азеотроп в 4-компонентной системе порождает седловую особую точку первого или второго порядка. С учетом сказанного воз- можны следующие варианты [c.83]

При определенном соотнощении температур кипения, соответствующих особым точкам на границе концентрационного симплекса, некоторые типы диаграмм оказываются единственно возможными. Например, если температура кипения (п— 1)-компонентного азеотропа наименьшая среди температур кипения в граничных особых точках, то в случае А в системе должен быть га-компонент-ный азеотроп. Действительно, если при Ап = О не имеется /г-компонентного азеотропа, то в точку (п— 1)-компонентного седлового азеотропа, согласно структуре седла, должна входить дистилляционная линия, выходящая из некоторой граничной точки с меньшей температурой кипения. Однако по условию на диаграмме такой точки нет. Следовательно, в случае А возможен либо вариант II с тг-компонентным азеотропом, либо вариант I, но с наличием в системе по меньшей мере двух п-компонентных азеотропов. [c.87]

Если число компонентов в рассматриваемой смеси четно, то взаимно сопряженными являются азеотропы с максимумом температуры кипения и отрицательные седловые азеотропы, а также азеотропы с минимумом температуры кипения и положительные седловые азеотропы (рис. V, 3). Рассмотренные правила сопряжения особых точек относятся к случаю однократно тангенциальной азеотропии, подробно рассмотренной в работах [29,70.71]. [c.108]

Назовем пучком совокупность траекторий с начальной особой точкой типа неустойчивый узел и конечной особой точкой типа устойчивый узел. Эти точки являются как бы опорными точками пучка траекторий. Границами каждого пучка, например для 3-компонентных смесей, являются стороны треугольника и сепаратрисы седловых точек. Рассмотрим в качестве примера диаграмму класса 3.1 типа 101 (рис. VI, 5, а). [c.144]

Для процесса дистилляции граничные траектории пучков состоят из нескольких конечных линий, начинающихся и кончающихся в особых точках. В частности, такими точками, расчленяющими границу на ряд отдельных физически реализуемых траекторий, являются седловые. Выбрав начальную точку дистилляции и устремляя I к —оо или оо, можно определить граничные условия траекторий. [c.144]

И2 > 1, О С Из < 1. Точка четверного азеотропа оказывается седловой особой точкой второго рода (рис. VI, 17, б). Приведенная картина расположения с-линий вытекает из уравнений (VI, 68), если учесть значения величин иь иг, из- [c.167]

Более сложный характер могут иметь процессы ректификации, когда в тройной системе оказывается не менее двух особых точек с минимальными температурами кипения относительно своей окрестности, В подобных случаях на диаграмме дистилляционных линий имеется не менее двух неустойчивых узлов, что может наблюдаться лишь при наличии в системе или бинарных азеотропов типа г или тройных седловых азеотропов, поскольку только этими азеотропами могут быть образованы дистилляционные линии, разделяющие области дистилляции с разными неустойчивыми узлами. Здесь для анализа процессов ректификации можно использовать тот же подход, однако ввиду более сложного характера этих случаев целесообразно рассмотреть примеры, вскрывающие основные особенности. - [c.172]

При указанном определении области ректификации все сформулированные выше характеристики пучка (узловые и седловые особые точки, граничные элементы, размерность) без изменений переносятся на области ректификации. При этом необходимо различать размерность области ректификации и размерность подпространства, которому эта область принадлежит. Например, тройной азеотроп представляет собой область ректификации пулевой размерности, а подпространство, которому он [c.18]

Структурная матрица позволяет легко определять локальные характеристики всех особых точек как во всем концентрационном симплексе, так и в его элементах. Неустойчивому узлу соответствует нулевой столбец структурной матрицы, устойчивому узлу — нулевая строка. Порядок и индекс седловых особых точек можно установить, учитывая число входящих и выходящих связей и их принадлежность тому или иному элементу симплекса. [c.21]

При отсутствии четверных азеотропов синтез структурной матрицы концентрационного тетраэдра, структура поверхности которого известна, состоит из двух основных стадий 1) выделение узловых поверхностей бинарных и тройных седловых азеотропов 2) построение внутренних связей между особыми точками выделенных поверхностей. [c.29]

При пересечении с поверхностью тетраэдра поверхность, разделяющая объем тетраэдра на независимые части, образует замкнутый контур. Если для одного бинарного или тройного седлового азеотропа выделенные цепи связей не образуют замкнутого контура на поверхности тетраэдра, то проводится объединение цепей связей двух или более особых точек рассматриваемого типа, образующее замкнутый контур. [c.29]

На второй стадии строятся внутренние связи между особыми точками выделенных двумерных многообразий, образующих замкнутый контур, на поверхности тетраэдра. Для этой цели используется тот же алгоритм, который разработан для синтеза структурных подматриц концентрационных треугольников. Если окажется, что рассматриваемая разделяющая поверхность не удовлетворяет условиям допустимости двумерных пучков с-линий, то делается заключение об отсутствии такой поверхности (это означает, что выделенные цепи связей тройного седлового азеотропа определяют не узловую поверхность, а узловую линию). [c.29]

