Задача Эйлера

Это преобразование улучшает обусловленность якобиана системы, т.е. уменьшает жесткость задачи. Затем полученная в результате преобразования система уравнений решается по неявной схеме Эйлера методом Ньютона. При такой конструкции алгоритма в преобразованном уравнении правые части быстрых переменных содержат члены с большими константами и называются авторами алгоритма быстрыми комбинациями. У медленных переменных в слагаемых скоростей будут отсутствовать члены с большими константами. Однако надо отметить, что константа скорости химической реакции сама по себе не является оценкой характерного времени би- и тримолекулярных процессов. Для такой оценки необходимы скорости элементарных стадий, а эти скорости могут быть получены только в процессе решения системы кинетических уравнений. Поэтому в некоторых случаях предложенный алгоритм может не привести к желаемому разделению на быструю и медленную подсистемы и фактически сведется к интегрированию неявным методом Эйлера системы обыкновенных дифференциальных уравнений, практически не отличающейся от исходной по жесткости. [c.133]

Задача Эйлера об устойчивости сжатого упругого стержня. Считаем стержень идеально прямым (Шц = 0) и сжатым центрально приложенной силой. Тогда, следуя методу Эйлера, равновесие упругой системы считаем устойчивым по Эйлеру, если после статического приложения и снятия малой возмущающей силы при постоянной внешней нагрузке система возвращается к исходной [c.179]

В задачах вариационного исчисления (стр. 202) недостаток граничных условий восполнялся условиями трансверсальности, число которых равнялось числу недостающих граничных условий для уравнения Эйлера. Аналогичные условия трансверсальности можно иолу ить и при использовании принципа максимума. Рассмотрим [c.339]

Интеграл д и его экстремум определяются через зависимость переменной У/ от времени. Известно, что интеграл обнаруживает экстремум только при одном определенном значении функции. Определение функции, которая дает экстремум является задачей вариационного исчисления, причем установлено [20], что искомой функции удовлетворяет дифференциальное уравнение Эйлера [c.353]

Заметим, что постановка задачи Эйлера иная, чем в рассмотренных ранее разделах курса. Если раньше мы находили [c.217]

Задача Эйлера. Пусть концы стержня закреплены шарнирно, причем нижний шарнир неподвижен, а верхний может перемещаться вертикально к верхнему концу прикладывается вертикальная сила Р (рис. 136). Предположим, что сечения стержня одинаковы, длина его равна /, момент инерции I и модуль Юнга Е. [c.365]

Однако при исчезающе малом, но конечном значении величины Ог, граничное условие (10.32) означает, что градиент концентрации в сечении на выходе равен нулю. Это несколько неожиданный вывод, потому что явно превалирующее условие, когда = О, не может рассматриваться как предел общего решения задачи при Ог, стремящемся к нулю. Рассмотренная ситуация имеет аналогию в классической механике жидкости, решенную Прандтлем путем введения концепции пограничного слоя. В последнем случае решения задачи невязкого течения или уравнений Эйлера не являются пределом, к которому стремится решение общих уравнений Навье — Стокса, когда вязкость приближается к нулю. [c.121]

При использовании метода Эйлера необходимо исследовать его пригодность для конкретной задачи с точки зрения точности полученного решения. [c.125]

Следовательно, после того как найдено решение уравнений Эйлера, предстоит еще убедиться, что функционал при этом прини-м,1ет экстремальное значение и что оно нужного типа. Лишь после подобной проверки можно считать, что оптимальная задача решена до конца. [c.202]

Таким образом, даже тогда, когда уравнение Эйлера существует и можно найти его общий интеграл, зто еще не означает, что получено решение исходной оптимальной задачи. Лишь относительно узкий круг задач с достаточно гладкими решениями и хорошими ограничениями позволяет успешно применять методы вариационного исчисления. В остальных же случаях более эффективными оказываются такие методы, как динамическое программирование и принцип максимума. [c.243]

Уравнения (IV,167) — (IV,169) являются уравнениями Лагранжа — Эйлера описываемой вариационной задачи, которые можно непосредственно получить при помош,и вариационного исчисления 107 Конечно, приведенный здесь вывод этих уравнений нельзя считать строгим и он иллюстрирует только связь изложенных здесь методов с методом вариационного исчисления. [c.142]

При решении задач гидродинамики чаще всего используют критерии Рейнольдса, Фруда, Эйлера [c.13]

Рассматриваемая задача представляет собой двухточечную краевую задачу для системы дифференциальных уравнений первого порядка. Используем для решения метод Ньютона, а в качестве промежуточных звеньев в программе — модифицированный метод Эйлера для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и метод Гаусса для решения систем алгебраических уравнений. [c.309]

Основной задачей при использовании формул Эйлера, Рунге— Кутта и т. д. для решения системы (7.288) является выбор шага интегрирования, или фактора релаксации. При малых значениях последнего сходимость решения монотонная, но медленная. В случае же больших значений л возможно появление колебательности и даже расходимости решения. Система уравнений баланса является жесткой, т. е. имеет сильно различающиеся по абсолютной величине собственные значения. Поэтому ее решение существенно зависит от величины шага интегрирования. Очевидно, должно существовать оптимальное значение фактора релаксации, величина которого определяется собственными значениями матрицы системы уравнений и в конечном итоге количеством и концентрацией компонентов на тарелке. При расчете по формулам (7.288) фактор релаксации определяется через собственные зна- [c.367]

Вариационные методы позволяют в этом случае свести решение оптимальной задачи к интегрированию системы дифференциальных уравнений Эйлера, каждое из которых является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка с граничными условиями, заданными на обоих концах интервала интегрирования. Число уравнений указанной системы при этом равно числу неизвестных функций, определяемых при решении оптимальной задачи. Каждую функцию находят в результате интегрирования получаемой системы. [c.32]

Первые к условий заданы при х = Хд, а остальные п — к условий — при X = Ху. Несмотря на наличие полного набора граничных условий для всех уравнений, эта система уравнений уже не может быть решена прямым применением формул Эйлера или Рунге — Кутта. Задачи, в которых граничные условия для дифференциальных уравнений заданы в двух точках, называются двухточечными краевыми задачами. К краевым задачам относятся также многоточечные краевые задачи, когда условия для неизвестных функций заданы в системе точек х = х , х = vn. д., и задачи с дифференциальными уравнениями порядка выше первого, в которых условия на решение или его производные задаются в раз- [c.379]

Как показано ниже (стр. 54 сл.), интегралом уравнений движения Эйлера для установившегося потока является уравнение Бернулли, широко используемое для решения многих технических задач. [c.52]

При наиболее важной для практики формулировке задачи все входящие в уравнение критерии, кроме критерия Эйлера, служат определяющими, так как они составлены исключительно из величин, выражающих условия однозначности. В критерий же Эйлера входит величина Ар, значение которой при движении жидкости по трубе полностью обусловливается формой трубы (отношением физическими свойствами жидкости (ц, р) и распределением скоростей у входа в трубу и у ее стенок (начальные и граничные условия). Поэтому, согласно третьей теореме подобия, для подобия необходимо и достаточно соблюдение равенства значений Но, Рг, Не и 11(1 . Следствием выполнения этих условий будет также равенство значений определяемого критерия Ей в сходственных точках подобных потоков. Поэтому уравнение (II,85а) представляют как [c.80]

Для решения поставленной задачи целесообразно воспользоваться характеристикой Эйлера для сферы [c.154]

Первый шаг состоит в вариационной формулировке задачи. Этого можно добиться, используя уравнение Лагранжа—Эйлера [c.598]

Таким образом, зная функционал, можно получить уравнение для функции, на которой он достигает экстремума, и обратно, имея некоторое дифференциальное уравнение для функции и рассматривая его как уравнение Эйлера вариационной задачи, можно построить соответствующий функционал. При этом появляются дополнительные возможности для приближенного решения задачи. Например, можно сузить класс пробных функций, ограничившись функциями определенного вида с параметрами. Подбирая значения этих параметров из условия экстремума функционала, найдем и приближение к искомой функции, и приближение к искомой величине — значению функционала. При этом если погрешность в функции будет порядка Д, то погрешность в значении функционала будет порядка Д , так как вследствие (1.106) вариация функционала не будет содержать линейных слагаемых по б/. [c.43]

Заслуживают внимания прямые методы решения задач оптимизации функционалов (см. главу V, стр. 232), обычно позволяющие свести исходную вариационную задачу к задаче нелинейного программирования, решить которую иногда проще, чем краевую задачу для уравнений Эйлера. [c.32]

Таким образом, в вариационном исчислении задача отыскания неизвестных функций сводится к решению дифференциальных уравнений. Аналогично тому, как. в анализе условие равенства нулю дифференциала dx функции x(t) является только необходимым условием экстремума функции x(t), уравнения Эйлера обеспечивают также лишь необходимые условия экстремума функционала. [c.213]

Отметим, что величина А амплитуды прогиба стерл -ня в приведенном выше решении задачи Эйлера никак не определяется и теоретически может быть сколь угодно большой. Этот противоречащий действительности вывод является следствием линеаризации задачи. На самом деле при больших прогибах перестает быть обоснованным приближенное выpaлieниe для кривизны, которым мы пользовались при выводе уравнения (1). В этом случае надо использовать точное выражение [c.366]

Возвра[цаясь снова к задаче нахождения постоянных интегрирования в общем интеграле уравнения Эйлера (У,68) при граничных условиях (У,19) и (У,20), заметим, что условия трансверсальности, записанные для обоих ко1и ов экстремали, дают как ра недостающие два соотношения, которые совместно с системой уравнений (У,71) и позволяют определить совокугтость шести неизвестных величин С,, С и [c.206]

Поскольку решение вариационной задачи связано с получением и решением уравнения Эйлера, которое, в свою очередь, может существовать лишь в том случае, когда отыскиваемая экстремаль допускает свободное двухстороннее варьирование, наличие ограпиче-Н1п1[ (У,260) и (У,261) может привести к тому, что в некоторых случаях вообще невозможно написать данное уравнение. При этом ограничение типа (У,261) еще позволяет иногда использовать аппарат вариационного исчисления иоиском решения в виде функции, п( -разному определенной в ряде интервалов, на которых х ) = л , x t) х или д < X (/) < х , как было сделано ири расчете оптимального температурного профиля в реакторе. При ограничениях же типа (У,260) вариационную задачу даже таким способом в общем случае, ио-видимому, нельзя решить. Это объясняется тем, что при ограничениях типа (У,260) экстремаль функционала может проходить не только внутри дозволенной области, но также частично или нолностью по ее границе. [c.242]

Ранее было показано, что метод Ньютона с линейным поиском эквивалентен методу дифференциальной гомотопии и задача решается интегрированием по методу Эйлера, но без шага коррекции. Таким образом, метод Ньютона с линейным поиском можно представить с помощью полиномиальной аппрокси- [c.280]

Открытие основных законов гидравлики связано с именами Архимеда, Паскаля, Ньютона, Эйлера, Бернулли, Шези, Дарси, Буссинеска, Вейсбаха, Прандтля, Н. Е. Жуковского и других ученых. Решение ряда задач нефтяной гидравлики было получено на основании результатов работ В. Г. Шухова, Л. С. Лейбензона, И. Г. Есьмана, И. А. Чарного, Б. Б. Лапука, В. И. Чериикина, В. Н. Щелкачева и др. [c.25]

Предположим, что кривая hb определяется рещением уравнений Эйлера задачи и дает двусторонний эксфемум. Покажем, что при такой схеме количество произволов в определении функций совпадает с количеством условий. В дальнейшем будет определена область существования решений этого вида (3.3 и 3.4). [c.75]

Получим уравнения для спинюрбиталей Фр(х) из условия экстремума функционала энергии (2.60) при дополнительных условиях (2.SS). Уравнения Эйлера такой вариационной задачи имеют вид (1.112). Вариационную производную от bip, р) находят сразу [c.79]

В случае, если жидкость является идеальной и несжимаемой (р = onst), задача интегрирования уравнении движения (81) сильно упрощается. На это указал впервые еще Эйлер, чье имя носят уравнения движения (81). Аналитические методы решения уравнений движения идеальной жидкости получили большое развитие, и в настоящее время изучено множество случаев обтекания тел (крылья, решетки крыльев, тела осесимметричной формы, всевозможные каналы и т. п.). Из совокупности работ этого направления образовалось важное направление современной механики — классическая гидродинамика. [c.91]

Экватор сферы размерности ш представляет собой сферу размерности т-1, т.е. замкнутое многообразие, к которому можно также применить характеристику Эйлера. Если задача оптимизации на границах концентрационного симплекса не имеет физического смысла, всегда удастся выде- [c.62]

Методы теории графов появились в ХУП1 в. благодаря гению Л. Эйлера. Первой задачей этой теории считается решенная им в 1736 г. задача о кенигсбергских мостах . Однако долгое время науки, естественные и гуманитарные, не проявляли интереса к теории графов. Задачи с графами — о коммивояжере и о пяти ферзях , о ревнивых мужьях и о коне Аттилы , о Ханойской башне и т. д.—стали традицхгониьщ. пополнением развлекательных разделов в массовых журналах. [c.3]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология