Погрешности выборочных оценок

Погрешности выборочных оценок [c.48]

Значит, вероятность Р того, что сглаживающая кривая Ув(х), построенная по N экспериментальным точкам, будет отличаться от кривой у х), построенной по бесконечному числу точек, меньше, чем на е, рама значению функции Лапласа Ф(/), рассчитанному при — е-у/м/ов, где ав — среднеквадратичная погрешность, вычисленная по N точкам (выборочная оценка для генеральной среднеквадратичной оценки а). [c.273]

Пример 4. Среднее из шести определений углерода в пробе органического вещества равно 44,3 %. Выборочное стандартное отклонение S, = 0,4 %. Определить доверительную вероятность того, что средний результат отягощен случайной погрешностью IДЛ 0,25%. В предположении о том, что выборочное стандартное отклонение при дальнейшем увеличении числа параллельных анализов изменится не больше чем на 20 % в сравнении с Su найти, какое число параллельных анализов п надо провести, чтобы повысить до 90 % доверительную вероятность случайной погрешности в оценке среднего значения х, не превышающей 0,25 %. [c.95]

При получении оценок случайных составляющих погрешности опробования для разделения погрешностей пробоотбора, пробоподготовки и анализа П. а. применяют т. наз. дисперсионный анализ-один из методов мат. статистики. Строго по разработанной методике проводят отбор к серий точечных проб, получая к объединенных проб. Из каждой объединенной пробы получают I П. а. Все П. а. анализируют, получая для каждой из иих неск. результатов анализа Затем статистически обрабатывают полученные данные и находят значения выборочных стандартных отклонений, характеризующие рассеяние результатов за счет разл. стадий (анализа, пробоподготовки и пробоотбора). При этом учитывают, что при малых выборках (малые значения ка/) полученные выборочные оценки соответствующих стандартных отклонений недостаточно точны. [c.96]

Когда истинное содержание компонента в исследуемом образце X известно, появляется возможность не только оценки воспроизводимости, но и правильности метода анализа. Если из образца проанализировано п проб и выборочное среднее из результатов анализов равно X, выборочной оценкой систематической погрешности может служить разность [c.269]

Следует отметить, что коэффициенты искомого уравнения определяются на основе экспериментальных данных и, следовательно, несут на себе отпечаток погрешностей эксперимента. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в уравнении вместо символов р, обозначающих истинные значения коэффициентов, пишут Ь, подразумевая под этим соответствующие выборочные оценки. [c.11]

И, наконец, построение выборочной плотности распределения в виде разложения по биортогональным полиномам может быть эффективно проведено для любых непрерывных плотностей распределения ошибок наблюдений, заданных как аналитически, так и численно. Причем необходимо отметить, что вследствие выбора весовой функции погрешность аппроксимации р (0) полиномами Чебышева—Эрмита будет наименьшей вблизи максимума по в функции р (0) и при стремлении 0 к бесконечности будет постепенно увеличиваться. Тем самым с наибольшей точностью аппроксимируется р (0) в окрестности оценок обобщенного максимального правдоподобия, что, конечно, в первую очередь и интересует исследователя [26J. [c.185]

Разумеется, погрешность всех измерений выборки меньше, чем каждого единичного измерения. Для оценки погрешности средней величины сравним выборочную дисперсию для серии опытов и для единичного измерения. [c.15]

Доверительные интервалы и доверительная вероятность. Выборочные параметры являются случайными величинами, их отклонения от генеральных (погрешности) также будут случайными. Оценка этих отклонений носит вероятностный характер — можно лишь указать вероятность той или иной погрешности. Для этого в математической статистике пользуются доверительными интервалами и доверительными вероятностями. [c.36]

В справочнике [34] дана критическая оценка многих экспериментальных данных и приведены погрешности определения термодинамических величин для различных простых веществ и соединений. Выборочные данные о погрешностях для веществ, рассматриваемых в данной книге, приведены в табл. 3. [c.146]

При соблюдении условия — к ЗО и небольшом отличии выборочных дисперсий 5 друг от друга (для количественной проверки этого условия служит так называемый критерий Фишера), параметр служит хорошей оценкой генерального параметра а. Это открывает возможность оценки погрешностей с помощью функций Гаусса — Лапласа. [c.830]

Тем не менее, хотя нормальное распределение и является самым распространенным среди иных других, проверка нормальности рас пределения результатов и случайных погрешностей — непременное условие полноценной аттестации аналитических методик. Аналитик-исследователь, предлагающий новую методику количественного определения, обязан аттестовать ее, указав на то, в какой мере характер распределения случайных погрешностей данной методики близок к нормальному распределению. Оценка такого рода проводится путем вычисления особых параметров выборочной совокупности результатов анализа, носящих название асимметрии Л и эксцесса Е [c.84]

В расчетах суммирование проводится для всех х и по девяти классам, для у и г/ — по семи, для произведений — по всем заполненным клеткам таблицы. Для упрощения расчетов в качестве оценки значений у взяты не центры интервалов, а их верхние границы, т. е. простые целые числа от 1 до 7. Полученное значение выборочного коэффициента корреляции г = 0,76 свидетельствует о наличии заметной корреляции между количеством определяемой сульфидной серы и абсолютной погрешностью анализа. [c.163]

Прямые измерения. При таких измерениях числовое значение определяемой величины непосредственно считывается с показаний прибора (напр., весов). Если при повторных измерениях одной и той же величины а получаются неразличимые результаты х для принятой градуировки шкалы прибора, то в этом случае в качестве абс. погрешности измерений м.б. принята цена деления шкалы. Если же при п повторных измерениях регистрируются разл. отсчеты по шкале прибора, то их совокупность может рассматриваться как выборка случайных величин х , Х2,. .., х . В качестве наиб, вероятной оценки значения измеряемой величины в этом случае обычно полагают выборочное среднее [c.324]

Т. к. ошибки измерений случайны, полученная оценка результата х также случайна. Мерой ее погрешности служит т.наз. выборочный стандарт среднего [c.324]

К началу обработки результатов химического анализа методами математической статистики систематические погрешности должны быть выявлены и устранены или переведены в разряд случайных. При этом данные анализа — случайные величины с определенным распределением вероятности. Прежде чем рассматривать оценку случайных погрешностей, остановимся на двух понятиях генеральная совокупность — гипотетическая совокупность всех мыслимых результатов от -да до + выборочная совокупность (выборка) — реальное число (л) результатов, которое имеет исследователь. [c.42]

Одна из основных задач аналитика при оценке случайных погрешностей химического анализа — нахождение функции распределения, которой описываются экспериментальные данные. Из математической статистики следует, что случайная величина считается заданной, если известна функция ее распределения. Эта функция может быть представлена функциональной зависимостью или графически. Данные большинства аналитических определений при наличии генеральной совокупности результатов химического анализа подчиняются закону нормального распределения (распределение Гаусса). Однако закон нормального распределения неприменим для обработки малого числа измерений выборочной совокупности (п < 20). Для обработки таких выборок в химическом анализе используют распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики ширину доверительного интервала, соответствуюш ую ему вероятность и объем выборки. Прежде чем рассматривать распределение Стьюдента и его применение для обработки данных химического анализа, остановимся на некоторых основных характеристиках выборочной совокупности. [c.269]

При дефектоскопии сварных швов и оценке качества металла УЗК невозможно обследовать всю поверхность сосуда, и контроль является выборочным. В соответствии с рекомендациями ГОСТ 14249-89, 25859-83 и РД 50-694-90 коэффициент прочности сварного шва снижен до 0,9 и выбраны для расчетов соответствующие усталостные кривые. Механические свойства металла оценивались с учетом наименее благоприятного влияния погрешности измерений. [c.287]

Оценку неизвестного Генерального среднего квадратического отклонения сг определяют.- ло выборочной дисперсии и сопоставляют его с допустимой погрешностью измерений Сто, соответствующей установленным нормативам. По экспериментальным данным вычисляют выборочную дисперсию 8х и границы доверительного интервала, покрывающего неизвестный параметр с доверительной вероятностью р >ах >о , где [c.240]

Р — выборочная доверительная вероятность, характеризующая долю случаев, при которых оценка параметров распределения, полученная с данной относительной погрешностью, будет заведомо правильной (например, Р = 0,95 правильность оценки в среднем не менее чем в 95 случаях из ста) [c.119]

Средняя относительная погрешность Д отн (в %) определяется, исходя из оценки выборочного среднего х, вычисляемого по формуле [c.40]

Среднее арифметическое выборки. Среднее арифметическое значение выборки (выборочное среднее) является наилучшей оценкой для генерального среднего А. Поэтому, когда необходимо измерить какую-либо физическую величину, за результат измерения принимается среднее арифметическое результатов отдельных наблюдений (после введения поправок для исключения систематических погрешностей). [c.84]

B которых I определено формулой (П 4.3), где в данном случае max = ifi — l)e /(/i + /2 — 2), показало, что при а = 1,13 погрешность приближения (П 4.8) для всех значений и /2 заключенных в пределах от 1 до 10, не превышает 20%. Это дает основание полагать, что при и реальных значениях Eqi и бог погрешность выражений (31.14)—(31.20) тоже не превышает 20% и в среднем должна быть значительно меньше. Выборочные численные расчеты суммы (31.11) для ряда неравных температур TiM Т2 (но при бо1 = 8о2 = 0) подтвердили эту оценку. [c.217]

Статистическая оценка погрешностей в рамках МНК для линейных зависимостей может быть проведена путем вычисления выборочных дисперсий 5 , 5 и 5а.> которые представляют собой дисперсии точ К относительно прямой, свободного членз [c.848]

Обе эти величины 5 и а применимы к интерпретации результатов химического анализа, а их значения являются объективной мерой отклонения результатов от среднего значения, т. е. характеризуют случайные погрешности анализа. Существенно, однако, отметить, что из двух введенных стандартных отклонений только последнее является величиной постоянной, т. е. может служнть-параметром функций распределения и однозначно определять-вероятности случайных погрешностей анализа. Величина 5 органически связана с числом параллельных анализов /г и, следовательно, оценки случайных погрешностей с ее помощью должны быть опосредованы через величину п. Кроме того, ввиду недостатка информации о характере распределения для выборок малого объема статистические оценки возможных ошибок (погрешностей) с помощью выборочного стандартного отклонения должны носить более неопределенный характер, чем посредством генерального параметра а. Как будет показано ниже, это приводит-к тому, что заданной ширине доверительного интервала погрешности, оцененной через 5, отвечает меньшая доверительная вероятность в сравнении с оценкой через о. [c.76]

Решение. Средние результаты xi, выборочные стандартные отклонения S , содержание меди в добавках С и рассчитанные из этих данных параметры а, Ь, Sa И Si-i, а также предельно допустимые на уровне значимости Р = 0,05 значения случайных погрешностей оценки парметра а и 6 — 1 в соответствии с рас-тфеделением Стьюдента для числа степеней свободы / = 2 — 2 = 8 приведены ниже [c.112]

По результатам опроса экспертов рассчитываются также коэффициент конкордации и дисперсия экспертных оценок и т. п. Но, несмотря на весь этот набор статистик, заданные значения е, V, а неправомерно интерпретировать как показатели точности и достоверности коэффициентов значимости единичных показателей качества (В ). Статистический смысл Е, V, а только в том, что они устанавливают допустимые количественные соотношения между выборочной средней экспертной оценкой и генеральной средней, характерной для генеральной совокупности экспертов (т. е. для бесконечного их числа). К точности же самих коэффициентов значимости Л, названные статистические характеристики не имеют отношения и не могут их обеспечить, как бы не ужесточались значения е и а. Они определяют лишь с вероятностью а меру расхождения е выборочной средней экспертной оценки 5, и генеральной средней. Но дело в том, что при подобном подходе нет объективных оснований истинности самой генеральной средней. Проблема оценки погрешности генеральной средней экспертной оценки уровней значимости В, относительно их истинных величин лежит в иной плоскости. Она заключается в установлении меры соответствия действительной доли изменения полезности единицы продукции при изменении ее /-ГО свойства величине В,, определенной экспертами. Поскольку эти соотношения очень сложны, то интуитивные оценки самых добросовестных и квалифицированных экспертов не в состоянии конкурировать с точностью инженерного расчета. Здесь нравомерно провести следующую параллель. Допустим, требуется определить мопшость двигателя внутреннего сгорания. Известно, что она зависит от числа цилиндров, [c.404]

Оценка математического ожидания норд1ально распределенной случайной величины. При отсутствии грубых и систематических ошибок математическое ожидание случайной величины совпадает с истинным результатом наблюдений. Поэтому оценка математического ожидания имеет важное значение при обработке наблюдений. Легче всего оценить математическое ожидание при известной дисперсии генеральной совокупности (см. гл. II. 8). Генеральную дисперсию аг нельзя получить из наблюдений, ее можно только оценить при помощи выборочной дисперсии iP. Ошибка от замены генеральной дисперсии выборочной будет тем меньше, чем больше объем выборки и. На практике эту погрешность не учитьшают при л >50 и в формуле (11.49) для доверительного интервала генеральный параметр заменяют выборочным стандартом. В дальнейшем предполагается, что наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение. [c.45]

Это ПОСТОЯННО наблюдаемое явление легко объяснить, исходя из нормального закона, согласно которому вероятность появления малых отклонения значительно больше, чем вероятность появления больших отклонений. Вероятность появления погрешностей по абсолютной величине, превышающих 2а, равна 0,05, поэтому, если мы сделаем 20 измерений, то здесь можно будет ожидать появления одного такого отклонения. Если же экспериментатор сделал всего два измерения, то естественно ожидать, что среди них таких больших отклонений не будет. Подсчет выборочных дисперсий производится простым суммированием квадратов отклонений, поэтому естественно, что ошибка, подсчитанная по малой выборке из генеральной совокупности, в большинстве случаев будет меньше, чем ошибка соответствующей ей генеральной совокупности. Если мы в выражение (4.13) подставим вместо а ее оценки, полученные по малым выборкам, то не получим нормального распределения. В силу этих обстоятельств классическая теория ошибок, основанная на нормальном распределении, неприменима для обработки малого числа измерений. Она нашла очень широкое применение в метрологии, астрономии и геодезии, где всегда выполняется большое число измерений, и ока.зывалась мало полезной при анализе вешества, где, как правило, делается небольшое число параллельных определений. Только с начала XX века стало развиваться новое направление в математической статистике, которое можно назвать статистикой малых выборок или микростатистикой. [c.79]

Следует подчеркнуть, что приведенные здесь формулы описывают ошибки за счет выборочной изменчивости оценок, полученных при анализе рядов наблюдений конечного объема. Существуют и другие типы ошибок, которые могут возникать в процессе сбора и численной обработки данных наблюдений (например, ошибки измерения и калибровки, ошибки при записи на магнитную ленту и (или) передаче данных, ошибки перевода данных из непрерывной формы в дискретную и при предварительной обработке информации). Все эти потенциальные источники ошибок обязательно нужно иметь в виду и тщательно контролировать или по возможности учитывать их влияние на исходную информацию при помощи соответствующих методов калибровки. В дальнейшем предполагается, что погрешности подобного рода учтены или испоавлены, так что исходные [c.14]

Воспроизводимость - метрологический параметр, характеризующий разброс результатов анализа относительно среднего значения. Она определяется случайными ошибками, обусловленными действием многих неконтролируемых факторов. Численно воспроизводимость характеризуется либо выборочной дисперсией 8, либо стандартным отклонением 8, либо относительным стандартным отююнением 8г = 8/Х. Воспроизводимость зависит от определяемого содержания элемента и уменьшается с приближением к пределу обнаружения метода. В системе оценки качества вод различного состава (природных, питьевых и сточных) величины случайных погрешностей регламентируются государственным стандартом [124]. [c.28]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология