Эйлера метод решения уравнени

Для нахождения приближенного решения системы дифференциальных уравнений можно использовать метод Рунге — Кутта и метод Эйлера. [c.123]

Современная вычислительная техника позволяет преодолеть трудности аналитического вычисления предыдущего интеграла. Наиболее просто это можно сделать одним из численных методов решения дифференциальных уравнений — методом Эйлера. Заключается он в следующем. Заменим в уравнении дифференциалы конечными разностями [c.39]

При численном решении систем дифференциальных уравнений наиболее часто используют методы Эйлера и Рунге — Кутта. С другими методами можно ознакомиться в книгах по вычислительной математике [2, 3]. Оба эти метода удобны при программировании решения на ЭВМ для тех случаев, когда все граничные (начальные) условия заданы при одном и том же значении аргумента. Охарактеризуем кратко эти методы. [c.145]

Это преобразование улучшает обусловленность якобиана системы, т.е. уменьшает жесткость задачи. Затем полученная в результате преобразования система уравнений решается по неявной схеме Эйлера методом Ньютона. При такой конструкции алгоритма в преобразованном уравнении правые части быстрых переменных содержат члены с большими константами и называются авторами алгоритма быстрыми комбинациями. У медленных переменных в слагаемых скоростей будут отсутствовать члены с большими константами. Однако надо отметить, что константа скорости химической реакции сама по себе не является оценкой характерного времени би- и тримолекулярных процессов. Для такой оценки необходимы скорости элементарных стадий, а эти скорости могут быть получены только в процессе решения системы кинетических уравнений. Поэтому в некоторых случаях предложенный алгоритм может не привести к желаемому разделению на быструю и медленную подсистемы и фактически сведется к интегрированию неявным методом Эйлера системы обыкновенных дифференциальных уравнений, практически не отличающейся от исходной по жесткости. [c.133]

Блок-схема алгоритма приведена в работе [36]. Для численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс каталитического риформинга, первоначально использовался метод Рунге—Кутта. Разработанная программа позволила эффективно интегрировать дифференциальные уравнения. Однако, как показала практика, на расчеты затрачивалось много времени. Для сокращения времени счета была составлена другая программа, использующая более быстрый метод Эйлера. Сравнение точности вычислений по этим двум методам решения системы дифференциальных уравнений приведено в таблице III. 2. Данные таблицы показывают, что [c.126]

Другой метод решения уравнения Больцмана, позволяющий вывести как уравнения Эйлера, так и уравнения Навье—Стокса, был разработан независимо Чепменом и Энскогом в начале нынешнего столетия. Свою работу Чепмен опубликовал в двух статьях [28, 29], а Энског — в докторской диссертации [64]. Энског основывал свою работу на уравнении Больцмана, а Чепмен, используя уравнения переноса (расширенный набор моментов уравнения Больцмана), следовал Максвеллу. Оба автора пришли к почти точно совпадающим результатам. Позднее Энског [65] привел подробное сопоставление своих результатов с результатами, полученными Чепменом. Тождественность этих результатов, выведенных независимым путем, способствовала всеобщему принятию кинетической теории. [c.124]

Рассматриваемая задача представляет собой двухточечную краевую задачу для системы дифференциальных уравнений первого порядка. Используем для решения метод Ньютона, а в качестве промежуточных звеньев в программе — модифицированный метод Эйлера для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и метод Гаусса для решения систем алгебраических уравнений. [c.309]

Такое поведение, типичное для жестких систем, мы рассмотрим на примере системы дифференциальных уравнений, описываю-шей кинетику химической реакции, причем эту систему можно решить также и аналитическими методами. Как поведет себя численный алгоритм, например алгоритм Эйлера, при решении такой системы (На данном примере будет показано, как решить эту проблему с помощью неявного метода Эйлера.) [c.395]

Простейшим методом решения системы уравнений (7.283) является метод Эйлера при вычислении производной д.хц1(И в точке [c.366]

Решение системы уравнений (2.61) — (2.63) проводилось методом Эйлера. Окончательное решение запишется в виде [c.111]

В связи с тем, что при расчете стационарных режимов работы технологических схем точное решение динамической модели не является необходимым, целесообразно при интегрировании системы дифференциальных уравнений использовать различные временные шаги интегрирования для каждой перемены, что в случае применения метода Эйлера запишется как [c.404]

Заслуживают внимания прямые методы решения задач оптимизации функционалов (см. главу V, стр. 232), обычно позволяющие свести исходную вариационную задачу к задаче нелинейного программирования, решить которую иногда проще, чем краевую задачу для уравнений Эйлера. [c.32]

Вариационные методы позволяют свести решение оптимальной задачи к интегрированию системы дифференциальных уравнений Эйлера (нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка с граничными условиями на обоих концах интервала интегрирования). Число уравнений указанной системы равно числу неизвестных функций, определяемых при решении оптимальной задачи. Каждую функцию находят в результате интегрирования данной системы. [c.248]

В последнее время в нашей стране был разработан новый метод решения системы кинетических уравнений, в известной мере противоположный методу Больцмана, так как в этом методе рассматриваемая система может быть далека от состояния равновесия и диффузионные скорости не малы. Этот метод позволяет вычислить основные параметры потока для каждой компоненты газа. Показано, что решение системы кинетических уравнений Больцмана в этом случае сводится к системе уравнений газовой динамики, отличных от уравнений Эйлера или Навье — Стокса тем, что в правых частях этих уравнений движения и уравнений энергии появляются члены, учитывающие взаимодействие отдельных компонент газа (см. ниже). [c.19]

Методы решения оптимальных задач подобного типа рассматривались в ряде работ (см. например, /I/, /2/, /3/), в которых для нахождения оптимального решения предлагается использовать метод динамического программирования или метод, сводящийся по существу к решению краевой задачи, дополненной условиями в промежуточных точках, для уравнений Эйлера-Лагранжа. Однако, при использовании метода динамического программирования придется табулировать функции с числом переменных, равным числу параметров, определяющих процесс, и при большом числе параметров применение метода окажется затруднительным. Во втором же случае мы имеем дело с решением краевой задачи для исходной системы уравнений и вспомогательной сопряженной системы, что также является достаточно трудоемким процессом. [c.342]

Далее предположим, что для нахождения численного решения уравнения (167) заменены уравнениями в конечных разностях. Последние, согласно методу Эйлера, можно представить в следующем простом виде 2) [c.226]

Тогда решение задачи. может быть определено в методологическом плане как выбор наилучшего метода интегрирования уравнений типа (65). Если предположить, что для начального значения t концентрации компонентов и величины потоков известны, то при использовании метода интегрирования Эйлера [255] получим [c.58]

Для решения уравнения (2.149) воспользуемся методом Эйлера, который позволяет при заданных начальных условиях Х=Хо, Z=Zo получить данные для графического построения зависимости 2=ф(Х) в некотором промежутке (Хо, X). Делим этот промежуток на I частей (равных или неравных) последовательными точками Хь Хг,. .., Х,- . На участке (Хо, Х1) полагаем [c.210]

В тех случаях, когда решение уравнений Эйлера—Лагранжа получается в аналитической форме, двухточечная граничная задача не представляет трудностей. Существенные затруднения возникают, когда решение не удается получить в аналитической форме и приходится прибегать к численным методам. [c.109]

Метод динамического программирования имеет большое преиму-ш,ество перед вариационным исчислением при решении задач этого типа в динамическом программировании довольно удобно учитывать ограничения типа неравенств. Например, если в каком-то случае давление или состав по каким-либо причинам могут оказаться недопустимыми, в ходе решения задачи методом динамического программирования проверяются соответствующие ограничения и выбираются траектории, не нарушающие эти ограничения. С другой стороны, решение уравнений Эйлера — Лагранжа в вариационном исчислении дает оптимальную траекторию без учета ограничений типа неравенств. [c.159]

Метод Эйлера является методом численного приближённого решения дифференциального уравнения первого порядка. Найдём решение уравнения [c.17]

Таким образом, даже тогда, когда уравнение Эйлера существует и можно найти его общий интеграл, зто еще не означает, что получено решение исходной оптимальной задачи. Лишь относительно узкий круг задач с достаточно гладкими решениями и хорошими ограничениями позволяет успешно применять методы вариационного исчисления. В остальных же случаях более эффективными оказываются такие методы, как динамическое программирование и принцип максимума. [c.243]

В зависимости от знака величины А один из корней характеристического уравнения (12—28) оказывается по модулю большим единицы. Поэтому при I оо общее решение неоднородного уравнения и, следовательно, модифицированный метод Эйлера является неустойчивым. Так же как и для простой формулы Эйлера, ошибка может быть уменьшена только за счет уменьшения шага интегрирования. [c.358]

В случае, если жидкость является идеальной и несжимаемой (р = onst), задача интегрирования уравнении движения (81) сильно упрощается. На это указал впервые еще Эйлер, чье имя носят уравнения движения (81). Аналитические методы решения уравнений движения идеальной жидкости получили большое развитие, и в настоящее время изучено множество случаев обтекания тел (крылья, решетки крыльев, тела осесимметричной формы, всевозможные каналы и т. п.). Из совокупности работ этого направления образовалось важное направление современной механики — классическая гидродинамика. [c.91]

С другой стороны, теорию Гильберта всегда можно довести до конкретных результатов, так как методы решения уравнений Эйлера хорошо изучены, чего нельзя сказать о гидродинамических уравнениях высших порядков теории Чепмена—Энскога, представляющих собой дифференциальные уравнения всегда первого порядка относительно временных производных, но последовательно возрастающего порядка относительно производных макроскопических переменных по пространственным координатам. Разрешению этой трудности была посвящена работа Грэда [84], в которой показано, что для любого конечного значения времени результаты Гильберта и Чепмена—Энскога являются асимптотическими решениями уравнения Больцмана. Алгоритм построения последовательности решений Гильберта всегда можно реализовать получаемый результат ограничен при любом конечном времени гидродинамические уравнения высших порядков теории Чепмена—Энскога и, в частности, уравнения первого порядка (уравнения Навье—Стокса) приводят к решению, ограниченному при любых временах. Однако, если не удается решить уравнения теории Чепмена—Энскога, нам не остается ничего иного, кроме как использовать разложение Гильберта. В 5.10 мы вернемся к рассмотрению этого вопроса. [c.130]

Уравнение (V, 133), которому удовлетворяют экстремали функ ционала (V, 48), обычно оказывается нелинейным дифференциаль ным. Поэтому его решение в аналитическом виде можно получить лишь в сравнительно редких случаях. Как правило, для решения уравнения Эйлера необходимо использовать численные методы несмотря на все трудности, возникающие при их применении к решению краевых задач с граничными условиями, которые заданы на обоих концах интервала интегрирования. [c.225]

Седьмая глава является одной из основных глав книги. Здесь на примерах теплообменника и ректификационной колонны показана методика использования численных методов решения задач. Авторы связывают расчетные параметры с изучаемым процессом. Рассматриваются методы преобразования дифференциальных уравнений в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений и затем в разностные уравнения. Сравнивается использование различных методов (Эйлера, Рунге—Кутта, Крэнка—Никольсона и метода авторов) с точки зрения сходимости, точности и возможности расчета с помощью цифровых вычислительных машин (ЦВМ). Приводится расчет многокомпонентной ректификационной колонны. В заключение дается обзор численных методов. Следует отметить, что опущены некоторые математические рассуждения, очень простые для математиков и необходимые для понимания химикам-технологам. [c.7]

Летный эксперимент по аэродинамическому торможению. Для решения ряда вопросов, связанных с созданием AOTV, было принято решение провести натурный эксперимент, названный Летным экспериментом по аэродинамическому торможению (AFE). В ходе этого эксперимента можно было бы, в частности, оценить влияние неравновесных процессов в газе и на поверхности на тепловые потоки к аппарату на траекториях AOTV. Также же, как и на аппарате Спейс Шаттл такая проверка могла быть выполнена с помош,ью сравнения тепловых потоков к стандартной плитке из R G с тепловыми потоками к поверхности материала с высокими каталитическими свойствами. Предварительные результаты расчетов тепловых потоков в окрестности высоко каталитического покрытия показали типичный скачок теплового потока по сравнению с низко каталитическим материалом R G [148]. В расчетах использовалась теория пограничного слоя с распределением давления, полученным интегрированием уравнений Эйлера методом интегральных соотношений. [c.129]

Трудности решения уравнений полного вязкого ударного слоя маршевыми методами вдоль основного направления потока связаны с тем, что в них учитываются все члены уравнений Эйлера, в частности, члены, ответственные за передачу возмугцений вверх по потоку в дозвуковых областях течения (продольная составляюгцая градиента давления). Дополнительные проблемы возникают при решении задач сверхзвукового обтекания тонких длинных тел, так как в этом случае ударный слой утолгцается и увеличивается толгцина дозвуковой области около тела. При использовании уравнений полного вязкого ударного слоя эллиптичность задачи заключается и в том, что для нахождения решения в окрестности линии торможения необходимо знать форму ударной волны вниз по потоку. [c.189]

Для решения уравнений Эйлера в дозвуковых областях течения воспользуемся методом глобальных итераций. При этом, с целью сведения в дозвуковых областях течения эллиптической задачи к гиперболической производная от отхода ударной волны вычисляется ио параметрам с предыдугцей глобальной итерации, а для аппроксимации продольной составляюш,ей градиента давления на всех глобальных итерациях используется приближение [c.202]

Правую часть дифференциального уравнения вычисляют, исходя из известных уже значений x и. Поскольку метод решения дифференциальных уравнений такого типа работает как при положительных приращениях Дх , так и при отрицательных, было бы гораздо лучше, если бы можно было оценивать правую часть дифференциального уравнения между и К сожалению, непосредственно сделать это нельзя, поскольку еще не вычислено значение Однако с помощью так называемого прогноза можно найти вспомогательную величинуВ качестве прогноза примем приведенную выше рекуррентную формулу Эйлера [c.224]

Если обозначить [А] черезх и [К] через , а правые части диф ференциальных уравнений через/, и/2 соответственно, то по методу Эйлера для решения будут использоваться следующие итерационные формулы (см. также разд. 9.1) [c.395]

Сведение системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, естествепно, существенно упрощает процедуру численного решения задачи и позволяет использовать методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Вычислительный алгоритм решения уравнений направления и совместности обычно включает итерационный процесс, при этом первая итерация соответствует методу Эйлера, а вторая и последующие — методу Эйлера с пересчетом, что обеспечивает второй порядок точности численного решения. [c.67]

Однако такое утверждение звучит не очень убедительно. Хотя решения уравнения Больцмана, полученные в низшем приближении ме-тодомТильберта, приводят к гидродинамическим уравнениям Эйлера, оказывается, что с помощью этого метода невозможно вьгеести классические уравнения гидродинамики, т. е. уравнения Навье—Стокса. Поэтому метод Гильберта не применяется, за исключением очень специфических случаев [212], и, более того, в общем случае некоторые авторы высказьшают сомнения, имеет ли этот метод практическую ценность (см. работу Струминского [198]). [c.124]

Таким образом, применение соотношений типа (3.111) основано на том, что элемент, представляемый явной схемой Эйлера в методе Рунге — Кутта, заменяется на неявный элемент, разрешаемый Ньютоновскими итерациями. Конкретный выбор значений параметров в (3.111) определяется процедурой регуляризации, состояш ей в установлении соответствия между численным решением и формальным разложением в ряд Тейлора с заданным порядком точности по к (порядок не может быть больше второго). Применяя формулы вычислительного процесса У п+1 = ФУп к исходному уравнению у = —Ку, всегда можно удовлетворить требованию ф < 1 выбором значений параметров в (3.111). Другие параметры выбираются либо пз сообра-жеиий простоты процедуры, либо регуляризацией иного типа, наделяющей численную схему дополнительными желательными свойствами. Таким образом, вычислительный процесс (3.102) легко управляем и является балансным, однако не имеет свойства положительности, т. е. в решении возможно появление отрицательных концентраций, продемонстрированное на примере (3.83). [c.188]

Нх, 1) = Ах] - (1 - г)/ хО . Эта гомотопия часто называется глобальной гомотопией, так как решение ее канонического дифференциального уравнения методом Эйлера без шага коррекции эквивалентно методу Ньютона с демпфирующим фактором, т. е. траектория гомотопии, образованная применением этой функции гомотопии, глобализирует метод Ньютона. [c.265]

Хотя система уравнений (5.18) имеет несколько необычную форму, она может быть решена с помощью стандартного метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В нашем случае, когда ищут одно стационарное решение, нет необходимости использовать методы интегрирования со специально настраиваемыми параметрами, поскольку глобальная устойчивость и квадратичная сходимость может быть получена и без них. Некоторые исследователи проводили эксперименты с интефаторами относительно высокого порядка, но их опыты подтвердили ранее сделанное предположение о том, что для получения решения достаточно простого явного интефирования методом Эйлера. [c.270]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология