Начальная асимптотика

НАЧАЛЬНАЯ АСИМПТОТИКА Численные и параметрические методы [c.99]

Система (3.636, в), (3.65) есть укороченная асимптотика исходной системы (3.63), которая при начальных условиях и 0) = у е 2г(0) = 4>0, г = 1,. . ., (Ж — М ), однозначно разрешима на интервале (О — Т). Таким образом, действительно, решение исходной системы (3.56) единственно и стремится к решению системы (3.636, в), [c.157]

Вторая особая точка х = О возникает в тех случаях, когда слой смешения на начальном участке струи близок к автомодельному состоянию. Тогда, как легко установить с помощью соображений размерности, <Л ) х- 0(см.формулу (3.31) в 3.4). Асимптотика решения уравнений (3.58) — [c.106]

Легко убедиться в том, что при использовании этого асимптотического решения строго соблюдаются начальные условия по химическим переменным и концентрациям. Данная асимптотика хорошо аппроксимирует точное решение задачи. [c.151]

Для целей сравнения с асимптотикой численного решения неавтомодельной задачи решение сформулированной выше нелинейной задачи на собственные значения для системы обыкновенных уравнений также было найдено численно. Система обыкновенных уравнений (4.18) — (4.20) решалась численно при начальных условиях (4.21), причем показатель а подбирался методом проб так, чтобы удовлетворялось условие отсутствия притока вещества и энергии в центре при / > 0. Счет прекращался, когда величину = Яг , /у вблизи = 0 с точностью до 1 % можно было считать постоянной. Результаты сопоставления значений показателя [c.77]

Таким образом, численное интегрирование при взятых нами начальных условиях подтверждает, что асимптотикой решения исходной неавтомодельной задачи действительно является автомодельное решение, рассмотренное в предыдуш ем и этом параграфах. [c.78]

Очевидно, что асимптотикой при достаточно больших временах решения этой задачи должно быть решение задачи о мгновенном сосредоточенном взрыве на границе двух полупространств,, заполненных газом различной плотности, находящимся под нулевым давлением. Последнее представляет собой автомодельное решение первого рода, оно было построено Р. И. Нигматулиным [771 комбинацией решений обычных симметричных задач о плоском сильном взрыве, изученных Л. И. Седовым [96, 97], отвечающих начальным плотностям газа ро и р1 и некоторым определяемым в ходе решения задачи энергиям 2 1 и 2Е2. [c.85]

Ясно, однако, что асимптотика, отвечающая сосредоточенному взрыву на границе полупространств, устанавливается не сразу. Действительно, как и в п. 4.6, мы приняли, что в момент = т вся энергия сосредоточена в некотором слое более плотного газа, имеющем конечную толщину. С началом движения начинается перераспределение энергии между полупространствами. Естественно думать, что при малых р1/ро в начальный период, когда скорость распространения левой волны, идущей по [c.86]

Иногда (см. главу 7) скорость распространения определяется при рассмотрении структуры неоднозначно. Это значит, что она зависит от начальных условий исходной задачи, асимптотикой решения которой служит бегущая волна. [c.115]

Таким образом, любое решение типа солитона может быть промежуточной асимптотикой решения задачи Коши при ->сх), но какое именно — определяется начальным условием, т. е. функцией и (х, 0). [c.128]

Как показано в главе 3 с использованием численного счета, автомодельная промежуточная асимптотика решения начальной задачи для уравнения [c.135]

Приближенные методы решения кинетического уравнения можно разделить на две основные группы методы для получения начальной асимптотики и методы для получения дальних асимптотик решений. Первую группу методов еще можно разделить на численные и параметрические методы. [c.99]

Для слоистых систем (см. разд. 3.1) начальной асимптотикой служит модель послойного переноса, а конечной — модель однородного пласта с усредненными фильтрационными и суммарными емкостными характеристиками. В треш иновато-пористых породах (см. разд. 3.2) такими асимптотиками служат модель микродисперсии (обмен между трещинами и блоками не проявляется) и предельная модель макродисперсни (пласт ведет себя как квазигомогенный) широко могут использоваться также промежуточные модели неограниченной и сосредоточенной емкости. [c.490]

При нахождении автомодельных решений обычно не рассматривается вопрос о времени выхода коалесцирующей системы на автомодельный режим. Это время будет зависеть не только от ядра коалесценции, но и от начального распределения в коалесцирующей системе. Для его определения необходимо ввести критерий сравнения автомодельного и начального решений, по величине которого можно было бы судить о их близости. Поскольку, как было показано выше, при определении полных решений кинетического уравнения как для начальной, так и для дальней асимптотики встречаются существенные математические трудности, кажется разумным построить критерий сравнения на основе моментов этих решений. [c.108]

Глобальное решение, найденное с помощью решения обратной задачи Коши, определяет те начальные условия, для которых решение прямой задачи Коши существует на полуоси л > О (см. аналогичные рассуждения для статистически однородного случая). Для струй, когда в сечении на срезе сопла концентращ1я принимает только два значения z=Onz = l (z=0 вне струи, Z = 1 в струе), асимптотика глобального решения при д О является автомодельным решением для слоя смешения. [c.107]

При значениях приложенного напряжения, лежащих между безопасным и критическим, в некоторый момент времени трещина начинает расти. Из условия разрушения получается нелинейное интегральное уравнение, определяющее закон движения. Это уравнение решить чрезвычайно трудно, ио практически наиболее важным является случай, когда нагрузка пренебрежимо мала по сравнению с Оп. Это естественно, так как разрушение тел с трещиной обычно происходит при напряжениях, значительно меньших предельной прочности. Поэтому достаточно изучить асимптотику при малых значениях а/ая, когда интегральное уравнение преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, связывающее скорость роста трещины с ее длиной. Трещина растет с конечной скоростью до некоторой критической длины, когда скорость роста становится бесконечной, и происходит мгновенное разрушение. Этого не бывает у тел кельвиновского типа, для которых каждому конечному размеру трещины отвечает конечная скорость ее роста. Однако и в этом случае длина трещины возрастает до бесконечности за конечное время. Назовем время, необходимое для того, чтобы трещина достигла критической длины, временем разрушения. Тогда, проинтегрировав дифференциальное уравнение, можно (при фиксированной длине начальной трещины) построить кривую зависимости времени разрушения от приложенного напряжения. Эту кривую можно интерпретировать как кривую длительной прочности тела с трещиной. [c.99]

Процедура определения основных членов асимптотики %б,o t) и Хм,о (О ун е была рассмотрена ранее. Погранфункция ПоХб(т) — поправка на потерю начальных условий для быстрых химических переменных — находится путем решения дифференциального уравнеппя [c.150]

Отметим, что при фактическом вычислении предела (4.5.5) нужно соблюдать осторожность. Так как решения ( ) не могут неограниченно возрастать со временем, фазовая траектория не выходит за границы некоторой конечной области фазового пространства. Если максимальный размер этой области равен X, расстояние I) между данными траекториями не может, очевидно, превышать величину Ь. Поэтому при очень больших временах когда фазовые траектории разойдутся на расстояние порядка Ь, величина К ( ) начнет уменьшаться со временем. При расчете значения К предел t оо необходимо понимать в смысле промежуточной асимптотики К ( ) при г Г, где Т — характерное время, требуемое для расхождения фазовых траекторий на расстояние Ь, Подчеркнем, что время Т зависит от начального расстояния между траекториями и, выбирая это расстояние достаточно малым, величину Т можно сделать сколь угодно большой. [c.137]

Другой вариант учета асимметрии состоит в сохранении асимптотики больших времен и изменении асимптотического хода кривых в начальный момент времени. В этом случае в качестве ядер интегральных операторов могут использоваться, например, вырожденные гипергеометрические функции [63]. [c.347]

Предложенный алгоритм построения периодического по времени решения включал следующие процедуры (рис.2.6). Течение восстанавливается шагами по осевой координате от истока до точки дробления струи. На каждом шаге решение определяется значениями в начальной точке радиуса струи и трех параметров скорости течения в зависимости от времени. Каждая итерация - это определение течения в заданном поле давлений. В качестве первого приближения берется движение по инерции (без учета вязкости и поверхностного натяжения). Давление определяется формой поверхности струи, отвечающей предьщущей итерации. Последовательность итераций представляет собой асимптотику решения по степеням чисел Вебера и Рейнольдса. Размер шага ограничен нарастанием погрешности асимптотических формул по мере удаления истинного течения от течения по инерции. Временная зависимость неизвестных функций представляется отрезком ряда Фурье, пространственная зависимость в пределах каждого шага-отрезком ряда Т ейлора. [c.30]

Замечание 1. Как правило, в книге предполагается, что входные данные задачи граничные (начальные) условия, правые части, коэффициенты бесконечно дифференцируемы по переменным х , t. В действительности для получения асимптотик заданного порядка точности по е достаточно предположения о существовании производных некоторого конечного порядка. [c.20]

Р. М. Гарипов, Об асимптотике волн в жидкости конечной глубины, вызванных произвольным начальным возвышением свободной поверхности. Докл. АН СССР, 147, № 6 (1962). [c.333]

Дело в том, что, как правило, эти частные решения представляют собой асимптотики широкого класса других решений, отвечающих другим начальным условиям. В этом случае значение точных частных решений возрастает в сильнейшей степени. И эта часть вопроса отражена в заглавии книги, в словах промежуточные асимптотики . Значение решений как асимптотик зависит от их устойчивости. Вопросы устойчивости и поведения решений при малых возмущениях также рассматриваются в этой книге в частности, излагается предложенный в совместной работе Г. И. Баренблатта и моей простой метод исследования устойчивости инвариантных решений. [c.8]

Автомодельность связывается [19, 109] с нелинейной, во-обнде говоря, задачей на собственные значения, существование решения которой обеспечивает существование автомодельной промежуточной асимптотики в целом. Оказывается нетривиальным вопрос о множестве собственных значений в этой задаче — спектре, определяющем возможные значения показателей степени в автомодельных переменных. Все просто, если спектр состоит из одной точки, как в рассмотренной выше модифицированной задаче теплопроводности. Если же спектр состоит более чем из одной точки, в частности, если он непрерывен, показатели степени в автомодельных переменных зависят от начальных условий исходной неавтомодельной задачи. Замечательный пример здесь доставляет автомодельная интерпретация известного уравнения Кортевега—де Фриза (см. главу 7). [c.23]

Точно так же дело обстоит и в общем случае. Автомодельные решения всегда представляют собой решения вырожденных задач, в которых входящие в задачу параметры размерности независимых переменных принимают нулевые или бесконечные значения, так что, как правило, автомодельные решения отвечают сингулярным начальным или краевым и т. п. условиям, таким, как в только что рассмотренных примерах. Таким образом, автомодельные решения всегда представляют собой промежуточные асимптотики решений невырожденных задач. [c.52]

Рис. 3.2. Выход на автомодельную промежуточную асимптотику решения неавтомодельной начальной задачи для уравнения (3.1) при 8=2 и начальных данных а(х, 0) = 10 (0 л 0,1)>

Рассмотренное выше автомодельное точное частное решение типа мгновенного источника для случая xi = х отвечало сингулярному начальному условию, получающемуся из (3.11) при 1=0. Но это решение типа мгновенного источника шире, чем просто точное частное решение отдельной задачи. Действительно, соотношение (3.12), справедливое и при 8=1, показывает, что ri—>-0 не только при /->0, но и при t oo и любом / = onst > 0. Выбирая соответственно х, можно этот предельный переход осуществлять так, чтобы = оставалось постоянным в пределе получается известное автомодельное решение, указанное выше. Таким образом, как уже отмечалось, автомодельное решение задачи с сингулярными начальными данными при xi = х представляет собой асимптотику широкого класса решений начальной задачи при больших временах. Решение задачи с сингулярными начальными данными (3.4) при в согласии со сказанным, не существует. Это означает, что при х не существует конечного, отличного от нуля предела функции г], е) при г] 0. Тем не менее, как показали численные расчеты, автомодельная асимптотика решения (3.12) все же существует, хотя и не в форме (3.5), а в форме (3.10). Наличие у решения (3.12) автомодельной асимп- [c.60]

Здесь р — безразмерная постоянная, которая зависит от нормировки функции Ф( , е), а параметр а — след исчезнувших при предельном переходе параметров Q и I. Параметр а можно определить, выполняя, например, при помощи численного счета, предельный переход от решения неавтомодельной задачи к автомодельной асимптотике. При прямом построении автомодельного предельного решения подстановкой (3.14) в основное уравнение и начальные условия параметр а неизвестен и подлежит определению. Таким образом, определение параметра а явно фигурирует в формулировке задачи, составляя часть определения автомодельного предельного решения. [c.61]

Было бы весьма важно строго доказать, что решение любой задачи с начальными условиями вида (3.11) при достаточно быстро убывающей на бесконечности (пусть даже финитной, т. е. обращающейся в тождественный нуль при достаточно больших значениях аргумента) функции /(х, 0) выходит при больших временах на построенную автомодельную асимптотику, т. е. что и х, 1) действительно стремится при - оо к автомодельному ре- [c.65]

Для того чтобы разобраться в возникшем противоречии, снова, как и в аналогичной ситуации, описанной в предыдущей главе, отступим от строгой формулировки вырожденной автомодельной задачи. Вспомним, что решение, отвечающее точечному взрыву, имеет смысл, если оно представляет собой асимптотику для решения, отвечающего выделению энергии в малой, но конечной области. Обратимся поэтому к рассмотрению задачи, в которой энергия в момент / = 0 выделяется не в точке, а в сфере радиусом / о. В остальном же задачи совпадают. По этим соображениям в поставленном численном эксперименте решалась следующая задача. Имеется безграничное пространство, заполненное газом. В начальный момент вне сферы радиуса плотность газа постоянна и равна Ро, давление равно нулю. Внутри же сферы распределение характеристик движения газа (давления р, скорости [c.69]

Как и для автомодельного решения, рассмотренного в главе 3, для этого автомодельного предельного решения характерны два свойства. Во-первых, показатель а степени времени в выражении для автомодельной переменной не находится из соображений подобия, а требует для своего определения решения нелинейной задачи на собственные значения, т. е. находится из условия существования автомодельного решения не в малом, а в целом. Далее, все решение определяется при этом лишь с точностью до некоторой постоянной, входящей в автомодельную переменную, которая может быть найдена только сращиванием автомодельной промежуточной асимптотики с неавтомодельным решением исходной задачи интегрального закона сохранения, позволяющего непосредственно определить значение этой постоянной по начальным данным исходной задачи, здесь не существует. [c.78]

Итак, если для данной постановки задачи математической физики в целом (начальной, краевой, смешанной и т, п.) суи ест-вуют автомодельные решения со степенными автомодельными переменными, они получаются из неавтомодельных решений предельным переходом при стремлении некоторого параметра (параметров), делаюш его решение неавтомодельным, к нулю или бесконечности. Если этот предельный переход дает конечный предел, отличный от нуля, то автомодельное решение называется решением первого рода. Если конечного отличного от нуля предела не суихествует, но по указанному параметру (параметрам), стремя-и емуся к нулю (бесконечности), имеется степенная асимптотика, которая и обеспечивает автомодельность предельного решения, то автомодельное решение называется решением второго рода. [c.94]

В самом деле, решение модифицированной задачи о мгновенном тепловом источнике представляет собой автомодельную асимптотику при больших временах решения задачи с теми же начальными условиями (5.13), но уже для модифицированного уравнения [c.97]

Обратимся к модифицированной задаче о сильных взрывных волнах. Искомое автомодельное решение представляет собой автомодельную асимптотику при больших временах решения уравнений адиабатического движения газа с показателем адиабаты V при условиях на фронте сильной ударной волны, в которых фигурирует эффективный показатель адиабаты и начальных условиях, соответствующих выделению в начальный момент энергии Е в сфере радиусом / о. [c.98]

Итак, существование и единственность решения нелинейной задачи на собственные значения доказаны. Используя методы, развитые в работе А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского и И. С. Пискунова [57], Я.И. Капель [50] показал, что решение представляет собой асимптотику при t- oo решения некоторого естественным образом определенного класса начальных задач с условиями переходного типа. Заметим, что как в задаче о распространении гена, так и в задаче теории распространения пламени, непосредственное построение решения типа бегущей волны u = U l — Я1Э + с) о пределяет это решение с точностью до константы с. Эта константа может быть найдена только сращиванием инвариантного решения с неинвариантным решением исходной задачи. При этом очевидно, что какое бы промежуточное состояние системы l/(g, О), ), п(1, ) мы ни приняли за начальное, значение константы с не изменится. В этом смысле константа с является интегралом уравнений рассматриваемых задач (ср. [159]). [c.111]

Таким образом, начальное распределение и( , 0), по предположению достаточно быстро убывающее при ->0, оо, определяет N положительных констант Хи. .., Ялг и Л/ положительных констант Аи. .., Ллг и выделяет N интервалов по При этом внутри каждого из интервалов = 0(т п) асимптотика решения ав-томодельна и имеет вид [c.130]

Вне упомянутых интервалов решение и мало и = о ). Здесь показательно, что в автомодельной асимптотике от начальных условий исходной невырожденной задачи зависят не только постоянные Лп, как это обычно бывает, но и показатели степени Хп в выражениях для автомодельных переменных. С аналогичной ситуацией мы столкнемся ниже при рассмотрении автомодельного вы- [c.130]

Задача в полном виде состоит в решении получившейся бесконечной цепочки уравнений при заданных начальных условиях на моменты. Это так называемая проблема вырождения изотропной однородной турбулентности. На самом деле о начальных условиях мы имеем в лучшем случае лишь очень общие представления и задать начальное распределение моментов не можем, В связи с этим особый интерес представляют асимптотики решения при больших временах, запоминающие лишь какие-то основные свойства начальных условий. Эти асимптотики в широких предположениях можно считать автомодельными. [c.168]

Спектр собственных значений п, определяющих скорость затухания моментов связи второго порядка, при непосредственном построении автомодельного решения (10.10) оказался непрерывным решение уравнения (10.11) при условиях (10.12) существует при любом я>0. Реализуемое на самом деле значение п должно определяться начальными условиями невырожденной задачи, для которой решение (10.10) представляет собой автомодельную промежуточную асимптотику. [c.169]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология