Угловые и радиальные функции

Где — интеграл радиальных функций орбиталей металла и лиганда, а Е — угловая составляющая. зависит от того, какие орбитали ме- [c.112]

R r] — радиальная часть, а 0(0), Ф(ф) — угловая часть функции. [c.57]

Так как радиальная часть волновых функций не принимается во внимание, индивидуальные угловые волновые функции теперь могут быть выражены посредством сферических гармоник, как [c.168]

Рассмотрим рассеяние рентгеновского излучения, электронов и нейтронов совокупностью атомов одного элемента (сжиженные инертные газы, расплавленные металлы, полуметаллы и диэлектрики). Выведем уравнение, связывающее угловое распределение интенсивности рассеянного излучения с радиальной функцией распределения ЩЯ), описывающей ближний порядок в расположении атомов. [c.41]

Рассмотрим уравнение, связывающее угловое распределение интенсивности с радиальными функциями распределения электронной плотности. [c.69]

При анализе уравнений, связывающих угловое распределение интенсивности рассеяния с радиальными функциями распределения, отмечалось, что межатомные расстояния определяются по положению [c.88]

Если потенциальное поле обладает сферической симметрией, как это имеет место в рассматриваемой задаче V = —е /г), уравнение Шредингера выгоднее решать в сферических, а не в декартовых координатах. Преимущество этой координатной системы заключается в том, что в ней величина гр может быть представлена в виде- произведения радиальной функции на функцию, зависящую от угловых переменных [c.23]

Полные волновые функции (атомные орбитали) получаются умножением этих функций угловых переменных на соответствующие радиальные функции R, (г). Невозможно, однако, графиче- [c.24]

Аналитические выражения "действительных" атомных орбиталей принято разделять на две части радиальную и угловую. Волновая функция г является их произведением, Величина радиального сомножителя зависит только от расстояния г точки до ядра и всегда содержит [c.75]

Нетрудно убедиться, что функции ф, являются не только правильными функциями нулевого приближения, но и точными собственными функциями оператора Но + (после умножения их на одну и ту же радиальную функцию ). Кроме того, функции ф2, Фз, Ф4 и Фз не являются собственными для операторов I, и т.е. несмотря на симметрию поля, в котором находится злектрон, в этих состояниях проекция углового момента не сохраняется. Можно проверить, однако, чго эти функции являются собственными для операторов полного момента [c.396]

Вернемся теперь к описанию электронного строения с помощью волновой функции. Разделение волновой функции на две составляющие удобно потому, что эти части связаны с различными свойствами. Радиальная часть определяет энергию системы, и она инвариантна к операциям симметрии. Квадрат радиальной функции имеет вероятностный смысл, и его количественная характеристика возможна при фиксированных значениях угловых параметров 0 и Ф. Эти угловые переменные задают фиксированное направление от атомного ядра, и квадрат радиальной функции пропорционален вероятности нахождения электрона в элементе объема, расположенном вдоль выбранного направления. Чтобы определить вероятность нахождения электрона внутри сферической оболочки радиуса г, окружающей ядро, необходимо проинтегрировать по обеим угловым переменным. В результате получается функция радиального распределения. [c.251]

В то время как угловые свойства атомных орбиталей, которые были рассмотрены в предыдущем разделе, являются общими для орбиталей всех атомов, радиальные волновые функции / (г) [см. уравнение (3.11)] индивидуальны для каждого атома. Только в случае водорода или других одноэлектронных атомов (Не+ и т. д.) радиальные функции Я (г) могут быть точно представлены в виде простых аналитических функций. В других случаях они должны определяться численно или путем разложения в ряды. Однако радиальные функции для многоэлектронных атомов имеют много общего с функциями атома водорода, поэтому необходимо прежде всего определить радиальные функции атома водорода. [c.36]

Кроме того, поскольку г сохраняется постоянным, первые два члена в этом уравнении обращаются в нуль. Другими словами, радиальная часть волновой функции постоянна. Умножая обе части равенства на угловую волновую функцию В и принимая во внимание, что тг-= I, где У — момент инерции, получим [c.162]

Как видно из уравнения (40), гг и I определяют Д-функцию, а следовательно, и функцию радиального распределения вероятности пребывания электрона в атоме вдоль направления, в котором угловая часть функции равна постоянной величине. Орбитали с различным набором nul принято обозначать сочетанием цифры, равной п, с латинской буквой, соответствующей I. Буквы S, р, d, f, g, h взяты из спектроскопической практики (см. раздел 3.2) и соответствуют значениям I, равным [c.90]

Однако для орбиталей, не имеющих шаровой симметрии (р, (I, / и т. д), вероятность пребывания электрона зависит не только от расстояния г, но и от 0 и ф, т. е. от угловой части волновой функции. Поэтому двухмерные графики указанного типа для таких орбиталей могут показать лишь ненормированную вероятность распределения электронов в выбранном направлении. Обычно за такое направление принимают ось, вдоль которой вероятность пребывания электрона максимальна, а вместо графиков = f (г), 4пт Ц1 = f (г) или = f (а) строят графики радиальной функции К = = f (а) и нормированной функции = f (а) (рис. 7), [c.91]

Графическое изображение атомных орбиталей с более высокими значениями квантовых чисел п и I гораздо сложнее. На рис. 3.11 и 3.12 приведены радиальные и угловые функции для нескольких различных орбиталей. В то время как для радиальных функций использован тот же способ, что и для 15-орбитали на рис. 3.9, для угловой части этих орбиталей наиболее пригоден способ изображения, приведенный на рис. 3.10,6. Такое изображение не вызывает трудностей в случае 15-орбитали, но для остальных орбиталей приходится поступать так, как это показано на примере 2р -орбитали. Для графического изображения этих орбиталей из соответствующего выражения выделяют только ту часть функции, которая зависит от угловых переменных 0 и Ф. Ее обозначают буквой В она имеет смысл полного выражения для орбитали, в котором условно принято [c.43]

Методом рассеяния рентгеновского излучения под большими углами исследована структура ароматических углеводородов [1—4], нормальных и циклических парафинов [5, 6] и их производных [7, 8]. На основании угловой зависимости радиальной функции распределения электронной плотности определены параметры молекулярной решетки, валентные углы, межатомные и [c.113]

Для р- и -орбиталей картины похожи первая такая орбиталь (2р-, 3< -) имеет радиальную функцию, которая никогда не пересекает нулевую линию, вторая орбиталь каждого типа (Зр-, 4 -) имеет радиальную функцию, которая пересекает нулевую линию один раз, и т. д. На рис. 1.6, б видно, как изменяется электронная плотность с расстоянием от ядра. Изображенные функции пропорциональны Очевидно, всякий раз, когда сами волновые функции пересекают нулевую линию, радиальная функция электронной плотности должна достигать нуля. Однако угловые части волновых функций более важны и интересны, и они будут рассмотрены для каждого из трех типов орбиталей. [c.30]

Как было указано в обсуждении, касающемся уравнений (1.15)— (1.22), волновые функции для водородоподобных орбиталей являются произведениями радиальной функции Р и двух угловых функций 0 и Ф. Рассмотрим две последние функции, которые зависят от квантовых чисел I и т , что определяет тип орбитали, т. е. р , Ру, Рг, dxy, 2 и т. д. Эти характеристические угловые функции, как можно предположить, являются инвариантными в присутствии электронов на других орбиталях. Однако наличие электрона на одной орбитали оказывает влияние на радиальную функцию всех других орбиталей атома, так как каждая радиальная волновая функция зависит от эффективного заряда ядра (см. табл. 1.1) и взаимное проникание орбиталей приводит к тому, что заселение одной орбитали влияет на эффективный ядерный заряд для других орбиталей. [c.46]

Этот ход рассуждений привел Хартри к разработке метода расчета радиальных волновых функций для орбиталей в многоэлектронных атомах. Метод Хартри — это итерационный метод, в котором сначала задается набор радиальных волновых функций для каждой занятой орбитали атома, затем для каждой орбитали вычисляется новая радиальная функция электрона на этой орбитали, движущегося в поле, создаваемом ядром и всеми другими электронами, находящимися на предположенных (гипотетических) орбиталях. В результате все остальные радиальные функции несколько изменяются, образуя новый набор, который является лучшим приближением, чем радиальные функции первого набора. Далее снова вычисляют радиальную функцию для каждой орбитали, используя поле, создаваемое ядром и вторым набором радиальных функций орбиталей всех других электронов. Таким образом, получается третий, еще лучший набор радиальных волновых функций. Эти операции повторяют много раз до тех пор, пока функции в п-м наборе будут ничтожно мало отличимы от функций в п—1-м наборе. Полученные таким образом самосогласованные функции, умноженные на соответствующие угловые функции атома водорода, и Ф, называются орбиталями по Хартри. [c.46]

ОДНОЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ Угловые и радиальные функции [c.22]

Допустив затем, что функцию г1)(г, , ф) можно представить произведением трех функций г )(г, ф)ь = / (г)0(О)Ф( )), каждая из которых зависит только от одной координаты, уравнение Шредингера удается заменить тремя дифференциальными уравнениями одно для радиальной функции к г) н два для угловых функций (д) и Ф(ф) решением этих уравнений можно найти виды функций Я (г), 0(д), Ф(ф) и тем са-. мым вид функции ф. Наложенные условия на функцию а следовательно, и на функции Н г), 0(0 ) и Ф(ф) приводят к тому, что решения трех указанных выше дифференциальных, уравнений должны содержать целочисленные параметры п, /, Ш/, называемые квантовыми числами и имеющие следующие значения [c.19]

Возвращаясь к электронам в атоме, находим, что допустимые решения уравнения Шредингера удобнее всего записать в виде произведения Двух функций одна из них, так называемая радиальная функция f r) или R(r), зависит только от координаты г, другая, угловая функция Y(0, ф) — только от двух углов 0 и ф. Следовательно, можно записать полную амплитудную функцию, ij (r, 0, ф) в виде произведения радиальной и угловой функций [c.39]

Для общего исследования уравнения Шредингера удобно выделить радиальную функцию, т. е. представить решение в виде произведения не трех, а двух функций. Одна из них зависит только от радиуса Rniir) и определяется двумя квантовыми числами п и I другая — угловая часть Ф/ш зависит от углов 0 и ф и определяется числами I и т. Для состояния с п= +1 и / = 0, т. е. для i- o toh-ния, волновая функция, как показано выше, не зависит от углов 0 и ф, она сферически симметрична. Что касается конкретного вида функций, выражающих s- и р-орбитали для квантовых чисел л>1, то они довольно сложны. [c.71]

Для количественного описания структуры простых жидкостей и аморфных веществ П. Дебаем в 1925—1927 гг. была введена радиальная функция межатомных расстояний W(R), а Ф. Принсом и Дж. Цернике — радиальная функция атомной плотности 9(R) = < >W(R). Теоретически доказали, что эти функции связаны с угловым распределением интенсивности рассеянного излучения соотношением [c.4]

Нас интересует угловая зависимость функции ф1, поэтому, пренебрегая различием радиальных частей s- и р-волновых функций, можно написать = V 3 os0. Тогда уравнение (5.37) принимает вид [c.128]

Волновые функции электрона в атоме Н представляют собой произведение радиальной (зависящей только от г) и угловой (зависящей только от б и ср) функций. При / = О угловая составляющая отсутствует, т. е. волновая функция сферически симметрична. Состояния электрона с / = О получили название 5-состояний. При / = 1 угловая составляющая функции ле1-ко преобразуется в одну из декартовых координат — X, у или 2. Волновые функции в этом случае обладают цилиндрической симметрией относительно одной из координатных осей. Такие состояния называют р-состояниями, причем в виде индекса отмечают ось цилиндрической симметрии. При I = 2 ( -состояние) угловые составляющие волновых функций преобразуются в простые комбинации де1сартовых координат, что также отображается в виде соответствующих индексов. Перед обозначением, характеризующим угловую составляющую волновой функции, обычно ставят номер главного квантового числа, соответствующий рассматриваемой атомной орбитали, и полное обозначение орбитали записывается в виде 15-, 2з-, [c.10]

В тех случаях, когда орбитали задаются произведением радиальной функции на сферическую гармонику У/ ,(д, ф), угловой момент определяется значением / и орбиталь называется, как обычно, орбиталью I-,/7-, d-,...mna при / = О, 1, 2,... Декартовы г -ссовы функции типа (9) уже не соответствуют в общем случае определенной сферичесюй функции, однако используемые на практике декартовы гауссовы орбитали обычно выбираются так, что т, и, р являются неотрицательными целыми числами. При т = п=р = 0 орбиталь (9) [c.295]

Хорощо известные формы одноэлектронных орбиталей представлены на рис. 6-4 фактически это не что иное, как представления угловых волновых функций. Такие представления обычно используются для иллюстративных целей, поскольку они точно воспроизводят свойства симметрии волновых функций. Их нужно домножить на соответствующие радиальные функции для получения полных волновых функций. [c.253]

На рис. 3.2 и 3.3 приведены угловые функции, на рис. 3.4— радиальные функции. Можно ли скомбинировать их каким-либо образом, чтобы получнтъ картину полной орбитали К сожалению, в рамках трехмерного пространства это невозможно. Поэтому для изображения орбиталей приняты такие же диаграммы, как на рис. 3.2 и 3.3. Еще чаще дают просто сечение этих орбиталей в плоскости, проходящей через ядро. Такие сечения приведены на рис. 3.5. Существует и другая возможность, сО стоящая в изображении контурных поверхностей волновой функции. Вначале подставим в выражение (З.П) определенные значения г, О, ф и найдем соответствующие значения волновой функции. Вычислив г )(г, ф) для большого числа значений переменных, представим контурные поверхности в трехмерном пространстве, причем каждая поверхность будет являться совокупностью точек с одним и тем же значением (г, О, ф). Далее удобно взять подходящее сечение контурных поверхностей. Такие сечения показаны на рнс. 3,6. Еще один тип представления орбиталей, который часто используют в книгах и при обсуждении химических проблем, приведен на рис. 3.7. Такие диаграммы не имеют четкой теоретической основы, но обладают тем преимуществом, что их легко можно представить графиче ски и что они позволяют создать общую картину узловых поверхностей для данной орбитали. [c.39]

Молекулярная теория растворов. Структура р-ров отличается от структуры чистой жидкости тем, что наряду с локальными неоднородностями плотности и распределения молекул по ориентациям (последнее-в случае нецентральных межмол. сил) в р-рах имеются также концентрац. неоднородности. Локальные корреляции в расположении молекул и их ориентации в р-ре м.б. описаны с помощью мол. ф-ций распределения. В бинарной системе (компоненты У и 2) для характеристики распределения частиц в окрестности нек-рой данной частицы на расстоянии г от нее служат радиальные функции распределения дц г), ЗггС "). 512( ") = 521( )- Через эти ф-ции можно выразить локальный состав окружения частицы данного сорта. Для систем, между мдлекулами к-рых действуют нецентральные силы, вводятся корреляционные функции, зависящие от угловых переменных, т.е. от взаимной ориентации молекул. [c.188]

Постановка задачи. Теория Кирквуда, Боголюбова, Майера И др., основанная на применении радиальной функции распределения, доказала возможность расчета свойств жидкостей при помощи статистического метода Гиббса. Большим принципиальным достижением является тот факт, что теоретическая радиалы1ая функция распределения р (г, Т, ю) обладает такой же формой зависимости от г, Т, V, как и экспериментальная функция р (г, Г, и), получаемая с помощью исследования углового распределения рентгеновских лучей, рассеянных жидкостью. Таким образом доказана возможность теоретического расчета структуры жидкости на базе общих предположений статистической механики без привлечения эмпирических допущений. [c.174]

Интерпретация радиальной функции распределения на основе У-структур. Радиальная функция распределения дает среднюю локальную плотность молекул на расстоянии Я от центральной молекулы и является, таким образом, характеристикой О-структуры жидкости. Мы не можем знать структуры жидкой воды, имея только эту информацию. Прежде всего, радиальная функция распределения сама по себе ничего не говорит нам об угловом распределении соседних молекул. К счастью это обстоятельство не является решающим, потому что дополнение радиальной функции расиределення сведениями [c.166]

Радиальные функции (г) и R pir) не будут сильно различаться друг от друга если мы возьмем собственные функции типа Слэйтера, то они будут идентичны. Полагая, что радиальные функции идентичны, и выписывая только угловые части волновых функций, имеем [c.293]

Орбитали, которые используют обычные угловые множители, полученные решением волновых уравнений для водорода, называют простыми радиальными функциями и слейтеровского типа орбигпаля-ми (СТО). [c.91]

Свободный объем вычислялся в самых различных приближениях с использованием потенциала Леппарда—Джонса [5, 431, прямоугольного потенциала [44, 45], методом углового усреднения потенциальной энергии рассматриваемой средней молекулы с помощью радиальной функции распределения. Применялись и более строгие методы, учитывающие корреляцию в движениях молекул в ячейках [46]. К последним относится ячеечно-групповая теория де Бура [47] (см. также [481 и обзоры [49]). Приложения ТСО к растворам рассмотрены в работах [5, 8, 23]. Возможность сформулировать эту теорию и ее выводы в простой полуфено-менологической форме является несомненным достоинством при попытках получить расчетные формулы для термодинамических величин. [c.15]