В отличие от концентрационного треугольника, на расширенной диаграмме все особые точки будут внутренними, и для каждой из них может быть рассчитан индекс. В соответствии с определением индекса понятно, что индекс узловых точек, входящих в состав чисел Nr (/"=1, 2, 3), равен —1, а индекс седловых точек, входящих в числа Сг и Сз, равен +1. Особые точки из числа С[ будут иметь индекс, равный нулю. Последние наиболее кратко можно пояснить с помощью диаграммы на рис. П.11,г, характеризующей качественное поведение линий поверхностного разделения около подобных особых точек [c.46]

Следующим достаточно эффективным методом направленного поиска оптимума функции (со. Го, Ию,. . . , с, Т, к f, v , Р,. . .) является метод покоординатного спуска (метод Гаусса—Зейделя). Суть этого метода заключается в минимизации (максимизации) функции сначала по одному параметру, затем по второму и т. д. Основное преимущество перечисленных методов направленного поиска заключается в направленности поиска оптимума, что позволяет заметно снизить число вариаптов перебора по сравнению с перебором вариантов в методах слепого поиска. Среди недостатков методов направленного поиска следует выделить один — основной— возможность нахождения только локального оптимума или особой точки типа седловой. [c.362]

Каждый из методов направленного поиска имеет упомянутые нами слабые и сильные стороны. Вместе с тем им свойственны общие для всех методов преимущества и недостатки. Основное их преимущество заключается в направленности поиска оптимума, что позволяет решать задачи с большим числом оптимизируемых параметров на ЭВМ среднего класса за приемлемое время. Именно это их достоинство обусловило широкое использование методов направленного поиска при решении экстремальных многофакторных задач. СреДи недостатков методов направленного поиска следует выделить основнрй — возможность нахождения только локального оптимума или особой точки типа седловой. [c.135]

Если у электронной плотности имеется в некоторой точке максимум или минимум, то интегральные кривые будут вести себя похоже эти точки будут узлами, в которые сходятся интегральные кривые. Для седловой точки поведение будет несколько иным интегральные кривые будут огибать ее как семейство гипербол, например типа у = сх " т > 0), причем будут получаться 4 области, заполняемые этими кривыми и разделенные, по крайней мере вблизи седла, плоскостями (если седло находится в начале системы координат) Зр/Э> = ах+ Ьу + Р х, у) и др/дх = сх + dy + Q(x, у), где Р и содержат члены более высоких степеней иохму, чем линейные, а потому вблизи седла могут рассматриваться как члены более вьюоко-го порядка малости. Точка пересечения этих плоскостей, либо в более протяженной области - повер шостей, и будет исходной особой точкой, т.е. седлом. [c.488]

При возникновении фракции переменного состава могут встретиться самые разнообразные случаи в зависимости от двух факторов 1) характера кривизны разделяющей линии 2) относительного взаимного расположения особых точек системы и разделяющей линии. Остановимся подробнее на втором факторе. В рассмотренном примере азеотроп 23 и компонент 2 расположены так, что состав куба при ректификации автоматически удерживается на разделяющей линии. При ином взаимном расположении особых точек и разделяющей линии такой механизм не всегда может иметь место и процесс будет происходить иначе. Интересный пример в этом отношении дает исследованная [114] система вода (ау)—муравьиная кислота (т)—дихлорэтан < ). По данным работы [114], для указанной системы можно построить диаграмму с-линий (рис. VI, 20). Для наглядности на рис. VI, 20 масштабы не соблюдены и сохранены только определяющие элементы диаграммы. Как видно, в данной системе имеется тройной седловой азеотроп, два бинарных азеотропа тс1 и шй с минимальной температурой кипения и один бинарный азеотроп шт с максимальной температурой кипения. Области с разными первыми фракциями разделяет линия шт —д — гттй — й. На участке ду — тт этой линии ректификация будет иметь характер, отличный от описанного ранее. [c.174]

Поскольку ноды жидкость — пар касательны к линиям дистилляции [21] и одновременно являются хордами с-линий, локальные особенности поведения в окрестностях особых точек и топология пучков с-линий и линий дистилляции одинаковы [5]. Вместе с тем с-линии и линии дистилляцттп могут совпадать только на прямолинейных участках. Для удобства дальнейшего изложения примем за направление линий дистилляции и с-линий то направление, в котором увеличивается температура смеси при Р = onst. Каждый пучок характеризуется своими начальной (неустойчивый узел) и конечной (устойчивый узел) точками. Эти узловые точки являются общими для всех линий пучка. Кроме того, каждому пучку (за исключением одномерных пучков) соответствует совокупность седловых особых точек, являющихся предельными для данного пучка, т. е. таких, у которых любая сколь угодно малая окрестность содержит точки, принадлежащие рассматриваемому пучку. [c.17]

Описанный метод не позволяет идентифицировать варианты структуры, различающиеся по своим структурным матрицам, но имеющие одинаковые локальные характеристики всех особых точек (для трехкомпонентных смесей примерами таких структур являются типы 38 а и в по классификации [5]). В этих случаях выяснение структуры требует проведения специального расчетного или экспериментального исследования. Для решения задачи необходимо установить расположение сепаратрис седловых особых точек, что достигается, например, использованием метода, предложенного в работе [13] и заключающегося в расчете линий сопряженных нод, сколь угодно близких к сеператрисе. [c.34]

Для структуры, показанной на рис. III-3, е возможны шесть типов разделения (123 12—/), (123—12 1), (12 1—13), (12—1 13), (I 13—2), (1—13 2). В рассмотренных примерах (см. рис. 111-3,6—е), если граничная с-линия проходит через несколько седловых особых точек, то при нечетком разделении в некотором интервале иараыетрн П устойчивый узел облпсти Гл не совпадает с неустойчивым узлом области В этих [c.100]

В общем слу"зс граница области ректифпргятши может проходить через узел и некоторое число седловых особых точек, большее, чем (га—2), а цепь связей может содержать более (га—2) седел. В этих случаях в качестве разделяющих линей- [c.108]

Рассмотрим третий класс фракционирования. Если при граничном режиме второго класса фракционирования точка верхнего продукта лежит на отрезке ( 1 2 Ообр, 5 = 5 гр), то при дальнейшем увеличении флегмового (парового) числа точка верхнего продукта должна перемещаться к границе области ректификации (линия /). Если при граничном режиме второго класса фракционирования (при 5=5 гр), продуктовыми точками являются точки 2 и /, т. е. осуществляется разделение (2,3 1), то при бесконечной флагме зона постоянных концентраций имеет состав седловой особой точки 12. [c.180]

Предположение об адиабатическом характере химической реакции означает, что поверхность потенциальной энергии основного состояния молекулярной системы полностью определяет ее поведение. Тем самым задача теоретического предсказания возможных механизмов реакции и отвечающих им энергий активации сводится к квантовохимическому расчету поверхности потенциальной энергии для основного терма соответствующей молекулярной системы. В рамках подхода теории абсолютных скоростей реакций требуется в действительности знать не столько саму поверхность потенциальной энергии, сколько ее особые точки. Среди них можно выделить достаточно глубокие минимумы, которые отвечают химически устойчивым соединениям, и более мелкие минимумы (до 40 кДж/моль), отвечающие малоустойчивым структурам. Если переход между исходными соединениями (реагентами) и конечными продуктами реакции осуществляется через подобные малоустойчивые структуры, то мы будем называть их интермедиатами данной реакции. Истинные седловые точки (см. гл. 2) отвечают переходным состояниям, причем, двигаясь между двумя локально стабильными структурами, мы должны пройти, по крайней мере, через одно переходное состояние. [c.138]

Устойчивый узел характеризуется тем, что любое малое воз-муй1,ение состава системы, отвечающего особой точке, ликвидируется в процессе поверхностного разделения. Напротив, неустойчивый узел характеризуется дальнейшим увеличением возмущения в ходе процесса. Седловым особым точкам свойственна устойчивость только к некоторым видам возмущений. [c.39]

То же самое может быть выражено и в терминах суждения о единственности (воспроизводимости) состояний равновесия в данной гомогенной системе. Напомним, что у нас, по определению, речь всегда идет о состояниях равновесия лишь относительно конкретного набора превращений, т. е. часть других, в принципе возможных стехиометрических взаимосвязей может быть заторможена. Вопрос о возможньгх сменах уровня или характера заторможенностей снимается ограничением, заложенным в словах данная система, так как невоспроизводимая смена заторможенностей формально означает неконтролируемую подмену одной системы (совокупности состояний) другой. Положение о единственности состояний равновесия для каждой точки данной открытой гомогенной системы (для каждой закрытой гомогенной системы) можно выразить в форме утверждения о единственности минимума изобарно-изотермического потенциала при постоянных Т, Р ъ пространстве внутренних переменных с вытекающими из условия закрытости (и, может быть, заторможенности) ограничениями. В общем случае речь должна идти о единственности условного экстремума характеристической функции. Внутренними переменными могут быть концентрации химических форм в растворе и (или) параметры, поставленные в определенное соответствие реализующимся в рассматриваемом множестве растворов независимым стехиометрическим и (или) структурным связям. Эквивалентным изложенному выше является утверждение о строгой выпуклости изобарно-изотермического потенциала закрытой гомогенной системы для каждой выпуклой области пространства переменных типа координата независимой реакции . Опираясь на метод неопределенных множителей Лагранжа, можно сконструировать и функции, отнесенные к пространству с размерностью выше общего числа химических форм в растворе. Тогда следует говорить о седловых точках таких фуикций. Итак, к математическим конструкциям, предназначенным для формального решения задачи по отысканию единственного состояния равновесия (при определенных ограничениях) среди множества, охватывающего и неравновесные состояния, требование существования лишь одной особой точки (лишь одного особого решения и т. п.) следует предъявить как фундаментальное. Эти выражения принципа приводят к дополнительным ограничениям на возможный вид функций (10), (11), (19), (20) и (16). [c.25]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология